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Mathematik I (Sicherheit und Gefahrenabwehr)
Schwerpunkte
1
Zahlen
Zahlbereiche: Natürliche, rationale und reelle Zahlen im Zusammenhang mit den Grundrechenarten . . .
Komplexe Zahlen: Definition, Gausssche Zahlenebene, Umrechnung der verschiedenen Zahlendarstellungen, Grundrechenarten, Potenzieren, (Quadrat-)wurzelziehen, Zusammenhang von
ex , sin x, cos x im Bereich der komplexen Zahlen. Komplexe Nullstellen reeller Polynome.
Zerlegung von Polynomen in Linearfaktoren. Partialbruchzerlegung für konjugiert komplexe
(einfache) Polstellen.
1.1
Aufgaben
1.1.1
Berechnen Sie Betrag, Argument sowie die konjugiert komplexe Zahl
√
3+i
−5 + 3i
−7
12 − 5i
−1 − i
1.1.2
Berechnen Sie
(1+5i)(−1+3i)+15
(2−i)(3+i)−i
1.1.3
2x+1
4x2 +1
(1−2i)5 +(1+2i)5
(1−2i)3 +(1+2i)3
f (x) =
x+1
x4 +x2 +1
f (x) =
2x2 −3x+1
x3 −27
Lösen Sie
x2 + 5x + 7 = 0
x2 + (2i + 1)x + 3 − i = 0
2
(−2 + 3i)4
1 + 4i
Zerlegen Sie die Funktion in Partialbrüche
f (x) =
1.1.4
√
(2 + i)x + (2i + 1)y = 5 − 3i, (−1 + 2i)x + 5iy = 2 − 3i
x4 + 5x2 + 5 = 0
(2 + 7i)x − 3 + 4i = 1 − i
Elementare Funktionen
Polynome: Grad des Polynoms, Skizzieren von Polynomen, Nullstellen, Hornerschema (Berechnung von Funktionswerten p(a) und Division durch x−a), vollständiges Hornerschema
(Berechnung von Ableitungen p(n) (a) und Transformation von Polynomen p(x) vom Grade k
!
k
X
p(n) (a)
n
p(x) =
(x − a)
n!
n=0
Polynomdivision,
Polynominterpolation Interpolationsansätze nach Lagrange und nach Newton
Rationale Funktionen: Skizzen, Nullstellen, Polstellen, asymptotisches Verhalten, echt gebrochener Anteil einer rationale Funktion. Partialbruchzerlegung bei einfachen Polstellen, doppelte und mehrfache Polstellen. Reelle Form bei komplexen Polstellen
x
x
x ln a
Exponentialfunktion: Logarithmus loga x = ln
, marln a und Exponentialfunktion a = e
kante Werte, Skizzen. Potenz- und Logarithmengesetze. Hyperbelfunktionen: sinh(x)
cosh(x) und tanh(x).
1
Trigonometrische Funktionen: sin x, cos x, tan x, markante Werte, Skizzen.
Trigonometrischer Satz des Pythagoras, (einfache) Additionstheoreme, Berechnung von
Winkeln (Polarkoordinaten, Argument arg z komplexer Zahlen)
Eigenschaften reeller Funktionen: Definitionsbereich, Wertevorrat, Nullstellen, Polstellen, Monotonie, Stetigkeit, Grenzwerte bei ±∞, Asymptoten.
√
Umkehrfunktionen: Allgemein und speziell: x, ln x, arcsin x, arccos x, arctan x, arshx, archx,
markante Werte, Skizzen.
2.1
Aufgaben
2.1.1
Skizzieren Sie und bestimmen Sie die Nullstellen
f (x) = −2x2 + 4x + 7
2.1.2
f (x) = (2x + 1)(x2 − 5x + 4)
Konstruieren Sie einfache Funktionen mit den Werten:
• f (0) = 0, f (1) = 2, f (2) = 3, f (4) = 1,
• f (−5) = 1, f (−2) = 1, f (1) = 5, f (4) = 1,
• f (xk ) = sin(xk ), für xk = kπ/10, k = 0, 1, . . . , 5
Skizzieren Sie die Ergebnisse!
2.1.3
x2 +1
x+1
f (x) =
x
(x−2)2 (x+0.5)2
f (x) =
2x−1
x2 +x
ln(x2 − 1) = 1 + 2 ln(x √
+ 1)
sin 2x +√
sin x = tan x
sin π6 + arccos x = 21 3
2 sin x − 5 cos x = 32
sinh(x) + 2 cosh(x) = 10 sin(cosh(x)) = 1 cosh(sin(x)) = 1
x6 = 2x + 1
cosh x = 1 + cos x
ex = sin(x)
Skizzieren Sie
f (x) = ln(1 + 2x)
f (x) = cos2 (2x) + sin2 (2x)
3
f (x) =
Begründen Sie die Lösbarkeit der Gleichungen
x7 + x3 + x + 7 = 0
2.1.6
1
(x−1)x(x+1)
Lösen Sie die Gleichungen
e2x+1 + ex−1 = 2e
arcsin(x + 1) = π4
sinh(x2 + 1) = sinh(x2 ) + 1
2.1.5
f (5) = 1,
Skizzieren Sie (ggf. Partialbruchzerlegung)
f (x) =
2.1.4
f (x) = −2x3 + 3x2 − x
f (x) = 2−2x+1
f (x) = ex sin x
f (x) = e3x + e−3x
f (x) = 5 + arctan(3x − 2)
Folgen, Reihen, Grenzwerte
Folgen: Beschränktheit, Konvergenz, Monotonie und Zusammenhänge dieser Eigenschaften, Rekursionsformeln
Grenzwerte: Definition, spezielle Folgen, Grenzwertsätze (Berechnung von Grenzwerten) im Fall
dass die Folgenglieder mittels stetiger Funktionen gebildet werden.
Reihen: geometrische Reihe, harmonische Reihen, notwendiges Konvergenzkriterium, Vergleichskriterien: Majorantenkriterium (Konvergenz) und Minorantenkriterium (Divergenz), Wurzelkriterium und Quotientenkriterium
2
3.1
3.1.1
Aufgaben
Wann konvergieren
geometrische Folgen?
geometrische Reihen?
3.1.2
arithmetrische Folgen?
arithmetrische Reihen?
Berechnen Sie die Grenzwerte für n → ∞
(2n+3)(3n−5)(n2 +4)
(n2 +n−2 )2
3.1.3
x→∞
x2 −5x+1
3 −2x2 −x−1
x
x→3
k=0
3k
k!
x3 −8
5
3
2
x→2 x −5x +2x
−
1
n+1
n2 +n
x cos x
2
x→∞ 1+x
lim
lim
lim x
x→0 sin 2x
= −1
∞
P
= 0.5
k=10
∞
P
k+1
k3 −81k
n2
n!
limπ
x→ 2
π
2
− x tan x
lim ln cosh cos x = 0
x→ π
2
1−
k=1
Berechnen Sie den Wert der Reihe:
∞
∞
P
P
2k
1
2 32k+1
+ 61k
3k
k=0
4
1
n
Welche Reihen konvergieren?:
∞
P
3.1.6
1+
Begründen Sie die Grenzwerte:
lim
3.1.5
5+(−1)n 4
ln(n2 +n)
Berechnen Sie die Grenzwerte:
lim e−x sin 2x
3.1.4
harmonische Folgen?
harmonische Reihen?
k=0
∞
P
1 n
n
∞
P
k=0
2k−1 z k+1
k=0
k2 +k+1
k3 +2
∞
P
k=2
z k−1
k!
Lineare Algebra I
Vektoren: Definition und Veranschaulichung von Vektoren, Lineare Abhängigkeit ubd Unabhängigkeit von Vektoren, Dimension eines Unterraums, Vektoroperationen (Summe, verschiedene
Produkte, Rechenregeln), Determinanten
analytische Geometrie: Geraden- und Ebenengleichungen, Hessesche Normalform, Bestimmung von Abständen und Schnittpunkten, Skalarprodukt, Flächen- und Volumenberechnungen (Spatprodukt, Vektorprodukt, Anwendung von Determinanten)
Determinanten Definition, Eigenschaften, Entwicklungssatz, Berechnung
4.1
4.1.1
Aufgaben
Überprüfen Sie auf lineare Abhängigkeit!
~a1 = [−1 2]T und ~a2 = [3 − 6]T
~c1 = [2 a]T und ~c2 = [a 5]T
~
f1 = [2 1 x]T und f~2 = [y − 2 3]T
~b1 = [3 2]T und ~b2 = [−1 5]T
d~1 = [a b c]T , d~2 = [−1 0 1]T und d~3 = [1 3 5]T
~g1 = [0 6 0]T , ~g2 = [−1 0 0]T und ~g3 = [0 0 0,1]T
3
4.1.2
Bestimmen Sie die Abstände zwischen
dem Punkt A = (1|2) und der Geraden durch B = (−3|5) und C = (2|2),
dem Punkt A = (1|3) und der Geraden 5x − 2y = 11
den Geraden g1 durch (0|−1|0) in Richtung [2, −1, −1]T und g2 durch (1|1|2) in Richtung [−1, 3, 1]T
den Geraden 5x − 2y = 18 und 5x − 2y = −3
4.1.3
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche bzw. des Körpers :
• Dreieck mit den Eckpunkten A = (5|7), B = (−3|4) und C = (0| − 3)
• Dreieck mit den Eckpunkten A = (5|7|9), B = (−3|4|0) und C = (0| − 3|1)
• Parallelogramm mit den Diagonalvektoren d~1 = [1, 1, 1]T und d~2 = [−3, 2, −1]T
√
• Pyramide mit den
√ Eckpunkten A = (0|0|1), B = (−0.5|0|1), C = (−0.5|0.5 3|0.5) und
S = (−0.5| − 0.5 3|0.5)
4.1.4
Berechnen Sie die Determinanten
1
2 3 1 2 −1
1 1 1 4 0 −2 1 1
0
0
4
−2
1 2 −3 0 −3 u
2
u
3
u
v
v2
v3
1
1
1