binomische Formeln

Duden
WISSEN • ÜBEN • TESTEN
8. Klasse
Mathematik
4., aktualisierte Auflage
Dudenverlag
Berlin
9783411724444 S001-128.indd 1
14.11.16 19:38
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© Duden 2017 D C B A
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Mecklenburgische Straße 53, 14197 Berlin
Redaktionelle Leitung Constanze Schöder
Redaktion Dr. Wiebke Salzmann
Autoren Karin Hantschel, Michaela Neumann-Krapp, Timo Witschaß,
Dr. Wiebke Salzmann (Klappe)
Herstellung Uwe Pahnke
Layout Bachmann Design, Weinheim
Illustration Carmen Strzelecki
Umschlaggestaltung Büroecco, Augsburg; Bachmann Design, Weinheim
Umschlagabbildung Selina Bauer, Berlin
Satz LemmeDESIGN, Berlin
Grafik pro.grafik, Ostfildern
Druck und Bindung AZ Druck und Datentechnik GmbH
Heisinger Straße 16, 87437 Kempten
Printed in Germany
ISBN 978-3-411-72444-4
Auch als E-Book erhältlich unter: ISBN 978-3-411-91230-8
www.duden.de
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Inhaltsverzeichnis
1 Rechnen mit Termen
1.1 Ausmultiplizieren und Ausklammern 5
1.2 Multiplizieren von Summen – binomische Formeln 8
1.3 Terme mithilfe der binomischen Formeln vereinfachen 10
Klassenarbeit 1 – 2 12
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Darstellung von Zuordnungen 16
Funktionen und Funktionsgraphen 20
Lineare Gleichungen 27
Lineare Funktionen 31
Sachaufgaben lösen 34
Klassenarbeit 1 – 3 37
3 Lineare Gleichungssysteme
INHALT
2 Zuordnungen und Funktionen
3.1 Grafische Lösungen für LGS 43
3.2 LGS rechnerisch lösen 46
3.3 Sachaufgaben lösen 50
Klassenarbeit 1 – 3 53
4 Wurzeln und quadratische Gleichungen
4.1 Rechnen mit Quadratwurzeln 56
4.2 Darstellen quadratischer Funktionen 61
4.3 Lösen quadratischer Gleichungen 64
Klassenarbeit 1 – 2 67
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5 Gebrochenrationale Funktionen
5.1 Zeichnen von Funktionsgraphen 69
5.2 Schnittpunkte von Funktionsgraphen bestimmen –
Bruchgleichungen lösen 73
Klassenarbeit 1 – 2 76
6 Kreise, Dreiecke und Vierecke
6.1 Berechnungen und Linien am Kreis 79
6.2 Dreiecke und Vierecke am Kreis 83
6.3 Umfang und Flächeninhalt von Dreieck und Viereck 86
Klassenarbeit 1 – 2 90
7 Strahlensätze und Ähnlichkeit
INHALT
7.1 Strahlensätze 94
7.2 Ähnlichkeit und zentrische Streckung 99
Klassenarbeit 1 – 2 102
8 Prismen und Zylinder
8.1 Volumenberechnung 105
8.2 Oberflächeninhalt und Netze 110
8.3 Schrägbilder 113
Klassenarbeit 1 – 2 115
9 Zufallsversuche und Wahrscheinlichkeiten
9.1 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 118
9.2 Mehrstufige Zufallsversuche 120
Klassenarbeit 1 – 2 124
Stichwortfinder 127
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1 Rechnen mit Termen
1.1 Ausmultiplizieren und Ausklammern
Ein Term besteht aus sinnvoll zusammengesetzten Zahlen, Variablen und Rechenzeichen.
Variablen stehen in Termen meist als
Platzhalter für Zahlen.
Beispiele für Terme:
7
__
​ 12 ​y – 3,5
a
5 · a + 3
Dies sind keine Terme:
12 + (
3x = 3x
__
​ 12 ​ a :
– x ·
Als Variablen werden Buchstaben wie
x, y, z verwendet.
Ausmultiplizieren
3 (2a + 5x)
· ·
= 3 · 2a
= 6a
+ 3 · 5x
+ 15x
WISSEN
Man multipliziert eine Summe (Differenz) mit einem Faktor, indem man jedes
Glied der Summe (Differenz) mit dem
Faktor multipliziert und die Ergebnisse
der Multiplikationen addiert (subtrahiert).
(4m – 3n) 2a = 4m · 2a – 3n · 2a
·
= 8am – 6an
·
Ausklammern
Gehe folgendermaßen vor:
1. Finde einen gemeinsamen Teiler.
2. Zerlege die Produkte der Variablen in
Faktoren und bestimme die gemeinsamen Faktoren.
3. Schreibe alle gemeinsamen Faktoren
vor die Klammer.
Beachte, dass sich auch der Term in der
Klammer entsprechend verändert!
a · b + a · c = a · (b + c)
a · b – a · c = a · (b – c)
3 · 7 + 3 · 3 = 3 · (7 + 3)
2 · 6 – 2 · 4 = 2 · (6 – 4)
gemeinsamer Teiler von 18 und 21
18b2 – 21ab = 3 · 6b2 – 3 · 7ab
gemeinsamer Faktor von ​b2​ ​und ab
=3·6·b·b–3·7·a·b
= 3b (6b – 7a)
{
Ist eine Zahl oder eine Variable in jedem
Glied einer Summe (Differenz) als Faktor
enthalten, so kannst du sie ausklammern.
Das Ausklammern (Faktorisieren) ist
die Umkehrung des Ausmultiplizierens.
Durch das Ausklammern gemeinsamer
Faktoren wird eine Summe (Differenz) in
ein Produkt verwandelt.
gemeinsame Faktoren stehen
vor der Klammer
5
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Rechnen mit Termen
übung 1 Schreibe ohne Klammern.
Beispiel: 5 · (m – 3) = 5 · m – 5 · 3 = 5m – 15
nnnnnnnnnnnnnnn❙❘❘n
nnnnnnnnnnn❚❙nnn❙n
nnnnnnnnnn❙nnn❘n
) nnnnnnnnnnnn❘❚nnnn❘
) nnnnnnnnnnnnnnnn❙
)
nnnnnnnnnnnnnnnn❙
) (  ) nnnnnnnnnnnnnnn❙
a)7 · (9 + 22k) =
b)(2m – 3n) · 12 =
c)(15a – 105b + 5c) : 5 =
( 
8
3 __
d)​ __
 ​· ​ ​   ​ x – 3  ​=
4 6
( 
6
f)​( __
​ 25 ​m – __
​ 34 ​  ​: ___
​ 15
  ​ =
6
3
__
__
4
g)​( ___
​ 10
  ​  a + ​   ​ x  ​: ​ – ​   ​  ​=
5
5
e)​ __
​ 45 ​ a + __
​ 23 ​ b  ​: 4 =
übung 2
Multipliziere aus und fasse zusammen.
ÜBEN
a)4 · (8y – 5x) + 6 · (8y – 3x)
=
=
b)12a – 2 · (4b + 5a) + 9b – 2ab
=
=
=
=
=
=
c)(8x – 15y) · 5 – 12 · (9y + 4x) + 92y=
=
d)20x – 9y – (– 5x – 3y) · (– 2)
=
=
=
=
=
=
4 · 8y – 4 · 5x + 6 · 8y – 6 n
· 3xn
nnnnnnnnn❘
32y – 20x + 48y – 18x
nnnnnnnnn❘
nn
80y – 38x
nnnnnnnnn❘
nn
– 38x + 80y
nnnnnnnnn❘
nn
nnnnnnnnn❘nn
nnnnnnnnn❘nn
nnnnnnnnn❘nn
nnnnnnnnn❘nn
nnnnnnnnn❘nn
nnnnnnnnn❘nn
nnnnnnnnn❘nn
nnnnnnnnn❘nn
nnnnnnnnn❘nn
nnnnnnnnn❘nn
nnnnnnnnn❘nn
nnnnnnnnn❘nn
6
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1.1 Ausmultiplizieren und Ausklammern
1
übung 3 Klammere jeweils den angegebenen Faktor aus.
Beispiel: Faktor 4a: 48a – 64ab = 4 · 12 · a – 4 · 16 · a · b = 4a · (12 – 16b)
nn❘❘❙❘n
❚❙nnn❘nnnnnnn❚n
❚❙nnnnnnnnnn❚❘❘❙n
nn❙nnnnn❙nn❚❙nn
❚❙nnnnnnnn❙n❙nn
a)Faktor – 6x: –18x2y – 30x3z = –6 · 3 · x · x · y – 6 · 5 · x · x · x · z =
b)Faktor 9a:
45a b – 36ab =
c)Faktor uv:
24u2v – 8uv2 =
3
2
d)Faktor – 4cd: – 28cd + 16c2d =
e)Faktor x2y:
11x2y – 19x2y2 =
übung 4 Klammere alle gemeinsamen Faktoren aus.
Beispiel: 48xy – 16x – 44​x3​ ​​y​2​ = 4 · 12 · x · y – 4 · 4 · x – 4 · 11 · x · x · x · y · y
= 4x · (12y – 4 – 11​​x​2​y2​ ​)
a)– 36a2b3 + 81ab2 =
❚❙nnnnnnnnnnnnn❚n
❚❙nnnnnnnnnnnnn❙n
❚❙nnnnnnnnnnnn❚❘n
n❙nnnnnnnnn❘n
b)135v w – 45vw =
2
2
2
d)– 16a2b3c2 – 40a3b2c2 + 56a2b2c3 =
übung 5 Fülle die Lücken.
Beispiel: 15a – 10​a​2​ = 5a ∙ (3 – 2a)
n❙ n❙
n n❙
a) 28xy + 49x = 7x ∙ (
+
c) – 45a2b2 – 90ab2 =
∙ (15a +
übung 6
)
=
=
=
=
∙(
– 8m)
–
)
Vereinfache zuerst und klammere dann aus.
28a – 8a + 8b – 46b
nnnnnnn❚n
20a – 38b
nnnnnnn❚n
2 · (10a – 19b)
nnnnnnn❚n
b)14mn – 10m ∙ (4n – 6) – 6n ∙ (8m – 10)
=
=
=
c) 36 + (6s – 3t) ∙ 5 – (18s – 3t + 12) · 3
=
n❙ n❙
n❙ n
) d) – 52a2b3 – 91ab2 = 13ab ∙ (
a)28a + 4 ∙ (– 2a + 2b) – 46b
=
b) 18m​n​2​– 48​m2​ ​n =
ÜBEN
c)12ef2 + 20e2f – 24ef =
nnnnnnn❚n
nnnnnnn❚n
nnnnnnn❚n
nnnnnnn❚n
nnnnnnn❚n
nnnnnnn❚n
d)5xy – [8x – (5y – 7x)] ∙ 2x
=
=
=
nnnnnnn❚n
nnnnnnn❚n
nnnnnnn❚n
7
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Rechnen mit Termen
1.2Multiplizieren von Summen –
binomische Formeln
Multiplizieren von …
Summen: Man multipliziert zwei Summen miteinander, indem man jedes Glied
der ersten Summe mit jedem Glied der
zweiten Summe multipliziert und die Ergebnisse der Multiplikationen addiert.
Differenzen: Man multipliziert zwei Differenzen mit­einander, indem man jedes
Glied der ersten Differenz mit jedem
Glied der zweiten Differenz multipliziert.
Die einzelnen Ergebnisse werden anschließend addiert bzw. subtrahiert.
WISSEN
Summen mit Differenzen: Man multipliziert jedes Glied der ersten Klammer mit
jedem Glied der zweiten Klammer. Die
einzelnen Ergebnisse ­werden anschließend addiert bzw. sub­­trahiert.
(4 + a) · (x + 3) = 4 · x + 4 · 3 + a · x + a · 3
= 4x + 12 + ax + 3a
= 3a + ax + 4x + 12
·
·
denn – · – = +
(3 – m) · (k – 7)= 3 · k – 3 · 7 – m · k + m · 7
·
= 3k – 21 – km + 7m
·
= 3k – km + 7m – 21
·
·
denn + · – = –
(5 + 2x) · (k – 9)= 5 · k – 5 · 9 + 2x · k – 2x · 9
·
= 5k – 45 + 2kx – 18x
·
= 5k + 2kx – 18x – 45
Binomische Formeln
Spezialfälle der Multiplikation von Summen und Differenzen sind:
Achte auf die Rechenzeichen:
+ · + = + – · – = + + · – = –
1. binomische Formel
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Herleitungen:
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2
= a2 + 2ab + b2
2
(a – b) = (a – b) · (a – b) = a2 – ab – ba + b2
= a2 – 2ab + b2
2. binomische Formel
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
–·+=–
(8z + 2k)2 = (8z)2 + 2 · 8z · 2k + (2k)2
= 64z2 + 32zk + 4k2
Beachte: Die Variablen a und b können
auch durch Terme (z. B. 8z, 2k oder 7y)
belegt sein.
quadratisches
Glied
{
Die Glieder a2 und b2 nennt man quadra­
tische Glieder. Das Glied 2ab nennt man
gemischtes Glied.
{
(a + b) · (a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2
{
3. binomische Formel
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
gemischtes
Glied
quadratisches
Glied
8
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1.2 Multiplizieren von Summen – binomische Formeln
1
übung 7 Multipliziere aus und fasse so weit wie möglich zusammen.
Achte auf die Vor­zeichen! Bearbeite die Aufgaben in deinem Übungsheft.
( 
)
d) (​ __
​ 34 ​ m – __
​ 23 ​ n )​· (​ __
​ 26 ​ m – __
​ 48 ​ n )​
a) (4a + 3b) · (5 + 2b)b) (7x – 3y) · ​ __
​ 47 ​ y – 2x  ​
c) (24u – 5,6r) · (– 0,4u + 12r)
e) (6​a2​ ​b – 12a​b2​ ​) · (– 3​b2​ ​a – 2b​a2​ ​)
übung 8
f) (3f + 15g + 6h) · (2f – 7g – 5h)
Bearbeite folgende Aufgaben in deinem Übungsheft.
a) (4a + 2b) · (12a – 6b – 3)
b) 6(8a – 10b) – (16 + 2b) · (4a – 12) + 8ab
c) 23,5st + [– 6,5t2 – (5s – 12t) · (3t – 4,8s)] – 7t2
d) – [3x · (4y + 12z) – (9x + y) · (6z – 3x)]
) ( 
( 
) ( 
)
__
__
__
___
1
2
1
14
f) – ​( ​ 5 ​ u – ​ 7 ​ v )​· (​ ​ 2 ​ u – ​ 24 ​  v )​– 3​v​ ​
e) 3​ __
​ 23 ​ x + 7  ​– ​ __
​ 32 ​ x – __
​ 34 ​ y  ​· ​ __
​ 23 ​ x – __
​ 12 ​ y  ​
2
Fülle die Lücken. Es sind Terme oder Rechenzeichen einzusetzen.
nnn nnn
nnn nnn
n❚ n❚ n❚
nn nn
a) (3y – 5x) ∙ (8x + 3y) =
+ 9y2 –
b) (3a – 7b) ∙ ( 4c + 9d) = 12ac +
– 15xy
–
c) (4u + 7v) ∙ (4u – 6v) = 16u2
24uv
d) ​x2​ ​+ 4x + 3x + 12 = (
+
– 63bd
28uv
nnnn
nnnn
) ( 
) nnnn
c) (6c + 4d) · (6c – 4d) =
( 
e)​ __
​ 14 ​ z – a  ​· ​ __
​ 14 ​ z + a  ​=
42v2
) · (x + 4)
übung 10 Berechne mithilfe der binomischen Formeln.
a)(3x + 7)2 =
ÜBEN
übung 9
nnnn
nnnn
) ( 
) nnnn
b)(4a – 5b)2 =
d) (– 4w – 3u) =
2
( 
f) ​ __
​ 45 ​– __
​ 34 ​ q  ​· ​ __
​ 45 ​+ __
​ 34 ​ q  ​=
übung 11 Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen.
Schreibe in dein Übungsheft.
a)(5m – ​3n)​2​+ 4 · (4n + 2​m)​2​
b)(13v – 6​w)​2​+ 7v · (9 – 8w)
c)5 · [​ 3​a2​ ​– (2b – 6​a)​2​ ]​– 12a · 5b
d)[– 6 · (3m – 15n​)]​2​– (5m – 3) · (5m + 3)
e)(5x + 7​y)​2​+ (2y – 3x) · (7x + 2y) – (6x + 3​y)​2​
f) (a – 5​b)​2​– [2 · (a + 5​b)​2​– (6a – 4b) · (6a + 4b)]
9
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Rechnen mit Termen
1.3Terme mithilfe der binomischen Formeln
vereinfachen
Du kannst die binomischen Formeln zum
Vereinfachen von Rechenausdrücken
benutzen. Oft kann man mithilfe der
binomischen Formeln auch „schwierige
Aufgaben“ im Kopf rechnen.
Kopfrechnen mit der
3. binomischen Formel:
Die Differenz zweier Quadrate kann man
mit der 3. binomischen Formel in ein Produkt umwandeln.
WISSEN
Umgekehrt kann man manche Produkte
geschickt in die Differenz zweier Quadrate umwandeln.
Vereinfachen mit
1. und 2. binomischer Formel:
Man kann Summen oder Differenzen
mit der 1. bzw. 2. binomischen Formel
in ein Produkt umwandeln, wenn darin
bereits eine der binomischen Formeln
„versteckt“ ist.
Dazu musst du die beiden quadratischen
Glieder und das gemischte Glied des Binoms erkennen.
Manchmal musst du zuerst gemeinsame
Faktoren ausklammern.
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2²
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
a2 – b2 = (a + b) ∙ (a – b)
Berechne 982 – 972 im Kopf:
982 – 972= (98 – 97) ∙ (98 + 97)
= 1 ∙ 195
= 195
Berechne 49 ∙ 51 im Kopf:
49 ∙ 51 = (50 – 1) ∙ (50 + 1)
= 502 – 12
= 2500 – 1
= 2499
a2 – 2ab + b2
81x2 – 72xy + 16y2
= (9x)2 – 2 · (9x) · (4y) + (4y)2
NR:
a2 = 81x2
a = 9x
b2 = 16y2
b = 4y
= (9x – 4y)2
Probe:
2 · 9x · 4y
= 72xy
36x2 + 48x + 16
NR:
a2 = 9x2
a2 = (3x)2
= 4 · (9x2 + 12x + 4)
= 4 · ((3x)2 + 2 · 3x · 2 + 22)
= 4 · (3x + 2)2
b2 = 4 = 22
Probe:
2 · ab
= 2 · 3x · 2
= 12x
10
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1.3 Terme mithilfe der binomischen Formeln vereinfachen
übung 12 Fülle die Lücken.
a)4x2 + 12x + 9 = (2x)2 + 2 ∙
= (2x +
n
​)2​ ​
n
n n​
b)9 – 6a +a2 =(
=(
–
nn
∙
n
​)2​ ​– 2 ∙ 3a + (
)​2​
n n
n nn n
c)169x2 – 256y2 = (
)​ 2​ ​– (
=(
–
+
)(
1
+ 32
​)2​ ​
)​ 2​ ​
)
a) 49x2 – 70x + 25
b) 196a2 + 140ab + 25b2
c) 16m2 – 81 1 2
d) ​ __
 ​ a + 4a + 16
4
1 2 __
1
e) ___
​ 16
  ​  k – ​   ​ kw + w2
2
ÜBEN
übung 13 Überlege dir zunächst, welche binomische Formel anzuwenden ist. Rechne
anschließend in deinem Übungsheft wie in den Beispielen.
Beispiele:
25a2 + 20ab + 4b2 = (5a)2 + 2 ∙ 5a ∙ 2b + (2b)2 = (5a + 2b)2
16m2 – 24mn + 9n2 = (4m)2 – 2 · 4m · 3n + (3n)2 = (4m – 3n)2
4x2 – 169 = (2x + 13) ∙ (2x – 13)
übung 14 Klammere zunächst den angegebenen Faktor aus. Faktorisiere anschließend
mithilfe der binomischen Formeln.
a) Faktor 2:
2x2 + 36x + 162=
=
=
b) Faktor 4: 4m2 – 40m + 100=
=
=
c) Faktor 3:27a2 – 72ab + 48b2 =
=
=
6 2
d) Faktor 6:​ __
 ​ x + 18x + 54=
4
=
=
2 · x + 2 · 18x + 2 · 81
nnnnnnnnnnn❘
❘❙n
2 · (x + 18x + 81)
nnnnnnnnnnn❘
❘❙n
2 · (x + 2 · x · 9 + 9 ) = 2 · (x + 9)
nnnnnnnnnnn❘
❘❙n
nnnnnnnnnnn❘❘❙n
nnnnnnnnnnn❘❘❙n
nnnnnnnnnnn❘❘❙n
nnnnnnnnnnn❘❘❙n
nnnnnnnnnnn❘❘❙n
nnnnnnnnnnn❘❘❙n
nnnnnnnnnnn❘❘❙n
nnnnnnnnnnn❘❘❙n
nnnnnnnnnnn❘❘❙n
2
2
2
1. binomische Formel
2
2
11
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Rechnen mit Termen
KLASSENARBEIT 1
45 Minuten
aufgabe 1 Schreibe ohne Klammer.
a)4 (– 6y + 13) =
nnnnnnnnnnnnnnn❚n
nnnnnnnnnnnnnnn❚n
nnnnnnnnnnnnnn❚❙n
nnnnnnnnnnnnnnn❙n
) nnnnnnnnnnnnnn❚n
1
b)(3x – 18) · ​ __
 ​=
2
c)​ __
​ 67 ​ m – __
​ 38 ​ n  ​· 12 =
d)​ __
​ 23 ​ a – __
​ 49 ​ b  ​: __
​ 13 ​=
3
__
___
4
4
e)– ​ __
 ​ st ​ ​   ​ s – ​    ​  t  ​=
4
7
14
( 
( 
( 
)
)
aufgabe 2 Multipliziere aus und fasse zusammen.
nnnnnnnnn
nnnnnnnnn nnnnnnnnn
a)6(12x – 7y) – 4x + 7y(– 13x) – (7 – 5y) =
=
=
b)(35ab – [33a – (19b – 37ab) – 51] – 48b)
TESTEN
=
=
nnnnnnnnn nnnnnnnnn
nnnnnnnnn
=
c)– [– 27x – 7 · (12 + 17y) – 5 · (–25x + 18) – 9y]
nnnnnnnnn nnnnnnnnn
nnnnnnnnn
( 
) ( 
)
nnnnnnnnn
nnnnnnnnn nnnnnnnnn
=
=
=
5
3
__
__
__
__
4
4
1
d)​ – ​ __
 ​ x + ​   ​ y  ​· ​   ​– ​ ​   ​ x – ​   ​ y  ​
5
5
9
9
9
=
=
=
aufgabe 3 Klammere geschickt aus.
a)54x2y2z – 12xy2z + 72xyz2
=
=
b)63a3b3c – 91a2b3c2 – 35a2b2c – 56a2b2c3
nnnnnnnnn nnnnnnnn❘n
nnnnnnnnn nnnnnnnn❘n
aufgabe 4 Fülle die Lücken.
=
=
nnnn nnnn
n❚ n❚ n❚
a)(15x – 3) ∙ (7 + 12y) = 105x +
b)(– 5x – 3b) ∙ (– x + 5b) = 5x2
– 21 –
25bx
3bx
15b2
12
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Klassenarbeiten
1
aufgabe 5 Multipliziere und fasse so weit wie möglich zusammen.
a)(3x – 7) · (12 + 8x)
=
=
b)(6x2y – 15xy2) · (– 3y2x – 4yx2)
nnnnnnn❚nn nnnnnnnn❚
nnnnnnnn❚n nnnnnnnn❚
=
=
( 
) ( 
)
c)– [15x · (7y + 5z) – (9x + 5y) · (12z – 8x)] d)​ – __
​ 35 ​ x + __
​ 49 ​ y  ​· ​ __
​ 45 ​ x – __
​ 19 ​ y  ​
=
=
=
=
=
=
=
nnnnnnnn❚
nnnnnnnn❚
nnnnnnnn❚
nnnnnnnn❚
aufgabe 6 Berechne mithilfe der binomischen Formeln.
a)(6a + 7)2 =
( 
nnnn❘n❙❘n
) nnnnn❙❘
2
c)​​ – __
​ 13 ​ m – __
​ 14 ​ n  ​​ ​=
nnnnn❙❘n
) ( 
) nnn❘n
b) (8x – 12y)2 =
( 
d) ​ __
​ 34 ​ h + __
​ 25 ​ i  ​· ​ __
​ 34 ​ h – __
​ 25 ​ i  ​=
TESTEN
=
nnnnnnn❚nn
nnnnnnnn❚n
nnnnnnnn❚n
nnnnnnnn❚n
aufgabe 7 Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen.
a)[– 7(5a – 13b)]2 – 12a · 3b
=
=
nnnnnnnnn nnnnnnnnn
nnnnnnnnn nnnnnnnnn
=
=
b)(4x – 5y)2 – [(6x – 4y) · (6x + 4y) – 2 · (x + y)2]
=
=
nnnnnnnnn nnnnnnnnn
nnnnnnnnn nnnnnnnnn
=
=
aufgabe 8 Klammere zunächst einen geeigneten Faktor aus und faktorisiere dann
mit­hilfe der binomischen Formeln.
a)48a2 – 72ab + 27b2
=
=
=
__
__
1 2
2
1
b)​ __
 ​ x + 4 ​   ​ x + 16 ​   ​
3
3
3
nnnnnnnnn nnnnnnnnn
nnnnnnnnn nnnnnnnnn
nnnnnnnnn nnnnnnnnn
=
=
=
13
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Rechnen mit Termen
KLASSENARBEIT 2
45 Minuten
aufgabe 9 Multipliziere aus.
a)2x ∙ (3x + 4y) =
nnn
nnn
b)–3a ∙ (5a – 13b) =
aufgabe 10 Klammere so viele Faktoren wie möglich aus.
nnn
nnn
nnn
a)7xy – 28y =
b)ab – a​b3​ ​ =
c)–105​x3​ ​z + 63​x2​ ​​z​2​ =
( 
)
11
2
aufgabe 11 Gegeben sind die Terme (I) __
​ 1 ​ (–x + 2) + ​ ___
  ​ x – ___
​ 14  ​ und (II) – ​ __
 ​ ​ 3 – __
​ 94 ​ x  ​+ 2 .
3
6
3
3
3
a) Überprüfe durch Umformen, ob Term (I) äquivalent ist zu dem Term ​ __
 ​ x – 4.
2
TESTEN
3
b) Überprüfe durch Umformen, ob Term (II) äquivalent ist zu dem Term ​ __
 ​ x – 4.
2
c) Bereche den Wert des Terms (I) für x = 1.
d) Bereche den Wert des Terms (II) für x = __
​ 23 ​ . (Tipp: Rechne clever!)
aufgabe 12 Multipliziere mithilfe der binomischen Formeln aus.
nnn
nnn
nnn
a)(3a – 12b)2 = ( 
)
2
b)​​ __
​ 12 ​ x + 8y  ​​ ​=
c)(7x – 2y)(7x + 2y) =
aufgabe 13 Wähle aus den ganzen Zahlen von –10 bis 10 (–10; –9; … 8; 9; 10) zwei verschiedene Zahlen aus, sodass sich für den Term (a – b)2 der größtmögliche Wert ergibt.
Wie viele Möglichkeiten gibt es? (Es sind mehr Schreibfelder abgedruckt, als es Möglichkeiten
gibt.)
a =
a =
a =
a =
nnn
nnn
nnn
nnn
b =
b =
b =
b =
nnn
nnn
nnn
nnn
14
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Zufallsversuche und Wahrscheinlichkeiten
aufgabe 9 In einem Casino ist ein Glücksrad in drei farbige Felder eingeteilt: rot, blau und
gelb. Der Manager hat ausgerechnet, dass die einzelnen Felder mit den Wahrscheinlichkeiten
1
P(rot) = __
​ 1 ​, P(blau) = ​ __
 ​ und P(gelb) = __
​ 14 ​ angezeigt werden.
4
2
a)Wie groß sind demnach die Winkel der zugehörigen Kreissektoren auf dem
Glücksrad?
b)Finn möchte sein Glück testen. Er darf zwischen zwei Spielvarianten wählen:
1. Das Glücksrad wird dreimal gedreht. Man gewinnt, wenn dabei niemals das
blaue Feld getroffen wird.
2. Das Glücksrad wird dreimal gedreht. Man gewinnt, wenn dreimal die gleiche Farbe getroffen wird.
Welche Variante sollte Finn wählen? Entscheide mithilfe der Gewinnwahrscheinlichkeiten.
TESTEN
aufgabe 10 „Schere – Stein – Papier“ ist ein weltweit verbreitetes Knobelspiel. Jeder der
beiden Kontrahenten entscheidet sich für ein Symbol, welches beide Spieler dann gleichzeitig
mit der Hand darstellen. Stein gewinnt gegen Schere, verliert aber gegen Papier, und Schere
gewinnt gegen Papier. Bei gleichen Symbolen ist das Spiel unentschieden.
a)Untersuche das Spiel und fülle die Tabelle aus. Welches Symbol kannst du
­empfehlen?
Schere
gewinnt Papier
Stein
Schere gegen: Schere
Papier
Stein
Papier gegen:
Papier
Stein
Stein gegen:
Schere
b)Bei einer Variante des Spiels kommt noch das Symbol „Brunnen“ hinzu. Brunnen gewinnt gegen Schere und Stein und verliert gegen Papier. Welches Symbol würdest du nun empfehlen?
aufgabe 11 Laut Werbung befindet sich in jedem siebten Überraschungspaket eine besondere Spielfigur.
a)Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt man eine Figur, wenn man ein zufällig ausgewähltes Überraschungspaket kauft?
b)Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man bei drei Überraschungspaketen
mindestens eine Figur?
c)Wie viele Überraschungspakete muss man kaufen, um mit 90%iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine Figur zu bekommen?
126
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Stichwortfinder
A achsensymmetrisch 21
Additionsverfahren 46
Ähnlichkeitsabbildung 99
Äquivalenzumformung 28
Ausklammern 5
Ausmultiplizieren 5
LGS 43, 46 f., 49
lineare Funktion 31
lineare Gleichung 27
lineares Gleichungssystem 43, 46 f., 49
Lösungsmenge 43
B Baumdiagramm 120
binomische Formeln 8, 10
Bruchgleichung 73
Bruchterm 69, 73 f.
MMantelfläche 105, 110
Maximum 21
Minimum 21
Mittelpunktswinkel 79
monoton
– steigend 21
– fallend 21
Multiplizieren von
– Differenzen 8
– Summen 8
D Deckfläche 105
Definitionslücke 69
Definitionsmenge 20, 31,
59, 69
Drachenviereck 87
Dreieck 86
Dreieckprisma 106
Dreiecksform 49
Durchmesser 79
E Einsetzungsverfahren 46
Ereignis 118
Ergebnis 118
Extrema 21
N Netz 110
Normalform 64
Normalparabel 61
Nullstelle 21
– des Nenners 69
O Oberflächeninhalt 110
Scheitelpunktform 63
Schnittpunkt 20 f., 43, 73
Schrägbild 113
Sechseckprisma 106
Sehne 79
Sehnenviereck 83
Sekante 79
Spiegelung 21
Steigung 31
Strahlensätze 94
Strecke 79, 97
Streckfaktor 99
Summenregel 56, 120
T Tangente 79
Tangentenviereck 83
Term 5
Thales, Satz des 83
Tiefenkante 113
Trapez 87
U Umfang 111
Umfangswinkel 79
Umkehrsätze 96
Ungleichung 29
P Parabel 61
V Verzweigungsregel 120
Parallelogramm 87
Vieleck 87
Passante 79
Viereck 86
Peripheriewinkel 79
Volumen 105
Pfadregel 120
Pfeildiagramm 16
WWahrscheinlichkeit 118
G Gauß-Algorithmus 49
Potenzgesetze 56
Wertemenge 20, 31
gebrochenrationale Funktion Potenzieren 70
Wertepaar 16
69
Produktregel 56, 120
Wertetabelle 20
Gleichsetzungsverfahren 47
punktsymmetrisch 21
Würfel 106
Gleichungen umformen 27
Wurzel 56 ff.
Q Quader 106
Graph 17, 20 f., 31, 69
Wurzelgesetze 56
Quadrat 86
Grundfläche 105
Wurzelterm 56, 59
quadratische Funktion 61
H heronsches Näherungsver­
quadratische Gleichung 64 f. Z zentrische Streckung 99
fahren 60
Quadratwurzel 56
Zentriwinkel 79
Hyperbel 17
Quotientenregel 56
Zufall 119
Zufallsexperiment 118
I irrationale Zahlen 57
R Radikand 59
Zufallsversuch
Rauminhalt 105
– mehrstufig 120
K Koordinatensystem 17, 20
Raute 87
Zuordnung 16
Kreis 79, 83
Rechteck 86
– proportional 17
Kreisbogen 79
reelle Zahlen 57
– indirekt (umgekehrt) proKreisdiagramm 16
portional 17
S Sachaufgaben lösen 34, 50
Zylinder 105 f.
L Laplace-Versuch 118
Säulendiagramm 16
F Faktorisieren 5, 64
Flächeninhalt 111
Funktion 20 f.
Funktionsgraph 20 f., 69
127
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14.11.16 19:48
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