Amortisierte Analyse

Amortisierte Analyse
1 Motivation
Bei vielen Algorithmen treten Folgen von Operationen auf Datenstrukturen wie zum Beispiel
Stacks, Queues oder Heaps auf. Man ist dann daran interessiert die Zeit abzuschätzen, die eine
solche Folge von n Operationen im worst-case benötigt. Oftmals kennt man dabei die worst-case
Laufzeiten jeder einzelnen Operation, eine Abschätzung der Gesamtlaufzeit bei der man für
jede Operation den worst-case annimmt erweist sich jedoch in vielen Fällen als zu pessimistisch.
Amortisierte Analyse ist eine Technik, die es ermöglicht die durchschnittliche Laufzeit jeder
Operation in einer Sequenz von Operationen im worst-case abzuschätzen. Dadurch ist es in vielen
Fällen möglich, bessere obere Schranken an die Laufzeit bei n Operationen zu erhalten. Der
intuitive Grund dafür ist, dass nicht alle Operationen teuer sein müssen, da sie zur Ausführung
zum Beispiel vorangehende andere günstigere Operationen benötigen. Es gibt im Wesentlichen
drei verschiedene Vorgehensweisen bei der amortisierten Analyse: die Aggregatmethode, die
Guthaben-Methode und die Potentialmethode. Diese werden im Folgenden am Beispiel eines
Multipop-Stacks und eines Binärzählers vorgestellt.
Anwendungsbeispiel: Binärzähler Wir betrachten einen k-Bit Binärzähler. Dieser besteht aus
P
i
einem Array von k-Bits b0 , . . . , bk−1 , das die Zahl x = k−1
i=0 2 bi codiert. Dabei ist anfangs x = 0.
Der Binärzähler hat genau eine Operation increment, die x um 1 erhöht (modulo 2k ) und das
Bitarray entsprechend modifiziert. Die Kosten einer Inkrement-Operation seien dabei die Anzahl
der dafür benötigten Bitänderungen.
2 Die Guthaben-Methode
Die Idee der Guthaben-Methode ist es, einige Operationen so zu besteuern, dass sie effektiv die
Kosten anderer Operationen mittragen. Wir tun also so, als ob die Kosten dieser Operationen
höher sind als ihre tatsächlichen Kosten. Diese Kosten heißen amortisierte Kosten und der
Differenzbetrag zu den tatsächlichen Kosten wird dem Guthaben hinzugefügt. Dieses Guthaben
wird genutzt um die Kosten von Operationen zu tragen, deren amortisierte Kosten niedriger
als ihre tatsächlichen Kosten sind. Die Kunst besteht hier in der geeigneten Wahl amortisierter
Kosten, da sichergestellt werden muss, dass der Kontostand niemals negativ wird. Dadurch
erhält man durch die Summe der amortisierten Kosten eine obere Schranke an die Summe der
tatäschlichen Kosten.
Betrachten wir das Beispiel des Binärzählers: Die amortisierten Kosten für das Setzen eines Bits
auf 1 seien hier 2, für das Setzen eines Bits auf 0 hingegen seien sie 0. Das Guthaben entspricht
also zu jeder Zeit der Anzahl der auf 1 gesetzten Bits und ist daher nie negativ. Weiterhin wird
bei jeder increment-Operation höchstens ein Bit auf 1 gesetzt. (Genauer: Es wird immer genau
ein Bit auf 1 gesetzt, außer bei Erhöhung von x = 2k − 1.) Daher sind die amortisierten Kosten
jeder Operation höchstens 2 und es gilt wieder
T (n) =
n
X
i=1
ti ≤
n
X
ai ≤ 2n = O(n).
i=1
3 Die Potentialmethode
Bei der Potentialmethode definiert man eine geeignete Potentialfunktion Φ, die vom aktuellen
Zustand der Datenstruktur abhängt. Ähnlich wie bei der Guthaben-Methode kann ein positives
Potential genutzt werden, um die Kosten zukünftiger Operationen zu bezahlen. Dabei sei Φ(0) ≥ 0
als das Ausgangspotential vor der Ausführung jeglicher Operationen und Φ(i) das Potential nach
Operation i (man wählt meist Φ(0) = 0). Man beachte, dass das Potential nur vom Zustand
der Datenstruktur und damit nur indirekt von den vorangegangenen Operationen abhängt. Die
amortisierten Kosten werden dann als Summe der tatsächlichen Kosten und der Potentialänderung
definiert:
ai = ti + Φ(i) − Φ(i − 1).
Dann gilt für die Summe der amortisierten Kosten
n
X
ai =
i=1
n
X
ti + Φ(n) − Φ(0).
i=1
Wenn wir also sicherstellen können, dass für jedes i das Potential Φ(i) ≥ Φ(0) ist, dann ist die
Summe der amortisierten Kosten eine obere Schranke an die Summe der tatsächlichen Kosten
T (n) ≤
n
X
ai .
i=1
Im Beispiel des Binärzählers wählen wir als Potential die Anzahl der 1-en in unserem Feld. Diese
ist offenbar nie negativ. Angenommen die i-te Operation setzt ri Bits auf 0. Dann gilt für die
Kosten dieser Operation ti ≤ ri + 1, da höchstens ein weiteres Bit auf 1 gesetzt wird. Für das
neue Potential gilt dann Φ(i) ≤ Φ(i − 1) − ri + 1, also
Φ(i) − Φ(i − 1) ≤ 1 − ri .
Damit erhählt man für die amortisierten Kosten
ai = ti + Φ(i) − Φ(i − 1) ≤ ri + 1 + 1 − ri = 2
und insgesamt wieder
T (n) ≤
n
X
i=1
ai ≤ 2n = O(n).