2. Stegreifaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise Gruppe A

1 Extemporale
Klasse 9a
(v0.01 29.10.08)
Deutschherren-Gymnasium Aichach
Schuljahr 2008/2009
2. Stegreifaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise
Gruppe A
Aufgabe 1
(a) Mit der Anwendung der binomischen Formeln lässt sich der
Term recht schnell vereinfachen:
√
√
√
√
( 2 + x) · (x − 2) − (x − 4)2 = (x + 2) · (x − 2) − (x − 4)2
= x2 − 2 − (x2 − 8x + 16)
= x2 − 2 − x2 + 8x − 16
= 8x − 18 = 2 · (4x − 9)
(5 Punkte)
(b) Die Wurzel lässt sich unter Ausnutzung der 1. binomischen Formel vereinfachen. (Vergleiche die Beispiele im Heft). Man achte darauf, dass (nach Umformung) der Radikand ein quadratischer Ausdruck ist, entsprechend erhält
man nach dem Wurzelziehen den
Betrag
des zu quadrierenden Ausdrucks
(denn durch das Quadrieren verschwindet das Vorzeichen):
2 s
2
4
1
1
1
1
4a2 + a + = (2a)2 + 2 · 2a · +
=
2a +
3
9
3
3
3
1
= 2a + 3
r
s
(3 Punkte)
Aufgabe 2
(a) Um den Nenner rational zu machen, muss man die 3.binomische
√
3 7 − 7 erweitern:
√
√
√
√
√
2 7
2 7 · (3 7 − 7)
6·7−2·7· 7 6−2 7
√
√
= √
=
=
9·7−7·7
9−7
3 7 + 7 (3 7 + 7) · (3 7 − 7)
√
= 3 − 7.
Formel anwenden, also mit
(5 Punkte)
(b) Wie im Hinweis angegeben, untersuche man, für welche Zahlen die Gleichung
p
√
(9 − x)2 = ( 9 − x)2
deniert ist. Die linke Seite ist für alle
x
deniert (durch das Quadrieren
steht auf keinen Fall eine negative Zahl unter der Wurzel). Die rechte Seite
1 Extemporale
(v0.01 29.10.08)
ist dagegen nur für
Klasse 9a
Deutschherren-Gymnasium Aichach
Schuljahr 2008/2009
x ≤ 9 deniert, für alle anderen Zahlen wäre der Radikand
negativ.
Die Aussage ist also richtig für alle Zahlen
x ≤ 9, da dann nur positive Zahlen
unter der Wurzel stehen und in diesem Fall Wurzelziehen und Quadrieren
vertauschbar sind.
(2 Punkte)
1 Extemporale
Klasse 9a
(v0.01 29.10.08)
Deutschherren-Gymnasium Aichach
Schuljahr 2008/2009
Gruppe B
Aufgabe 3
(a) Mit der Anwendung der binomischen Formeln lässt sich der
Term recht schnell vereinfachen:
√
√
√
√
( 3 + u) · (u − 3) − (u − 3)2 = (u + 3) · (u − 3) − (u − 3)2
= u2 − 3 − (u2 − 6u + 9)
= u2 − 3 − u2 + 6u − 9
= 6u − 12 = 6 · (u − 2)
(5 Punkte)
(b) Die Wurzel lässt sich unter Ausnutzung der 1. binomischen Formel vereinfachen. (Vergleiche die Beispiele im Heft). Man achte darauf, dass (nach Umformung) der Radikand ein quadratischer Ausdruck ist, entsprechend erhält
man nach dem Wurzelziehen den
Betrag
des zu quadrierenden Ausdrucks
(denn durch das Quadrieren verschwindet das Vorzeichen):
s
2 s
2
6
1
1
1
1
9b2 + + b +
= (3b)2 + 2 · 3b · +
=
3b +
5
25
5
5
5
1
= 3b + 5
r
(3 Punkte)
Aufgabe 4
(a) Um den Nenner rational zu machen, muss man die 3.binomische
√
2 5 − 5 erweitern:
√
√
√
√
√
3 5
3 5 · (2 5 − 5)
6·5−3·5· 5 6−3 5
√
√
= √
=
=
4·5−5·5
4−5
2 5 + 5 (2 5 + 5) · (2 5 − 5)
√
= −6 + 3 5.
Formel anwenden, also mit
(5 Punkte)
(b) Wie im Hinweis angegeben, untersuche man, für welche Zahlen die Gleichung
p
√
(x − 4)2 = ( x − 4)2
deniert ist. Die linke Seite ist für alle
x
deniert (durch das Quadrieren
steht auf keinen Fall eine negative Zahl unter der Wurzel). Die rechte Seite
ist dagegen nur für
negativ.
x ≥ 4 deniert, für alle anderen Zahlen wäre der Radikand
1 Extemporale
(v0.01 29.10.08)
Klasse 9a
Deutschherren-Gymnasium Aichach
Die Aussage ist also richtig für alle Zahlen
Schuljahr 2008/2009
x ≥ 4, da dann nur positive Zahlen
unter der Wurzel stehen und in diesem Fall Wurzelziehen und Quadrieren
vertauschbar sind.
(2 Punkte)
1 Extemporale
Klasse 9a
(v0.01 29.10.08)
Punkteschlüssel:
Punkte
Note
1315
1
10,512,5
2
8,510
3
68
4
35,5
5
03
6
Deutschherren-Gymnasium Aichach
Schuljahr 2008/2009