Q - Ing. Johannes Wandinger

2. Lagrange-Gleichungen
●
●
●
Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die
Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach
aufstellen.
Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die
Lagrange-Gleichungen herleiten, mit denen sich das Aufstellen der Bewegungsgleichungen weiter vereinfacht.
Besonders einfach werden die Lagrange-Gleichungen für
konservative Systeme. Konservative Systeme sind Systeme, bei denen alle eingeprägten Kräfte konservativ sind.
Prof. Dr. Wandinger
5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-1
2. Lagrange-Gleichungen
2.1 Lagrange-Gleichungen für allgemeine Systeme
2.2 Lagrange-Gleichungen für konservative Systeme
2.3 Beispiel: Federpendel
2.4 Beispiel: Hallenkran
Prof. Dr. Wandinger
5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-2
2.1 Allgemeine Systeme
●
Verallgemeinerte Koordinaten:
–
Bei einem System von n Massenpunkten wird die Lage der
Massenpunkte durch n Ortsvektoren ri beschrieben.
–
Wenn das System f Freiheitsgrade hat, dann sind die n
Ortsvektoren Funktionen von f unabhängigen verallgemeinerten Koordinaten qj : r i =r i q 1 , , q f  , i=1, , n
–
Für die virtuellen Geschwindigkeiten gelten die linearisierten
Beziehungen
∂ ri
∂ri
∂ ri
 ṙ i =
 q̇1
 q̇ f =∑
 q̇ j , i=1, , n
∂ q1
∂q f
j ∂q j
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-3
2.1 Allgemeine Systeme
●
Virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte:
–
Für die virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte gilt:
∂ri
e  ∂ r i
 P=∑ F ⋅ ṙ i =∑ F ⋅∑
 q̇ j =∑ ∑ F i ⋅
 q̇ j
∂qj
i
i
j ∂q j
i
j
e
i
–
–
e 
i
Die Reihenfolge der Summation darf vertauscht werden:
e  ∂ r i
 P=∑ ∑ F i ⋅
 q̇ j
∂qj
j
i
e  ∂ r i
Mit den verallgemeinerten Kräften Q j =∑ F i ⋅
∂qj
i
folgt:  P=∑ Q j  q̇ j
j
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-4
2.1 Allgemeine Systeme
–
Beispiel: Pendel
x
r =R  sin  e x cos e z 
φ
R
∂r
=R  cos e x −sin  e z 
∂
mg
F =mg e z
e 
z
∂r
Q  = F e ⋅ =mg e z⋅R  cos  e x −sin  e z =−mg R sin 
∂
 P=Q   ̇=−mg R sin  ̇
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-5
2.1 Allgemeine Systeme
●
Virtuelle Leistung der Trägheitskräfte:
–
–
Für die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte gilt:
∂ ri
 PT =−∑ mi r̈ i⋅ ṙ i =−∑ mi r̈ i⋅∑
 q̇ j
i
i
j ∂q j
∂ ri
∂ ri
=−∑ ∑ mi r̈ i⋅
 q̇ j =−∑ ∑ mi r̈ i⋅
 q̇ j
∂q j
∂q j
i
j
j
i
∂ ri
∂ ri
∂ ṙ i
d
ṙ i⋅
= r̈ i⋅
 ṙ i⋅
Wegen
dt
∂qj
∂q j
∂qj

gilt:
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
∂ri
∂ ri
∂ ṙ i
d
m i r̈ i⋅
=m i
ṙ i⋅
−m i r˙i⋅
∂q j
dt
∂qj
∂qj


5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-6
2.1 Allgemeine Systeme
–
Aus
r i =r i q 1 , , q f  , i=1, , n
folgt:
∂ ri
∂ ri
∂ ri
ṙ i =
q̇1
q̇ f =∑
q̇ j
∂ q1
∂q f
j ∂q j
–
Ableiten nach q̇ j führt auf
–
Damit gilt:
∂ ṙ i ∂ r i
=
∂ q̇ j ∂ q j
∂ri
∂ ri
∂ ṙ i d
∂ ṙ i
∂ ṙ i
d
mi r̈ i⋅
=mi
ṙ i⋅
−mi r˙i⋅
= mi ṙ i⋅
−mi r˙ i⋅
∂q j
dt
∂qj
∂ q j dt
∂ q̇ j
∂qj

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
5. Prinzipien der Mechanik


Dynamik 2 5.2-7
2.1 Allgemeine Systeme
–
Wegen
∂ m ṙ ⋅ṙ =m ∂ ṙ i ⋅ṙ m ṙ ⋅ ∂ ṙ i =2 m ṙ ⋅ ∂ ṙ i

 i ∂ q̇ i i i ∂ q̇
i i
∂ q̇ j i i i
∂ q̇ j
j
j
∂ m ṙ ⋅ṙ =m ∂ ṙ i ⋅ṙ m ṙ ⋅ ∂ ṙ i =2 m ṙ ⋅ ∂ ṙ i

i i
i
i
i i
i i
∂qj
∂qj i
∂qj
∂q j
gilt:
–
∂ri d ∂ 1
1
2
∂
mi r̈ i⋅
=
mi ṙ i −
mi r˙ i 2
∂ q j dt ∂ q̇ j 2
∂q j 2
[  ] 

Für die kinetische Energie eines Massenpunktes gilt:
1
1
2
2
T i = mi v i = mi ṙ i
2
2
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-8
2.1 Allgemeine Systeme
–
Damit gilt für die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte:
∂ ri
d ∂T i ∂T i
 PT =−∑ ∑ mi r̈ i⋅
 q̇ j =−∑ ∑
−
 q̇ j
∂q j
dt ∂ q̇ j ∂q j
j
i
j
i

–

Mit der kinetischen Energie T =∑ T i des Gesamtsystems
i
folgt:
 P T =−∑
j
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d ∂T
∂T
−
 q̇ j
dt ∂ q̇ j ∂ q j
[   ]
5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-9
2.1 Allgemeine Systeme
●
Prinzip der virtuellen Leistung:
–
Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung  P PT =0
folgt damit:
d ∂T
∂T
Q
−

∑j j dt ∂ q̇ ∂ q  q̇ j =0
j
j
[
–
  ]
Da die virtuellen Geschwindigkeiten unabhängig voneinander sind und das Prinzip der virtuellen Leistung für beliebige virtuelle Geschwindigkeiten gilt, muss jeder Summand
für sich verschwinden.
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-10
2.1 Allgemeine Systeme
●
Ergebnis:
–
Das Prinzip der virtuellen Leistung muss für beliebige virtuelle Geschwindigkeiten gelten.
–
Da die virtuellen Geschwindigkeiten unabhängig voneinander sind, müssen die folgenden f Gleichungen erfüllt sein:
d ∂T
∂T
−
=Q j , j=1, , f
dt ∂ q̇ j ∂q j
 
–
Diese Gleichungen werden als Lagrangesche Gleichungen
2. Art bezeichnet.
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-11
2.1 Allgemeine Systeme
●
Beispiel: Pendel
1
T = m  ẋ 2 ż 2 
2
–
Kinetische Energie:
–
Mit der verallgemeinerten Koordinate φ gilt:
1
ẋ =R ̇ cos  , ż=−R ̇ sin   T = m R 2 ̇2
2
Ableitungen der kinetischen Energie:
–
∂T
d ∂T
∂T
=m R 2 ̇ ,
=m R 2 ̈ ,
=0
∂ ̇
dt ∂ ̇
∂
–
Bewegungsgleichung:
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m R 2 ̈=Q =−mg R sin 
5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-12
2.2 Konservative Systeme
●
Konservative Systeme:
–
Ein System heisst konservativ, wenn alle eingeprägten
Kräfte konservativ sind.
–
Eine Kraft heißt konservativ, wenn die Arbeit, die sie an
einem Massenpunkt verrichtet, nur vom Anfangs- und
Endpunkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt
beschreibt, aber unabhängig von der Bahnkurve ist.
C2
W 12=∫ F⋅d r=∫ F⋅d r
C1
P2
C2
C1
P1
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-13
2.2 Konservative Systeme
–
Die Gewichtskraft ist eine
konservative Kraft:
z
–
Die Kraft einer linear
elastischen Feder ist
eine konservative Kraft:
P2
C2
r
C1
y
P1
s1
s2
G
F
x
W G =−mg  z 2 −z 1 
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5. Prinzipien der Mechanik
1 2 2
W F =− c  s 2 −s1 
2
Dynamik 2 5.2-14
2.2 Konservative Systeme
●
Potenzial:
–
Der Wert des Potenzials einer konservativen Kraft an einem
Ort P ist gleich dem Wert der Arbeit, den die Kraft an einem
Massenpunkt verrichtet, wenn er vom Ort P an einen festen
Bezugspunkt P0 verschoben wird:
P
V  P=W 0=∫ F⋅d r
C0
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5. Prinzipien der Mechanik
P0
C0
Dynamik 2 5.2-15
2.2 Konservative Systeme
–
Potenzial der Gewichtskraft:
●
–
Wird der Bezugspunkt bei z = 0 gewählt, dann gilt für
das Potenzial der Gewichtskraft in der Nähe der
Erdoberfläche:
V G  x , y , z =mg z
Potenzial der Federkraft:
●
Wird als Bezugspunkt der unverformte Zustand gewählt, dann
gilt für das Potenzial der Federkraft:
1 2
V F  s= c s
2
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-16
2.2 Konservative Systeme
●
Zusammenhang zwischen Kraft und Potenzial:
–
Für eine infinitesimale Änderung des Ortes gilt:
V  xdx , ydy , zdz =V  x , y , z dV
∂V
∂V
∂V
=V  x , y , z 
dx
dy
dz
∂x
∂y
∂z
∂V
∂V
∂V
 dV =
dx
dy
dz
∂x
∂y
∂z
–
Auf dem Weg vom Punkt mit den Koordinaten (x, y, z) an
den Punkt mit den Koordinaten (x+dx, y+dy, z+dz) verrichtet die Kraft die Arbeit
dW = F⋅d r=F x dx F y dyF z dz
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-17
2.2 Konservative Systeme
–
Aus dV =−dW folgt:
–
Die Kraft ist gleich dem negativen Gradienten des
Potentials.
∂V G
=−mg
Schwerkraft: V G  x , y , z =mg z  G z =−
∂z
∂V F
1 2
Federkraft:
V F  s= c s  F s =−
=−c s
2
∂s
–
–
Prof. Dr. Wandinger
∂V
∂x
∂V
∂V
F y =−
 F =−
∂y
∂r
∂V
F z =−
∂z
F x =−
5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-18
2.2 Konservative Systeme
●
Systeme von Massenpunkten:
–
Für ein System von Massenpunkten ist die potenzielle
Energie gleich der Summe der potenziellen Energien der
Massenpunkte:
V  r 1 , , r n =∑ V i  r i 
i
–
–
Für die Kraft auf einen Massenpunkt folgt:
∂V i
∂V
e 
F i =−
=−
∂ri
∂ ri
Damit gilt für die verallgemeinerten Kräfte:
∂ ri
∂V ∂ r i
∂V
Q j =∑ F ⋅
=−∑
⋅
=−
∂qj
∂q j
i
i ∂ ri ∂ q j
e
i
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-19
2.2 Konservative Systeme
–
●
Dabei ist
V q1 ,, q f =V  r 1 q1 ,, q f  ,, r n q1 , , q f  
Lagrangesche Gleichungen für konservative Systeme:
–
Wenn alle eingeprägten Kräfte konservative Kräfte sind,
lauten die Lagrangeschen Gleichungen:
d ∂T
∂T
∂V
d ∂T
−
=−

− ∂  T −V  =0
dt ∂ q̇ j ∂ q j
∂q j
dt ∂ q̇ j ∂q j
 
–
Die Funktion
 
L=T −V
wird als Lagrangesche Funktion bezeichnet.
Prof. Dr. Wandinger
5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-20
2.2 Konservative Systeme
–
Da die potenzielle Energie nicht von den Geschwindigkeiten
abhängt, erfüllt die Lagrangesche Funktion die Gleichungen
d ∂L
∂L
−
=0, j =1, , f
dt ∂ q̇ j ∂ q j
 
–
Das sind die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art für konservative Systeme.
–
Zur Ermittlung der Bewegungsgleichungen müssen nur die
kinetische und die potenzielle Energie berechnet werden.
–
Die Bewegungsgleichungen folgen durch Differenzieren
nach den verallgemeinerten Koordinaten.
Prof. Dr. Wandinger
5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-21
2.2 Konservative Systeme
●
Beispiel: Pendel
x
x =R sin  , z = R cos 
φ
V =−mg z=−mg R cos 
1
L=T −V = m R 2 ̇2 mg R cos 
2
∂L
d ∂L
2
2
=m R ̇ ,
=m R ̈
∂ ̇
dt ∂ ̇
 
∂L
=−mg R sin 
∂
Prof. Dr. Wandinger
R
z
 m R 2 ̈m g R sin =0
5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-22
2.2 Konservative Systeme
●
Systeme mit konservativen und dissipativen Kräfte:
–
Wirken auf ein System konservative und dissipative Kräfte,
dann können die konservativen Kräfte in der LagrangeFunktion berücksichtigt werden.
–
Die Lagrange-Gleichungen enthalten zusätzlich die verallgemeinerten dissipativen Kräfte:
d ∂L
∂L
−
=Q dj  , j =1, , f
dt ∂ q̇ j ∂ q j
 
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-23
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Aufgabenstellung:
–
P
Der abgebildete Schwinger besteht aus
einem Massenpunkt der Masse m und
einer Feder mit der Federkonstanten c.
–
Die augenblickliche Länge der Feder ist
R.
–
Die Länge der Feder im entspannten
Zustand ist R0.
–
Gesucht sind die Bewegungsgleichungen, wenn vorausgesetzt wird,
dass der Schwinger sich nur in der
Ebene bewegt.
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5. Prinzipien der Mechanik
c
R
m
Dynamik 2 5.2-24
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Verallgemeinerte Koordinaten:
–
–
P
Die Lage des Massenpunktes liegt
eindeutig fest, wenn die aktuelle Länge
R der Feder und der Winkel φ gegeben
sind.
Als verallgemeinerte Koordinaten
werden gewählt:
R
q1= , q 2 =
R0
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5. Prinzipien der Mechanik
x
φ
z
R
m
Dynamik 2 5.2-25
2.3 Beispiel: Federpendel
–
Zwischen den verallgemeinerten und den kartesischen Koordinaten besteht der Zusammenhang
x= R sin =R 0 q 1 sin q 2 , z= R cos =R 0 q 1 cos q 2
–
Daraus folgt für die Geschwindigkeit:
v x = ẋ=R 0  q̇ 1 sin q2 q 1 q̇2 cos q 2 
v z = ż=R0  q̇1 cos q 2−q1 q̇ 2 sin q2 
Prof. Dr. Wandinger
5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-26
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Kinetische Energie:
–
Für die kinetische Energie des Massenpunkts gilt:
1
2
2
T q1 ,q 2 , q̇1 , q̇ 2 = m  v x v z 
2
2
2
1
= m R 20 [  q̇1 sin q 2q1 q̇ 2 cos q 2   q̇ 1 cos q 2−q1 q̇ 2 sin q2  ]
2
1
= m R 20  q̇12q12 q̇22 
2
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-27
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Potenzielle Energie:
–
Die potenzielle Energie setzt sich zusammen aus der potenziellen Energie der Federkraft und der potenziellen
Energie der Gewichtskraft.
–
Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Federkraft
wird die entspannte Feder gewählt.
–
Dann gilt für die potenzielle Energie der Federkraft:
2
2
1
1
2
V F q 1 , q 2 = c  R−R 0  = c R 0  q 1−1 
2
2
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-28
2.3 Beispiel: Federpendel
–
Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Gewichtskraft wird Punkt P gewählt.
–
Dann gilt für die potenzielle Energie der Gewichtskraft:
V G q 1 , q 2 =−mg z =−mg R 0 q 1 cos q 2
Prof. Dr. Wandinger
5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-29
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Lagrange-Funktion:
–
Für die Lagrange-Funktion gilt:
Lq1 , q2 , q̇1 , q̇2 =T q1 ,q 2 , q̇1 , q̇2 −V q1 , q2 
V q1 , q2 =V F q1 ,q 2 V G q1 ,q2 
–
Dabei ist
–
Die Lagrange-Funktion ist also gegeben durch
2
1
1
L= m R 20  q̇12q12 q̇22  − c R20  q1−1  mg R0 q1 cos q2
2
2
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-30
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Ableitungen der Lagrange-Funktion:
∂L
d ∂L
2
=m R 0 q̇1 
=m R 20 q̈1
∂ q̇1
dt ∂ q̇1
 
 
∂L
d ∂L
=m R 20 q 12 q̇ 2 
=m R 20  2 q 1 q̇ 1 q̇ 2 q 21 q̈ 2 
∂ q̇ 2
dt ∂ q̇ 2
∂L
2
2
2
=m R 0 q 1 q̇ 2 −c R 0  q 1−1 mg R 0 cos q 2
∂ q1
∂L
=−mg R 0 q 1 sin q 2
∂ q2
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-31
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Lagrange-Gleichungen:
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ q̇1 ∂ q1
 
 m R 20 q̈ 1 −m R 20 q 1 q̇ 22c R 20  q 1−1  −mg R 0 cos q 2=0
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ q̇ 2 ∂ q 2
 
 m R 20  2 q 1 q̇ 1 q̇ 2q 21 q̈ 2  mg R 0 q 1 sin q 2=0
Prof. Dr. Wandinger
5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-32
2.3 Beispiel: Federpendel
–
Die Bewegungsgleichungen lauten also:
c
g
q̈ 1−q 1 q̇   q 1−1  − cos q 2 =0
m
R0
g
q 1 q̈ 22 q̇ 1 q̇ 2 sin q 2 =0
R0
2
2
R=R 0 q 1 , =q 2
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-33
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Spezialfall: Geradlinige Bewegung
–
Für die Anfangsbedingungen q 2 0=0, q̇ 2 0=0 ist
q 2 t =0
eine Lösung der zweiten Bewegungsgleichung.
–
Die erste Bewegungsgleichung lautet dann
c
g
c
c g
q̈ 1  q 1−1 − =0  q̈ 1 q 1= 
m
R0
m
m R0
–
Die statische Lösung dieser Gleichung ist
mg
mg
q 1 s =1
 R s = R 0
c R0
c
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-34
2.3 Beispiel: Federpendel
–
–
–
Rs ist die Länge, die die Feder infolge der Gewichtskraft in
der Ruhelage hat.
c
c g
ẍ  q 1 s  x = 
Mit q 1=q 1 s  x folgt:
m
m R0
c
Daraus folgt: ẍ x=0
m
–
Die Variable x misst die Auslenkung gegenüber der statischen Ruhelage.
–
Sie erfüllt die Schwingungsgleichung eines Einmassenschwingers.
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-35
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Grenzfall: Sehr steife Feder
–
Für c/ m  ∞ folgt aus der ersten Gleichung: q 1  1
–
g
Damit lautet die zweite Gleichung: q̈ 2 sin q 2=0
R0
–
Das ist die Schwingungsgleichung des mathematischen
Pendels.
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-36
2.4 Beispiel: Hallenkran
m1
c
H
m2
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-37
2.4 Beispiel: Hallenkran
●
Berechnungsmodell:
–
–
Der Hallenkran besteht aus einem als starr angenommenen
Träger, auf dem sich die Laufkatze bewegt.
Die Laufkatze hat eine Gesamtmasse m1.
–
Die Elastizität des Antriebs wird durch eine lineare Feder
mit der Federkonstanten c abgebildet.
–
An der Laufkatze hängt an einem dehnstarren masselosen
Seil der Länge H die Traglast der Masse m2.
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-38
2.4 Beispiel: Hallenkran
–
Die Laufkatze läuft auf vier Rädern.
–
Das Massenträgheitsmoment eines jeden Rades um seine
Achse ist J.
–
Jedes Rad hat den Radius R.
J
●
R
Aufgabenstellung:
–
Es sind die Bewegungsgleichungen aufzustellen für den
Fall, dass der Antrieb ausgeschaltet ist.
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-39
2.4 Beispiel: Hallenkran
●
Wahl der Koordinaten:
m1
c
x
m2
φ
z
Prof. Dr. Wandinger
5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-40
2.4 Beispiel: Hallenkran
–
Physikalische Koordinaten:
●
●
●
●
●
Die Position der Laufkatze wird durch die Koordinate x1 beschrieben, die ab der Ruheposition gemessen wird.
In der Ruheposition ist die Feder entspannt.
Die Stellung der Räder wird durch den Winkel φ beschrieben,
der ab der Stellung der Räder in der Ruheposition gemessen
wird.
Es wird angenommen, dass die Räder rollen. Daher haben
alle Räder den gleichen Winkel φ.
Die Position der Traglast wird durch die Koordinaten x2 und z2
beschrieben.
Prof. Dr. Wandinger
5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-41
2.4 Beispiel: Hallenkran
–
Zwangsbedingungen:
●
Die Räder der Laufkatze rollen, ohne zu gleiten. Daher gilt:
ẋ 1
ẋ 1=R ̇  ̇=
R
●
Die Länge des Seils ist konstant:
2
2
 x 2 −x 1  z 2= H
ẋ 1
2
R
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5. Prinzipien der Mechanik
̇
Dynamik 2 5.2-42
2.4 Beispiel: Hallenkran
–
Verallgemeinerte Koordinaten:
●
●
–
Das System hat 2 Freiheitsgrade.
Als verallgemeinerte Koordinaten werden die Position x1 der
Laufkatze und der Winkel ψ,
der die Lage der Traglast
beschreibt, gewählt.
Zusammenhang zwischen den
Koordinaten:
x 2= x 1H sin  , z 2=H cos 
x1
x
ψ
z
 ẋ 2= ẋ 1 ̇ H cos  , ż 2=−̇ H sin 
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-43
2.4 Beispiel: Hallenkran
●
Kinetische Energie:
–
Die kinetische Energie setzt sich zusammen aus der translatorischen kinetischen Energie der Laufkatze, der rotatorischen kinetischen Energie der vier Räder und der kinetischen Energie der Traglast.
–
Translatorische kinetische Energie der Laufkatze:
1
2
T 1 T = m1 ẋ 1
2
Kinetische Energie der vier Räder:
1 ˙2
J 2
T 1 R=4⋅ J  =2 2 ẋ 1
2
R
–
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-44
2.4 Beispiel: Hallenkran
–
Kinetische Energie der Traglast:
2
1
1
2
2
2
2
2
T 2 = m 2  ẋ 2 ż 2 = m 2 [  ẋ 1H ̇ cos   ̇ H sin  ]
2
2
1
= m 2  ẋ 21 2 ẋ 1 ̇ H cos  H 2 ̇2 
2
–
Gesamte kinetische Energie:
T =T 1 T T 1 R T 2
1
J 2 1
2 2
=  m 1m 2 2 2 ẋ 1  m 2  H ̇ 2 ẋ 1 H ̇ cos  
2
2
R
[
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]
5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-45
2.4 Beispiel: Hallenkran
●
Potenzielle Energie:
–
Die potenzielle Energie setzt sich zusammen aus der potenziellen Energie der Federkraft und der potenziellen
Energie der Gewichtskraft.
–
Die potenzielle Energie der Federkraft wird ab der Ruhelage, in der die Feder entspannt ist, gemessen. Dann gilt
1 2
V F = c x1
2
Der Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Gewichtskraft wird in den Ursprung des Koordinatensystems
gelegt. Dann gilt:
–
V G =−m 2 g z 2=−m 2 g H cos 
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-46
2.4 Beispiel: Hallenkran
–
●
Gesamte potenzielle Energie:
1 2
V =V F V G = c x 1 −m 2 g H cos 
2
Lagrange-Funktion:
L=T −V
1
J 2 1
2 2
m
m
2
ẋ

m
H
̇ 2 ẋ 1 H ̇ cos  

1
2
1
2
2
2
2
R
1
− c x 21 m 2 g H cos 
2
[
L=
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]
5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-47
2.4 Beispiel: Hallenkran
–
–
2
=m
4
J
/
R
Mit m
folgt:
1
1
1
1
2
2 2
L=  m
m
ẋ

m
H
̇ 2 ẋ 1 H ̇cos 
1
2 1
2
2
2
1 2
− c x 1 m2 g H cos 
2
Ableitungen:
∂L
= m
 1m2  ẋ 1m2 H ̇ cos 
∂ ẋ 1
d ∂L
2
= m
 1m2  ẍ 1m2 H  ̈cos −̇ sin  
dt ∂ ẋ 1
 
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-48
2.4 Beispiel: Hallenkran
∂L
=m 2 H  H ̇ ẋ 1 cos  
∂ ̇
d ∂L
=m 2 H  H ̈ ẍ 1 cos − ẋ 1 ̇ sin  
dt ∂ ̇
 
∂L
∂L
=−c x 1 ,
=−m 2 H  ẋ 1 ̇g  sin 
∂ x1
∂
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-49
2.4 Beispiel: Hallenkran
●
Lagrange-Gleichungen:
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ ẋ 1 ∂ x 1
 
2

 m
m
ẍ
m
H
̈
cos
−
̇
sin  c x 1=0
1
2 1
2
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ ̇1 ∂ 
 
 m 2 H  H ̈ ẍ 1 cos − ẋ 1 ̇ sin   m 2 H  ẋ 1 ̇g  sin =0
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-50
2.4 Beispiel: Hallenkran
–
Die Bewegungsgleichungen lauten also:
2

m
m
ẍ
m
H
̈
cos
−
̇
sin  c x 1 =0
  1 2 1 2
H ̈ ẍ 1 cos g sin =0
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-51
2.4 Beispiel: Hallenkran
●
Grenzfall: Sehr steife Feder
–
Für c  ∞ folgt aus der ersten Gleichung: x 1  0
–
Damit lautet die zweite Gleichung: ̈
–
Das ist die Schwingungsgleichung des mathematischen
Pendels.
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5. Prinzipien der Mechanik
g
sin =0
H
Dynamik 2 5.2-52
2.4 Beispiel: Hallenkran
●
Linearisierung:
–
–
Für kleine Winkel ψ gilt:
cos ≈1, sin ≈ , ̇2 sin ≈ ̇2 ≈0
Damit vereinfachen sich die Bewegungsgleichungen zu
 m 1 m2 
–
ẍ 1  m 2 H
ẍ 1 
H
̈  c
̈  g
x1 = 0
 = 0
Dieses System von zwei gekoppelten homogenen linearen
Differentialgleichungen beschreibt die freien Schwingungen
eines Systems mit zwei Freiheitsgraden.
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-53
2.4 Beispiel: Hallenkran
–
–
–
–
Für den Spezialfall c = 0 folgt aus der ersten Gleichung:
m2 H
ẍ 1 =−
̈
m
 1m 2
 1m 2
g m
Damit lautet die zweite Gleichung: ̈
=0
H m
1
Wenn die Trägheit m
 1 der Laufkatze groß gegenüber der
Masse m 2 der Traglast ist, gilt
m
m2
 1m 2
=1 ≈1
m
m
1
1
Damit ergibt sich die linearisierte Gleichung für das mathematische Pendel:
g
̈ =0
H
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5. Prinzipien der Mechanik
Dynamik 2 5.2-54