Diskrete Mathematik für Informatiker, WS12/13

Fakultät IV ¨ Mathematik
Hannes Diener
Diskrete Mathematik für Informatiker, WS12/13
Übungsblatt 3, Musterlösungen
Aufgabe 1. Gegeben seien die Mengen A “ t1, 2, 4, 8, 16u, B “ t2, 4, 6, 8, 10u und C “ t1, 3, 7, 15u.
Berechnen Sie die folgenden Mengen:
(a) A Y B und A X B
(b) AzB
(c) A Y pB X Cq
(d) CzpBzAq
(e) pA Y Bq X pA Y Cq
Lösungen:
(a) A Y B “ t1, 2, 4, 6, 8, 10, 16u und A X B “ t2, 4, 8u.
(b) AzB “ t1, 16u
(c) A Y pB X Cq “ A Y tu “ A
(d) CzpBzAq “ Cz t6, 10u “ C
(e) Mit Satz 2.2 das gleiche Ergebnis wie (c).
Aufgabe 2. Finde Gegenbeispiele zu den folgenden Aussagen.
(a) A Y B Ď A X B
(b) A X pB Y Cq “ pA X Bq Y C
(c) A Ď B Y C impliziert, daß A Ď B oder A Ď C.
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Lösung:
(a) Sei A “ H und B “ t1u
(b) Wie (a) und C “ t1u
(c) Sei A “ t1, 2u, B “ t1u und C “ t2u.
Aufgabe 3. Nicht alles, was überzeugend aussieht ist auch richtig! Geben Sie für jede der folgenden
Aussagen Beispiele von Mengen an, für die die Aussage falsch ist.
(a) Aus A Y B “ A Y C folgt, daß B “ C.
(b) Aus A X B “ A X C folgt, daß B “ C.
Lösung:
(a) Sei A “ t1, 2u, B “ t1u und C “ t2u. Dann ist A Y B “ A Y C “ t1, 2u, aber A ‰ B.
(b) Sei A “ H und B und C beliebig mit B ‰ C. Dann ist A X C “ A X B “ H.
Aufgabe 4. Für zwei Mengen A und B ist die symmetrische Differenz A M B definiert durch
A M B “ pA Y Bq z pA X Bq .
(a) Bestimmen Sie A M B für die Mengen aus Aufgabe 1.
(b) Zeigen Sie, daß für alle Mengen A, B gilt A M B “ B M A.
(c) Zeigen Sie, daß für alle Mengen A, B und C gilt folgendes Distributivgesetz:
A X pB M Cq “ pA X Bq M pA X Cq .
(d) Zeigen Sie, daß für alle Mengen A, B gilt, daß A M B “ A genau dann wenn B “ H.
Lösung:
(a) A M B “ pA Y Bq z pA X Bq “ t1, 2, 4, 6, 8, 10, 16u z t2, 4, 8u “ t1, 6, 10, 16u.
(b) Da A Y B “ B Y A und A X B “ B X A.
(c) “Ď” Sei x P A X pB M Cq. D.h. x P A und x P B M C. Also ist x P B Y C aber x R B X C. D.h.
entweder x P B und x R C oder x R B und x P C. Im ersten Fall ist x P A X B aber x R A X C
und damit x P pA X Bq M pA X Cq. Im x P pA X Bq M pA X Cq.
“Ě” Sei x P pAXBq M pAXCq. D.h. x P pAXBqYpAXCq und x R pAXBqXpAXCq “ AXB XC.
Wegen Satz 2.2. heißt das x P A X pB Y Cq, und damit x P A und x P B Y C. Aus x P A und
x R A X B X C folgt, daß x R B X C. Damit ist entweder x R B oder x R C, also x R B X C.
Zusammen ist also x P A und x P pB M Cq, also x P A X pB M Cq.
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(d) Sei zunächst A M B “ A und nehmen wir an es gäbe x P B. Entweder x P A oder x R A. Im
ersten Fall ist x P A X B und also x R A M B “ A; ein Widerspruch. Im zweiten Fall ist x P A Y B
und x R A X B, also x P A M B; ebenfalls ein Widerspruch. Insgesamt muss unsere Annahme daß
es x P B gibt falsch sein. Also B “ H.
Anders herum, wenn B “ H, lässt sich leicht nachrechnen, daß A M H “ pA Y HqzpA X Hq “
AzH “ A.
Aufgabe 5. Sei A “ t1, 2, 3u, B “ t n P N | n ist gerade u und C “ t n P N | n ist ungerade u
(a) Bestimmen Sie A X B, B X C, B Y C und B4C.
(b) Bestimmen Sie alle Teilmengen von A
(c) Welche der folgenden Mengen sind endlich? A4B, A4C, AzC und CzA.
Lösung:
(a) A X B “ t2u, B X C “ H, B Y C “ N und B M C “ N.
(b) PpAq “ tH, t1u, t2u, t3u, t1, 2u, t1, 3u, t2, 3u, t1, 2, 3uu.
(c) A M B “ t1, 3, 4, 6, 8, 10, . . . u, A M C “ t2, 5, 7, 9, 11, . . . u, AzC “ t2u und CzA “ t5, 7, 9, 11, . . . u.
D.h. die einzige unendliche Menge ist AzC.
Aufgabe 6. Beweisen Sie, daß für alle Mengen E, F gilt:
(a) PpEq X PpF q “ PpE X F q.
(b) PpEq Y PpF q Ď PpE Y F q.
(c) Finden Sie außerdem ein Beispiel, daß zeigt, daß Ě in der vorherigen Teilaussage nicht gilt.
Hinweis: Vergessen Sie nicht, daß M P PpAq Ø M Ď A
Lösung:
(a) “Ď”: x P PpEqXPpF q. D.h. x Ď E und x Ď F . Dann ist auch x Ď E XF und damit x P PpE XF q.
“Ě”: Umgekehrt sei x P PpE XF q. D.h. x Ď E XF . Dann ist auch x Ď E und x Ď F , also x P PpEq
und x P PpF q. Zusammen x P PpEq X PpF q.
(b) Sei x P PpEq Y PpF q. Dann ist entweder x Ď E oder x Ď F . In beiden Fällen ist x Ď E Y F , und
also x P PpE Y F q.
(c) Sei E “ t1u und F “ t2u. Dann ist t1, 2u Ď E Y F , also x P PpE Y F q. Allerdings ist t1, 2u weder
Element von E noch von PpF q.
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Aufgabe 7. Zeigen Sie, daß für eine (doppelt indizierte) Mengenfamilie gilt:
¸
¸
˜
˜
č ď
ď č
Ai,j .
Ai,j Ď
iPI
jPJ
jPJ
iPI
Geben Sie außerdem ein Beispiel an, das zeigt, daß die Umkehrung Ě nicht gilt.
¯
Ş
Ť ´Ş
Lösung: Sei x P iPI
A
jPJ Ai0 ,j , was wiederum heißt, daß
jPJ i,j . D.h. es gibt i0 P I mit x P
Ť
Ş
Ť
x P Ai0 ,j für alle j P J. Also ist für alle j P J x P iPI Ai,j . D.h. x P jPJ p iPI Ai,j q.
Für ein Gegenbeispiel für die Gegenrichtung sei I “ J “ N und
#
H falls i “ j
Ai,j “
N sonst.
Ť
Dann
Ş Ťist, egal für welches j P N die Vereinigung iPI
ŞAi,j “ N (da z.B. Aj`1,j Ş“ N).ŞAlso ist
A
“
N.
Für
die
linke
Seite
gilt
allerdings,
daß
i P I jPJ Ai,j “
jPJ Ai,j “ H und also auch
jPJ
iPI i,j
H.
Aufgabe 8.
1
Sei B Ď PpRq eine Menge von Teilmengen von R, induktiv definiert durch:
(a) Für reelle Zahlen x, y mit x ă y sind px, yq P B.
(b) Wenn A P B ist, dann auch A
(c) Sind A1 , A2 , . . . Mengen in B, so ist auch
ď
Ai
nPN
in B.
(Man beachte, daß dies nicht beliebige Vereinigungen, sondern nur solche von Mengenfamilien
sind, die die natürlichen Zahlen als Indexmenge haben.)
Zeigen Sie, daß dann auch die folgenden Mengen Elemente von B sind:
• R und H
• p´8, xq “ tz | z ă xu und px, 8q “ tz | x ă zu für jedes x P R
• txu für jedes x P R
• N und Z
• rx, ys, rx, yq und px, ys für reelle Zahlen x ă y.
1
Diese Aufgabe verwendet die in der Mathematik üblich Schreibweise für Intervalle. Also
px, yq “ tz | x ă z ^ z ă yu
rx, ys “ tz | x ď z ^ z ď yu
und entsprechende Mischformen rx, yq und px, ys.
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Lösung: Beachte, daß wegen (c) auch insbesondere endliche Vereinigungen von Mengen aus B wieder
in B sind.
• R“
Ť
P B, mit Regel (c) und (a). Dann ist aber auch mit (b) H “ R P B.
Ť
Ť
• Ähnlich wie oben: p´8, xq “ nPN px ´ n, xq und px, 8q “ nPN px, x ` nq
nPN p´n, nq
• Da txu “ p´8, xq Y px, 8q
Ť
Ť
• Da N “ nPN tnu mit der vorherigen Aussage. Ähnlich Z “ nPN t´n, 0, nu.
Ť
Ť
• rx, ys “ p´8, xq Y py, 8q. Damit ist auch rx, 8q “ nPN rx, x ` ns P B und p´8, xs “ nPN rx ´
n, xs P B. Schließlich ist rx, yq “ p´8, xq Y ry, 8q P B und px, ys “ p´8, xs Y py, 8q P B
ENDE
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