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Hochschule Hannover
Fakultät II, Abteilung Maschinenbau
Fach: Physik 1 SS11 (Prof. Schrewe)
Klausur SS11
29.06.11
Zeit: 90 min
Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung
1.
Betrachten Sie die gleichmäßig beschleunigte Fahrt eines Motorrades auf einem Kreis mit
einem Radius von 100 m. Das Motorrad startet aus dem Stand. In 36 m und in 49 m Abstand
vom Start befinden sich Lichtschranken. Das Motorrad passiert die beiden Lichtschranken im
zeitlichen Abstand von genau 1,0 s. Der Fahrer beendet den Beschleunigungsvorgang zum
Zeitpunkt, als die Schräglage (Winkel zwischen der Senkrechten und der Hochachse des Motorrades) 50° beträgt. Wie lange dauert die Beschleunigungsphase?
Hinweis: Bei einer stabilen Fahrt mit einem Zweirad verläuft die Resultierende der wirkenden
Kräfte parallel zur Hochachse.
2.
Ein Stück Rohr (Hohlzylinder) rollt von der Dachspitze
(First) eines Hauses zunächst ein schräges Hausdach hinab
und fällt dann vom Rand des Daches entlang einer parabelförmigen Flugbahn auf den Erdboden neben dem Haus. Berechnen Sie die Entfernung des Auftreffpunktes von der
Hauswand unter Verwendung der vereinfachten Geometrie
der Skizze rechts.
Firsthöhe:
H  6,8 m
Traufhöhe:
h  3, 2 m
B  9,6m
Hausbreite:
3.
Für einen Verbrennungsmotor wurden folgende Drehmomentwerte M als Funktion der Motordrehzahl n gemessen:
n / min-1
M / Nm
a.
b.
c.
4.
1000
50
1500
200
2000
500
4000
500
4500
445
4800
260
Berechnen Sie für die in der Tabelle angegebenen Drehzahlwerte die Leistung des Motors.
Skizzieren Sie das Leistungs-Drehzahl-Diagramm zusammen mit dem DrehmomentDrehzahl-Diagramm.
Der Motor ist mit einer Seiltrommel (Radius R  25 cm ) ohne Untersetzung gekoppelt (Masse
von Trommel und Seil können vernachlässigt werden). Die Winde soll schwere Massen in einer Gleitbewegung eine schiefe Ebene (Winkel gegen die Horizontale 45°) hochziehen. Die
Gleitreibungszahl beträgt G  0, 2 . Der Motor soll mit maximaler Leistung von ~210 kW betrieben werden. Wie groß ist die gezogene Masse? Welche Geschwindigkeit hat die Masse auf
der schiefen Ebene?
Eine homogene Kugel mit Radius r und der
Masse m rollt (ohne zu gleiten) aus der Höhe h durch eine Loopingbahn mit Radius R
= 50 cm.
(Beachten Sie die Zeichnung: Der Schwerpunkt der
Kugel bewegt sich auf einem Kreis mit Radius R, der
Radius der Loopingbahn ist R + r. Die Anfangshöhe
h ist der Abstand zwischen dem tiefsten Punkt der
Loopingbahn und dem unteren Kugelrand in der
Ausgangshöhe h.)
Welche Ausgangshöhe h muss die Kugel mindestens haben, damit sie im höchsten Punkt der
Loopingbahn nicht fällt?
Verwenden Sie zur Vereinfachung g = 10 m s-2.
Lösungen:
1.
Das Motorrad startet aus dem Stand: v(t  0)  0 und
s( t  0 )  0 .
1 2
at .
2
Die Lichtschranken sind im Abstand s  s2  s1 positioniert.
s( t ) 
Die Weg-Zeit-Funktion lautet:
Das Motorrad passiert die Lichtschranken im zeitlichen Abstand von t  1 s .
Es gilt:
1
s1  s( t )  a t12
2
(1)
es folgt:
t1 
2 s1
a
(2)
1
2
(3)
s2  s( t1  t )  a  t1  t 
2
Ziel: Aus den Gleichungen (1) und (3) soll die Beschleunigung a bestimmt werden.
1
1
2
Aus (1) und (3) folgt:
s  s2  s1  s( t1  t )  s( t1 )  a  t1  t   a t12
2
2
1
1
s  a  t12  2t1t  t 2   a t12
2
2
1
(4)
s  a t1t  a t 2
2
1
s  2 s1 a  t  a t 2
Einsetzen von Gl. (2) in (4):
(5)
2
1
2
2
Quadrieren der Gl. (5):
 s   a s t 2  a 2 t 4  2 s1 a  t 
4
4a
4 s 2
Umformung liefert:
a 2  2  s  2 s1   
t
t 4
Es gilt ferner:
a1/ 2 
a1/ 2 
2
4
4 s 2
2

s

2
s


s

2
s



1
1
t 2
t 4
t 4
2
4
4 132 m2
2
2
13

2

36
m

13

2

36
m





1s2
1s4
1s4
a1/ 2  170 m s 2  28900m2 s 4  676m2 s 4
a1/ 2  170 m s 2  168 m s 2
Lösung für die Beschleunigung:
a1  2 m s 2
(Lösung a2  338 m s 2 scheidet aus.)
Die Beschleunigungsphase wird beendet, wenn der Winkel  zwischen der Senkrechten und
der Hochachse des Motorrades 50° beträgt.
2
vmax
m
2
F
r  vmax
tan   Zf 
Es gilt:
Fg
m g
g r
mit
FZf Zentrifugalkraft
und
Fg Gewichtskraft
Für die Höchstgeschwindigkeit gilt:
vmax  g  r  tan   10 m s 2 100 m  tan 50
vmax  34,52 m s 1  124,3 km h1
tb 
Beschleunigungszeit:
2.
vmax 34,52 ms 1

 17, 62 s
a
2 ms 2
Geometrie: Der Neigungswinkel  der Dachfläche ergibt sich
aus der Zeichnung.
H  h 2   6,8  3, 2 
Neigungswinkel  gilt:
tan  

B2
9,6 2
tan   0,75
  arctan( 0,75 )  36,87
Dachlänge:
L
 H  h    B / 2
2
2
 6, 0 m
Die Geschwindigkeit des Rohrstücks am unteren Ende des Daches ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz.
1
1
Energieerhaltungssatz:
m g  H  h   m v2  J  2
2
2
Das Rohrstück rollt. Deshalb gilt: v  r   .
Das Massenträgheitsmoment ist: J  k  m r 2 , mit k  1 . Es folgt:
1
1
v2
m g  H  h   m v2   m r 2  2
2
2
r
1
1
g  H  h   v2  v2  v2
2
2
Es folgt:
Geschwindigkeit:
v  g  H  h   10 m s 2  3,6 m  6 m s 1
Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors liegt parallel zur Dachfläche.
Horizontalkomponente von v: vh  vhorizontal  v  cos   6 m s 1  cos 36,87  4,80 m s 1
Vertikalkomponente von v:
vv  vvertikal  v  sin   6 m s 1  sin 36,87  3,60 m s 1
Die Fallbewegung entlang der vertikalen Fallstrecke h ist eine gleichmäßig beschleunigte
Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit vv :
1 2
g t ges  vv t ges ,
2
die Gesamtzeit der Fallbewegung darstellt.
h
wobei t ges
Umformung:
Lösung:
2
t ges
2
t ges
vv
2h
t ges 
g
g
vv
2 h vv2
 

g
g g2
3,6
2  3, 2 3,62
t ges  
s

s  0,3600 s  0,8773 s
10
10
100
t ges ,1  0,5173 s
( t ges ,2  1, 2373 s scheidet aus)
Die horizontale Wegstrecke x, die mit der gleichförmigen Geschwindigkeit vh in der Zeit t ges
zurückgelegt werden kann, beträgt:
x  vh  tges  4,80 m s 1  0,5617 s  2,696 m
3a.
Leistung:
P  M    M  2  n
Bei der Umrechnung von der Drehzahl n in die Winkelgeschwindigkeit  sind die unterschiedlichen Einheiten (1/min für n und 1/s für ) zu beachten.
1000
Beispiel:
 104, 7 s 1
n  1000 min 1 entspricht   2 
60 s
Drehzahl Winkelge- Dreh- Leistung
schwindig- moment
keit

M
P
Nm
1000
1/s
104,7
kW
5
1500
157,1
2000
209,4
4000
418,9
4500
471,2
4800
502,7
n
1/min
50
200
500
500
445
260
31
105
209
210
131
Bei der Drehzahl n  4500 min 1 erreicht der Motor sein Leistungsmaximum:
Pmax  210 kW .
3b.
Leistungs-Drehzahl-Diagramm zusammen mit dem Drehmoment-Drehzahl-Diagramm:
2500
250
2000
200
1500
150
Drehmoment Nm
Leistung kW
1000
500
100
50
0
0
1000
2000
3000
4000
Drehzahl / (1/min)
5000
0
6000
Leistung / kW
Drehmoment / Nm
Drehmoment- und Leistungsverlauf als Funktion der
Motordrehzahl
3c.
Der Motor soll mit einer Leistung von Pmax  210 kW betrieben werden. Aus der Tabelle zum
Aufgabenteil 3a. kann man entnehmen, dass dies einer Drehzahl von nmax  4500 min 1 entspricht. Der maximalen Leistung entspricht ein bestimmtes Drehmoment M max .
M max 
Pmax
max

Pmax
210 kW  60s

2  nmax
2  4500
210000  60
Nm  445 Nm
2  4500
Mit einem Radius von R  0, 25 m an der Seiltrommel erzeugt das Drehmoment
M
445 Nm
M max  445 Nm eine Seilkraft von: Fmax  max 
 1780 N
R
0, 25 m
M max 
Mit dieser Kraft wird die Masse gleichförmig die schiefe Ebene hoch bewegt. Die Gegenkräfte sind die Tangentialkomponente der Gewichtskraft und die Gleitreibungskraft:
Es gilt:
Fmax  m g  sin   G m g  cos 
Fmax  m  g   sin   G  cos  
Masse:
4a.
.
m
Fmax
g   sin   G  cos  
m
1780 N
10 ms   0, 7071  0, 2  0, 7071
2
Ergebnis:
m  210 kg
Geschwindigkeit:
v  max  R  2  n  R  2 
4500
 0, 25 m  117,8 m s 1
60 s
Bedingung für die Kräfte im höchsten Punkt der Loopingbahn: Zentrifugalkraft ist größer
v2
FZf  m  m g  Fg
gleich der Gewichtskraft:
R
2
Für die Mindestgeschwindigkeit gilt: vmin  R g
Energieerhaltungssatz:
trans
rot
E pot h  Ekin
 Ekin
 E pot 2R 
Für die kleinsten Höhe hmin gilt:
m g hmin 
1
1
2
2
m vmin
 J  min
 m g 2 R 
2
2
vmin  r  min
2
vmin
Rg
v2
Rg
2
 min
 min
 2
2
r
r
2
und Massenträgheitsmoment:
(homogene Kugel)
J  m R2
5
1
12
Rg
erhält man:
m g hmin  m  R g    m r 2  2  m g  2R 
2
25
 r
1
1
27
Kürze m und g:
hmin  R  R  2 R 
R
2
5
10
27
27
Ergebnis:
hmin 
 0,5 m 
m  1,35m
10
20
Die Ausgangshöhe muss größer als hmin  1,35 m sein.
Rollbedingung (ohne Gleiten):
Durch Einsetzen von