Übungs-Blatt 6 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Übungs-Blatt 6
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
E/MST Master Statistik
Prof. Dr. B. Grabowski
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe 1)
a) Zeigen Sie, dass für ein Wahrscheinlichkeitsmaß P folgende Formel gilt:
P( A1 ∪ A2 ∪ A3)
= P( A1) + P( A2) + P( A3) − P( A1 ∩ A2) − P( A1 ∩ A3) − P( A2 ∩ A3) + P( A1 ∩ A2 ∩ A3) (1)
Hinweis: Wir wissen bereits, dass die Formel P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) gilt.
Setzen Sie in dieser Formel A=A1 ∪A2 und B=A3 und wenden Sie sie dann ggf. mehrfach
an!
b) Ein Spam-Filter klassifiziert eine mail als Spam, falls mindestens eines der 3 Worte im
Text der mail auftauchen: F1 =„Viagra“ , F2=“Rolex“, F3=“Crown“. Diese Worte treten mit
folgenden Wahrscheinlichkeiten in den deutschen mail-Texten auf:
P(F1)
P(F2)
P(F3)
P(F1…F2)
P(F1…F3)
P(F2…F3)
P(F1…F2…F3)
0,05
0,05
0,07
0,01
0,02
0,03
0,005
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spam-Filter eine zufällig eintreffende
Nachricht als Spam diagnostiziert?
Klassische Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 2)
Wir betrachten den Laplace-Versuch V= „Werfen zweier Würfel“.
| A|
Berechnen Sie unter Verwendung der Formel P( A) =
der klassischen
|Ω|
Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) A = „Werfen von zwei Sechsen“
b) A = „Die Summe der Augenzahl ist gleich 8 oder 10“
Hinweis: Überlegen Sie sich zuerst, wie ein elementarer Versuchsausgang dargestellt werden
kann und dann, wie die Grundmenge Ω und das Ereignis A aussehen.
Aufgabe 3) (Münzwurf)
Sei V der zufällige Versuch „3 mal hintereinander wird eine Münze geworfen“.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
a) A= Es ist jedesmal ‚Kopf’ geworfen worden.
b) A= Beim 1. mal ist ‚Kopf’ geworfen worden!
c) A= Es ist nicht 3 mal das gleiche geworfen worden.
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Hinweis: Ein elementarer Versuchsausgang kann durch das Tripel (M1,M2,M3) dargestellt
werden mit Mi ∈{Kopf,Zahl} als Ergebnis des i.ten Wurfes, i=1,2,3, dargestellt werden.
Überlegen Sie sichdann, wie die Grundmenge Ω und das jeweilige Ereignis A aussehen.
Aufgabe 4) (Code knacken)
Ein 5 – stelliger Zugangscode zum Giftschrank besteht aus den Ziffern 0,1,...,9. Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, den Code auf Anhieb zu erraten, wenn Sie folgende
Zusatzinformationen besitzen:
a) keine weiteren Zusatzinfos
b) Alle Ziffern des Codes unterscheiden sich voneinander!
c) Der Code enthält genau 2 mal die Ziffer 1 und 3 mal die 9!
d) Der Code enthält genau 2 mal die Ziffer 1!
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B ist definiert als
P( A ∩ B)
. Damit gilt für die sogenannte Verbundwahrscheinlichkeit von A
P( B)
und B: P ( A ∩ B ) = P ( A / B ) P( B).
P( A / B) =
Aufgabe 5)
Sei X die zufällige Lebensdauer eines Bauteils und es gelte P(X > 200h) = 0,5 sowie
P(X > 100 h) = 0,8.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauelement, welches bereits 100 h
„überlebt hat“ auch 200 h „überlebt“?
Hinweis: Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A/B); definieren Sie dazu auf geeignete
Weise die Ereignisse A und B.
Aufgabe 6)
Ein Bauteil wird in 2 Tests T1 und T2 getestet. Die Wahrscheinlichkeit dafür T1 zu bestehen
sei 0,7. Die Wahrscheinlichkeit T2 zu bestehen hängt von T1 ab: ist T1 bestanden worden, so
besteht das Bauteil T2 mit der Wahrscheinlichkeit 0,8, sonst ist sie 0,5.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beide Tests zu bestehen?
Hinweis: Stellen Sie das Ereignis „Beide Tests werden bestanden“ durch T1 und T2 und die
Mengenoperationen dar! Welche Wahrscheinlichkeiten sind gegebven? Berechnen Sie dann die
gesuchte Wahrscheinlichkeit aus den gegebenen Wahrscheinlichkeiten.
Aufgabe 7)
Berechnen Sie folgende bedingte Wahrscheinlichkeiten:
a) die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Würfeln eine Zahl > 3 zu würfeln, wenn bekannt
ist, dass eine gerade Zahl gefürfelt wurde.
b) die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Würfeln eine 6 zu würfeln, wenn bekannt ist, dass
eine Zahl > 4 gefürfelt wurde.
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c) die Wahrscheinlichkeit dafür, beim 3 maligen Münzwurf beim 1. Wurf ‚K’ zu
werfen, wenn bekannt ist, dass nicht 3 x das gleiche geworfen wurde.
d) die Wahrscheinlichkeit dafür, beim 3 maligen Würfeln in der Summe eine 12 zu
werfen, wenn bekannt ist, dass mindestens 2 Vieren gefürfelt wurden.
Stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, falls gilt:
P(A/B) = P(A) (d.h., die Wahrscheinlichkeit von A hängt nicht davon ab, ob B eingetreten
ist).
Aufgabe 8)
Zeigen Sie: Wenn A und B stochastisch unabhängig sind, so gilt auch
1) P(B/A) = P(B)
2) P( A / B ) = P( A )
3) P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B )
Aufgabe 9)
Sei G ein System, welches aus 2 hintereinandergeschalteten Baueinheiten E1 und E2 besteht.
Das System G arbeitet nur dann fehlerfrei, wenn beide Baueinheiten fehlerfrei arbeiten.
Berechnen Sie für die Szenarien a) und b) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das
Gesamtsystem G fehlerfrei arbeitet!
a) Die Fehlerrate von E2 wird durch die von E1 beeinflusst. Die Wahrscheinlichkeit, dass
E2 fehlerfrei arbeitet unter der Vorrausetzung, dass auch E1 fehlerfrei arbeitet, ist 0,90.
Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 fehlerfrei arbeitet sei 0,85.
b) Die Fehlerrate von E2 wird nicht durch die von E1 beeinflusst, d.h., E1 und E2 verhalten
sich stochastisch unabhängig!. Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 fehlerhaft arbeitet sei
20 % und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass E2 fehlerhaft arbeitet sei 10 %.
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