Duden WISSEN • ÜBEN • TESTEN 8. Klasse Mathematik 4., aktualisierte Auflage Dudenverlag Berlin 9783411724444 S001-128.indd 1 14.11.16 19:38 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.dnb.de abrufbar. Das Wort Duden ist für den Verlag Bibliographisches Institut GmbH als Marke geschützt. Kein Teil dieses Werkes darf ohne schriftliche Einwilligung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Alle Rechte vorbehalten. Nachdruck, auch auszugsweise, nicht gestattet. © Duden 2017 D C B A Bibliographisches Institut GmbH Mecklenburgische Straße 53, 14197 Berlin Redaktionelle Leitung Constanze Schöder Redaktion Dr. Wiebke Salzmann Autoren Karin Hantschel, Michaela Neumann-Krapp, Timo Witschaß, Dr. Wiebke Salzmann (Klappe) Herstellung Uwe Pahnke Layout Bachmann Design, Weinheim Illustration Carmen Strzelecki Umschlaggestaltung Büroecco, Augsburg; Bachmann Design, Weinheim Umschlagabbildung Selina Bauer, Berlin Satz LemmeDESIGN, Berlin Grafik pro.grafik, Ostfildern Druck und Bindung AZ Druck und Datentechnik GmbH Heisinger Straße 16, 87437 Kempten Printed in Germany ISBN 978-3-411-72444-4 Auch als E-Book erhältlich unter: ISBN 978-3-411-91230-8 www.duden.de 9783411724444 S001-128.indd 2 14.11.16 19:39 Inhaltsverzeichnis 1 Rechnen mit Termen 1.1 Ausmultiplizieren und Ausklammern 5 1.2 Multiplizieren von Summen – binomische Formeln 8 1.3 Terme mithilfe der binomischen Formeln vereinfachen 10 Klassenarbeit 1 – 2 12 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Darstellung von Zuordnungen 16 Funktionen und Funktionsgraphen 20 Lineare Gleichungen 27 Lineare Funktionen 31 Sachaufgaben lösen 34 Klassenarbeit 1 – 3 37 3 Lineare Gleichungssysteme INHALT 2 Zuordnungen und Funktionen 3.1 Grafische Lösungen für LGS 43 3.2 LGS rechnerisch lösen 46 3.3 Sachaufgaben lösen 50 Klassenarbeit 1 – 3 53 4 Wurzeln und quadratische Gleichungen 4.1 Rechnen mit Quadratwurzeln 56 4.2 Darstellen quadratischer Funktionen 61 4.3 Lösen quadratischer Gleichungen 64 Klassenarbeit 1 – 2 67 9783411724444 S001-128.indd 3 14.11.16 19:39 5 Gebrochenrationale Funktionen 5.1 Zeichnen von Funktionsgraphen 69 5.2 Schnittpunkte von Funktionsgraphen bestimmen – Bruchgleichungen lösen 73 Klassenarbeit 1 – 2 76 6 Kreise, Dreiecke und Vierecke 6.1 Berechnungen und Linien am Kreis 79 6.2 Dreiecke und Vierecke am Kreis 83 6.3 Umfang und Flächeninhalt von Dreieck und Viereck 86 Klassenarbeit 1 – 2 90 7 Strahlensätze und Ähnlichkeit INHALT 7.1 Strahlensätze 94 7.2 Ähnlichkeit und zentrische Streckung 99 Klassenarbeit 1 – 2 102 8 Prismen und Zylinder 8.1 Volumenberechnung 105 8.2 Oberflächeninhalt und Netze 110 8.3 Schrägbilder 113 Klassenarbeit 1 – 2 115 9 Zufallsversuche und Wahrscheinlichkeiten 9.1 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 118 9.2 Mehrstufige Zufallsversuche 120 Klassenarbeit 1 – 2 124 Stichwortfinder 127 9783411724444 S001-128.indd 4 14.11.16 19:39 1 Rechnen mit Termen 1.1 Ausmultiplizieren und Ausklammern Ein Term besteht aus sinnvoll zusammengesetzten Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Variablen stehen in Termen meist als Platzhalter für Zahlen. Beispiele für Terme: 7 __ 12 y – 3,5 a 5 · a + 3 Dies sind keine Terme: 12 + ( 3x = 3x __ 12 a : – x · Als Variablen werden Buchstaben wie x, y, z verwendet. Ausmultiplizieren 3 (2a + 5x) · · = 3 · 2a = 6a + 3 · 5x + 15x WISSEN Man multipliziert eine Summe (Differenz) mit einem Faktor, indem man jedes Glied der Summe (Differenz) mit dem Faktor multipliziert und die Ergebnisse der Multiplikationen addiert (subtrahiert). (4m – 3n) 2a = 4m · 2a – 3n · 2a · = 8am – 6an · Ausklammern Gehe folgendermaßen vor: 1. Finde einen gemeinsamen Teiler. 2. Zerlege die Produkte der Variablen in Faktoren und bestimme die gemeinsamen Faktoren. 3. Schreibe alle gemeinsamen Faktoren vor die Klammer. Beachte, dass sich auch der Term in der Klammer entsprechend verändert! a · b + a · c = a · (b + c) a · b – a · c = a · (b – c) 3 · 7 + 3 · 3 = 3 · (7 + 3) 2 · 6 – 2 · 4 = 2 · (6 – 4) gemeinsamer Teiler von 18 und 21 18b2 – 21ab = 3 · 6b2 – 3 · 7ab gemeinsamer Faktor von b2 und ab =3·6·b·b–3·7·a·b = 3b (6b – 7a) { Ist eine Zahl oder eine Variable in jedem Glied einer Summe (Differenz) als Faktor enthalten, so kannst du sie ausklammern. Das Ausklammern (Faktorisieren) ist die Umkehrung des Ausmultiplizierens. Durch das Ausklammern gemeinsamer Faktoren wird eine Summe (Differenz) in ein Produkt verwandelt. gemeinsame Faktoren stehen vor der Klammer 5 9783411724444 S001-128.indd 5 14.11.16 19:39 Rechnen mit Termen übung 1 Schreibe ohne Klammern. Beispiel: 5 · (m – 3) = 5 · m – 5 · 3 = 5m – 15 nnnnnnnnnnnnnnn❙❘❘n nnnnnnnnnnn❚❙nnn❙n nnnnnnnnnn❙nnn❘n ) nnnnnnnnnnnn❘❚nnnn❘ ) nnnnnnnnnnnnnnnn❙ ) nnnnnnnnnnnnnnnn❙ ) ( ) nnnnnnnnnnnnnnn❙ a)7 · (9 + 22k) = b)(2m – 3n) · 12 = c)(15a – 105b + 5c) : 5 = ( 8 3 __ d) __ · x – 3 = 4 6 ( 6 f)( __ 25 m – __ 34 : ___ 15 = 6 3 __ __ 4 g)( ___ 10 a + x : – = 5 5 e) __ 45 a + __ 23 b : 4 = übung 2 Multipliziere aus und fasse zusammen. ÜBEN a)4 · (8y – 5x) + 6 · (8y – 3x) = = b)12a – 2 · (4b + 5a) + 9b – 2ab = = = = = = c)(8x – 15y) · 5 – 12 · (9y + 4x) + 92y= = d)20x – 9y – (– 5x – 3y) · (– 2) = = = = = = 4 · 8y – 4 · 5x + 6 · 8y – 6 n · 3xn nnnnnnnnn❘ 32y – 20x + 48y – 18x nnnnnnnnn❘ nn 80y – 38x nnnnnnnnn❘ nn – 38x + 80y nnnnnnnnn❘ nn nnnnnnnnn❘nn nnnnnnnnn❘nn nnnnnnnnn❘nn nnnnnnnnn❘nn nnnnnnnnn❘nn nnnnnnnnn❘nn nnnnnnnnn❘nn nnnnnnnnn❘nn nnnnnnnnn❘nn nnnnnnnnn❘nn nnnnnnnnn❘nn nnnnnnnnn❘nn 6 9783411724444 S001-128.indd 6 14.11.16 19:39 1.1 Ausmultiplizieren und Ausklammern 1 übung 3 Klammere jeweils den angegebenen Faktor aus. Beispiel: Faktor 4a: 48a – 64ab = 4 · 12 · a – 4 · 16 · a · b = 4a · (12 – 16b) nn❘❘❙❘n ❚❙nnn❘nnnnnnn❚n ❚❙nnnnnnnnnn❚❘❘❙n nn❙nnnnn❙nn❚❙nn ❚❙nnnnnnnn❙n❙nn a)Faktor – 6x: –18x2y – 30x3z = –6 · 3 · x · x · y – 6 · 5 · x · x · x · z = b)Faktor 9a: 45a b – 36ab = c)Faktor uv: 24u2v – 8uv2 = 3 2 d)Faktor – 4cd: – 28cd + 16c2d = e)Faktor x2y: 11x2y – 19x2y2 = übung 4 Klammere alle gemeinsamen Faktoren aus. Beispiel: 48xy – 16x – 44x3 y2 = 4 · 12 · x · y – 4 · 4 · x – 4 · 11 · x · x · x · y · y = 4x · (12y – 4 – 11x2y2 ) a)– 36a2b3 + 81ab2 = ❚❙nnnnnnnnnnnnn❚n ❚❙nnnnnnnnnnnnn❙n ❚❙nnnnnnnnnnnn❚❘n n❙nnnnnnnnn❘n b)135v w – 45vw = 2 2 2 d)– 16a2b3c2 – 40a3b2c2 + 56a2b2c3 = übung 5 Fülle die Lücken. Beispiel: 15a – 10a2 = 5a ∙ (3 – 2a) n❙ n❙ n n❙ a) 28xy + 49x = 7x ∙ ( + c) – 45a2b2 – 90ab2 = ∙ (15a + übung 6 ) = = = = ∙( – 8m) – ) Vereinfache zuerst und klammere dann aus. 28a – 8a + 8b – 46b nnnnnnn❚n 20a – 38b nnnnnnn❚n 2 · (10a – 19b) nnnnnnn❚n b)14mn – 10m ∙ (4n – 6) – 6n ∙ (8m – 10) = = = c) 36 + (6s – 3t) ∙ 5 – (18s – 3t + 12) · 3 = n❙ n❙ n❙ n ) d) – 52a2b3 – 91ab2 = 13ab ∙ ( a)28a + 4 ∙ (– 2a + 2b) – 46b = b) 18mn2– 48m2 n = ÜBEN c)12ef2 + 20e2f – 24ef = nnnnnnn❚n nnnnnnn❚n nnnnnnn❚n nnnnnnn❚n nnnnnnn❚n nnnnnnn❚n d)5xy – [8x – (5y – 7x)] ∙ 2x = = = nnnnnnn❚n nnnnnnn❚n nnnnnnn❚n 7 9783411724444 S001-128.indd 7 14.11.16 19:39 Rechnen mit Termen 1.2Multiplizieren von Summen – binomische Formeln Multiplizieren von … Summen: Man multipliziert zwei Summen miteinander, indem man jedes Glied der ersten Summe mit jedem Glied der zweiten Summe multipliziert und die Ergebnisse der Multiplikationen addiert. Differenzen: Man multipliziert zwei Differenzen mit­einander, indem man jedes Glied der ersten Differenz mit jedem Glied der zweiten Differenz multipliziert. Die einzelnen Ergebnisse werden anschließend addiert bzw. subtrahiert. WISSEN Summen mit Differenzen: Man multipliziert jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer. Die einzelnen Ergebnisse ­werden anschließend addiert bzw. sub­­trahiert. (4 + a) · (x + 3) = 4 · x + 4 · 3 + a · x + a · 3 = 4x + 12 + ax + 3a = 3a + ax + 4x + 12 · · denn – · – = + (3 – m) · (k – 7)= 3 · k – 3 · 7 – m · k + m · 7 · = 3k – 21 – km + 7m · = 3k – km + 7m – 21 · · denn + · – = – (5 + 2x) · (k – 9)= 5 · k – 5 · 9 + 2x · k – 2x · 9 · = 5k – 45 + 2kx – 18x · = 5k + 2kx – 18x – 45 Binomische Formeln Spezialfälle der Multiplikation von Summen und Differenzen sind: Achte auf die Rechenzeichen: + · + = + – · – = + + · – = – 1. binomische Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Herleitungen: (a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 2 (a – b) = (a – b) · (a – b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2 2. binomische Formel (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 –·+=– (8z + 2k)2 = (8z)2 + 2 · 8z · 2k + (2k)2 = 64z2 + 32zk + 4k2 Beachte: Die Variablen a und b können auch durch Terme (z. B. 8z, 2k oder 7y) belegt sein. quadratisches Glied { Die Glieder a2 und b2 nennt man quadra­ tische Glieder. Das Glied 2ab nennt man gemischtes Glied. { (a + b) · (a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2 { 3. binomische Formel (a + b) · (a – b) = a2 – b2 gemischtes Glied quadratisches Glied 8 9783411724444 S001-128.indd 8 14.11.16 19:39 1.2 Multiplizieren von Summen – binomische Formeln 1 übung 7 Multipliziere aus und fasse so weit wie möglich zusammen. Achte auf die Vor­zeichen! Bearbeite die Aufgaben in deinem Übungsheft. ( ) d) ( __ 34 m – __ 23 n )· ( __ 26 m – __ 48 n ) a) (4a + 3b) · (5 + 2b)b) (7x – 3y) · __ 47 y – 2x c) (24u – 5,6r) · (– 0,4u + 12r) e) (6a2 b – 12ab2 ) · (– 3b2 a – 2ba2 ) übung 8 f) (3f + 15g + 6h) · (2f – 7g – 5h) Bearbeite folgende Aufgaben in deinem Übungsheft. a) (4a + 2b) · (12a – 6b – 3) b) 6(8a – 10b) – (16 + 2b) · (4a – 12) + 8ab c) 23,5st + [– 6,5t2 – (5s – 12t) · (3t – 4,8s)] – 7t2 d) – [3x · (4y + 12z) – (9x + y) · (6z – 3x)] ) ( ( ) ( ) __ __ __ ___ 1 2 1 14 f) – ( 5 u – 7 v )· ( 2 u – 24 v )– 3v e) 3 __ 23 x + 7 – __ 32 x – __ 34 y · __ 23 x – __ 12 y 2 Fülle die Lücken. Es sind Terme oder Rechenzeichen einzusetzen. nnn nnn nnn nnn n❚ n❚ n❚ nn nn a) (3y – 5x) ∙ (8x + 3y) = + 9y2 – b) (3a – 7b) ∙ ( 4c + 9d) = 12ac + – 15xy – c) (4u + 7v) ∙ (4u – 6v) = 16u2 24uv d) x2 + 4x + 3x + 12 = ( + – 63bd 28uv nnnn nnnn ) ( ) nnnn c) (6c + 4d) · (6c – 4d) = ( e) __ 14 z – a · __ 14 z + a = 42v2 ) · (x + 4) übung 10 Berechne mithilfe der binomischen Formeln. a)(3x + 7)2 = ÜBEN übung 9 nnnn nnnn ) ( ) nnnn b)(4a – 5b)2 = d) (– 4w – 3u) = 2 ( f) __ 45 – __ 34 q · __ 45 + __ 34 q = übung 11 Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen. Schreibe in dein Übungsheft. a)(5m – 3n)2+ 4 · (4n + 2m)2 b)(13v – 6w)2+ 7v · (9 – 8w) c)5 · [ 3a2 – (2b – 6a)2 ]– 12a · 5b d)[– 6 · (3m – 15n)]2– (5m – 3) · (5m + 3) e)(5x + 7y)2+ (2y – 3x) · (7x + 2y) – (6x + 3y)2 f) (a – 5b)2– [2 · (a + 5b)2– (6a – 4b) · (6a + 4b)] 9 9783411724444 S001-128.indd 9 14.11.16 19:40 Rechnen mit Termen 1.3Terme mithilfe der binomischen Formeln vereinfachen Du kannst die binomischen Formeln zum Vereinfachen von Rechenausdrücken benutzen. Oft kann man mithilfe der binomischen Formeln auch „schwierige Aufgaben“ im Kopf rechnen. Kopfrechnen mit der 3. binomischen Formel: Die Differenz zweier Quadrate kann man mit der 3. binomischen Formel in ein Produkt umwandeln. WISSEN Umgekehrt kann man manche Produkte geschickt in die Differenz zweier Quadrate umwandeln. Vereinfachen mit 1. und 2. binomischer Formel: Man kann Summen oder Differenzen mit der 1. bzw. 2. binomischen Formel in ein Produkt umwandeln, wenn darin bereits eine der binomischen Formeln „versteckt“ ist. Dazu musst du die beiden quadratischen Glieder und das gemischte Glied des Binoms erkennen. Manchmal musst du zuerst gemeinsame Faktoren ausklammern. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2² a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 a2 – b2 = (a + b) ∙ (a – b) Berechne 982 – 972 im Kopf: 982 – 972= (98 – 97) ∙ (98 + 97) = 1 ∙ 195 = 195 Berechne 49 ∙ 51 im Kopf: 49 ∙ 51 = (50 – 1) ∙ (50 + 1) = 502 – 12 = 2500 – 1 = 2499 a2 – 2ab + b2 81x2 – 72xy + 16y2 = (9x)2 – 2 · (9x) · (4y) + (4y)2 NR: a2 = 81x2 a = 9x b2 = 16y2 b = 4y = (9x – 4y)2 Probe: 2 · 9x · 4y = 72xy 36x2 + 48x + 16 NR: a2 = 9x2 a2 = (3x)2 = 4 · (9x2 + 12x + 4) = 4 · ((3x)2 + 2 · 3x · 2 + 22) = 4 · (3x + 2)2 b2 = 4 = 22 Probe: 2 · ab = 2 · 3x · 2 = 12x 10 9783411724444 S001-128.indd 10 14.11.16 19:40 1.3 Terme mithilfe der binomischen Formeln vereinfachen übung 12 Fülle die Lücken. a)4x2 + 12x + 9 = (2x)2 + 2 ∙ = (2x + n )2 n n n b)9 – 6a +a2 =( =( – nn ∙ n )2 – 2 ∙ 3a + ( )2 n n n nn n c)169x2 – 256y2 = ( ) 2 – ( =( – + )( 1 + 32 )2 ) 2 ) a) 49x2 – 70x + 25 b) 196a2 + 140ab + 25b2 c) 16m2 – 81 1 2 d) __ a + 4a + 16 4 1 2 __ 1 e) ___ 16 k – kw + w2 2 ÜBEN übung 13 Überlege dir zunächst, welche binomische Formel anzuwenden ist. Rechne anschließend in deinem Übungsheft wie in den Beispielen. Beispiele: 25a2 + 20ab + 4b2 = (5a)2 + 2 ∙ 5a ∙ 2b + (2b)2 = (5a + 2b)2 16m2 – 24mn + 9n2 = (4m)2 – 2 · 4m · 3n + (3n)2 = (4m – 3n)2 4x2 – 169 = (2x + 13) ∙ (2x – 13) übung 14 Klammere zunächst den angegebenen Faktor aus. Faktorisiere anschließend mithilfe der binomischen Formeln. a) Faktor 2: 2x2 + 36x + 162= = = b) Faktor 4: 4m2 – 40m + 100= = = c) Faktor 3:27a2 – 72ab + 48b2 = = = 6 2 d) Faktor 6: __ x + 18x + 54= 4 = = 2 · x + 2 · 18x + 2 · 81 nnnnnnnnnnn❘ ❘❙n 2 · (x + 18x + 81) nnnnnnnnnnn❘ ❘❙n 2 · (x + 2 · x · 9 + 9 ) = 2 · (x + 9) nnnnnnnnnnn❘ ❘❙n nnnnnnnnnnn❘❘❙n nnnnnnnnnnn❘❘❙n nnnnnnnnnnn❘❘❙n nnnnnnnnnnn❘❘❙n nnnnnnnnnnn❘❘❙n nnnnnnnnnnn❘❘❙n nnnnnnnnnnn❘❘❙n nnnnnnnnnnn❘❘❙n nnnnnnnnnnn❘❘❙n 2 2 2 1. binomische Formel 2 2 11 9783411724444 S001-128.indd 11 14.11.16 19:40 Rechnen mit Termen KLASSENARBEIT 1 45 Minuten aufgabe 1 Schreibe ohne Klammer. a)4 (– 6y + 13) = nnnnnnnnnnnnnnn❚n nnnnnnnnnnnnnnn❚n nnnnnnnnnnnnnn❚❙n nnnnnnnnnnnnnnn❙n ) nnnnnnnnnnnnnn❚n 1 b)(3x – 18) · __ = 2 c) __ 67 m – __ 38 n · 12 = d) __ 23 a – __ 49 b : __ 13 = 3 __ ___ 4 4 e)– __ st s – t = 4 7 14 ( ( ( ) ) aufgabe 2 Multipliziere aus und fasse zusammen. nnnnnnnnn nnnnnnnnn nnnnnnnnn a)6(12x – 7y) – 4x + 7y(– 13x) – (7 – 5y) = = = b)(35ab – [33a – (19b – 37ab) – 51] – 48b) TESTEN = = nnnnnnnnn nnnnnnnnn nnnnnnnnn = c)– [– 27x – 7 · (12 + 17y) – 5 · (–25x + 18) – 9y] nnnnnnnnn nnnnnnnnn nnnnnnnnn ( ) ( ) nnnnnnnnn nnnnnnnnn nnnnnnnnn = = = 5 3 __ __ __ __ 4 4 1 d) – __ x + y · – x – y 5 5 9 9 9 = = = aufgabe 3 Klammere geschickt aus. a)54x2y2z – 12xy2z + 72xyz2 = = b)63a3b3c – 91a2b3c2 – 35a2b2c – 56a2b2c3 nnnnnnnnn nnnnnnnn❘n nnnnnnnnn nnnnnnnn❘n aufgabe 4 Fülle die Lücken. = = nnnn nnnn n❚ n❚ n❚ a)(15x – 3) ∙ (7 + 12y) = 105x + b)(– 5x – 3b) ∙ (– x + 5b) = 5x2 – 21 – 25bx 3bx 15b2 12 9783411724444 S001-128.indd 12 14.11.16 19:40 Klassenarbeiten 1 aufgabe 5 Multipliziere und fasse so weit wie möglich zusammen. a)(3x – 7) · (12 + 8x) = = b)(6x2y – 15xy2) · (– 3y2x – 4yx2) nnnnnnn❚nn nnnnnnnn❚ nnnnnnnn❚n nnnnnnnn❚ = = ( ) ( ) c)– [15x · (7y + 5z) – (9x + 5y) · (12z – 8x)] d) – __ 35 x + __ 49 y · __ 45 x – __ 19 y = = = = = = = nnnnnnnn❚ nnnnnnnn❚ nnnnnnnn❚ nnnnnnnn❚ aufgabe 6 Berechne mithilfe der binomischen Formeln. a)(6a + 7)2 = ( nnnn❘n❙❘n ) nnnnn❙❘ 2 c) – __ 13 m – __ 14 n = nnnnn❙❘n ) ( ) nnn❘n b) (8x – 12y)2 = ( d) __ 34 h + __ 25 i · __ 34 h – __ 25 i = TESTEN = nnnnnnn❚nn nnnnnnnn❚n nnnnnnnn❚n nnnnnnnn❚n aufgabe 7 Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen. a)[– 7(5a – 13b)]2 – 12a · 3b = = nnnnnnnnn nnnnnnnnn nnnnnnnnn nnnnnnnnn = = b)(4x – 5y)2 – [(6x – 4y) · (6x + 4y) – 2 · (x + y)2] = = nnnnnnnnn nnnnnnnnn nnnnnnnnn nnnnnnnnn = = aufgabe 8 Klammere zunächst einen geeigneten Faktor aus und faktorisiere dann mit­hilfe der binomischen Formeln. a)48a2 – 72ab + 27b2 = = = __ __ 1 2 2 1 b) __ x + 4 x + 16 3 3 3 nnnnnnnnn nnnnnnnnn nnnnnnnnn nnnnnnnnn nnnnnnnnn nnnnnnnnn = = = 13 9783411724444 S001-128.indd 13 14.11.16 19:40 Rechnen mit Termen KLASSENARBEIT 2 45 Minuten aufgabe 9 Multipliziere aus. a)2x ∙ (3x + 4y) = nnn nnn b)–3a ∙ (5a – 13b) = aufgabe 10 Klammere so viele Faktoren wie möglich aus. nnn nnn nnn a)7xy – 28y = b)ab – ab3 = c)–105x3 z + 63x2 z2 = ( ) 11 2 aufgabe 11 Gegeben sind die Terme (I) __ 1 (–x + 2) + ___ x – ___ 14 und (II) – __ 3 – __ 94 x + 2 . 3 6 3 3 3 a) Überprüfe durch Umformen, ob Term (I) äquivalent ist zu dem Term __ x – 4. 2 TESTEN 3 b) Überprüfe durch Umformen, ob Term (II) äquivalent ist zu dem Term __ x – 4. 2 c) Bereche den Wert des Terms (I) für x = 1. d) Bereche den Wert des Terms (II) für x = __ 23 . (Tipp: Rechne clever!) aufgabe 12 Multipliziere mithilfe der binomischen Formeln aus. nnn nnn nnn a)(3a – 12b)2 = ( ) 2 b) __ 12 x + 8y = c)(7x – 2y)(7x + 2y) = aufgabe 13 Wähle aus den ganzen Zahlen von –10 bis 10 (–10; –9; … 8; 9; 10) zwei verschiedene Zahlen aus, sodass sich für den Term (a – b)2 der größtmögliche Wert ergibt. Wie viele Möglichkeiten gibt es? (Es sind mehr Schreibfelder abgedruckt, als es Möglichkeiten gibt.) a = a = a = a = nnn nnn nnn nnn b = b = b = b = nnn nnn nnn nnn 14 9783411724444 S001-128.indd 14 14.11.16 19:40 Zufallsversuche und Wahrscheinlichkeiten aufgabe 9 In einem Casino ist ein Glücksrad in drei farbige Felder eingeteilt: rot, blau und gelb. Der Manager hat ausgerechnet, dass die einzelnen Felder mit den Wahrscheinlichkeiten 1 P(rot) = __ 1 , P(blau) = __ und P(gelb) = __ 14 angezeigt werden. 4 2 a)Wie groß sind demnach die Winkel der zugehörigen Kreissektoren auf dem Glücksrad? b)Finn möchte sein Glück testen. Er darf zwischen zwei Spielvarianten wählen: 1. Das Glücksrad wird dreimal gedreht. Man gewinnt, wenn dabei niemals das blaue Feld getroffen wird. 2. Das Glücksrad wird dreimal gedreht. Man gewinnt, wenn dreimal die gleiche Farbe getroffen wird. Welche Variante sollte Finn wählen? Entscheide mithilfe der Gewinnwahrscheinlichkeiten. TESTEN aufgabe 10 „Schere – Stein – Papier“ ist ein weltweit verbreitetes Knobelspiel. Jeder der beiden Kontrahenten entscheidet sich für ein Symbol, welches beide Spieler dann gleichzeitig mit der Hand darstellen. Stein gewinnt gegen Schere, verliert aber gegen Papier, und Schere gewinnt gegen Papier. Bei gleichen Symbolen ist das Spiel unentschieden. a)Untersuche das Spiel und fülle die Tabelle aus. Welches Symbol kannst du ­empfehlen? Schere gewinnt Papier Stein Schere gegen: Schere Papier Stein Papier gegen: Papier Stein Stein gegen: Schere b)Bei einer Variante des Spiels kommt noch das Symbol „Brunnen“ hinzu. Brunnen gewinnt gegen Schere und Stein und verliert gegen Papier. Welches Symbol würdest du nun empfehlen? aufgabe 11 Laut Werbung befindet sich in jedem siebten Überraschungspaket eine besondere Spielfigur. a)Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt man eine Figur, wenn man ein zufällig ausgewähltes Überraschungspaket kauft? b)Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man bei drei Überraschungspaketen mindestens eine Figur? c)Wie viele Überraschungspakete muss man kaufen, um mit 90%iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine Figur zu bekommen? 126 9783411724444 S001-128.indd 126 14.11.16 19:48 Stichwortfinder A achsensymmetrisch 21 Additionsverfahren 46 Ähnlichkeitsabbildung 99 Äquivalenzumformung 28 Ausklammern 5 Ausmultiplizieren 5 LGS 43, 46 f., 49 lineare Funktion 31 lineare Gleichung 27 lineares Gleichungssystem 43, 46 f., 49 Lösungsmenge 43 B Baumdiagramm 120 binomische Formeln 8, 10 Bruchgleichung 73 Bruchterm 69, 73 f. MMantelfläche 105, 110 Maximum 21 Minimum 21 Mittelpunktswinkel 79 monoton – steigend 21 – fallend 21 Multiplizieren von – Differenzen 8 – Summen 8 D Deckfläche 105 Definitionslücke 69 Definitionsmenge 20, 31, 59, 69 Drachenviereck 87 Dreieck 86 Dreieckprisma 106 Dreiecksform 49 Durchmesser 79 E Einsetzungsverfahren 46 Ereignis 118 Ergebnis 118 Extrema 21 N Netz 110 Normalform 64 Normalparabel 61 Nullstelle 21 – des Nenners 69 O Oberflächeninhalt 110 Scheitelpunktform 63 Schnittpunkt 20 f., 43, 73 Schrägbild 113 Sechseckprisma 106 Sehne 79 Sehnenviereck 83 Sekante 79 Spiegelung 21 Steigung 31 Strahlensätze 94 Strecke 79, 97 Streckfaktor 99 Summenregel 56, 120 T Tangente 79 Tangentenviereck 83 Term 5 Thales, Satz des 83 Tiefenkante 113 Trapez 87 U Umfang 111 Umfangswinkel 79 Umkehrsätze 96 Ungleichung 29 P Parabel 61 V Verzweigungsregel 120 Parallelogramm 87 Vieleck 87 Passante 79 Viereck 86 Peripheriewinkel 79 Volumen 105 Pfadregel 120 Pfeildiagramm 16 WWahrscheinlichkeit 118 G Gauß-Algorithmus 49 Potenzgesetze 56 Wertemenge 20, 31 gebrochenrationale Funktion Potenzieren 70 Wertepaar 16 69 Produktregel 56, 120 Wertetabelle 20 Gleichsetzungsverfahren 47 punktsymmetrisch 21 Würfel 106 Gleichungen umformen 27 Wurzel 56 ff. Q Quader 106 Graph 17, 20 f., 31, 69 Wurzelgesetze 56 Quadrat 86 Grundfläche 105 Wurzelterm 56, 59 quadratische Funktion 61 H heronsches Näherungsver­ quadratische Gleichung 64 f. Z zentrische Streckung 99 fahren 60 Quadratwurzel 56 Zentriwinkel 79 Hyperbel 17 Quotientenregel 56 Zufall 119 Zufallsexperiment 118 I irrationale Zahlen 57 R Radikand 59 Zufallsversuch Rauminhalt 105 – mehrstufig 120 K Koordinatensystem 17, 20 Raute 87 Zuordnung 16 Kreis 79, 83 Rechteck 86 – proportional 17 Kreisbogen 79 reelle Zahlen 57 – indirekt (umgekehrt) proKreisdiagramm 16 portional 17 S Sachaufgaben lösen 34, 50 Zylinder 105 f. L Laplace-Versuch 118 Säulendiagramm 16 F Faktorisieren 5, 64 Flächeninhalt 111 Funktion 20 f. Funktionsgraph 20 f., 69 127 9783411724444 S001-128.indd 127 14.11.16 19:48 Das Erfolgskonzept im Reihenformat Wissen • Üben • Testen Mit dabei sind: • Lösungshefte • Abschlusstests • Schlaue Schnipsel und Fun Facts 8. Klasse • Mathematik 8. Klasse • Deutsch 8. 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Klasse • Deutsch 10. Klasse • Mathematik 10. Klasse • Englisch WISSEN • ÜBEN • TESTEN WISSEN • ÜBEN • TESTEN WISSEN • ÜBEN • TESTEN 10. Klasse 10. Klasse 10. Klasse Dein Weg zu besseren Noten! Dein Weg zu besseren Noten! Dein Weg zu besseren Noten! Mit MP3-Download Mathematik Deutsch Zusätzliche digitale Lernkartensets auf www.lernhelfer.de Zusätzliche digitale Lernkartensets auf www.lernhelfer.de Englisch Mit MP3-Download Deutsch Zusätzliche digitale Lernkartensets auf www.lernhelfer.de Mathematik Zusätzliche digitale Lernkartensets auf www.lernhelfer.de Englisch Zusätzliche digitale Lernkartensets auf www.lernhelfer.de Zusätzliche digitale Lernkartensets auf www.lernhelfer.de In der Reihe erhältlich für die Klassenstufen 5 bis 10 sind Klassen- und Themenbände der Fächer: • Deutsch • Mathematik • Englisch • Französisch • Latein Alle lieferbaren Titel in der Reihe Wissen – Üben – Testen findest du auf www.duden.de WS_WUET_170x240_4C_2017_RZ01.indd 1 13.10.16 14:28 da