Quadratische Gleichungen

Musteraufgaben
Aufgaben
1. Löse x durch Ausklammern!
2
x +31x=0
5. Bestimme die Lösungen:
a) x 2− x−2=0
a) x 2=64
b) 0,24 x 2−0,5 x−0,25=0
x ( x+31)=0
x 1=0
1. Löse mit der Lösungsformel!
x 2 : x+31=0
x 2=−31
2. Löse die Gleichung durch Ausklammern!
a) x 2−5x=0
b) 2x 2+16x=0
2. Löse mit der Lösungsformel!
2
c) 9x+3x =0
2
4x +6x−4=0
−6±√ 62−4 ⋅4 ⋅(−4)
x 1,2=
2 ⋅4
x 1=−2
x 2=
1
2
b) x 2=256
−6±√ 100
=
8
3. Löse die Gleichung durch Isolieren von x!
a) x 2−25=0
b) 36x−62 =0
4. Bestimme die Nullstellen der Graphen!
a) f ( x )=−x+x 2
b) f (x )=0,5 x 2−2x+2
c) 16x 2=400
Nebenrechnungen:
Lösungen:
1a)
−(−1)±√ (−1)2−4 ⋅1 ⋅(−2)
x 1/ 2=
2⋅1
x 1/ 2=
4a) x ( x−1)
b) x=
1± √1+8
2
x 1=2 ; x 2=−1
x=
b) x 1/ 2=
x 1/ 2=
x 1=0 ;
x 2=1
2±√ 4−4 ⋅0,5 ⋅2
2 ⋅0,5
2±0
1
Quadratische Gleichungen
x=2
Definition: Eine quadratische Gleichung ist eine
Gleichung die sich in der Form
2
ax +bx+c=0 mit a≠0 schreiben lässt.
Hierbei sind a, b und c die Koeffizienten und x
ist die Unbekannte.
0,5± √(−0,5)2−4 ⋅0,24 ⋅(−0,25)
2 ⋅0,24
0,5±0,7
0,48
x 1=2,5 ; x 2 = −0,41 66
5.a) x 1/ 2=±√ 64
x 1=8 ;
2a) x ( x−5)=0
x 1=0 ;
x 2=5
b) 2x ( x−8)=0
x 1=0 ;
x 2=8
c) 3x (3+ x)=0
3a) x 2=25
b) 36x=62
x 1=0 ;
x= √ 25
x=1
2
f(x)= ax +bx+c=0
→ a, b und c beliebige Zahlen
b) x 1/ 2=±√ 256
x 1=16 ;
x 2= −3
x 1=5 ;
1. Schritt: Um quadratische Gleichungen lösen zu
können, müssen sie in die allgemeine Form gebracht
werden.
x 2=−8
x 1= −5
c)
x 2=
400
16
x 1/ 2=±√ 25
x 2=−16
2
Bsp: 2x −4x−16=0
a
x 2=25
S
p
a
l
t
e
x 1=5 ;
x 2=−5
2
1
S
p
a
l
t
e
3
b
c
2. Schritt: Um das entsprechende x zu erhalten muss
in die Lösungsformel (Mitternachtsformel) eingesetzt
werden.
−b±√ b2−4ac
Mitternachtsformel: x1/2 =
2a
Tipp: Falls bei der allgemeinen Form kein c
vorhanden ist, kann man x ausklammern und dann
untersuchen für welches x die Gleichung 0 wird.
x ( x +b)=0 → x1 = 0 ; x2 = - b