2. Differentialrechnung

Analysis für die Naturwissenschaften
2. Differentialrechnung
Prof. Dr. Erich Walter Farkas
26.09.2011
Seite 1
Analysis für die Naturwissenschaften
Stetigkeit
f : D(f ) → R ; x0 ∈ D(f )
Definition:
f ist stetig in x0 wenn limx→x0 f (x) = f (x0 )
f ist genau dann stetig in x0 , wenn:
lim f (x) = f (x0 ) = lim f (x)
x↑x0
26.09.2011
x↓x0
2. Differentialrechnung
Seite 2
Analysis für die Naturwissenschaften
Stetigkeit
f ist genau dann stetig an der Stelle x0 , wenn es zu jeder Zahl > 0
eine Zahl δ > 0 gibt, so dass für jede Zahl x ∈ D(f ) mit |x − x0 | < δ
gilt |f (x) − f (x0 )| < .
y
δ
δ
y = f(x)
f (x0 )
f (x)
x
x
x0
Die Graphenpunkte im δ-Streifen um x0 liegen im -Streifen um f (x0 ).
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 3
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel zur Stetigkeit
(
f : R → R ; f (x) = |x| =
y
x,
x≥0
; x0 = 0
−x, x ≤ 0
y = |x|
x
x60
limx↑0 f (x) = limx↑0 |x| = limx↑0 (−x) = limx→0 (−x) = 0 = f (0)
x>0
limx↓0 f (x) = limx↓0 |x| = limx↓0 x = limx→0 x = 0 = f (0)
⇒ f (x) = |x| ist stetig in x0 = 0
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 4
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel zur Stetigkeit
(
f : R → R ; f (x) =
x, x ≥ 0
; x0 = 0
1, x < 0
y
y = f (x)
[
x
x>0
limx↓0 f (x) = limx↓0 x = 0 = f (0)
x<0
limx↑0 f (x) = limx↑0 1 = 1 6= 0 = f (0)
⇒ f (x) ist nicht stetig in x0 = 0
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 5
Analysis für die Naturwissenschaften
Differenzierbarkeit & Ableitung
Es sei f : D(f ) → R eine Funktion (einer Variablen) mit
Definitionsbereich D(f ) ⊆ R und sei x0 ∈ D(f )
f heisst differenzierbar an der Stelle x0 , wenn der Grenzwert
lim
x→xo
f (x) − f (x0 )
x − x0
existiert.
Ist f differenzierbar an der Stelle x0 , so heisst
f 0 (x0 ) := lim
x→xo
f (x) − f (x0 )
x − x0
die Ableitung von f an der Stelle x0 .
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2. Differentialrechnung
Seite 6
Analysis für die Naturwissenschaften
Differenzierbarkeit & Ableitung
D 0 (f ) := {x0 ∈ D(f ) | f differenzierbar in x0 } =
Differenzierbarkeitsbereich von f
f 0 : D 0 (f ) → R , x →
7 f 0 (x) heisst abgeleitete Funktion von f
Kurzsprechweise: f 0 = Ableitung von f .
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 7
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiele von Ableitungen
f (x) = x 3
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
(x − x0 )(x 2 + xx0 + x02 )
x 3 − x03
= lim
x→x0
x − x0
x − x0
= lim (x 2 + xx0 + x02 ) = x02 + x0 x0 + x02 = 3x02
x→x0
Kurzschreibweise: (x 3 )0 = 3x 2
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 8
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiele von Ableitungen
√
x ; (x > 0) ; (x0 > 0)
√
√
√
√
x − x0
x − x0
0
√
f (x0 ) = lim
= lim √
√
√
x→x0
x→x0 ( x −
x − x0
x0 )( x + x0 )
f (x) =
1
1
1
√ = √
= lim √
√ = √
x→x0
x0 + x0
2 x0
x + x0
√
1
Kurzschreibweise: ( x)0 = √ ; (x > 0)
2 x
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2. Differentialrechnung
Seite 9
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiele von Ableitungen
f (x) =
1
; (x 6= 0) ; (x0 6= 0)
x
f 0 (x0 ) = lim
1
x
x→x0
= lim
x→x0
−
1
x0
x − x0
= lim
x→x0
x0 −x
xx0
x − x0
−1
−1
−1
=
= 2
xx0
x0 x0
x0
0
1
−1
Kurzschreibweise:
= 2 ; (x 6= 0)
x
x
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2. Differentialrechnung
Seite 10
Analysis für die Naturwissenschaften
Zum Ableitungsbegriff
f : D(f ) → R ; x0 ∈ D(f )
y
Tangente t
f (x)
f (x) − f (x0 )
s(x)
x − x0
⇐=
x0
·
x
f (x) − f (x0 )
= Steigung der Sekante s(x)
x − x0
⇓ x → x0
f 0 (x0 ) , Steigung der Tangente an Graph (f ) im Punkt (x0 , f (x0 ))
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 11
Analysis für die Naturwissenschaften
Der Differenzialquotient
f : D(f ) → R ; x0 ∈ D(f ) ; x ∈ D(f )
∆f := f (x) − f (x0 ) ; ∆x := x − x0 ; (x 6= x0 )
∆x = Zuwachs des Arguments
∆f = Zuwachs der Funktion
f (x) − f (x0 )
∆f
=
= Zuwachsrate = Differenzenquotient
∆x
x − x0
f 0 (x0 ) = lim∆x→0
Stelle x0 .
f 0 =:
26.09.2011
∆f
df
:=
(x0 ) = Differentialquotient von f an der
∆x
dx
d
df
=
f ; (Leibniz’sche Schreibweise)
dx
dx
2. Differentialrechnung
Seite 12
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel zur Ableitung: Geschwindigkeit
Ein Punkt P(t) bewegt sich längs der s-Achse:
s(t) = Distanz des Punktes P(t) von O zur Zeit t
s(t0 ) = Distanz des Punktes P(t) von O zur Zeit t0
P(t)
O
s(t0 )
s
∆s
s(t)
∆s = s(t) − s(t0 ) = zurückgelegter Weg im Zeitintervall ∆t = t − t0
s(t) − s(t0 )
∆s
=
= (mittlere) Geschwindigkeit im Zeitintervall ∆t
∆t
t − t0
ṡ(t0 ) := lim
∆t→0
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∆s
ds
Ableitung von s
Momentangeschwin=
=
(t0 ) =
an der Stelle t0
digkeit zur Zeit t0
∆t
dt
2. Differentialrechnung
Seite 13
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel zur Geschwindigkeit
Ein Zug ist unterwegs von A nach Z
Abfahrtszeit: t1
Ankunftszeit gemäss Fahrplan: t2
s(t) = zurückgelegter Weg zur Zeit t (t ≥ t1 )
ṡ(t) = Momentangeschwindigkeit zur Zeit t
Gesucht:
Ankunftszeit in Z , wenn vom Zeitpunkt t mit der dort erreichten Momentangeschwindigkeit ṡ(t) konstant weitergefahren
würde
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 14
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel zur Geschwindigkeit - Lösung
D := Distanz von A nach Z
Ta (t) := gesuchte Ankunftszeit
s
D − s(t)
s = s(t)
D
s(t)
0 t1
t
t2
t
Ta (t) − t
Ta (t)
Lösung:
(Ta (t) − t)ṡ(t) = D − s(t) ⇒ Ta (t) =
26.09.2011
2. Differentialrechnung
D − s(t)
+t
ṡ(t)
Seite 15
Analysis für die Naturwissenschaften
Differenzierbarkeitstest
f : D(f ) → R ; x0 ∈ D(f )
Suche Funktionen g(x), h(x) so dass:
g(x) = f (x) für alle x ≤ x0
h(x) = f (x) für alle x ≥ x0
g(x), h(x) differenzierbar in x0
Wenn: g 0 (x0 ) = h0 (x0 )
⇒ f ist differenzierbar in x0 ; f 0 (x0 ) = g 0 (x0 ) = h0 (x0 )
Wenn: g 0 (x0 ) 6= h0 (x0 )
⇒ f ist nicht differenzierbar in x0
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 16
Analysis für die Naturwissenschaften
Nicht differenzierbare Funktion
f : R → R ; f (x) := ln (|x| + 1) ; x0 = 0
Behauptung:
f ist nicht differenzierbar an der Stelle x0 = 0.
Beweis:
(
x,
für x ≥ 0
wegen |x| :=
−x, für x ≤ 0
folgt:
Für alle x ≥ x0 = 0 : f (x) = ln(x + 1) =: h(x)
und
Für alle x ≤ x0 = 0 : f (x) = ln(−x + 1) =: g(x)
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 17
Analysis für die Naturwissenschaften
Nicht differenzierbare Funktion
Beweis (Fortsetzung):
Die Grenzwerte sind gegeben durch:
lim
x↓0
f (x) − f (0) x>0
h(x) − h(0)
= lim
= h0 (0) = ln(x+1)0x=0 =
x↓0
x −0
x −0
1
·1
=1
1+x
x=0
und
lim
x↑0
f (x) − f (0) x60 0
= g (0) = ln(−x + 1)0x=0 =
x −0
1
· (−1)
= −1
1−x
x=0
Daraus folgt:
lim
x↓0
f (x) − f (0)
f (x) − f (0)
6= lim
x↑0
x −0
x −0
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 18
Analysis für die Naturwissenschaften
Stetigkeit ↔ Differenzierbarkeit
f : D(f ) → R ; x0 ∈ D(f )
Behauptung:
f differenzierbar in x0
⇒
f stetig in x0
Beweis:
f differenzierbar in x0
(x0 )
Somit existiert f 0 (x0 ) := limx→x0 f (x)−f
x−x
0
⇒ limx→x0 f (x) − f (x0 ) = limx→x0 f (x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 )
= lim (x−x0 )
= lim (x−x0 ) lim
x→x0
x→x0
x→x0
x − x0
x − x0
= 0 · f 0 (x0 ) = 0 ⇒ Somit: limx→x0 f (x) = f (x0 )
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 19
Analysis für die Naturwissenschaften
Stetigkeit ↔ Differenzierbarkeit
Aber:
f stetig in x0
;
f differenzierbar in x0
Beispiel:
f (x) = |x| ist stetig in x0 = 0
Mit g(x) := −x , h(x) := x gilt aber:
g(x) = f (x) für x ≤ 0 und g 0 (x) = −1
6=
h(x) = f (x) für x ≥ 0 und h0 (x) = 1
Somit ist f (x) = |x| nicht differenzierbar in x0 = 0
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 20
Analysis für die Naturwissenschaften
Stetigkeit ↔ Differenzierbarkeit: ... anschaulich
f : D(f ) → R ; x0 ∈ D(f )
f stetig in x0 ⇔ Graph(f ) springt nicht an der Stelle x0
y
]
(
x0
y = f (x)
f nicht stetig in x0
x
f differenzierbar in x0 ⇔ Graph(f ) nicht geknickt an der Stelle x0
y
f stetig aber nicht differenzierbar in x0
y = f (x)
x0
26.09.2011
x
2. Differentialrechnung
Seite 21
Analysis für die Naturwissenschaften
Ableitungsregeln
f : D(f ) → R ; g : D(g) → R ; x ∈ D0 (f ) ∩ D 0 (g)
Konstantenregel: (c ∈ R)
0
c · f (x) = c · f 0 (x)
Produktregel:
Summenregel:
f (x) + g(x)
0
= f 0 (x) + g 0 (x)
Kettenregel: (g(x) ∈ D0 (f ))
f g(x)
26.09.2011
0
= f 0 g(x) · g 0 (x)
f (x)·g(x)
0
= f 0 (x)·g(x)+f (x)·g 0 (x)
Quotientenregel: (g(x) 6= 0)
f (x)
g(x)
2. Differentialrechnung
0
=
f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x)
g(x)2
Seite 22
Analysis für die Naturwissenschaften
Die Ableitung der wichtigsten Funktionen
Funktion
f (x)
Ableitung
f 0 (x)
Bemerkung
x
1
Wenn x konstant ⇒ f 0 (x) = 0
xn
nx n−1
Gilt für alle n ∈ R , falls x > 0
Gilt für alle n ∈ Z und beliebige x
(für n < 0 muss jedoch x 6= 0 sein)
1
x
−
1
x2
x 6= 0
√
x
1
√
2 x
x>0
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 23
Analysis für die Naturwissenschaften
Die Ableitung der wichtigsten Funktionen
Funktion
f (x)
Ableitung
f 0 (x)
Bemerkung
ex
ex
e = eulersche Zahl
ax
ax · ln(a)
a>0
ln(x)
1
x
x>0
loga (x)
1
x · ln(a)
x>0 , a>0
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 24
Analysis für die Naturwissenschaften
Die Ableitung der wichtigsten Funktionen
Funktion
f (x)
Ableitung
f 0 (x)
sin x
cos x
cos x
− sin x
tan x
1 + tan2 x =
cot x
−(1+cot2 x) = −
26.09.2011
Bemerkung
1
cos2 x
1
sin2 x
2. Differentialrechnung
x 6=
π
+ kπ (k ∈ Z)
2
x 6= kπ (k ∈ Z)
Seite 25
Analysis für die Naturwissenschaften
Die Ableitung der wichtigsten Funktionen
Funktion
f (x)
Ableitung
f 0 (x)
arcsin x
√
arctan x
1
1 + x2
arccos x
1
−√
1 − x2
arccot x
−
26.09.2011
1
1 − x2
Bemerkung
|x| < 1
|x| < 1
1
1 + x2
2. Differentialrechnung
Seite 26
Analysis für die Naturwissenschaften
Intervalle: eigentliche Intervalle
a, b ∈ R ; a < b
offenes Intervall: (a, b) := {x ∈ R | a < x < b}
(
)
a
b
R
abgeschlossenes Intervall: [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
[
]
a
b
R
halboffenes Intervall: (a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}
(
]
a
b
R
I = (a, b) oder I = [a, b] oder I = (a, b] oder I = [a, b)
a, b =: Randpunkte von I
a < x < b ⇔ x = innerer Punkt von I
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 27
Analysis für die Naturwissenschaften
Intervalle: uneigentliche Intervalle
a, b ∈ R ; a < b
(a, ∞) := {x ∈ R | a < x} ; (a ∈ R)
(
R
a
(−∞, b) := {x ∈ R | x < b} ; (b ∈ R)
)
R
b
[a, ∞) := {x ∈ R | a ≤ x} ; (a ∈ R)
[
a
R
(−∞, ∞) := R
R
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 28
Analysis für die Naturwissenschaften
Wachsende und fallende Funktionen
f : D(f ) → R ; D = D(f ) ⊆ R
f heisst wachsend, wenn: f (x1 ) ≤ f (x2 ) für alle x1 , x2 ∈ D mit x1 < x2
y
y = f (x)
f (x1 )
x1
f (x2 )
x
x2
f heisst fallend, wenn: f (x1 ) ≥ f (x2 ) für alle x1 , x2 ∈ D mit x1 < x2
y
f (x1 )
x1
26.09.2011
f (x2 )
x2
y = f (x)
x
2. Differentialrechnung
Seite 29
Analysis für die Naturwissenschaften
Wachstumsverhalten und Ableitung
I = Intervall (I ⊆ R)
f : I → R = differenzierbare Funktion
f 0 (x) ≥ 0 für alle x ∈ I ⇒ f ist auf I wachsend = ”Steigung ≥ 0”
y
y = f (x)
I
x
f 0 (x) ≤ 0 für alle x ∈ I ⇒ f ist auf I fallend = ”Steigung ≤ 0”
y
I
26.09.2011
y = f (x)
x
2. Differentialrechnung
Seite 30
Analysis für die Naturwissenschaften
Krümmungsverhalten und zweite Ableitung
I = Intervall (I ⊆ R)
f : I → R = zweimal diff’bare Funktion (auf I kann man f 00 = (f 0 )0 bilden)
f 00 (x) ≥ 0 für alle x ∈ I ⇒ f beschreibt eine Linkskurve
y
y
y = f (x)
I
y = f (x)
x
I
x
f 00 (x) ≤ 0 für alle x ∈ I ⇒ f beschreibt eine Rechtskurve
y
y
y = f (x)
I
26.09.2011
I
x
2. Differentialrechnung
y = f (x)
x
Seite 31
Analysis für die Naturwissenschaften
Wendepunkte
I = Intervall (I ⊆ R) ; x0 ∈ I (innerer Punkt)
f : I → R = zweimal diff’bare Funktion (auf I kann man f 00 = (f 0 )0 bilden)
f hat in x0 einen Wendepunkt ⇔
f 00 (x0 ) = 0 und f 00 ändert in x0 das Vorzeichen
y
y
y = f (x)
y = f (x)
00
00
f (x) > 0
f (x) < 0
x0
x
f 00 (x) < 0
f 00 (x) > 0
x0
x
, Übergang von Links- zu Rechtskurve oder von Rechts- zu Linkskurve
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 32
Analysis für die Naturwissenschaften
Terrassenpunkt / Sattelpunkt
f hat in x0 einen Terrassenpunkt / Sattelpunkt ⇔
f hat in x0 einen Wendepunkt und f 0 (x0 ) = 0
y
y
y = f (x)
f 00 (x0 ) = 0
x0
26.09.2011
f 00 (x0 ) = 0
x
x0
2. Differentialrechnung
y = f (x)
x
Seite 33
Analysis für die Naturwissenschaften
Absolute Extrema
f : D → R ; D = D(f ) ⊆ R ; x0 , x1 ∈ D
f hat ein absolutes Maximum an der Stelle x0 wenn gilt:
f (x0 ) ≥ f (x) für alle x ∈ D
(f (x0 ) ist ein absolutes Maximum von f )
f hat ein absolutes Minimum an der Stelle x1 wenn gilt:
f (x1 ) ≤ f (x) für alle x ∈ D
(f (x1 ) ist ein absolutes Minimum von f )
y
y = f (x)
f (x0 )
D(f )
x0
26.09.2011
f (x1 )
x1
2. Differentialrechnung
x
Seite 34
Analysis für die Naturwissenschaften
Absolute Extrema
f hat an der Stelle x0 ein absolutes Extremum wenn gilt:


ein absolutes Maximum
f hat an der Stelle x0 oder


ein absolutes Minimum
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 35
Analysis für die Naturwissenschaften
Umgebung
Definition:
Für a ∈ R , ε > 0 heisst
Uε (a) := (a − ε, a + ε) die ε-Umgebung von a
(
a
)
R
Uε (a)
Uε (a) = offenes Intervall mit Mittelpunkt a und der Länge 2ε
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 36
Analysis für die Naturwissenschaften
Relative Extrema
f : D → R ; D = D(f ) ⊆ R ; x0 , x1 ∈ D
f hat ein relatives Maximum an der Stelle x0
wenn es eine ε-Umgebung Uε (x0 ) gibt, so dass:
f (x0 ) ≥ f (x) für alle x ∈ D ∩ Uε (x0 )
f hat ein relatives Minimum an der Stelle x1
wenn es eine ε-Umgebung Uε (x1 ) gibt, so dass:
f (x1 ) ≤ f (x) für alle x ∈ D ∩ Uε (x1 )
(
26.09.2011
x0
Uε (x1 )
y
Uε (x0 )
)
(
2. Differentialrechnung
x1
y = f (x)
)
x
Seite 37
Analysis für die Naturwissenschaften
Relative Extrema
f hat an der Stelle x0 ein relatives Extremum wenn gilt:


ein relatives Maximum
f hat an der Stelle x0 oder


ein relatives Minimum
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 38
Analysis für die Naturwissenschaften
Relative Extrema und Ableitung
I = Intervall (I ⊆ R) ; x0 ∈ I innerer Punkt
f : I → R = differenzierbare Funktion
Hat f an der Stelle x0 ein relatives Extremum, so gilt:
f 0 (x0 ) = 0
⇒ Zum Aufsuchen von relativer Extrema im Innern von I sucht man die
Nullstellen der Ableitung von f .
y
y = f (x)
0
0
f (x0 ) = 0
f (x1 ) = 0
x0
x1
I
26.09.2011
2. Differentialrechnung
x
Seite 39
Analysis für die Naturwissenschaften
Maximum oder Minimum?
I = Intervall (I ⊆ R) ; x0 ∈ I innerer Punkt
f : I → R = differenzierbare Funktion; (f 0 (x0 ) = 0)
Ist f links von x0 wachsend und rechts von x0 fallend, so hat f in
x0 ein relatives Maximum.
y
Gibt es ein ε > 0 so, dass:
wachsend fallend
f 0 (x) > 0 f 0 (x) < 0
f 0 (x) > 0 für alle x ∈ (x0 − ε, x0 )
y = f (x)
und
f 0 (x) < 0 für alle x ∈ (x0 , x0 + ε)
(
)(
x0 − ε
x0
26.09.2011
) x
x0 + ε
so hat f an der Stelle x0
ein relatives Maximum
2. Differentialrechnung
Seite 40
Analysis für die Naturwissenschaften
Maximum oder Minimum?
I = Intervall (I ⊆ R) ; x0 ∈ I innerer Punkt
f : I → R = differenzierbare Funktion; (f 0 (x0 ) = 0)
Ist f links von x0 fallend und rechts von x0 wachsend, so hat f in
x0 ein relatives Minimum.
y
Gibt es ein ε > 0 so, dass:
fallend wachsend
f 0 (x) < 0 f 0 (x) > 0
f 0 (x) < 0 für alle x ∈ (x0 − ε, x0 )
y = f (x)
und
f 0 (x) > 0 für alle x ∈ (x0 , x0 + ε)
(
)(
x0 − ε
x0
26.09.2011
) x
x0 + ε
so hat f an der Stelle x0
ein relatives Minimum
2. Differentialrechnung
Seite 41
Analysis für die Naturwissenschaften
Relative Extrema und zweite Ableitung
I = Intervall (I ⊆ R) ; x0 ∈ I innerer Punkt
f : I → R = zweimal stetig differenzierbare Funktion
y
Rechtskurve
f 0 (x0 ) = 0; f 00 (x0 ) < 0
y = f (x)
x
x0
Gilt f 0 (x0 ) = 0 und verläuft der
Graph von f über x0 als
Rechtskurve,
so hat f an der Stelle x0 ein
relatives Maximum.

f 0 (x0 ) = 0 
und
⇒ f hat in x0 ein relatives Maximum

f 00 (x0 ) < 0
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 42
Analysis für die Naturwissenschaften
Relative Extrema und zweite Ableitung
I = Intervall (I ⊆ R) ; x0 ∈ I innerer Punkt
f : I → R = zweimal stetig differenzierbare Funktion
y
Linkskurve
f 0 (x0 ) = 0; f 00 (x0 ) > 0
y = f (x)
x
x0
Gilt f 0 (x0 ) = 0 und verläuft der
Graph von f über x0 als
Linkskurve,
so hat f an der Stelle x0 ein
relatives Minimum.

f 0 (x0 ) = 0 
und
⇒ f hat in x0 ein relatives Minimum

f 00 (x0 ) > 0
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 43
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel zur Bestimmung von Extrema
f : R → R ; f (x) := x 3 − 12x
Gesucht:
a) Absolute Extrema von f in I = [−3, 3]
b) Absolute Extrema von f in I = (0, 1)
c) Absolute Extrema von f in I = [0, 1]
Lösung: Ableitungen
f 0 (x) = 3x 2 − 12
f 00 (x) := f 0 (x)0 = 6x
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 44
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel zur Bestimmung von Extrema - Lösung
Lösung zu a): I = [−3, 3]
Relatives Extremum im Innern von I ⇒ f 0 (x) = 0; x ∈ (−3, 3)
f 0 (x) = 3x 2 − 12 = 0 ⇒ x = ±2 (∈ (−3, 3))
f 00 (−2) = −12 < 0 ⇒ relatives Maximum in x = −2
Wert des relativen Maximums: f (−2) = 16
f 00 (2) = 12 > 0 ⇒ relatives Minimum in x = 2
Wert des relativen Maximums: f (2) = −16
Funktionswerte am Rand von I: f (−3) = 9 ; f (3) = −9
Fazit:
Absolutes Maximum bei x = −2 : f (−2) = 16
Absolutes Minimum bei x = 2 : f (2) = −16
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 45
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel zur Bestimmung von Extrema - Lösung
Lösung zu b): I = (0, 1)
f 0 (x) 6= 0 für alle x ∈ (0, 1)
⇒ Kein relatives Extremum im Innern von I.
Randpunkte von I sind: 0, 1 ∈
/I
Fazit: f hat in I = (0, 1) kein Extremum
Lösung zu c): I = [0, 1]
f 0 (x) 6= 0 für alle x ∈ (0, 1)
⇒ Kein relatives Extremum im Innern von I.
Funktionswerte am Rand von I: f (0) = 0 ; f (1) = −11
Fazit:
Absolutes Maximum bei x = 0 : f (0) = 0
Absolutes Minimum bei x = 1 : f (1) = −11
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 46
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel zur Kurvendiskussion
f : R → R ; f (x) := (x − 1)ex
Untersuche:
a) Vorzeichen von f
b) Wachstumsverhalten von f
c) Krümmungsverhalten von f
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 47
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel zur Kurvendiskussion - Lösung
Vorzeichen:
f (x) hat immer gleiches Vorzeichen wie (x − 1), da ex > 0
Somit:


< 0
f (x) = 0


>0
26.09.2011
für x < 1
für x = 1
für x > 1
2. Differentialrechnung
Seite 48
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel zur Kurvendiskussion - Lösung
Wachstumsverhalten:
0
f 0 (x) = (x − 1)ex = (x − 1)0 ex + (x − 1)(ex )0 =
= ex + (x − 1)ex = xex
Somit:


< 0
0
f (x) = 0


>0
für x < 0
für x = 0
für x > 0
Fazit:
f (x) fällt für x ∈ (−∞, 0)
f (x) wächst für x ∈ (0, ∞)
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 49
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel zur Kurvendiskussion - Lösung
Krümmungsverhalten:
0
0
f 00 (x) = f 0 (x) = xex = x 0 ex + x(ex )0 = ex + xex =
x
= (1 + x)e
Somit:


< 0 für x < −1
f 00 (x) = 0 für x = −1


> 0 für x > −1
Fazit:
f (x) beschreibt eine Rechtskurve für x < −1
f (x) beschreibt eine Linkskurve für x > −1
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 50
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel zur Kurvendiskussion - Graph
y
y = f (x)
1
-3
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-2
-1
2
2. Differentialrechnung
x
Seite 51
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel: Kürzeste Reisezeit Wasser / Land
Ein Mann befindet sich auf einem Ruderboot im Punkte A und will
möglichst schnell den Punkt B am Ufer erreichen.
Geschwindigkeit zu Wasser: v
Geschwindigkeit zu Lande: w
A
a
O ·
Wasser
X
x
b
B
Land
Gesucht:
Finde den Landepunkt X
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 52
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel: Kürzeste Reisezeit - Lösung
Von der Problemstellung her ist klar, dass 0 ≤ x √
≤b
Die Strecke zu Wasser (AX ) ist gegeben durch: a2 + x 2
Die Strecke zu Lande (XB) ist gegeben durch: b − x
Die totale Reisezeit ist somit:
√
a2 + x 2
b−x
z(x) =
+
v
w
Mit Hilfe der Ableitungsregeln erhält man:
z 0 (x) =
√
1
z 00 (x) =
v
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x
1
√
−
2
2
w
v a +x
a2 + x 2 − x √
x
a2 +x 2
a2 + x 2
2. Differentialrechnung
=
a2
v(a2 + x 2 )(3/2)
Seite 53
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel: Kürzeste Reisezeit - Lösung
Ein relatives Minimum liegt vor wenn z 0 (x0 ) = 0 und z 00 (x0 ) > 0 ,
somit:
z 0 (x0 ) =
x0
va
1
√
= 0 ⇔ x0 = √
−
; (w > v)
w
v a2 + x0 2
w2 − v2
Aus x0 ≤ b folgt: √
va
w 2 −v 2
≤ b ⇔ v ≤ √ bw
2
a +b2
Zudem wissen wir: z 00 (x) =
a2
v(a2 +x 2 )(3/2)
> 0 für alle x.
Lösung:
z(x) hat ein relatives Minimum in x0 = √
va
w 2 −v 2
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2. Differentialrechnung
Seite 54
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel: Kürzeste Reisezeit - Diskussion von z(x)
bw
⇒ x0 < b
v< √
a2 + b 2
bw
v= √
⇒ x0 = b
a2 + b 2
√
bw
< v < w ⇒ x0 > b
a2 + b 2
v ≥ w ⇒ z 0 (x) hat keine Nullstelle
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 55
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel: Grösster Winkel
Auf einem Kirchturm mit der Höhe h steht ein Hahn, mit dem der
Turm eine Gesamthöhe l aufweist.
Du stehst vor dem Turm und versuchst, den Hahn so gut wie möglich
zu fotografieren.
B
A ϕ(x)
l
h
·
O
x
X
Problem:
Wähle x , so dass der Winkel ϕ(x) maximal ist!
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2. Differentialrechnung
Seite 56
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel: Grösster Winkel - Lösung
Aus der Vektorrechnung wissen wir:
−→ −→
XA • XB
hl + x 2
√
=: f (x)
cos ϕ(x) = −→ −→ = √
2
h + x2 l2 + x2
|XA| · |XB|
Aus f (x) := cos ϕ(x) folgt:
−1
ϕ(x) = arccos f (x) ⇒ ϕ0 (x) = q
f 0 (x)
1 − f (x)2
ϕ0 (x0 ) = 0 ⇔ f 0 (x0 ) = 0 ⇒ Nullstellen von f 0 suchen!
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2. Differentialrechnung
Seite 57
Analysis für die Naturwissenschaften
Beispiel: Grösster Winkel - Lösung
√
√
2x h2 + x 2 l 2 + x 2 − (hl + x 2 )( √
0
f (x) =
(h2 +
=x
+ x 2 + √ 2x
l +x 2
√
h2 + x 2 )
=
2(h2 + x 2 )(l 2 + x 2 ) − (hl + x 2 )(l 2 + h2 + 2x 2 )
= ... =
(h2 + x 2 )3/2 (l 2 + x 2 )3/2
= (l − h)2 x
x 2 − hl
(h2
+
x 2 )3/2 (l 2
Lösung:
f 0 (x0 ) = 0 ⇔ x0 = 0 oder x0 =
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√
x
l2
h2 +x 2
x 2 )(l 2 + x 2 )
+ x 2 )3/2
√
hl
2. Differentialrechnung
Seite 58
Analysis für die Naturwissenschaften
Tangentengleichung und Linearisierung
f : D → R ; x0 ∈ D ; f differenzierbar in x0
Gleichung der Tangenten an den Graphen von f im Punkt (x0 , f (x0 )) :
p(x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
y
y = f (x)
lim
f (x) − p(x)
x→x0
f (x) − p(x)
=0
x − x0
y = p(x)
f (x) ≈ p(x) , falls x ≈ x0
⇐=
x0
x
x
(≈ bedeutet ”ungefähr gleich”)
p(x) = Linearisierung von f (x) in x0
⇒ p(x) ist eine lineare Funktion, die f (x) bei x0 gut annähert
26.09.2011
2. Differentialrechnung
Seite 59
Analysis für die Naturwissenschaften
Schnittwinkel von Geraden
Gerade g : p(x) = mx + b , m = Steigung von g
Gerade h : q(x) = nx + c , n = Steigung von q
α = ^(g, h) = Schnittwinkel von g und h
y
h
V
g
S
α
U
m
n
x
1
26.09.2011
−→ −→
−→ −→
SU • SV = |SU| · |SV | · cos α ⇒
−→ −→
(1, m) • (1, n)
SU • SV
⇒
cos α = −→ −→ =
|(1,
m)| · |(1, n)|
|SU| · |SV |
1 + mn
√
cos α = √
1 + m2 1 + n2
g⊥h ⇔ mn = −1
2. Differentialrechnung
Seite 60
Analysis für die Naturwissenschaften
Schnittwinkel von Geraden
Des Weiteren können wir den Tangens von α berechnen:
Wir wissen, dass
sin2 α + cos2 α = 1 und tan α =
sin α
cos α
Daraus folgt:
√
tan α =
q
1 − cos2 α
=
cos α
1−
√
(1+mn)2
(1+m2 )(1+n2 )
1+mn
√
1+m2
tan α =
26.09.2011
1+n2
= ... =
p
(n − m)2
⇒
1 + mn
n−m
1 + mn
2. Differentialrechnung
Seite 61
Analysis für die Naturwissenschaften
Schnittwinkel von Tangenten
f : D(f ) → R ; x0 ∈ D 0 (f ) ; s = Tangente zu f in (x0 , f (x0 ))
g : D(g) → R ; x1 ∈ D 0 (g) ; t = Tangente zu g in (x1 , g(x1 ))
α = ^(s, t) = Schnittwinkel von s und t
y
t
g(x1 )
f (x0 )
s
x
x0
cos α = q
26.09.2011
y = g(x)
α
y = f (x)
x1
1 + f 0 (x0 )g 0 (x1 )
g 0 (x1 ) − f 0 (x0 )
q
⇔ tan α =
1
+ f 0 (x0 )g 0 (x1 )
1 + f 0 (x0 )2 1 + g 0 (x1 )2
2. Differentialrechnung
Seite 62
Analysis für die Naturwissenschaften
Das Differential
f : D → R ; x0 ∈ D ; f differenzierbar in x0 ; x ∈ D
Notation:
∆x = dx = x − x0
∆f = f (x) − f (x0 )
y
Differential von f :
df := p(x) − p(x0 ) = f 0 (x0 )dx
= Differential von f an der Stelle
x0 bezüglich dx.
lim
dx→0
y = f (x)
∆f − df =
f (x) − p(x)
∆f
df
∆f − df
=0
dx
x0
y = p(x)
∆f ≈ df = f 0 (x0 )dx ; für dx ≈ 0
x
dx
⇒ Für kleine Werte von dx nähert df den Funktionszuwachs ∆f an!
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2. Differentialrechnung
Seite 63
Analysis für die Naturwissenschaften
Fehlerfortpflanzung
f : D → R ; x0 ∈ D ; x ∈ D
x0 = wahrer Wert ; x = gemessener Wert
∆x = x − x0 = absoluter Fehler (∆x ≈ 0)
∆f = f (x) − f (x0 ) = absoluter Fehler des Funktionswertes
∆f ≈ df = f 0 (x0 )∆x
(∆x ≈ 0)
Abschätzung des absoluten Fehlers des Funktionswertes:
∆f ≈ f 0 (x0 )∆x ; |∆f | ≈ |f 0 (x0 )||∆x|
Relativer Fehler des Funktionswertes:
0
∆f f 0 (x0 ) absoluter Fehler
≈
|∆x| = x0 f (x0 ) ∆x = f (x0 ) x0 wahrer Wert
f (x0 ) f (x0 ) 26.09.2011
2. Differentialrechnung
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