Unendliche Gruppen als geometrische Objekte

Unendliche Gruppen als geometrische Objekte
Ralf Meyer
Georg-August-Universität Göttingen
12. November 2004
1
Endlich erzeugte Gruppen und die Wortmetrik
Wir definieren endlich erzeugte Gruppen und führen einige grundlegende Konstruktionen für sie ein,
nämlich den Cayleygraphen, die Wortlänge und die Wortmetrik. Wir betrachten dabei die Beispiele F2
und Z2 , die freie Gruppe und die freie Abelsche Gruppe mit zwei Erzeugern.
1.1
Erzeugendensysteme und Cayleygraphen
Sei G eine diskrete Gruppe.
Definition 1. S ⊆ G heißt Erzeugendensystem, wenn S = S −1 und
Erzeugendensystem, so heißt G endlich erzeugt.
S∞
n=0
S n = G. Gibt es ein endliches
Beispiel 2. Z2 ist endlich erzeugt mit S = {(±1, 0), (0, ±1)} oder S 0 = S ∪ {(1, 1), (−1, −1)}.
Beispiel 3. Q ist nicht endlich erzeugt.
Definition 4. Der Cayleygraph Cay(G, S) hat G als Eckenmenge und eine Kante zwischen g, h ∈ G,
falls g −1 h ∈ S. Also G ⊆ Cay(G, S).
1.2
Wortlänge und Wortmetrik
Definition 5. Die Wortlänge `(g) sei das kleinste n ∈ N mit g ∈ S n .
Eigenschaften: `(1) = 0, `(g) = `(g −1 ), `(gh) ≤ `(g) + `(h).
Definition 6. Definiere d(g, h) = `(g −1 h). Dies ist eine Metrik auf G, genannt Wortmetrik zu S.
Wir metrisieren Cay(G, S) so, dass die Kanten isometrisch zu [0, 1] sind und d(x, y) die Länge des
kürzesten Wegs von x nach y ist.
ι : G → Cay(G, S) ist eine isometrische Einbettung.
Die freie Gruppe F2 und ihr Cayleygraph
Die freie Gruppe hat Elemente
am0 bn0 · · · amk bnk ,
m0 , . . . , nk ∈ Z, n0 , . . . , mk 6= 0.
Wähle als Erzeugendensystem S = {a±1 , b±1 }. Wir schreiben auch e
a = a−1 , eb = b−1 . Zum Beispiel gilt
`(ababa−5 ) = 9,
d(ababa, ab2 ) = 4.
b2
b
be
a
ba
ab
e
ab
e
a2
a
1
e
a
e
aeb
a2
aeb
ebe
a
eb
eba
eb2
Abbildung 1: Der Cayleygraph von F2
2
Grobe geometrische Strukturen
Wozu grobe geometrische Strukturen?
• Die bisherigen Konstruktionen hängen ab von der Wahl eines endlichen Erzeugendensystems.
• Verschiedene Wortmetriken sollten äquivalent sein.
• Vergleichbare Situation in der Analysis: Definiert man die Konvergenz von Folgen in R2 mit dem
-δ-Kriterium, so liefern viele verschiedene Metriken auf R2 den gleichen Konvergenzbegriff. Denn
Konvergenz hängt nur von der Topologie ab.
• Alle Wortmetriken definieren dieselbe grobe geometrische Struktur.
Mengen benachbarter Punktepaare
Definition 7. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Wir nennen R ⊆ X × X kontrolliert, falls es ein r > 0
gibt mit d(x, y) ≤ r für alle (x, y) ∈ R.
Sei K (X, d) die Menge aller kontrollierten Teilmengen von X × X.
• Wir fassen Teilmengen von X × X als Relationen in X auf und schreiben xRy statt (x, y) ∈ R.
• Eine grobe geometrische Struktur auf X ist eine Menge von Relationen mit ähnlichen Eigenschaften
wie K (X, d).
• Wir benötigen folgende Konstruktionen mit Relationen:
∆X = {(x, x) | x ∈ X}
(reflexiv),
t
R = {(x, y) | yRx}
R ◦ S = {(x, y) | ∃z ∈ X : xRz, zSy}
2
(symmetrisch),
(transitiv).
Vergleiche die Definition von Äquivalenzrelationen.
2.1
Definition grober geometrischer Strukturen
Definition 8 (John Roe, coarse space). Sei X ein Hausdorffscher topologischer Raum. Eine Menge K von Relationen in X heißt grobe geometrische Struktur auf X, falls gilt:
• Teilmengen: R ⊆ S, S ∈ K ⇒ R ∈ K .
• Vereinigungen: R ∈ K , S ∈ K ⇒ R ∪ S ∈ K .
• Transposition: R ∈ K ⇒ Rt ∈ K .
• Verknüpfung: R ∈ K , S ∈ K ⇒ R ◦ S ∈ K .
• Verträglichkeit mit Topologie: K enthält eine offene Umgebung von ∆X .
• Eigentlichkeit: eine Teilmenge von X ist genau dann abgeschlossen und beschränkt, wenn sie kompakt ist.
Dabei heißt B ⊆ X beschränkt, wenn B × B ∈ K .
Beispiel 9. Ist X kompakt, so ist notwendig K (X) = P(X).
2.2
Beispiele: metrische Räume, Gruppen und Gruppenwirkungen
Beispiel 10. Sei (X, d) ein eigentlicher metrischer Raum, das heißt, beschränkte abgeschlossene Teilmengen von X sind kompakt. Dann ist K (X, d) eine grobe geometrische Struktur auf X.
Beispiel 11. Sei G eine beliebige Gruppe. Für eine endliche Teilmenge S setze
x ∼S y ⇐⇒ x−1 y ∈ S.
Nenne R ⊆ X × X kontrolliert, falls es eine endliche Teilmenge S ⊆ G gibt mit R ⊆∼S .
Dies definiert eine grobe geometrische Struktur K (G) auf G, genannt linksinvariante grobe geometrische Struktur.
Isometrische Gruppenwirkungen
Definition 12. Eine G-Wirkung auf X heißt isometrisch bezüglich einer groben geometrischen Struktur K und K heißt G-invariant, falls R ∈ K ⇒ G · R ∈ K . (G wirkt durch g(x, y) = (gx, gy).)
Beispiel 13. Wirkt G isometrisch auf einem eigentlichen metrischen Raum (X, d), so ist die Wirkung
auch isometrisch bezüglich K (X, d).
Beispiel 14. Die linksinvariante grobe geometrische Struktur auf einer Gruppe G ist invariant unter der
Wirkung G × G → G durch Linksmultiplikation.
Grobe geometrische Strukturen auf Gruppen
Satz 15. Ist G endlich erzeugt und ist d eine Wortmetrik auf G, so stimmt K (G, d) mit der linksinvarianten groben geometrischen Struktur überein.
Korollar 16. Alle Wortmetriken auf einer endlich erzeugten Gruppe definieren dieselbe grobe geometrische Struktur.
Die linksinvariante grobe geometrische Struktur ist auch für Gruppen definiert, die nicht endlich
erzeugt sind.
3
Eigentliche und kokompakte Gruppenwirkungen
Definition 17. Sei X ein topologischer Raum mit einer stetigen G-Wirkung. Die Wirkung heißt
• eigentlich, falls für kompaktes K ⊆ X die Menge der g ∈ G mit gK ∩ K 6= ∅ endlich ist.
• kokompakt, falls es eine kompakte Teilmenge K ⊆ X gibt mit G · K = X.
Beispiel 18. Die Wirkung von G auf sich und auf Cay(G, S) ist kokompakt und eigentlich. Ebenso die
Wirkung von Z2 auf R2 .
Die triviale Wirkung von G auf X ist nur dann eigentlich, wenn G endlich ist, und nur dann kokompakt, wenn X kompakt ist.
Grobe geometrische Struktur für Gruppenwirkungen
Satz 19. Zu einer eigentlichen, kokompakten Gruppenwirkung G × X → X gibt es genau eine Ginvariante grobe geometrische Struktur. Diese ist gleich K (X, d), wenn d eine G-invariante, eigentliche,
stetige Metrik auf X ist.
Beweis.
• Für K ⊆ X kompakt setze x ∼K y falls gx ∈ K, gy ∈ K für ein g ∈ G. Diese Relation ist
kontrolliert für jede G-invariante grobe geometrische Struktur.
• Die Teilrelationen von ∼K für kompakte K ⊆ X bilden bereits eine grobe geometrische Struktur
auf X. Dies ist eine minimale G-invariante grobe geometrische Struktur. Der Beweis benutzt die
Eigentlichkeit und Kokompaktheit der Wirkung.
Wegen der Eigentlichkeit der Wirkung gibt es zu kompaktem K ⊆ X eine kompakte Teilmenge
L ⊆ G mit gy, hy ∈ K =⇒ h ∈ Lg. Also x ∼K y ∼K z =⇒ x ∼LK z. Es gibt U ⊆ X offen
und relativ kompakt mit G · U = X. Die Relation ∼U ist kontrollierte offene Umgebung von
∆X ⊆ X × X. Aus der Eigentlichkeit der Wirkung folgt, dass beschränkte Teilmengen relativ
kompakt sind.
• Diese grobe geometrische Struktur ist auch maximal.
Für den Beweis wähle irgendeine grobe geometrische Struktur mit den gewünschten Eigenschaften.
Sei R eine kontrollierte Relation. Vergrößere R so, dass G · R = R. Wähle S ⊆ X kompakt mit
G · S = X. Wegen der Eigentlichkeit der groben geometrischen Struktur gibt es eine kompakte
Teilmenge K ⊇ S mit xRy, x ∈ S =⇒ y ∈ K. Aus G · R = R und G · S = X folgt nun R ⊆∼K ,
wie gewünscht.
3
Geometrie im Unendlichen
Eine Gruppe versehen mit der Wortmetrik ist kein besonders schönes geometrisches Objekt. Häufig hat
eine Gruppe aber eine eigentliche, isometrische und kokompakte Wirkung auf einem Raum X mit viel
besseren geometrischen Eigenschaften. Das Hauptresultat dieses Abschnitts ist, dass die Gruppe G und
der G-Raum X grob äquivalent sind. Das bedeutet, dass sie dieselbe Geometrie im Unendlichen haben
und daher für viele Probleme der eine Raum durch den anderen ersetzt werden darf.
3.1
Definition der groben Kategorie
Definition 20.
• Ein Morphismus grober geometrischer Räume ist eine Abbildung f : X → Y mit folgenden Eigenschaften:
– kontrolliert: f × f (R) ∈ K (Y ) für alle R ∈ K (X);
– eigentlich: f −1 (B) ist beschränkt, falls B beschränkt ist;
– f ist (Borel-)messbar, aber nicht notwendig stetig.
4
• Zwei Morphismen f, f 0 : X → Y heißen nahe, f ∼ f 0 , wenn die durch f (x) ∼ f 0 (x) für alle x ∈ X
definierte Relation zu K (Y ) gehört. Das heißt, f × f 0 (∆X ) ∈ K (Y ).
• Sei C (X, Y ) die Menge der ∼-Äquivalenzklassen von Morphismen X → Y .
• Dies definiert eine Kategorie C , genannt die grobe Kategorie von Räumen mit grober geometrischer
Struktur.
• Ein Morphismus f heißt grobe Äquivalenz, wenn er in C invertierbar ist. (Es gibt g mit f ◦ g ∼ Id,
g ◦ f ∼ Id.)
Die obige Definition der groben Kategorie weicht in zwei Punkten von der natürlichen“ Definition ab:
”
Erstens verlangen wir nicht, dass Morphismen stetig sind; zweitens identifizieren wir nahe Morphismen.
Dies ist das Wesentliche an der Definition. Dadurch wird sichergestellt, dass die grobe Kategorie nur die
globale Struktur unserer Räume sieht.
Grobe Äquivalenz von Gruppen und ihren Wirkungen
Satz 21. Sei X ein eigentlicher kokompakter G-Raum, sei x ∈ X. Versehe X mit der G-invarianten
groben geometrischen Struktur. Die Abbildung ι : G → X, g 7→ g · x, ist eine grobe Äquivalenz.
Beweis.
S
Abbildung 2: Beispiel G = Z2 , X = R2
• Wähle S ⊆ X kompakt mit G · S = X und x ∈ S.
`
• Finde Fg ⊆ g · S messbar mit X = Fg .
• Definiere π(x) = g für x ∈ Fg .
• ι und π sind Morphismen.
• π ◦ ι ∼ IdG , ι ◦ π ∼ IdX .
3.2
Beispiele grober Äquivalenz
Beispiel 22. G ist grob äquivalent zu Cay(G, S). Insbesondere ist F2 äquivalent zu einem Baum. Z2 ist
äquivalent zu einem Gitter in R2 .
Beispiel 23. Zn ist grob äquivalent zu Rn für alle n ∈ N.
f die universelle Überlagerung mit der
Beispiel 24. M sei kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit, M
f. Dies gilt aber nur für
üblichen Metrik. Dann ist die Fundamentalgruppe von M grob äquivalent zu M
kompaktes M .
5
Gerüste
Definition 25. Eine diskrete Teilmenge Xd ⊆ X heißt ein Gerüst für X, falls es R ∈ K (X) gibt mit
R ◦ Xd = X, wobei
R ◦ Xd = {x ∈ X | ∃y ∈ Xd : xRy}.
Wir versehen Xd mit der natürlichen groben geometrischen Struktur.
Satz 26. Jeder Raum mit grober geometrischer Struktur besitzt ein Gerüst.
Ist Xd ⊆ X ein Gerüst, so ist Xd → X eine grobe Äquivalenz.
Beweis.
• Sei U eine kontrollierte Umgebung von ∆X in X × X.
S
• Es gibt eine lokal endliche Überdeckung Ui = X mit Ui × Ui ⊆ U , da X parakompakt ist.
• Wähle xi ∈ Ui und setze Xd = {xi }. Dies ist diskret und U ◦ Xd = X.
`
• Wähle Bi ⊆ Ui mit Bi = X und definiere π(x) = xi für x ∈ Bi .
• π und ι : Xd → X sind zueinander inverse Morphismen.
Zusammenfassung
• (Unendliche) Gruppen tragen eine grobe geometrische Struktur.
Ist die Gruppe endlich erzeugt, so wird diese Struktur durch die Wortmetrik realisiert.
• Wirkt eine Gruppe eigentlich und kokompakt auf einem Raum X, so trägt X genau eine Ginvariante grobe geometrische Struktur.
• Die Räume X und G sind grob äquivalent.
• Was macht man jetzt damit?
– Eine ganze Reihe von Problemen der Gruppentheorie läßt sich nur unter geometrischen Voraussetzungen an die Gruppe lösen.
– Oft hängen globale Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit nur von der Fundamentalgruppe ab.
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