Der Museumswächter

Katharina Knoke
18. Januar 2015
Der Museumswächter
Proseminar: Beweise aus Dem Buch
Problem
Nehmen wir an, der Manager eines Museums will sicher gehen, dass jeder Punkt seines Museums im Blickfeld
eines Aufsehers liegt. Die Wächter werden an festen Stellen positioniert, aber sie dürfen sich drehen. Wie viele
Wächter braucht man?
Denitionen
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Polygon
P:
geschlossene gebildete Figur aus den Strecken/Seiten
p1 p2 , p2 p3 ,
...,
pn p1 ;
für
N 3 n ≥ 3, p
paarweise versch. Punkte der Ebene (aches 2-dim Obj.)
Konvexes
P : ∀x, y ∈ P
beliebigen Punkten aus
und
P
λ ∈ R, 0 ≤ λ ≤ 1: λx + (1 − λ)y ∈ P ,
P
liegen in
d.h. alle Verbindungslinien zw. 2
°
Konvexe Ecke: Innenwinkel einer solchen Ecke ist kleiner als 180
Polygonzug: Vereinigung der Strecken
(V, E)
Ebener Graph: Tupel
p1 p2 ∪ p2 p3 ∪ . . . ∪ pm−1 pm
mit folgenden Eigenschaften:
V besteht aus paarweise disjunkten Punkten des R2
Jede Kante ist ein Polygonzug, der 2 Ecken miteinander verbindet
Die Kanten schneiden sich nie und berühren sich nur in den Ecken
Idee
Stellen uns den Grundriss des Museums als ein Polygon
P
(mit
n=
Seiten des
P)
vor.
Beispiele
Abbildung 1: Konvexes Polygon
genügt
ein Wächter
Abbildung 2: Kamm mit
n = 3m
m=b
Wächter werden gebraucht
Museumswächtersatz
Satz
.
(Va²ek Chvátal 1975)
Für jedes Museum mit
n Wänden reichen b n3 c Wächter aus.
Beweis (Steve Fisk 1978).
1.
Triangulierung von P
Satz.
(Im Inneren von
P
bildet man Dreiecke durch nichtschneidende Diagonalen)
Für ein ebenes Polygon existiert immer eine Triangulierung.
P
Beweis. (per Induktion über Anzahl der Ecken
Induktionsanfang:
n=3
n):
ist Dreieck, d.h. bereits trianguliert.
Induktionsvoraussetzung: Es gibt eine Triangulierung für ein ebenes Polygon mit weniger als
1
n
Ecken.
n
3c
Katharina Knoke
18. Januar 2015
− 1 → n):
Finde Diagonale d, die das Polygon P in zwei kleinere Teile P1 und P2 zerlegt:
Suche konvexe Ecke A. Es gibt mindestens eine solche Ecke, da Innenwinkelsummensatz von P =
(n − 2) · 180◦
Betrachte Nachbarecken B, C von A.
Erster Fall: BC liegt im Inneren von P
d := BC
Zweiter Fall: BC liegt nicht ganz in P
4ABC enthält weitere Ecken von P . Verschiebe BC parallel
in Richtung A, bis es auf die letzte Ecke Z trit, die in 4ABC liegt. AZ liegt im Inneren von P
d := AZ
Trianguliere P1 und P2 (Induktionsvoraussetzung gilt)
Setze P1 und P2 zusammen
P ist trianguliert
Induktionsschritt (n
ˆ
ˆ
ˆ
Bemerkung. Verallgemeinerung auf 3-dim. Fall ist falsch (Gegenbsp. Schönhardt-Polyeder).
2.
Drei-Färbbarkeit (Zuordnung einer Farbe jeder Ecke des Polygons)
Betrachte Polygon als ebenen Graphen (V
Satz.
=
Museumsecken,
Wände + Diagonalen)
Jede Triangulation eines Polygons ist drei-färbbar.
Beweis. (per Induktion):
n=3
Induktionsanfang:
P
ist Dreieck, somit drei-färbbar.
P
Induktionsvoraussetzung: Jede Triangulation von
Induktionsschritt (n
ˆ
ˆ
ˆ uv
ˆ
P
ˆ
Trianguliere
teilt
P
in
P1
u
und
und
P2
v,
die durch eine Diagonale
mit weniger als
2 besitzen)
P1
n
Ecken ist drei-färbbar.
P
Nach Induktionsvoraussetzung sind
Setze
mit weniger als
− 1 → n):
Wähle zwei Ecken
3.
E=
und
P2
zusammen
P
P1
n
uv
verbunden sind
Ecken
und
P2
dreifärbbar (dabei müssen
u
und
v
dieselbe Farbe in
P1
und
ist drei-färbbar
Schlussfolgerung
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Es gibt
n
Ecken, die in 3 Farben aufgeteilt sind
b n3 c Ecken
Eine dieser Farben (Farbe1) färbt höchstens
In diesen Ecken stellen wir die Wächter auf
Jedes Dreieck enthält Farbe1
Museums überwacht.
Fläche des Dreiecks vollständig überwacht
Grundäche des gesamten
Variation des Museumswächters
ˆ
ˆ
Polygon mit Löchern
b
n
3 c Wächter reichen nicht
Wächter können an einer Wand entlanglaufen. Wie viele Wandwächter braucht man, um das gesamte
Museum zu überwachen?
Abbildung 3: Beispiel mit
Behauptung ohne Beweis (Godfried Toussaint):
b n4 c
n = 4m
Wächter können nötig sein
Literatur
[1] Prof. Dr. Martin Aigner, Prof. Günter M. Ziegler,
Das BUCH der Beweise, 2010.
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