Luise Berkel, 07.01.2013

Stundenprotokoll im Fach Physik
Thema: Gravitationsgesetz
Protokollantin: Luise Berkel
Datum: 7.Januar 2013
Raum: PS 2
In der Physik gibt es zwei verschiedene Formen der Herleitung: die deduktive und die induktive
Methode.
Deduktive Methode
aus bekannten Voraussetzungen wird ein neuer Zusammenhang (theoretisch, mathematisch)
hergeleitet.
Induktive Methode
aus Experimenten werden physikalische Zusammenhänge abgeleitet.
Gravitationsgesetz ( Newton'sche Mondrechnung)
Thema der Stunde war die Herleitung des Gravitationsgesetzes am Beispiel von Mond und Erde.
Die Idee ist, dass die Gravitationskraft auf dem Mond der Radialkraft auf die Mondumlaufbahn
entspricht:
FG
= Gravitationskraft auf dem Mond
= FR
= Radialkraft auf der Mondumlaufbahn
Für die Radialbeschleunigung des Mondes gilt folgender Zusammenhang:
𝑎𝑟 = 𝜔 2 𝑟
Wobei 𝜔 die Winkelgeschwindigkeit des Modes ist und Radius 𝑟 der Umlaufbahn des Mondes um
die Erde. Die Winkelgeschwindigkeit lässt sich aus der Umlaufzeit 𝑇 des Mondes um die Erde
berechnen. Der Zusammenhang lautet
𝜔=
2𝜋
𝑇
Die Umlaufzeit kann gemessen werden und beträgt
𝑇 = 27,32 𝑑 = 27,32 ∙ 24 ∙ 60 ∙ 60 𝑠 = 2,36 ∙ 106 𝑠
Der Radius der Mondumlaufbahn beträgt
𝑟 = 3,84 ∙ 108 𝑚
Daraus ergibt sich für die Radialbeschleunigung des Mondes
2𝜋 2
4𝜋 2 3,84 ∙ 108 𝑚
𝑚
2
𝑎𝑟 = 𝜔 𝑟 = ( ) 𝑟 =
= 2,72 ∙ 10−3
6
2
(2,36 ∙ 10 𝑠)
𝑇
𝑠
Die Radialbeschleunigung der Erde aR entspricht der Erdbeschleunigung 𝑔. In der folgenden
Rechnung wird der Erdradius benötigt. Er kann aus dem Erdumfang berechnet werden:
𝑅=
40 000 𝑘𝑚
= 6 400 𝑘𝑚
2𝜋
Bei dem Vergleich des Quotienten aus Erdbeschleunigung und Radialbeschleunigung des Mondes
mit dem Quotienten aus dem Radius der Erdumlaufbahn und dem Erdradius fällt ein quadrarischer
Zusammenhang auf.
𝑎𝑅
9,81
=
≈ 3600
𝑎𝑟
2,72 ∙ 10−3
𝑟
3,84 ∙ 108
=
≈ 60
𝑅
6,4 ∙ 106
602 = 3600
Daraus folgt
𝑟2
𝑎𝑅
=
2
𝑅
𝑎𝑟
Oder anders ausgedrückt die Radialbeschleunigung des Mondes ist proportional zu
𝑎𝑟 ~
1
𝑟2
.
1
𝑟2
Weiterhin lässt sich eine Massenabhängigkeit der Gravitationskraft von der Masse feststellen. Für
die Kraft der Erde auf den Mond gilt
𝐹𝑀 ~ 𝑚1 𝑎𝑅
Für die Kraft des Mondes auf die Erde gilt
𝐹𝐸 ~ 𝑚2 𝑎𝑟
𝑚1 ist hier die Masse des Mondes und 𝑚2 ist die Masse der Erde.
Fügt man die bisher erkannten Proportionalitäten zusammen ergibt sich folgender Zusammenhang
für die Gravitationskraft 𝐹𝐺
𝐹𝐺 ~
𝑚1 𝑚2
𝑟2
𝑚
Die Proportionalitätskonstante lautet 𝛾 = 6,672 ∙ 10−11 𝑘𝑔 𝑠2 .
Das Gravitationsgesetz lautet damit
𝐹𝐺 = 𝛾
𝑚1 𝑚2
𝑟2
Beispiel
Berechne die Gravitationskraft zwischen 2 Massen (𝑚1 = 50𝑘𝑔, 𝑚2 = 75 𝑘𝑔), die 1 m
voneinander entfernt sind.
Gesucht: 𝐹𝐺
Gegeben: 𝑚1 = 50 𝑘𝑔, 𝑚2 = 75 𝑘𝑔, 𝑟 = 1 𝑚
𝑚3
Lösung: 𝐹𝐺 = 6,672 ∙ 10−11 𝑘𝑔 𝑠2 ∙
50 𝑘𝑔 ∙75 𝑘𝑔
1 𝑚2
= 0,25 ∙ 10−6 𝑁