1. Übungsblatt - Theoretische Informatik @ Universität Konstanz

Mathematik: Diskrete Strukturen
Universität Konstanz
Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft
SS 2017
Prof. Dr. Sven Kosub / Michael Aichem, Katharina Börsig, Johannes Krotz, Felix Petersen, Julian Vill, Andrey
Zakharov
1. Übungsblatt
Ausgabe: 28.04.2017
Abgabe: 05.05.2017, bis spätestens 12:00 per Mail an den Tutor
Vertiefung:
10 Punkte
(a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 von 36 Studenten auf die Rechner titan01, . . . ,
titan06 zu verteilen?
(b) In einem Restaurant gibt es ein Tagesmenü zu einem festen Preis, bei dem Sie zwischen
2 Vorspeisen, 3 Hauptgängen und 3 Desserts wählen können. Wie viele verschiedene
Menüauswahlen gibt es?
(c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, genau 6 Chips auf die drei Felder 1-12, 13-24, 25-36
beim Roulette zu legen?
(d) In einer Gruppe von 11 Personen sind 5 Vorstandsposten (ohne Personalunion) für jeweils
eine Person zu vergeben: Präsidentin, Vizepräsidentin, Geschäftsführerin, stellvertretende Geschäftsführerin, Schatzmeisterin. Wie viele verschiedene Vorstände sind möglich?
(e) Wie viele Möglichkeiten gibt es mit dem gleichzeitigen Werfen von vier gleichen Münzen
genau zweimal Zahl zu erhalten?
(f) Wie viele Schachpartien werden bei einem Turnier mit 12 Spielern gespielt, wenn jeder
gegen jeden antreten muss?
(g) Im Finale des 100-Meter-Laufes der Frauen bei den Olympischen Sommerspielen 2016
in Rio de Janeiro kamen die Starterinnen aus den folgenden 5 Ländern: 3 aus Jamaika,
2 aus den USA, jeweils 1 aus der Elfenbeinküste, den Niederlanden sowie aus Trinidad & Tobago. Wie viele verschiedene Hängungen der Nationalflaggen wären bei der
Siegerehrung möglich gewesen?
(h) Wie viele verschiedene Viertelfinals können nach dem Achtelfinale in der UEFA Champions League ausgelost werden? – Hinweis: Welche Paarungen an einem Dienstag oder
einem Mittwoch stattfinden, soll dabei keine Rolle spielen.
(i) Welcher Koeffizient steht vor dem Summanden x4 y 7 in (x + y)11 ?
(j) Welcher Koeffizient steht vor dem Summanden x3 y 4 z 4 in (x + y + z)11 ?
Kreativität:
10 Punkte
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n, m ∈ N+ gilt:
ggT(2n − 1, 2m − 1) = 2ggT(n,m) − 1
Hinweis: Verwenden Sie dabei den Euklidischen Algorithmus (siehe Skriptum Brückenkurs
Mathematik).
Transfer:
10 Punkte
Sie haben die Aufgabe, für ein Rechenzentrum einen Leitfaden mit Empfehlungen für die
Erstellung hochsicherer Passwörter zu entwerfen. Dazu haben Sie die Empfehlungen, die ein
großer Softwarekonzern diesbezüglich herausgegeben hat, wie folgt abgewandelt und konkretisiert:
Schritt
1
Aktion
Wähle zwei Sätze (mit insgesamt X Wörtern)
Empfehlung
Denke an etwas Bedeutsames
2
Bilde aus den Sätzen eine
Folge von Kleinbuchstaben
Erhöhe die Komplexität
Benutze die jeweils ersten Buchstaben
Ersetze alle Buchstaben der ersten
oder der zweiten Hälfte des Alphabets durch Großbuchstaben
Füge jeweils eine Ziffer mit Bedeutung in die beiden Satzbereiche ein,
wobei auch Satzanfang und -ende
möglich sind.
Füge eines der 6 Symbole ! , . : ; ?
am Anfang oder am Ende des Wortes ein
Füge eines der 22 Symbole # $ %
&()*+-/<=>@[\]^_{|
} am Anfang oder am Ende ein
3
4
Erhöhe die Wortlänge durch
Ziffern
5
Erhöhe die Wortlänge durch
Interpunktionszeichen
6
Erhöhe die Wortlänge durch
spezielle Symbole
Beispiel
Lange komplexe Passwörter
sind die sichersten. Ich halte
meins geheim.
lkpsdsihmg
LKpsDsIHMG
LK1psDsIH2MG
?LK1psDsIH2MG
?LK1psDsIH2MG@
Wie viele verschiedene Passwörter folgender Längen gibt es, wenn wir vereinfachend annehmen,
dass alle Folgen von Kleinbuchstaben durch zwei Sätze erzeugt werden können (wobei wir die
Umlaute ä, ö, ü ausschließen wollen)? Einwortsätze sind jedoch nicht zugelassen.
(a) 4
(b) 6
(c) 8
(d) 10
(e) 12