Übung 3

Physikalische Chemie II (für Biol./Pharm. Wiss.)
FS 2017
Übung 3
Ausgabe
06.03.2017
Abgabe
13.03.2017
1 Diffusion von Saccharose in Wasser
Eine konzentrierte Saccharose-Lösung (10 g Saccharose in 15 ml Wasser) befindet sich in
einem zylinderförmigen Kolben mit einem Durchmesser von 4 cm. Es werden langsam
0.985 l Wasser zugegeben, wobei die unten liegende Saccharoselösung nicht aufgewirbelt
wird. Im Folgenden werden nur Diffusionsprozesse betrachtet und Effekte aufgrund der
g
Schwerkraft vernachlässigt. Die molare Masse von Saccharose beträgt 342 mol
und der
cm2
6
Diffusionskoeffizient von Saccharose in Wasser ist D = 5.21 · 10
s .
Aufgabe
1. Berechnen Sie die Saccharose-Konzentration in der Wasserschicht 1.0 cm über der
ursprünglichen Saccharose-Lösung nach
a) 30 Sekunden
b) 30 Tagen
c) 3 Jahren
Hinweis:
Die Abhängigkeit der Konzentration von Zeit und Strecke (hier liegt ein begrenzter,
asymmetrischer, eindimensionaler Diffusionsprozess vor) kann durch die Gleichung
c(x, t) =
n0
2A(⇡Dt)
1
2
e
x2
4Dt
(I.6) im Skript
nicht korrekt beschrieben werden. Die Gleichung (I.6) ist eine Lösung für das 2.
Fick’sche Gesetz mit den Bedingungen, dass die Moleküle in beide Richtungen unbegrenzt und von einem einzigen Punkt (x = 0) aus startend diffundieren können.
Die zuletzt genannten Bedingungen trifft man in der Realität aber nie an.
Diese Übung beschreibt eine andere Situation: Es sind zwei Lösungen von unterschiedlich grossem Volumen, in welchen sich der grösste Anteil des gelösten Stoffes
nur in eine Richtung und für eine begrenzte Strecke bewegen kann. Für diese Situation gibt es keine einfache Lösung des 2. Fick’schen Gesetzes, trotzdem kann man
für einen gewissen Zeitrahmen Annäherungen zur Lösung finden. Wir werden das
1
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Problem unterschiedlich betrachten, abhängig von der Diffusionslänge (Distanz der
Bewegung eines durchschnittlichen Moleküles) verglichen mit den Längen L und
L1 im zylindrischen
p
p Kolben. (siehe Abb.1). Berechne zuerst die Diffusionslänge
Ldi↵ = hR2 i = 2Dt. Dann bestimme, welche Gleichung geeignet ist für die
Aufgabe.
Abbildung 1:
c(0) = 0
Wasser
L - L1
c(0) = C0
Ursprüngliche
Saccharose-Lösung
• Für Ldi↵ 
c(x)
L
p1
2 2
=
L1
brauche:
8
>
>
<
>
>
:
C0
⇣
1
2
C0 ⇣
1
2 sin
p x
2Ldiff
0
⌘⌘
falls
p
falls
x
2 ⇡Ldiff
2
falls
x
p
2 ⇡Ldiff
2 p
diff
< x < 2 ⇡L
2
p
2 ⇡Ldiff
2
(1)
Achtung: x = 0 ist die ursprüngliche Saccharoselösung/Wasser-Grenzfläche
• Für
p
2 L1  Ldi↵ 
L pL1
2 2
brauche:
⇣
⌘2
1
x
2 C0 L1
c(x) = p
e 2 Ldi↵
(2)
2⇡ Ldi↵
Achtung: x = 0 ist der Boden des Behälters
(Weitere Bedingungen und genauere Erklärungen sind auf dem Lösungsblatt.)
1. Wie hoch ist die Saccharose-Konzentration auf der ursprünglichen Saccharoselösung/Wasser-Grenzfläche bei t = 1?
2. Wieso sind keine der gegebenen Gleichungen nützlich für die Berechnung der Aufgabe 3.2?
3. Warum ist Gleichung (2) der Gleichung (I.6) ähnlich?
2
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2 Die Brown’sche Molekularbewegung
Als Brown’sche Molekularbewegung wird die vom schottischen Botaniker Robert Brown
(1773-1858) im Jahr 1827 entdeckte Wärmebewegung von Teilchen in Flüssigkeiten und
Gasen bezeichnet. Bei seinen Untersuchungen von Pollenkörnern unter dem Lichtmikroskop beobachtete er, dass die Pollenkörner eine unaufhörliche und unregelmässige ZickZack-Bewegung machten. Die unter dem Mikroskop sichtbaren Partikel werden ständig
von den viel kleineren Molekülen der Flüssigkeit bzw. des Gases angestossen und so
gewissermassen "herumgeschubst". Anzahl, Stärke und Richtung der stossenden Moleküle ändern sich ständig, sodass eine beobachtete zufällige Zick-Zack-Bewegung entsteht.
Der amerikanische Mathematiker Norbert Wiener (1893–1964) beschrieb diesen stochastischen Prozess ("Wiener Prozess") mathematisch.
Erklären Sie qualitativ, wie die Brown’sche Molekularbewegung von Teilchen in einem
flüssigen Medium beinflusst wird, wenn
1. die Temperatur des flüssigen Mediums erhöht wird.
2. anstatt einer wässrigen Lösung Dichlormethan verwendet wird.
3. kleinere und leichtere Teilchen in der Lösung gelöst sind.
3 Die Wärmeleitfähigkeiten von Wasserdampf und
Ammoniak
Die Wärmeleitfähigkeit von Wasserdampf bei einer Temperatur von T = 373 K und
mW
einem Druck von p = 1 bar beträgt  = 18.5 K·m
. Die Viskosität von Wasserdampf unter
entsprechenden Bedinungen ist ⌘ = 12.4 µPa · s.
1. Vergleichen Sie die Wärmeleitfähigkeiten von Wasserdampf bei einem Druck von
p = 1 atm und p = 0.1 atm und erklären Sie das Ergebnis.
2. Berechnen Sie aus der Wärmeleitfähigkeit und der Viskosität von Wasserdampf die
Boltzmannkonstante. Warum ist der ermittelte Wert nicht exakt?
p
3. Der Molekülradius von Wasser ist um den Faktor 2 ⇡ 1.41 kleiner als der Molekülradius von Ammoniak (NH3 ). Wie gross ist die Wärmeleitfähigkeit von Ammoniak?
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4 Ostwald-Viskosimeter
Das Ostwald-Viskosimeter (Abb. 2) ist ein Messgerät zur
Bestimmung der Viskosität (Zähigkeit) einer Flüssigkeit. Es
wurde von Wolfgang Ostwald entwickelt. Damit misst man
den Fluss der zu messenden Flüssigkeit durch ein dünnes
Rohr. Ein festgelegtes Flüssigkeitsvolumen V läuft unter
Druck p durch eine Kapillare mit der Länge L und dem
Radius R. Gemessen wird die Zeit t, die das Flüssigkeitsniveau braucht, um von A nach B zu fallen. Die (dynamische) Viskosität ergibt sich dann aus dem Gesetz von HagenPoiseuille:
V
⇡R4 p
⇡R4 @p
=
=
.
t
8⌘ L
8⌘ @z
Die Variablen sind wie folgt definiert:
I=
3
I Volumenstrom durch die Kapillare [ ms ]
R Innenradius [m]
L Länge der Kapillare [m]
⌘ dynamische Viskosität der strömenden Flüssigkeit [Pa · s]
Abbildung 2:
p Druckdifferenz zwischen Anfang und Ende
der Kapillare [Pa]
z Flussrichtung.
Die Gleichung von Hagen-Poiseuille sagt aus, dass jedes Viskosimeter auf Grund seiner
spezifischen Form eine eigene Viskosimeterkonstante besitzt. Der Wert dieser Konstante
resultiert aus der Beziehung zwischen drei messbaren Variabeln einer Flüssigkeit: der
Viskosität, der Dichte und der Zeit t.
1. Geben Sie die Viskosimeterkonstante als Funktion der drei Variabeln ⇢, ⌘ und t an.
Hinweis: p ist das Produkt der Dichte der Flüssigkeit, der Flüssigkeitshöhe über
der Kapillare und der Gravitationskonstante (⇢ · h · g).
Die Durchlaufzeit für Wasser in einem Ostwald-Viskosimeter wird bei tw = 427 s bestimmt. Mit einem anderen Lösungsmittel ergibt sich eine Durchlaufzeit tL = 340 s.
Folgende Werte sind gegeben (achten Sie auf die Einheiten!):
⌘w = 1.0 · 10
3 kg m 1 s 1
⇢w = 0.998 g cm
3
⇢L = 1.135 g cm
3
2. Wie gross ist die Viskosimeterkonstante?
3. Berechnen Sie die Viskosität ⌘L des Lösungsmittels.
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