2. ¨Ubung Höhere Mathematik III

Lehrstuhl II für Mathematik
Prof. Dr. E. Triesch
http://www.math2.rwth-aachen.de
WS 2006/07
2. Übung Höhere Mathematik III
Themen: Lokale und globale Extrema, Extremwerte mit Nebenbedingungen, Methode von Lagrange
Aufgabe 1.
a) Bestimmen Sie drei positive Zahlen, deren Summe 60 und deren Produkt maximal ist.
b)* Bestimmen Sie drei Zahlen, deren Summe 90 und deren Quadratsumme minimal ist.
Aufgabe 2.* Gegeben ist die Funktion
1 + x2
a) f (x) = q
für x ∈ R2 und B = {x | x1 2 +
2
1 + |x|
x22
4
2
≤ 1}.
x2
b) f (x) = arctan(|x|2 ) für x ∈ R2 und B = {x | (x1 −1)
+ 52 ≤ 1}.
2
i) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f im R2 .
ii) Bestimmen Sie die globalen Extrema von f auf dem kompakten Bereich B. Skizzieren Sie
B. Verwenden Sie bei der Untersuchung der Randellipse ∂B die Methode von Lagrange.
√
Lösung: a) i) lokales (und globales) Maximum in (0, 1) mit f (0, 1) = 2. ii) globales Minimum
in (0, −2) mit f (0, −2) = − √15 b) i) lokales (und globales) Minimum in (0, 0) mit f (0, 0) = 0.
√
√
ii) globales Maximum in 31 (5, ± 35)T mit f ( 31 (5, ± 35)) = arctan( 20
).
3
Aufgabe 3.* Ermitteln Sie alle Stellen, an denen mögliche Extrema von f : D → R unter der
Nebenbedingung g = 0 für g : D → R vorliegen.
a) D = R2 , f (x, y) = (x + 4y − 1)(1 + x2 + 4y 2 )−1/2 ,
g(x, y) = x2 + 4y 2 − 15
b) D = R2 , f (x, y) = (2x + y + 1)(1 + 2x2 − 4xy + 5y 2 )−1/2 , g(x, y) = 2x + y − 2
c) D = R3 , f (x, y, z) = 12x2 + 4y 2 − 2z 2 − 8yz,
g(x, y, z) = 2x2 + y 2 + z 2 − 5
√ √
√
√
Lösung: a) ( 3, 3) und (− 3, − 3)
b) ( 45 , 25 )
c) in ±(0, 1, 2) lokale Minima, für
2
2
a ∈ E := {x, y, z) | 2x + 5z = 5, y = −2z} lokale Maxima
Aufgabe 4.* Bestimmen Sie den maximalen Funktionswert M und den minimalen Funktionswert m von f : K → R mit K = {x ∈ R3 | |x| ≤ 1} und f (x) = x1 x2 x3 für alle x ∈ K.
Lösung: M = 3√1 3 , m = − 3√1 3
Aufgabe 5.* Lösen Sie die folgenden Extremalprobleme mit Hilfe der Lagrangeschen
Methode:
a) Die Oberfläche A einer oben offenen Dose sei vorgegeben mit A = 2700π[cm2 ]. Wie müssen
Radius r und Höhe h gewählt werden, damit die Dose einen möglichst großen Inhalt hat?
√ 2
b) Gegeben sei der Kreiskegel K : 0 ≤ z ≤ h,
x + y 2 ≤ Rh z. Wie muss das Verhältnis von
R zu h gewählt werden, damit die Oberfläche von K bei gegebenem Volumen minimal wird?
(Formeln für Oberfläche und Volumen brauchen nicht hergeleitet werden.)
c) Bestimmen Sie die Abmessungen eines rechtwinkligen oben offenen Kastens von minimaler
Fläche unter der Bedingung, dass sein Inhalt V0 vorgegeben ist (l=Länge, b=Breite, h=Höhe).
d) Gesucht ist der kleinste Abstand des Punktes P : (3, −1, 1) ∈ R3 zur Ebene
E = {(x, y, z) | 2x − 6y + 3z = 1}.
√
√
Lösungen: a) r = h = 30[cm], b) h/R = 8, c) l = b = 2h = 3 2V0 , d) Der kleinste
Abstand ist 2.
Aufgabe 6. Gegeben sei die Funktion f : D → R mit D ⊆ R3 . Lösen Sie die folgenden
Extremalprobleme unter den gegebenen Nebenbedingungen mit der Lagrangeschen Methode.
a)* D = R3 , f (x) = x23 , x21 + x22 = R2 , hn, xi = p; n3 6= 0, n21 + n22 = 1, p ≥ 0, R > 0.
b)* D = R3 , f (x) = ha, xi, hn, xi = 0, |x|2 = √
R2 ; a, n linear unabhängig, R > 0.
√
√
c)
D = {x | 0 ≤ x1 , x2 , x3 ≤ 1}, f (x) = x3 + x1 + x2 , x1 + x2 = 1, x1 + x2 + x3 = 1.
Aufgabe 7. Gegeben Sei die Funktion f : R2 → R, f (x, y) = xy 2 .
a) Besitzt die Funktion f lokale Extrema auf R2 ?
b) Bestimmen Sie den maximalen und den minimalen Wert von f auf der Menge
G = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1}.
Lösung: a) lokale Maxima auf {(x1 , 0) | x1 < 0}, lokale Minima
{(x2 , 0) | ³x2 > 0};
maxiq auf
q b)
³
´
´
√
1
1
2
2
maler Wert ist 2/(3 3) und wird angenommen in P1 = √3 , 3 und P2 = √3 , − 3 , miniq ´
q ´
³
³
√
maler Wert ist −2/(3 3) und wird angenommen in P3 = − √13 , 23 und P4 = − √13 , − 23