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344
XI. Funktionsuntersuchungen (2)
2. Logarithmusfunktionen
Die natrliche Logarithmusfunktion wurde im Kapitel IV. als Umkehrfunktion von fðxÞ ¼ ex
eingefhrt. Hier wird in knapper Form eine Vertiefung relevanter Problemstellungen vorgenommen.
A. Grundlagen
Die Funktion ln x (Logarithmus naturalis)
ist die Umkehrfunktion der natrlichen
Exponentialfunktion ex. Daher kann ihre
Ableitung mithilfe der Regel fr die Differentiation der Umkehrfunktion gewonnen
werden. Sie lautet ðln xÞ0 ¼ 1x .
Beweis der Logarithmusregel
fðxÞ ¼ ex
f 0 ðxÞ ¼ ex
1
f ðxÞ ¼ ln x
Hiervon ausgehend kann man mit Hilfe
der Kettenregel die Ableitung der verketteten Funktion lnðfðxÞÞ gewinnen.
Beweis der verketteten Logarithmusregel
ðln xÞ0 ¼ 1x
Sie lautet ðln ðfðxÞÞÞ
0
f 0 ðxÞ
¼ fðxÞ .
ðln xÞ0 ¼ ðf 1 Þ0 ðxÞ ¼ f 0 ðf 11 ðxÞÞ
¼ ef 1ðxÞ ¼ eln1 x ¼ 1x
1
1
) ðln ðfðxÞÞÞ0 ¼ fðxÞ
f 0 ðxÞ
f 0 ðxÞ
¼ fðxÞ
Beide Differentiationsregeln liefern eine
entsprechende Integrationsregel.
Logarithmische Ableitungsregeln
Logarithmische
Integrationsregeln
ð
ðln xÞ0 ¼ 1x
ðlnðfðxÞÞ
0
1
ðx
f 0 ðxÞ
¼ fðxÞ
Gelegentlich muss die Funktion fðxÞ ¼ ln x
selbst integriert werden. Dann verwendet
man die Methode der partiellen Integration,
um die rechts dargestellte Integrationsformel zu erhalten.
..................................
c
c
Beispiel: Flche unter ln x
ð
f 0 ðxÞ
fðxÞ
dx ¼ ln jfðxÞj þ C
Integration von ln x
ln x dx ¼ x ln j x j x þ C
y
lnx
Gesucht ist der Inhalt der Flche A unter
dem Graphen von fðxÞ ¼ ln x ber dem
Intervall ½1, e.
Lsung:
Die Flche hat nach nebenstehender Rechnung den Inhalt A ¼ 1:
dx ¼ ln j x j þ C
A
1
e
x
ðe
A ¼ ln x dx ¼ ½x ln j x j xe1
1
¼ ðe ln e eÞ ð1 ln 1 1Þ ¼ 1
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2. Logarithmusfunktionen
345
B. Problemstellungen bei Logarithmusfunktionen
...........................................................................................................................................................................................
c
.
Beispiel: Kurvendiskussion
Untersuchen Sie die Funktion fðxÞ ¼ ðx 1Þ ln x (Definitionsmenge, Nullstellen, Extrema,
Wendepunkte, Verhalten von f fr x ! 0 und x ! 1). Zeichnen Sie den Graphen fr
0 < x 4.
Lsung:
1. Definitionsmenge
f ist fr x > 0 definiert: Df ¼ Rþ .
2. Nullstellen
Wir verwenden die Regel, dass ein Produkt genau dann null wird, wenn einer
der Faktoren null wird. Wir erhalten so
eine doppelte Nullstelle bei x ¼ 1, die anschaulich ein auf der x-Achse aufsitzendes
Extremum bedeutet.
3. Ableitungen
Die Ableitungen werden mithilfe der Produktregel errechnet. Dabei werden auch
die Logarithmusregel und die Reziprokenregel angewandt.
4. Extrema
Die notwendige Bedingung fr Extrema
lautet f 0 ðxÞ ¼ 0. Sie fhrt auf die transzendente Gleichung ln x þ 1 1x ¼ 0, welche
leider nicht durch Umformen aufgelst
werden kann. Allerdings verrt uns die
doppelte Nullstelle bei x ¼ 1, dass dort
ein Extremum liegt. Die berprfung mit
f 00 zeigt, dass es ein Tiefpunkt Tð1 j 0Þ ist.
Ohne dieses glckliche Vorwissen htten
wir Probieren oder ein Nherungsverfahren anwenden mssen.
5. Wendepunkte
Wendepunkte gibt es keine, da die zweite
Ableitung f 00 nur bei x ¼ 1 null ist. Dort
ist f aber nicht definiert.
6. Verhalten fr x fi 0 bzw. x fi f
Wir untersuchen das Grenzverhalten mithilfe von Wertetabellen und erhalten die
rechts dargestellten Ergebnisse.
Nullstellen
fðxÞ ¼ ðx 1Þ ln x ¼ 0
) x 1 ¼ 0 oder ln x ¼ 0
)x¼1
oder
x¼1
) x ¼ 1 (doppelte Nullstelle)
Ableitungen
f 0 ðxÞ ¼ ln x þ x x 1 ¼ ln x þ 1 1x
f 00 ðxÞ ¼ 1x þ x12 , f 000 ðxÞ ¼ x12 x23
Extrema
f 0 ðxÞ ¼ ln x þ 1 1x ¼ 0
Transzendente Gleichung,
nicht systematisch lsbar
Probierlsung: x ¼ 1, y ¼ 0
f 00 ð1Þ ¼ 2 > 0 ) Minimum
Tiefpunkt Tð1 j 0Þ
Wendepunkte
f 00 ðxÞ ¼ 1x þ x12 ¼ 0
)xþ1¼0
) x ¼ 1 62 Df
) keine Wendestellen
Verhalten fr x fi 0:
x
0,50
0,10
0,01
0,001 ! 0
y
0,35
2,07
4,56
6,901 ! 1
Verhalten fr x fi f:
x
1
10
100
1000 ! 1
y
0
21
456
6901 ! 1
lim fðxÞ ¼ 1
x!0
x>0
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lim fðxÞ ¼ 1
x! 1
...........................................
346
XI. Funktionsuntersuchungen (2)
7. Graph
Da bisher nur wenige Punkte des Graphen
bekannt sind, legen wir eine zustzliche
Wertetabelle an. Der Graph ist unsymmtrisch. Die y-Achse ist senkrechte Asymptote von f.
x
0,50
1
2
3
4
y
0,35
0
0,69
2,20
4,16
y
f
1
......................................................................................................
c
c
x
1
c
Beispiel: Flchenberechnung
Die Koordinatenachsen und der Graph der Funktion fðxÞ ¼ ðx 1Þ ln x begrenzen ein bis ins
Unendliche reichendes Flchenstck A (s. Abb. oben). Berechnen Sie dessen Inhalt.
Lsung:
Wir bentigen zunchst eine Stammfunktion F, die wir mithilfe der Methode der
partiellen Integration gewinnen knnen.
Dazu setzen wir u0 ¼ x 1 und v ¼ ln x
und wenden
Formel
ð die wohlbekannte
ð
Stammfunktion
ð
FðxÞ ¼ ðx 1Þ ln x dx
¼
2
ð1
ð1
fðxÞdx ¼ lim fðxÞdx ¼ limðFð1Þ FðzÞÞ
z!0
So erhalten wir schließlich
z!0
z
0
¼ 34 lim
z!0
z2
z
2
2
ln z z4 þ z
¼ 34
z!0
A ¼ 34 .
v ð
2
x ln x x2 x 1x dx
Flcheninhalt
Da aber F(0) nicht definiert ist, verwenden
wir ersatzweise den Grenzwert lim F(z),
der mit einer Wertetabelle bestimmt werden kann und den Wert 0 hat.
x
2
u v
u
v0
2
2
¼ x2 x ln x x4 þ x þ C
an. Wirerhalten
als Resultat:
2
u0
2
u0 v ¼ u v u v0
FðxÞ ¼ x2 x ln x x4 þ x þ C.
Den Flcheninhalt von A erhalten wir als
bestimmtes Integral von f in den Grenzen
von 0 bis 1, d. h. A ¼ Fð1Þ Fð0Þ.
Grenzwert von F(z) fr z fi 0
z
0,1
0,01
0,001
!0
FðzÞ
0,32
0,056
0,008
!0
bung 1
Gegeben ist die Funktion fðxÞ ¼ ðln x 1Þ2 .
a) Untersuchen Sie f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.
b) Zeichnen Sie den Graphen von f fr 0 x 20.
c) Zeigen Sie, dass FðxÞ ¼ x ln2 x 4 x ln x þ 5 x eine Stammfunktion von f ist.
d) Wie groß ist das Flchenstck unter f ber ½e; e2 ?
e) Unter welchem Winkel schneidet f die rechte Grenze x ¼ e2 des Integrationsintervalls aus d?
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2. Logarithmusfunktionen
347
bungen
2. Gegeben sei fðxÞ ¼ x2 ðln x1Þ, x > 0.
Mithilfe eines Funktionsplotters wurde der abgebildete Graph von f erstellt.
Folgende Fragen bleiben offen:
a) die exakte Lage der Nullstelle, des
Tiefpunktes, des Wendepunktes,
b) das Steigungsverhalten von f bei
der rechtsseitigen Annherung an
die Stelle x ¼ 0.
Versuchen Sie, die Fragen zu klren.
y
f(x) = x2 · [ ln (x) -1]
1
2
1
3
x
3. Gegeben sei wieder fðxÞ ¼ x2 ðln x 1Þ, x > 0:
a) Wie lautet die Gleichung der Wendetangente?
b) Welche Steigung liegt in der Nullstelle vor, wie groß ist der Steigungswinkel?
c) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.
d) Berechnen Sie den Inhalt der Flche A, die vom Graphen von f, der x-Achse und den
senkrechten Geraden x ¼ 1 und x ¼ e im 4. Quadranten eingeschlossen wird.
4. Gegeben sei die Funktion
fðxÞ ¼ 2 x ln x, 0 < x 1
deren Graph rechts abgebildet ist.
Wie muss der Punkt P des Graphen
von f gewhlt werden, damit der Inhalt des abgebildeten Dreiecks maximal wird?
y
P
f(x) = -2x · ln x
x
1
5. Die Funktion fðxÞ ¼ x ln
x, x > 0,
1 1
hat einen Hochpunkt H e e .
y
1
Durch den Ursprung O und den Punkt H
wird eine Sehne g gelegt. Die Graphen
von f und g schneiden aus der senkrechten Geraden x ¼ z ð0 < z 1eÞ eine
Strecke heraus.
Fr welchen Wert von z ist die Streckenlnge maximal?
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H
f(x) = -x · ln x
O
z
1
x
348
.................................................................................................................................................................................................
c
c
XI. Funktionsuntersuchungen (2)
Beispiel: Diskussion einer logarithmischen Quotientenfunktion
Untersuchen Sie die Funktion fðxÞ ¼ 5 lnxx auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Wie
verhlt sich die Funktion fr x ! 0 bzw. fr x ! 1?
Zeichnen Sie den Graphen von f fr 0 < x 6.
Lsung:
1. Ableitungen
Zum Berechnen der Extrem- und Wendepunkte werden die Ableitungen von f bentigt. Wir berechnen diese mithilfe der
Quotientenregel. Die Funktion und ihre
Ableitungen sind definiert fr x > 0.
Ableitungen
f 0 ðxÞ ¼ 5 l xln2 x , f 00 ðxÞ ¼ 5 2 lnxx3 3
f 000 ðxÞ ¼ 5 11 x64 ln x
2. Nullstellen
Es gibt genau eine Nullstelle bei x ¼ 1.
Nullstellen
fðxÞ ¼ 5 lnxx ¼ 0 ) ln x ¼ 0 ) x ¼ 1
3. Extrema
Die notwendige Bedingung fr ein Extremum lautet f 0 ðxÞ ¼ 0. Sie ist fr x ¼ e erfllt.
Da f 00 ðeÞ < 0 gilt, liegt dort ein Maximum
vor.
Resultat: Hochpunkt H e 5e
Extrema
f 0 ðxÞ ¼ 5 l xln2 x ¼ 0 ) 1 ln x ¼ 0 ) x ¼ e
y ¼ 5e
f 00 ðeÞ ¼ e53 < 0 ) Maximum
H e 5e
4. Wendepunkte
Die 2. Ableitung von f hat eine Nullstelle
bei x ¼ e1,5 . Wegen f 000 ðe1,5 Þ > 0 ist es ein
Rechts-Links-Wendepunkt.
Wð4,48j1,67Þ
Resultat: W e1,5 215
1
,
5
e
Wendepunkte
f 00 ðxÞ ¼ 5 2 lnxx3 3 ¼ 0 ) 2 ln x 3 ¼ 0
5. Verhalten fr x fi 0 bzw. x fi f
Wir untersuchen das Grenzverhalten mithilfe von Wertetabellen. Fr x ! 1 kann
man auch die Regel von Bernoulli-de
lHospital anwenden, s. rechts.
Verhalten fr x fi f (de lHospital)
1
0,1
y
0
115
x
10
100
1000
!1
y
1,15
0,23
0,034
!0
lim 5 lnxx ¼ 1
x!0
0,01
!0
x
2303 ! 1
) x ¼ e1,5 , y ¼ e71,5,5
f 000 ðe1,5 Þ ¼ 10
>0
e6
) R L Wp
1
lim 5 lnxx ¼ lim 5 1x ¼ lim 5x ¼ 0
x!1
x!1
6. Graph
y
x!1
f
1
lim 5 lnxx ¼ 0
x!1
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1
5
x
2. Logarithmusfunktionen
.....................................................................
c
Beispiel: Flchenberechnung
Bestimmen Sie eine Stammfunktion von
fðxÞ ¼ 5 lnxx .
Berechnen Sie den Inhalt der Flche A
unter f ber dem Intervall I ¼ ½1; e.
Lsung:
Wir verwenden die Substitutionsmethode,
um eine Stammfunktion von f zu gewinnen. Die Substitution z ¼ ln x bietet sich
an und fhrt auch zum Ziel.
Durch Einsetzen der Integrationsgrenzen 1
und e erhalten wir den Inhalt der Flche A.
349
y
f
1
A
Stammfunktion:
ð
5
¼5
ð
ln x
x
z
ðx
dx
Substitution:
z ¼ ln x
dz
¼ 1x
z0 ¼ dx
dx = x dz
x dz
¼ 5 z dz ¼ 52 z2 þ C
¼ 52 ðln xÞ2 þ C
ðe
A ¼ fðxÞdx ¼
c
x
e
1
h
5
ðln
2
ie
xÞ2 ¼ 52 0 ¼ 52
1
1
.....................................................................................
c
Beispiel: Abstand zweier Graphen
Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der
Funktionen fðxÞ ¼ 5 lnxx und gðxÞ ¼ 5x .
An welcher Stelle x rechts vom Schnittpunkt ist der vertikale Abstand der Graphen am grßten?
Lsung:
Die Schnittpunktbedingung fðxÞ ¼ gðxÞ
hat die Lsung x ¼ e. Der Schnittpunkt ist S e5e .
Der vertikale Abstand der Graphen ist
gleich dðxÞ ¼ fðxÞ gðxÞ ¼ 5 lnxx 5x .
Die notwendige Bedingung d0 ðxÞ ¼ 0 fr
Extrema ist fr x ¼ e2 7,39 erfllt.
Da d00 ðe2 Þ < 0 ist, wird an dieser Stelle der
Abstand maximal. Der maximale Abstand
5
c betrgt 2 0,68.
e
y
f
S
1
g
1
x
5
Schnittpunkt:
fðxÞ ¼ gðxÞ
5 lnxx ¼ 5x ) ln x ¼ 1 ) x ¼ e
) y ¼ 5e
Abstandsrechnung:
x
d0 ðxÞ ¼ 5 1 xln
þ x52 ¼ 0
2
) 5 ð1 ln xÞ þ 5 ¼ 0
) ln x ¼ 2
) x ¼ e2 7,39, dðe2 Þ ¼ e52 0,68
bung 6
Gegeben ist die Funktion fðxÞ ¼ 12 lnx2x.
a) Untersuchen Sie f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.
b) Zeichnen Sie den Graphen fr 0 < x 5.
c) Welche Ursprungsgerade ist Tangente an den Graphen von f?
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350
XI. Funktionsuntersuchungen (2)
bungen
7. Gegeben ist die Funktion fðxÞ ¼ 2 ln ðx 1Þ x þ 2.
a) Wie lautet die Definitionsmenge von f ?
b) Bestimmen Sie die Ableitungen f 0 und f 00 .
c) Weisen Sie nach, dass bei x ¼ 2 eine Nullstelle von f liegt.
Zeigen Sie, dass zwischen x ¼ 4,4 und x ¼ 4,6 eine weitere Nullstelle liegt.
d) Untersuchen Sie die Funktion f auf Extrema.
e) Untersuchen Sie das Verhalten von f fr x ! 1 und x ! 1.
f) Skizzieren Sie den Graphen von f fr 1 < x 7.
g) Wo schneidet die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x ¼ 2 die y-Achse?
pffiffiffi
8. Gegeben sei die Funktion fðxÞ ¼ 2 x ln x , x > 0.
a) Bestimmen Sie f 0 und f 00 .
b) Untersuchen Sie f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.
c) Untersuchen Sie, wie sich fðxÞ und f 0 ðxÞ verhalten, wenn x gegen 0 strebt.
d) Skizzieren Sie den Graphen von f fr 0 < x 3.
e) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.
f) Bestimmen Sie den Inhalt der Flche A, die im 4. Quadranten von dem Graphen von f,
der x-Achse und der senkrechten Geraden durch den Tiefpunkt von f umschlossen wird.
g) In welchem Punkt P hat der Graph von f eine Tangente, die parallel zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten ist? In welchem Punkt Q ist die Kurventangente parallel zur
Winkelhalbierenden des 4. Quadranten?
h) Wo schneiden sich die beiden Tangenten aus g)?
9. Gegeben sei die Funktion fðxÞ ¼ x ðln ðx2 Þ 2Þ.
a) Wie lautet die Definitionsmenge von f ?
b) Begrnden Sie, weshalb x ¼ 0 keine Nullstelle von f ist, obwohl fr x ¼ 0 ein Faktor des
Funktionsterms null wird.
c) Bestimmen Sie die Nullstellen von f.
d) Untersuchen Sie f auf Extrema und Wendepunkte.
e) Skizzieren Sie den Graphen von f fr 4 x 4.
f) Wo schneidet die Gerade gðxÞ ¼ 2 x den Graphen von f ?
g) Die vertikale Gerade x ¼ z mit 0 < z 1 schneidet den Graphen von f im Punkt A und
den Graphen von g im Punkt B. Wie muss z gewhlt werden, damit die Lnge der Strecke
AB mglichst groß wird?
h) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.
i) Der Graph von f schließt mit den Koordinatenachsen im 4. Quadranten ein Flchenstck
ein. Berechnen Sie dessen Inhalt.
Knobelaufgabe
Ein Hase und ein Spanferkel wiegen zusammen 20 Pfund. Hasen kosten pro
Pfund 20 Cent weniger als Ferkel. Der Hase soll 8 Euro und 20 Cent
kosten, fr das Ferkel will der Bauer 27 Euro und 60 Cent haben.
Berechnen Sie das Gewicht des Hasens und des Spanferkels.
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2. Logarithmusfunktionen
351
C. Kurvenscharen
...................................................................................................................................................
c
Beispiel: Diskussion einer logarithmischen Kurvenschar
nenschar fa ðxÞ ¼ x ln
x2
a
, a > 0.
...............................
1
Welche Definitionsmenge hat fa ? Untersuchen Sie fa auf Nullstellen, Extrema
und Wendepunkte. Die Graphen einiger
Scharfunktionen sind rechts dargestellt.
x
1
Lsung:
1. Definitionsmenge
Der Logarithmus ist nur fr ein positives
Argument definiert. Also muss x 6¼ 0 gelten. Es gilt Dfa ¼ fx 2 R: x 6¼ 0g.
2. Ableitungen
Die Ableitungen von fa bestimmen wir
mithilfe der Produkt- und der Kettenregel.
Ableitungen
2
fa0 ðxÞ ¼ ln xa þ 2, fa00 ðxÞ ¼ 2x
3. Nullstellen
pffiffiffi
Es gibt zwei Nullstellen bei x ¼ a, da
der dritte mgliche Wert x ¼ 0 nicht in der
Definitionsmenge von fa liegt.
Nullstellen 2
fa ðxÞ ¼ x ln xa ¼ 0
)
= Df )
x ¼ 0 (ungltig, 2
pffiffiffi
x2
x2
oder ln a ¼ 0 ) a ¼ 1 ) x ¼ a
4. Extrema
Die notwendige Bedingung fa0 ðxÞ ¼ 0 wird
Extrema 2
fa0 ðxÞ ¼ ln xa þ 2 ¼ 0
pffiffiffi
a
fr x ¼ e erfllt. Die berprfung mit
f 00 ergibt einMaximum
und ein Minimum.
pffiffiffi
pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 2 a
a2 a
a
Ergebnis: H e e , T e e
5. Wendepunkte
Wendepunkte gibt es keine, da f 00 ðxÞ 6¼ 0
gilt. Allerdings verhlt sich der Punkt
Pð0j0Þ dennochwieein Wendepunkt. Ergec hrt jedoch nicht zur Definitionsmenge.
c
y
Gegeben sei die logarithmische
Funktio 2
pffiffiffi
a
Wendepunkte
fa00 ðxÞ ¼ 2x 6¼ 0
) keine lokalen Wendepunkte
Aber: Bei x ¼ 0 wechselt fa dennoch von
Links- auf Rechtskrmmung.
Beispiel: Ortskurve
Ermitteln Sie die Ortskurve der Hochpunkte der Funktionenschar fa ðxÞ ¼ x ln
Lsung:
pffiffiffi
a
Abszisse des Hochpunktes ist x ¼
pffiffiffi e .
Wir lsen nach
pffiffiffia bzw besser nach a auf
und erhalten a ¼ x e. Dieses Ergebnis
setzen wir in die Ordinate des Hochpunkc tes ein: Resultat: Ortskurve y ¼ 2 x.
pffiffiffi
2 a
) xa ¼ e12 ) x ¼ e , y ¼ e
pffiffiffi
a
2 effiffiffi
f 00 e ¼ p
< 0 ) Maximum
a
pffiffiffi
a
2 effiffiffi
> 0 ) Minimum
f 00 þ e ¼ þp
a
Ortskurve der Hochpunkte
pffiffiffi pffiffiffi
a2 a
Hochpunkt:
H e e
pffiffiffi
p
ffiffi
ffi
a
x ¼ e ) a ¼ x e
y¼
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x2
a
.
pffiffiffi
2 ðx eÞ
2 a
¼
¼ 2 x ) y ¼ 2 x
e
e
352
................................................
c
XI. Funktionsuntersuchungen (2)
Beispiel: Stammfunktion / Integral
Betrachtet wird die Funktionenschar fa ðxÞ ¼ x ln
Sie fr a ¼ 4 eine Stammfunktion.
Lsung:
Der Funktionsterm von f4 ist ein Produkt.
Da liegt es nahe, die Methode der partiellen Integration einzusetzen. 2
Wir setzen u0 ¼ x und v ¼ ln x4 .
2
2
2
Resultat: F4 ðxÞ ¼ x2 ln x4 x2 þ C
x2
a
aus dem vorigen Beispiel. Bestimmen
Partielle
Integration:
ð
ð
2
2
2
x2
x ln 4 dx ¼ x2 ln x4 x2 2x dx
u
v
u0 v x2
x2
x2
¼ 2 ln 4 2 þ C
u v0
c
................................................................................................
c
c
Beispiel: Flcheninhalt
y
Wir betrachten
noch
einmal die Funktion
f4 ðxÞ ¼ x ln
x2
4
. Wie groß ist der Inhalt
der Flche A, welche vom Graphen von
f4 und der x-Achse im 2. Quadranten umschlossen wird?
Lsung:
Gesucht ist das Integral von f4 in den Grenzen von 2 bis 0. Da der Integrand an der
oberen Grenze 0 nicht definiert ist, handelt
es sich um ein uneigentliches Integral.
1 x
-1
Flchenberechnung:
A¼
ð0
ðz
f4 ðxÞdx ¼ lim
z!0
2
f4 ðxÞdx
2
¼ limðF4 ðzÞ F4 ð2ÞÞ
z!0
2
2
2
¼ lim z2 ln z4 z2 ð2Þ
Wir berechnen ersatzweise das bestimmte
Integral von f4 mit der unteren Grenze 2
und der oberen Grenze z, um anschließend
den Grenzwert fr z ! 0 zu bilden.
Dies kann mit Testeinsetzungen geschehen oder durch Anwendung der Regel
von Bernoulli-de lHospital.
1
A
z!0
¼ 0 ð2Þ ¼ 2
Grenzwert von F4 fr z fi 0:
z
F4 ðzÞ
0,1
0,01
!0
0,03
–0,0006
!0
Resultat: A ¼ 2
bung 10
Gegeben sei die Funktionenschar fa ðxÞ ¼ ln x þ xa2 , a > 1.
a) Untersuchen Sie die Funktionenschar auf Extrema, Wendepunkte und anschließend auf Nullstellen.
b) Welche Scharkurve hat ihre Extremalstelle bei x ¼ 3?
c) Wie groß ist der Inhalt der Flche unter dem Graphen von fe ber dem Intervall [1; e]?
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2. Logarithmusfunktionen
353
bungen
11. Gegeben ist die Kurvenschar fa ðxÞ ¼ x ða ln xÞ, a > 0 und x > 0.
a) Bestimmen Sie die Ableitungen fa0 und fa00 .
b) Untersuchen Sie fa auf Nullstellen.
c) Bestimmen Sie den Extremalpunkt von fa . Zeigen Sie, dass fa keine Wendepunkte besitzt.
d) Untersuchen Sie, wie sich die Funktion f1 fr x ! 1 bzw. fr x ! 0 verhlt.
e) Skizzieren Sie die Graphen von f1 und f2 fr 0 < x 8.
f) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von fa.
g) Berechnen Sie den Inhalt der Flche, die im 1. Quadranten vom Graphen von f1 , der
x-Achse und der senkrechten Geraden durch den Hochpunkt von f1 umschlossen wird.
h) Geben Sie den Inhalt der Flche, die im 1. Quadranten vom Graphen von fa und den
Koordinatenachsen begrenzt wird, in Abhngigkeit von a an.
12. Gegeben ist die Kurvenschar fa ðxÞ ¼ a2 x2 a ln x, a > 0 und x > 0.
a) Bestimmen Sie die Ableitungen fa0 und fa00 .
b) Untersuchen Sie fa auf Extrema und Wendepunkte.
c) Skizzieren Sie die Graphen von f1 und f2 .
d) Zeigen Sie, dass der Graph von f1 keine Nullstellen hat. Argumentieren Sie mit den
bisher erhaltenen Vorergebnissen.
e) Fr welchen Wert von a liegt der Extremalpunkt von fa auf der x-Achse?
13. Gegeben ist die Kurvenschar fa ðxÞ ¼ x2 a ln x, a > 0 und x > 0.
a) Bestimmen Sie die Ableitungen fa0 und fa00 .
b) Zeigen Sie, dass fa Extremalpunkte, aber keine Wendepunkte besitzt.
c) Skizzieren Sie die Graphen von f1 und f3 .
d) Fr welchen Wert von a liegt der Tiefpunkt von fa auf der x-Achse?
e) Untersuchen Sie aufgrund des Ergebnisses von d) die Anzahl der Nullstellen von fa in
Abhngigkeit von a.
f) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von fa.
g) Untersuchen Sie die Kurvenschar fa ðxÞ ¼ x2 a ln x fr a < 0.
Wie ndert sich das Erscheinungsbild der Schar (Skizze) fr nunmehr negative Parameterwerte a?
14. Gegeben ist die Kurvenschar fa ðxÞ ¼ ðlnða xÞÞ2 a, a > 0 und x > 0.
a) Bestimmen Sie die Ableitungen fa0 und fa00 .
b) Untersuchen Sie fa auf Nullstellen und Extrema.
c) Zeigen Sie, dass alle Funktionen der Schar fa bei x ¼ ea eine Wendestelle besitzen.
d) Skizzieren Sie die Graphen von f1 und f2 .
e) Wie verhlt sich der Graph von fa fr x ! 1 bzw. x ! 0 ?
f) Fr welchen Wert von a schneidet die Wendetangente die y-Achse im Punkt Pð0 j 4Þ?
g) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Extremalpunkte von fa .
h) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte von fa .
i) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von fa.
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Illustration: Detlev Schüler †
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