Blatt 06 - Höhere Mathematik an der TUM

SS 2011 2in1 II
Technische Universität München
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Johann Edenhofer
Dipl.-Ing. Waldemar Schultz
Übung 6
Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften II [MA9714]
Aufgabe T 14 (070A)
Bestimmen Sie Wege ~γ für folgende Kurven Γ:
a) Im IR3 auf einer Geraden vom Punkt A zum einem beliebigen Punkt X.
b) Im IR2, zuerst vom Urspung auf einer Geraden zum Punkt (x, 0) und dann von diesem Punkt auf
einer Geraden nach (x, y), wobei x, y ∈ IR.
c) Im IR2 auf einem Kreis um m
~ = (m1 , m2 )t mit Radius R > 0, von ~a = (m1 + R, m2 )t nach ~a im
mathematisch positiven Sinn.
d) Im IR2 auf einer im Ursprung beginnenden, linksdrehenden Spirale, welche pro Umlauf den Abstand
2π vom Urpsrung gewinnt (Sprirale von Archimedes).
Bestimmen Sie die Bogenlänge L der Spirale beginnend im Ursprung , wenn sie einmal umläuft.
Aufgabe T 15 (071A, 71F) (Coulomb-Kraft)
Eine Ladung Q im Nullpunkt übt auf eine andere Ladung q im Punkt ~x ∈ IR3 \ {~0} die Kraft
As
Q·q
1
~x , ε0 ≈ 8.85 · 10−12
(elektrische Feldkonstante)
f~(~x) =
·
3
4πε0 |~x |
Vm
aus. Welche Arbeit wird verrichtet, wenn die eine Ladung im Nullpunkt bleibt, und die andere vom Punkt
A (0, 2, 0) nach B (1, 0, 0) bewegt wird entlang
a) einer Gerade,
b) einer Parabel x 7→ y(x) = c(x − d)2 + e mit Scheitel B in der Ebene z = 0.
Ist die Arbeit wegunabhängig? Ermitteln Sie gegebenenfalls ein Potential von f~. Wie lässt sich obige
Aufgabe eleganter lösen?
Aufgabe T 16 (072A, 79) (Magnetisches Feld eines unendlich langen geraden Drahts)
Gegeben sei auf dem Gebiet G := IR2 \{(0, 0)} das Vektorfeld f~ : G → IR2 durch
f~(x, y) =
1
2
x + y2
−y
x
.
a) Zeigen Sie, dass f~ der Integrabilitätsbedingung genügt.
b) Skizzieren Sie das Vektorfeld f~. Kann f~ : G → IR2 ein Potential haben?
Z
c) Berechnen Sie
f~(~x) · d~x, wenn die Kurve Γ := {(x, y) : x2 + y 2 = R2 } ⊂ G, (R > 0) im
Γ
mathematisch positiven Sinn durchlaufen wird.
d) Das Gebiet H := IR2 \{(x, 0) | x ≤ 0} ist sternförmig bzgl . dem Punkt (1, 0), d.h. die Verbindungsstecke von (1, 0) zu einem beliebigen Punkt (x, y) ∈ H liegt wieder ganz in H.
Berechnen Sie das Potential F von f~ : H → IR2 mit F (1, 0) = 0.
Aufgabe H 14 (070B)
Bestimmen Sie Wege ~γ für folgende Kurven Γ:
a) Im IR2 , vom Ursprung (0, 0) auf einer Geraden zum Punkt (R, 0) mit R > 0, dann auf dem Kreisbogen um (0, 0) mit Radius R zum Punkt (R cos ϕ, R sin ϕ) mit ϕ ∈ [0, 2π[.
b) Im IR2 auf einer Ellipse E mit Halbachsen a, b > 0 von ~x = (a, 0)t nach ~x im mathematisch
positiven Sinn. (Hinweis: E = {(x, y) | (x/a)2 + (y/b)2 = 1})
c) Linksdrehende Wendeltreppe auf einen 5 stöckigen Turm mit Radius R > 0 und Höhe H > 0 , bzw.
mit der Stockwerkshöhe h = H/5. Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem, sowie Start- und
Endpunkt der Kurve.
Berechnen Sie die Bogenlänge L der Wendeltreppe!
Aufgabe H 15 (071C, 87)
Gegeben sei auf dem Gebiet G := IR2 das Vektorfeld f~ : G → IR2 durch
2
f~(x, y) =
!
2 x y ex +y
.
ey (1 + ex2 + y ex2 )
a) Zeigen Sie, dass f~ ein Potential F : G → IR besitzt und bestimmen Sie es.
b) Sei Γ ⊂ IR2 eine
Z Kurve mit dem Endpunkten A(1, 0) und B(0, 1). Berechnen Sie den Wert des
Kurvenintegrals
f~(~x) · d~x .
Γ:A→B
Aufgabe H 16 (072B, 73)
Berechnen Sie das Integral des Vektorfeldes f~ : G := IR2 \ {(0, 0)} −→ IR2 ,
1
f~(x, y) = p 2
x + y2
−y
x
!
längs der Kurve, die ausgehend vom Punkt (1, 0) einmal den Einheitskreis in mathematisch positiver
Richtung umläuft. Ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt? Skizzieren Sie das Vektorfeld f~.
Geben Sie drei Begründungen an, warum f~ kein Potential besitzt.