Prof. G. Freiling SS 2013 Gruppenübungen zur Mathematik für

Prof. G. Freiling
SS 2013
Gruppenübungen zur Mathematik für Informatiker I
Aufgaben zum Trainieren
Aufgabe G1 a) Summen und Produkte
Bestimmen Sie die Werte der folgenden Summen und Produkte
(i)
5
X
(i + 1)
(km − 2k)
m=1 k=0
i=0
(iii)
3
2
X
X
(ii)
2
3
X
Y
(k 2 − 1) (iv)
m=1 k=m
4 X
k
Y
(k − i)2 .
k=1 i=3
b) Minimum und Maximum
Geben Sie die Lösungsmengen aller x ∈ R an, die folgenden Bedingungen genügen
(i) −2 < x <
(ii)
1
x2
16
3
und
−7
3
≤x<
15
4
und x ≤ 1,
≤ x1 ,
(iii) x = 5 + n1 (−1)n , n ∈ N, n ≥ 3.
Bestimmen Sie für die Mengen jeweils Infimum und Supremum, wenn diese existieren.
Begründen Sie gegebenenfalls die Nichtexistenz. Gehört das Infimum bzw. das Supremum
selbst zur Menge? (In dem Fall spricht man von Minimum bzw. Maximum.)
Aufgabe G2 Vollständige Induktion
Beweisen Sie für alle n ∈ N mit vollständiger Induktion
n
X
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
Aufgabe G3 Mengen
Es seien A und B beliebige Mengen. Zeigen Sie, dass
(A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A)
gilt.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass (A ∪ B) \ (A ∩ B) ⊂ (A \ B) ∪ (B \ A) gilt, und danach die
umgekehrte Inklusion.
1
Aufgabe G 4 Indirekter Beweis
Zeigen Sie durch indirekten Beweis:
(i) Ist n4 für n ∈ N ungerade, so ist auch n ungerade.
(ii) Das Supremum der Menge [2, 3[ ist 3.
Aufgabe G 5 Abbildungen, kartesisches Produkt, Graph
a) Sei A = {a, b}. Geben Sie alle Abbildungen von A nach A mit Definitionsmenge A an.
Bestimmen Sie jeweils die Bildmenge, den Graphen der Abbildung und das Urbild von
{a} bzgl. der Abbildungen.
b) Seien M = {1, 2, 3} und N = {4, 5, 6}, seien x ∈ M und y ∈ N und sei G =
{(2, 5), (x, 4), (3, y)}.
(i) Geben Sie ein x ∈ M und ein y ∈ N an, so dass G nicht der Graph einer Abbildung
ist.
(ii) Geben Sie ein x ∈ M und ein y ∈ N an, so dass G der Graph einer Abbildung ist.
Begründen Sie jeweils Ihre Aussagen.
c) Skizzieren Sie die folgenden Mengen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Welche
Menge ist der Graph einer Abbildung? Begründen Sie Ihre Antwort. Geben Sie gegebenenfalls die zugehörige Abbildung an.
(i) A = {(x, y) | x ∈ N, y ∈ N, 5y ≤ x + 3}
(ii) B = {(x, y) | x ∈ R, y ∈ R, x − y = 0}
(iii) C = {(x, y) | x ∈ R, y ∈ R, x ≤ y ≤ 2x}.
d) Sei G = [0, 5] × {3}. Ist G der Graph einer Abbildung? Falls ja, geben Sie die zugehörige
Abbildung an. Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe G 6 Vollständige Induktion und Ungleichungen
Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt:
1. (1 + n1 )n ≥ 2 (Verwenden Sie eine geeignete Ungleichung aus der Vorlesung.)
2. n! ≤ 2( n2 )n (Vollständige Induktion)
Hinweis: Benutzen Sie Teil 1.
Es gilt (1 + n1 )n nn = ((1 + n1 )n)n = (n + 1)n .
2
Aufgabe G 7 Injektivität, Surjektivität, Umkehrabbildung
a) Bezeichne S die Menge aller Studenten an der TU-Darmstadt und D die Menge aller
Daten eines Jahres.
1. Sei f : S → D mit D(f ) = S die Abbildung, die jedem Studenten aus der Menge
S das Datum seines Geburtstages zuordnet. Ist f injektiv, surjektiv oder bijektiv?
Was ändert sich, wenn die Menge S durch die Menge aller an Ihrem Tisch sitzenden
Studenten ersetzt wird?
2. Sei M die Menge aller an der Universität Duisburg-Essen vergebenen Matrikelnummern und g : S → M mit D(g) = S die Abbildung, die jedem Studenten seine
Matrikelnummer zuordnet. Ist g injektiv, surjektiv oder bijektiv? Was ändert sich,
wenn die Menge M durch die Menge der natürlichen Zahlen ersetzt wird?
b) Untersuchen Sie die Funktionen
f1 : R →, R x 7→ 3x + 29,
f2 : [0, ∞[→ R, x 7→ 3x + 29,
g1 : Z → Z, x 7→ x2 , und
g2 : Z → N0 , x 7→ x2 , D(g2 ) = Z
auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität und geben Sie jeweils das Bild der Funktion
an. Geben Sie auch die Umkehrfunktion an, falls diese existiert.
Aufgabe G 8 Komposition von Abbildungen
a) Seien
g : R → Z,
g(x) := sup{z ∈ Z | z ≤ x},
h : N → N,
h(n) := 3n + 2,
p : R → R,
p(x) :=
q : R → R.
x2 + x
,
x2 + 1
q(x) := x + 1,






η
für
η>0
v(η) :=  5
für
η = 0,
−η für
r : R → R2 , r(x) := (x, x + x).
η<0
v : R → R,




Welche der folgenden Hintereinanderausführungen ist ”sinnvoll”: g ◦ h, h ◦ g, p ◦ q, r ◦ q,
q ◦ r, h ◦ v, g ◦ v? Bestimmen Sie bei diesen die Bildbereiche (außer bei p ◦ q) und die sich
ergebende Abbildungsvorschrift.
3
b) Finden Sie zwei Abbildungen f1 und f2 , so dass f1 ◦ f2 = f2 ◦ f1 gilt. Gilt diese Aussage
für alle Abbildungen? Begründen Sie Ihre Antworten.
Aufgabe G 9 Ungleichungen
Bestimmen Sie jeweils alle x ∈ R, welche die Ungleichung
a)
1 − x < |x + 1|
b)
x + |x| < x − 1| − 1
erfüllen. Welche x ∈ R erfüllen beide Ungleichungen?
Aufgabe G 10 Systeme von Ungleichungen
Seien folgende Mengen gegeben:
(i)
M1 = {(x, y) ∈ R2 | x + 3 ≤ 3y}
(ii)
M2 = {(x, y) ∈ R2 | x − 2 ≥ 12 y}
(iii)
M3 = {(x, y) ∈ R2 | −x ≥ y − 5}
(iv)
M4 = {(x, y) ∈ R2 | x ≤ −y + 6}
(v)
M5 = {(x, y) ∈ R2 | −x + 4 ≥ y}
a) Bestimmen Sie für jede der oben angegebenen Mengen eine Abbildung Fi = R2 → R,
i = 1, 2, 3, 4, 5, so dass die jeweilige Menge Lösungsmenge der Ungleichung Fi (x, y) ≥ 0
ist.
b) Zeichnen Sie die Lösungsmengen zu den folgenden Systemen von Ungleichungen in ein
kartesisches Koordinatensystem
(i) Fi ≥ 0, i = 1, 2, 3,
(ii) Fi ≥ 0, i = 1, 2, 4,
(iii) Fi ≥ 0, i = 1, 2, 5,
(F1 . . . . F5 bezeichnen die Abbildungen zu den Mengen M1 , . . . , M5 aus Aufgabenteil
a).)
c) Geben Sie die Lösungsmengen zu den drei Systemen von Ungleichungen aus Aufgabenteil
b) möglichst genau an.
Aufgabe G 11 Betrag, Dreiecksungleichungen, Ungleichungen
1. Aus der Definition des Betrages ergibt sich sofort für a ∈ R : |a| ≥ 0 und |a| = 0 genau
dann, wenn a = 0.
Zeigen Sie, dass für alle a, b ∈ R gilt
4
(i) |ab| = |a||b| (mittels Fallunterscheidung),
(ii) |a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung: ”4 Ungl.”),
(iii) | |a| − |b| | ≤ |a − b|.
2. Beschreiben Sie die Ungleichungen
(i) |x − 1| ≥ 5,
(ii) |x − 1| ≤ 5
jeweils möglichst einfach durch mehrere Ungleichungen mit logischen Verknüpfungen ohne
Verwendung des Betrages.
Bestimmen Sie die Lösungsmengen und skizzieren Sie diese auf dem Zahlenstrahl.
Aufgabe G 12 Obere Schranke für Sinus
Zeigen Sie, dass für jedes x ∈ R und jedes n ∈ N die Ungleichung
| sin(nx)| ≤ n| sin(x)|
gilt.
Gilt die Ungleichung | sin(ax)| ≤ a| sin(x)| für beliebige a > 0 und x ∈ R?
Aufgabe G 13 Rechnen mit komplexen Zahlen
Gegeben seien folgende komplexe Zahlen
z1 = 3 + 4i z2 = (−2, 1) z3 = 7 − i.
a) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von z1 , z2 , z3 .
b) Schreiben Sie die komplexen Zahlen z1 , z2 und z3 sowohl als Zahlenpaare (Klammerschreibweise) als auch in der Form x + iy mit x, y ∈ R.
c) Berechnen Sie z1 + z3 , z1 − z2 , z2 , z1 z2 , zz21 und |z1 |.
Aufgabe G 14 Polarstellung
Seien z1 = 2i und z2 = − √42 + i √42 .
a) Bestimmen Sie die Polardarstellungen von z1 und z2 .
b) Bestimmen Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus a) die Polardarstellungen von
z3 = z1 z2 und z4 = zz12 .
Hinweis: Benutzen Sie die Schreibweise mit der Exponentialfunktion.
c) Geben Sie z3 und z4 in der Form x + iy mit x, y ∈ R an.
5
d) Zeichnen Sie z1 , z2 , z3 und z4 in eine komplexe Ebene ein und interpretieren Sie die Multiplikation mit z2 und die Division mit z2 geometrisch.
Aufgabe G 15 Wurzeln komplexer Zahlen
Aus der Vorlesung sind n-te Einheitswurzeln bekannt. Wir wollen das etwas verallgemeinern.
Satz
Sei a ∈ C mit a 6= 0 und a = |a| exp(iϕ). Dann hat die Gleichung
z n = a,
z∈C
mit n ∈ N genau n verschiedene Lösungen. Diese sind
zk =
q
=
q
n
n
|a| exp i
ϕ + 2πk
n
ϕ + 2πk
ϕ + 2πk
+ i sin
|a| cos
n
n
für k = 0, 1, . . . , n − 1.
Aufgaben:
a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z 3 = 1 in C in Polarkoordinatenschreibweise.
Geben Sie diese auch als x + iy mit x, y ∈ R an.
b) Welche Lösungen ergeben sich für z 3 = 27 in C? Interpretieren Sie diese Lösungen
geometrisch.
Aufgabe G 16 Rationale Folgen
Untersuchen Sie die untenstehenden Folgen auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls
den Grenzwert.
1. Folge (bn )n∈N mit bn =
n3 + n + 2
.
6n7 + 5n4 + n2 + 1
2. Folge (an )n∈N mit an =
n3 + n + 2
.
n2 + 1
3. Folge (cn )n∈N mit cn =
3
n
+ n2 + 1
10n3 + n2
4. Folge (dn )n∈N mit dn = 1 +
1
1
n
3
2
.
n
.
6
Aufgabe G 17 Folge von Summen
1. Für welche y ∈ R ist (an )n∈N mit an := (2y)n konvergent, und welche Grenzwerte gibt
es? Was lässt sich im Falle der Divergenz über die Art der Divergenz sagen?
2. Die Summenformel der endlichen geometrischen Reihe lautet




1 − xn+1
, falls x 6= 1
xk =  1 − x

 n+1
k=0
, falls x = 1.
n
X
Sei nun die Folge (sn )n∈N mit sn := nk=0 (2y)k definiert. Bestimmen Sie den Grenzwert
der Folge für y ∈ R, wenn er existiert. Was lässt sich hier im Falle der Divergenz über
die Art der Divergenz sagen?
Hinweis: Aus der Vorlesung ist bereits bekannt, dass limn→∞ can = c limn→∞ an gilt
für c ∈ R und eine konvergente Folge (an )n∈N ⊂ R, weil es das Produkt konvergenter
Folgen ist. Ferner gilt, dass für eine divergente Folge (bn )n∈N ⊂ R und eine Konstante
c ∈ R, c 6= 0, auch (cbn )n∈N ⊂ R divergent ist (warum?).
P
Aufgabe G 18 Monotonie, Beschränktheit, Einschließungskriterium
1. Seien a > 0 und x0 > 0 rationale Zahlen. Die Folge (xn )n∈N sei rekursiv durch
a
1
xn +
:=
2
xn
xn+1
definiert.
(a) Berechnen Sie x4 für x0 := 1 und a := 3. Vergleichen Sie mit
√
3.
(b) Zeigen Sie, dass für alle a > 0 und x0 > 0 gilt, dass x2n ≥ a ist. Zeigen Sie dann, dass
die Folge monoton fällt. Ist die Folge also konvergent in R? Begründen Sie genau!
(c) Berechnen Sie nun den Grenzwert.
Hinweis: Da man weiß, dass die Folge konvergiert, setzt man x := limn→∞ xn =
limn→∞ xn+1 .
Bei der vorliegenden Definition handelt es sich um das sogenannte ”Babylonische
Wurzelziehen”. Es stellt ein sehr frühes Näherungsverfahren für die Bestimmung von
Wurzeln dar.
2. Untersuchen Sie die Folge (xn )n∈N mit
xn :=
sin2 n
n
auf Konvergenz.
Hinweis: Benutzen Sie das Einschließungskriterium.
7
Aufgabe G 19 Folgen
Der Institutsleiter Prof Dr. Akribe nimmt es mit den Messergebnissen sehr genau. Er hält
seine Studenten dazu an, ihre Messwerte unendlich genau zu messen, da er davon ausgeht, dass
Studenten unendlich viel Zeit haben. Im Praktikum soll die elektrische Leistung von Heizele2
menten bestimmt werden, die sich mittels der Formel P = UR berechnen lässt. Widerstände
R sind selbstredend immer positiv und niemals 0. Jeder Student misst nun unendlich oft den
Widerstand R des Heizelements und die Spannung U die daran abfällt. Aus einer geschickten
Umrechnung der Daten ergeben sich die konvergenten reellen Folgen (Un )n∈N , (Rn )n∈N mit den
Grenzwerten U, R. Überprüfen Sie nun ob folgende Aussage wahr ist:
Die reelle Folge (Pn )n∈N R mit Pn =
2
tung P = UR .
Un2
Rn
ist konvergent und der Grenzwert ist die gesuchte Leis-
Aufgabe G 20 Cauchy-Folgen
Prüfen Sie durch Benutzung des Cauchy-Kriteriums ob nachstehende Folgen konvergieren:
a) Die Folge (an )n∈N mit
b) Die Folge (sn )n∈N mit
(−1)n
an := √ .
n
n
X
(−1)k
√ .
sn :=
k
k=1
c) Die Folge (dn )n∈N mit
dn :=
n
X
1
√ .
k
k=1
Welchen Vorteil des Cauchy-Kriteriums erkennen Sie?
Aufgabe G 21 Eigenschaften von Funktionen
Geben Sie eine maximale Definitionsmenge D ⊂ R für die Funktion
f : x 7→
1
1+x
an, und untersuchen Sie die Funktion auf Monotonie und geben Sie maximale Teilmengen von
D an, auf denen die Monotonie erhalten bleibt.
Aufgabe G 25 Häufungspunkte
Bestimmen Sie für die untenstehenden Folgen - sofern sie existieren - alle Grenzwerte und alle
Häufungspunkte der Mengen M = {an : n ∈ N}.
8
(i) an =
1
n
für alle n ∈ N,
(ii) an = (−1)n für alle n ∈ N,
(iii) an = (−1)n +
1
n
für alle n ∈ N,
n
(iv) bn = n(−1) für alle n ∈ N.
Aufgabe G 26 Grenzwerte
Gegeben sei die Funktion
f (x) =










√
x4 + 2x3 − x − 2
x < −2
(x − 2)(x + 2)
x = −2
0









3
− cos((x − 2)π) x > −2.
4
Untersuchen Sie, ob folgende Grenzwerte existieren und berechnen Sie sie gegebenenfalls:
(i) der linksseitige Grenzwert an der Stelle x0 = −2,
(ii) der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle x0 = −2,
(iii) der Grenzwert für x → ∞.
Hinweis: Testen Sie, welche Nullstellen des Nennerpolynoms auch Nullstellen des
Zählerpolynomes sind.
Aufgabe G 27 Häufungspunkte
Seien f, g : R → R mit D(f ) = D(g) = D und D(f /g) = {x ∈ D | g(x) 6= 0}. Es gelte
zusätzlich limx→z f (x) = a.
Zeigen Sie:
Aus z ∈ H(D) und x→z
lim g(x) = b 6= 0 folgt z ∈ H(D(f |g)).
Aufgabe G 28 Stetigkeit
Sei f : R → R, D(f ) = R \ {0} gegeben mit
f (x) = x2 · sin
1
.
x
Wie könnte man f an der Stelle x0 = 0 definieren, so dass die entstehende Funktion f˜ stetig
ist?
Hinweis: Die so entstehende Funktion f˜ ist eine stetige Fortsetzung der Funktion
1
2
ˆ
, x ∈ R \ {0}
f = x · sin
x
im Punkt 0.
9
Aufgabe G 29 Stetigkeit
(i) In welchen Punkten ist die Funktion f : R → R, mit
f (x) =





0 x≤0
1
n




1
n
≤x<
1
,
n−1
n ∈ N \ {1}
1 x ≥ 1.
stetig?
Hinweis: Skizzieren Sie den Funktionsverlauf.
(ii) Berechnen Sie Zahlen b, c ∈ R so, dass die folgende Funktion stetig ist.


b2



·x
für x ≤ 1
g : R → R, g(x) =  −2b · x2 − 1



b+c
für 1 < x < 3
für x ≥ 3.
Aufgabe G 30 Stetigkeit
Sei ein x0 ∈ (0, ∞) beliebig gewählt. Zeigen Sie, dass für die Funktion f : R → R, x 7→
Für ein beliebiges ε > 0 gibt es ein δ = δ(ε), so dass gilt:
√
x gilt:
|f (x) − f (x0 )| < ε für alle x ∈ (0, ∞) mit |x − x0 | < δ.
Aufgabe G 31 Schnittstellen
Gegeben seien die Funktionen f und g mit
f (x) = x2 ,
x∈R
und
g(x) = cos x,
x ∈ R.
a) Benutzen Sie den Zwischenwertsatz, um nachzuweisen, dass die Graphen der beiden Funktionen sich schneiden.
b) Bestimmen Sie eine Stelle, an der sich die Graphen der Funktionen schneiden, mit Hilfe
des Bisektionsverfahrens auf eine Nachkommastelle genau.
Aufgabe G 32 Gleichmäßige Stetigkeit
Gegeben seien die Funktionen
f (x) =
1
1
,
x
∈]0,
1]
und
g(x)
=
, x ∈ [1, ∞[.
x2
x2
Untersuchen Sie die Funktionen f und g auf Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit.
10
Aufgabe G 33 Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten
a) Untersuchen Sie die Funktion
f (x) = x · |x|, x ∈ R
auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie gegebenenfalls ihre Ableitung.
b) Sei r ∈]0, ∞[. Betrachten Sie die Funktion
( √
r 2 − x2
f : R → R, f (x) =
0
für x ∈ [−r, r]
für x ∈ R \ [−r, r].
In welchen Punkten x ∈ R ist f differenzierbar? Berechnen Sie gegebenenfalls die
Ableitung f 0 (x) als Grenzwert des Differenzenquotienten.
Aufgabe G 34 Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Die zweite Ableitung einer Funktion kann man auch als Krümmung des Graphen auffassen.
Ist sie positiv, so durchläuft man eine Linkskurve, ist sie negativ, so durchläuft man eine
Rechtskurve, wenn man den Graphen für wachsendes x abschreitet. Zeigen Sie, dass für jede
Funktion f : R → R mit [0, 3] ⊂ D(f ) und
f (0) = 0; f (1) = 1; f (3) = 3,
deren 2. Ableitung auf [0, 3] stetig ist, gilt, dass die Krümmung für ein ξ ∈]0, 3[ mindestens
einmal Null annimmt.
Interpretation: Das heißt verallgemeinert, dass man mindestens einen Moment lang geradeaus gehen muss, wenn man drei Punkte auf einer Geraden mit einer Kurve mit stetiger
Krümmung verbinden will.
Aufgabe G 35 Differenzierbarkeit
Wie oft ist die Funktion
(
f (x) =
x2 sin( x1 ) x ∈ R \ {0}
0
x=0
auf R differenzierbar? Geben Sie gegebenenfalls die Ableitung an.
Aufgabe G 36 Knobelaufgabe: Ableitung als Geschwindigkeit
Die Entferngung zwischen Darmstadt und Heidelberg betrage genau 54km. Die Fahrtzeit mit
der Bahn soll exakt 30min betragen. Da der Zug im Mittelstück der Fahrt konstant seine
Durchschnittsgeschwindigkeit 54km
= 30 ms auch als Momentangeschwindigkeit halten soll, sieht
0,5h
sich der Lokführer dazu gezwungen, in Darmstadt zunächst genau einmal zu beschleunigen, und
dann einmal so abzubremsen, dass er anschließend genau sein Reisetempo erreicht. Exakt auf
11
dieselbe Weise leitet er die Bremsung ein. Er beschleunigt erst an einem ihm bekannten Punkt
und bremst dann voll ab, um den Fahrplan einzuhalten. Schafft er das, ohne das generelle
Tempolimit von 180 km
= 50 ms zu überschreiten? Die Beschleunigung und Bremsung sollen mit
h
exakt derselben Größe von a = 21 sm2 erfolgen.
Hinweis: Das Weg-Zeit-Gesetz für eine gleichmäßige beschleunigte Bewegung lautet
1
s(t) = at2 + v0 t + s0 ,
2
t ∈ [0, ∞[,
wobei v0 und s0 die Geschwindigkeit bzw. der Ort zum Zeitpunkt t = 0 sind, wenn dieses
Gesetz ab t = 0 gültig ist! a ist die Beschleunigung. Geschwindigkeiten sollen stetig von der
Zeit abhängen, Beschleunigungen müssen nur stückweise stetig in der Zeit sein.
Aufgabe G 37 Kurvendiskussion
Gegeben ist die Funktion
1
f (x) = x −
· e10x .
5
Bestimmen Sie
a) die Nullstellen von f ,
b) die lokalen Minima bzw. Maxima von f ,
c) die Wendepunkte von f .
d) in welchen Bereichen ist die Funktion f monoton wachsend bzw. monoton fallend, konvex
bzw. konkav?
e) bestimmen Sie die Tangente an f an der Stelle x = 0,
f) berechen Sie limx→−∞ f (x),
g) skizzieren Sie die Funktion.
Aufgabe G 38 Taylorpolynom
Gesucht sind das Taylorpolynom vom Grad n und eine Abschätzung des Restgliedes Rn (x) in
der Taylorformel (Entwicklungsstelle x = x0 ) für die folgenden Funktionen:
1
a) f (x) = (1 + sin x) 2 für |x| ≤ π6 , x0 = 0 und n = 2,
√
b) f (x) = 1 + x für |x| ≤ 12 , x0 = 0 und n = 3.
12
Aufgabe G 39 Reihen
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf (absolute) Konvergenz bzw. Divergenz. Bestimmen
Sie bei a), c) und g) den Grenzwert der Reihe.
∞
X
2 + (−3)n
4n
n=1
a)
b)
∞
X
n=1
8
2n
2n + 3n
∞
X
1
n=2 (n − 1)n(n + 1)
c)
Hinweis: Beweisen Sie zunächst
d)
∞
X
1
1
1
1
=
− +
(n − 1)n(n + 1)
2(n − 1) n 2n + 1
(−1)n ,
n=1
e)
f)
∞
X
1
(−1)n √ ,
n
n=1
∞
X
1
1 n,
n=1 (2 − n )
∞
X
1
1
sin
− sin
.
g)
n
n+1
n=1
Aufgabe G 40 Integration
(i) Sei f : R → R, D(f ) = R mit x 7→ 12 e−|x−5| , Berechnen Sie
R7
−2
f (x)dx.
(ii) Sei g : R → R, D(g) = [−3, 1] mit
(
g(y) =
Berechnen Sie
R1
−3
y 3 + 6y 2 + 12y + 8 −3 ≤ y < −1
y 2 − 13
−1 ≤ y ≤ 1.
g(y)dy und interpretieren Sie das Ergebnis!
Aufgabe G 41 Stammfunktionen
Seien die Funktionen F, G :] − 1, ∞[→ R, D(F ) = D(G) =] − 1, ∞[ gegeben durch
F (x) = − arctan x,
G(x) = arctan
1−x
.
1+x
a) Zeigen Sie, dass F und G Stammfunktionen derselben Funktion f sind und bestimmen
Sie f .
13
b) Welche Form haben alle Stammfunktionen von f ?
c) Bestimmen Sie eine Konstante c ∈ R, so dass für alle x ∈] − 1, ∞[ die Gleichung
G(x) = F (x) + c gilt.
Aufgabe G 42 Integration
Gegeben sei die Funktion f : R → R, D(f ) = R durch
f (x) = −2(x + 2)(x − 1.5) + 4.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, welche oberhalb der x-Achse durch den Graphen
und die x-Achse eingeschlossen wird.
Aufgabe G 43 Integration
(i) Berechnen Sie das folgende uneigentliche Integral.
Z ∞
e−2x cos xdx.
0
(ii) Gegeben sei die Funktion f : R → R, D(f ) = R \ {1, 2} durch
f (x) =
x
.
(x − 1)(x − 2)2
Bestimmen Sie Koeffizienten A, B, C ∈ R so, dass gilt
f (x) =
A
B
C
+
+
. (∗)
(x + 1) (x − 2) (x − 2)2
Benutzen Sie nun die Darstellung aus (∗), um das Integral
Z 0
f (x)dx
−1
zu berechnen.
Anmerkung: Die Methode, welche zur Darstellung (∗) führt, heißt Partialbruchzerlegung.
Aufgabe G 44 Quotientenkriterium, Cauchy-Produkt
Gegeben sei die Reihe
∞
X
(n + 1) · q n , |q| < 1.
n=0
(i) Ist die Reihe konvergent bzw. absolut konvergent?
14
1 2
(ii) Zeigen Sie unter Verwendung des Cauchy-Produktes, dass der Wert der Reihe ( 1−q
) ist.
Aufgabe G 45 Reihen
Überprüfen Sie anhand geeigneter Kriterien, ob die folgenden Reihen konvergieren bzw. absolut
konvergieren. Bestimmen Sie für (i) und (v) den Grenzwert der Reihe.
(i)
∞
X
2 + (−3)k
4k
k=0
(iii)
(v)
∞
X
√
( n n − 1)n
n=1
∞
X
∞
X
(ii)
n=1
∞
X
(iv)
k−1
28 + (−3)
4k+2
k=1
(−1)n ·
(vi)
15
(√
n=2
∞
X
n+1
n
1
1
+√
)
n−1
n+1
1
√ .
n=1 n n