Erwartungsnutzen

Vorlesung 2: Erwartungsnutzen
Georg Nöldeke
Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel
Entscheidung VL 2 (FS 11)
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1. Modellrahmen
1.1 Die Alternativen
Wir betrachten im folgenden eine endliche Menge von
Ergebnissen
X = {x1 , x2 , · · · , xn }
mit n ≥ 2 als gegeben.
Lotterien, deren Ergebnisse in X liegen, bezeichnen wir
vereinfachend mit
L = (p1 , · · · , pn )
und sprechen von einer Lotterie über X.
Die Menge aller Lotterien über X ist
n
∆ = {L = (p1 , · · · , pn ) ∈ Rn+ | ∑ pi = 1}.
i=1
∆ wird für den Rest dieses Abschnittes unser Gegenstück zu dem
Güterraum in der Konsumententheorie sein: Es beschreibt die
Menge der denkbaren Alternativen.
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1. Modellrahmen
1.3 Notationskonventionen
Auch der Fall, in dem man eines der Ergebnisse mit Sicherheit
erhält, ist eine Lotterie. Die Lotterie, in der man Ergebnis xi mit
Wahrscheinlichkeit 1 erhält bezeichnen wir mit ei und sprechen
von einer degenerierten Lotterie. Andere Lotterien heissen echte
Lotterien.
Betrachten wir monetäre Lotterien, so gehen wir durchweg davon
aus, dass x1 < x2 < · · · < xn gilt, d.h. Ergebnisse mit niedrigerem
Index korrespondieren zu niedrigeren Geldbeträgen, die man
erhält.
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1. Modellrahmen
1.3 Grafische Darstellung von Lotterien
Eine Lotterie L in ∆ ist durch die Angabe von (n − 1) der n
Wahrscheinlichkeiten eindeutig beschrieben – die fehlende
Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Gleichung ∑ni=1 pi = 1.
Im Fall n = 2 bedeutet dies, dass die Menge der Lotterien grafisch
durch das Intervall [0, 1] dargestellt werden kann, wobei p2 ∈ [0, 1]
die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses x2 beschreibt.
Im Fall n = 3 bedeutet dies, dass die Menge der Lotterien durch das
sogenannte Machina-Dreieck dargestellt werden kann, welches
durch
{(p1 , p3 ) ∈ R2 | p1 ≥ 0, p3 ≥ 0, p1 + p3 ≤ 1}
gegeben ist. Die fehlende Wahrscheinlichkeit p2 ist durch
1 − p1 − p3 gegeben.
Zur Illustration werden wir regelmässig den Fall n = 3, also das
Machina-Dreieck betrachten.
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1. Modellrahmen
1.3 Grafische Darstellung von Lotterien
Abbildung: Das Machina-Dreieck. Jeder Punkt in dem Dreieck stellt eine
Lotterie dar. Die Punkte ei bezeichnen die Lotterien, in denen das Ergebnis xi
mit Wahrscheinlichkeit 1, also mit Sicherheit, eintritt.
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1. Modellrahmen
1.4 Mischungen von Lotterien
Für beliebige Lotterien p ∈ ∆ und q ∈ ∆ und α ∈ [0, 1] bezeichnet
α p + (1 − α)q die Lotterie, bei der man das Ergebnis xi mit
Wahrscheinlichkeit α pi + (1 − α)qi erhält:
α p + (1 − α)q = (α p1 + (1 − α)q1 , α p2 + (1 − α)q2 , · · · , α pn + (1 − α)qn ) ∈ ∆
Eine solche Mischung von zwei Lotterie wird oftmals als
zusammengesetzte Lotterie interpretiert, in der man die Lotterien p
und q als Ergebnisse auffasst und sich nun eine Lotterie über diese
Ergebnisse vorstellt, in der man mit Wahrscheinlichkeit α das
“Ergebnis” p und mit Wahrscheinlichkeit 1 − α das Ergebnis q erhält.
Diese Interpretation lässt sich auch formalisieren. Wir verzichten
hier darauf, da es für die folgende Darstellung nicht zwingend
erforderlich ist.
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1. Modellrahmen
1.4 Mischungen von Lotterien
Beispiel zur Mischung von Lotterien:
Abbildung: Die Mischung der zwei Lotterien p = (0.6, 0, 0.4) und q = (0.7, 0.3, 0)
über X = {0, 20, 60} mit α = 0.3 als zusammengesetzte Lotterie dargestellt.
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1. Modellrahmen
1.4 Mischungen von Lotterien
Beispiel zur Mischung von Lotterien:
Abbildung: Die Mischung r der zwei Lotterien p = (0.6, 0, 0.4) und
q = (0.7, 0.3, 0) über X = {0, 20, 60} mit α = 0.3 als Lotterie über X.
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1. Modellrahmen
1.4 Mischungen von Lotterien
Beispiel zur Mischung von Lotterien:
Abbildung: In dem Machina-Dreieck liegen Mischungen auf der
Verbindungslinie zwischen den beiden Lotterien, die gemischt werden: Die
Mischung r von p = (0.6, 0, 0.4) und q = (0.7, 0.3, 0) mit α = 0.3.
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2. Präferenzen über Lotterien
2.1 Rationalität
Wir modellieren (an dieser Stelle) nicht explizit, wie die gewählte
Aktion eines Entscheidungsträgers zu einer bestimmten Lotterie
über X führt.
Stattdessen stellen wir uns vor, dass direkt Lotterien aus ∆
gewählt werden . . .
. . . und unterstellen wie im Fall der Sicherheit, dass diese
Auswahlentscheidungen durch eine rationale Präferenzrelation auf der Menge der Alternativen, hier ∆, dargestellt werden kann.
Annahme (Rationalität)
Die Präferenzrelation auf ∆ ist rational, d.h. vollständig und transitiv.
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2. Präferenzen über Lotterien
2.1 Rationalität
Fraglich ist,
welche weitere Annahmen an die Präferenzrelation in diesem
Kontext sinnvoll erscheinen,
wie solche Annahmen allenfalls zu interpretieren sind und
welche Implikationen sie für eine Nutzendarstellung haben.
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2. Präferenzen über Lotterien
2.2 Stetigkeit
Definition (Stetigkeit)
Die Präferenzrelation auf ∆ heisst stetig, wenn für alle p, q, r ∈ ∆ die
Mengen
{α ∈ [0, 1] | α p + (1 − α)r q} und {α ∈ [0, 1] | q α p + (1 − α)r}
abgeschlossen sind.
Diese Definition entspricht (weitgehend) der Stetigkeitsdefinition
für den Fall der Entscheidung unter Sicherheit.
Eine alternative Formulierung der Stetigkeit für den Fall der
Lotteriewahl verlangt, dass für alle p q r reele Zahlen α ∈ (0, 1)
und β ∈ (0, 1) existieren, so dass
α p + (1 − α)r q β p + (1 − β )r
gilt.
Was bedeutet dies inhaltlich? Erscheint es plausibel?
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Satz (Existenz einer Nutzendarstellung)
Ist eine rationale Präferenzrelation auf ∆ stetig, dann existiert eine
stetige Nutzenfunktion U : ∆ → R, welche die Präferenzrelation
darstellt, d.h.
p q ⇔ U(p) ≥ U(q).
Satz (Ordinalität der Nutzendarstellung)
Stellt U : ∆ → R eine gegebene Präferenzrelation dar, dann gilt
dieses auch für jede streng steigende Transformation von U.
Diese Ergebnisse dienen der Klarstellung: Bis an diesen Punkt ist
alles analog zum Fall der Entscheidung unter Sicherheit: Wir
haben lediglich X als die Menge der Alternativen durch ∆ ersetzt.
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2. Präferenzen über Lotterien
2.4 Monotonie
Monotonieannahmen an Präferenzrelationen erfassen den
Gedanken “mehr ist besser.”
In dem hier betrachteten Kontext wird dieses so formalisiert, dass
eine Verschiebung von Wahrscheinlichkeit von einem schlechten
zu einem guten Ergebnis zu einer vorgezogenen Lotterie führt.
Dieses ist am einfachsten für den Fall monetärer Lotterien zu
verstehen, den wir daher hier betrachten wollen.
Beispiel: Im Fall n = 2 bedeutet ein Anstieg der Wahrscheinlichkeit
p2 , dass Wahrscheinlichkeit von dem Ergebnis x1 auf das
Ergebnis x2 verschoben wird. Da x2 > x1 angenommen wurde,
sollte dieses zu einer besseren Lotterie führen.
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2. Präferenzen über Lotterien
2.4 Monotonie
Definition (Stochastische Dominanz erster Ordnung)
Seien p und q zwei monetäre Lotterien über X = {x1 , · · · , xn }. Dann
heisst p grösser als q im Sinne der stochastischen Dominanz erster
Ordnung, wenn
n
n
∑ pi ≥ ∑ qi
i=k
i=k
für k = 2, · · · , n gilt. Man schreibt in diesem Falle p ≥1 q.
Gilt mindestens eine der obigen Ungleichungen als strenge
Ungleichung, so heisst p streng grösser als q im Sinne der
stochastischen Dominanz erster Ordnung und man schreibt p >1 q.
Was soll das bedeuten?
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2. Präferenzen über Lotterien
2.4 Monotonie
∑ni=k pi ist die Wahrscheinlichkeit, dass man in der Lotterie p ein
Ergebnis erhält, welches grösser als (oder gleich) xk ist.
Gilt ∑ni=k pi ≥ ∑ni=k qi , so bedeutet dieses also, dass man in der
Lotterie p mit höherer Wahrscheinlichkeit als in der Lotterie q
Ergebnisse erhält, die grösser als xk sind.
Gilt dieses für alle xk , so kann man p aus q erzeugen, indem man
Wahrscheinlichkeit von niedrigen Ergebnissen zu hohen
Ergebnissen verschiebt.
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2. Präferenzen über Lotterien
2.4 Monotonie
Stochastische Dominanz erster Ordnung im Fall n = 3:
Nach Definition gilt p ≥1 q genau dann, wenn
p3 ≥ q3
p2 + p3 ≥ q2 + q3
gilt.
Da sich die Wahrscheinlichkeiten jeweils auf 1 summieren, kann
die zweite dieser Bedingungen zu p1 ≤ q1 umgeschrieben werden.
Stochastische Dominanz erster Ordnung bedeutet hier also, dass
mehr Wahrscheinlichkeit auf das grösste Ergebnis und weniger
Wahrscheinlichkeit auf das kleinste Ergebnis gelegt wird.
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2. Präferenzen über Lotterien
2.4 Monotonie
Abbildung: Stochastische Dominanz erster Ordnung im Fall n = 3: In dem
Machina-Dreieck liegen die Lotterien, die grösser als eine gegebene Lotterie
q (im Sinne der stochastischen Dominanz erster Ordnung) sind, links
oberhalb von q. Der entsprechende Bereich ist hier gelb gefärbt.
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2. Präferenzen über Lotterien
2.4 Monotonie
Definition (Monotonie)
Eine Präferenzrelation auf einer Menge ∆ von monetären Lotterien
heisst monoton, wenn für beliebige p und q in ∆ gilt:
p >1 q ⇒ p q.
Beachte, dass Monotonie der Präferenzrelation insbesondere
impliziert, dass ein sicherer Geldbetrag xk einem anderen
sicheren Geldbetrag xl streng vorgezogen wird, wenn xk > xl gilt.
Da die sicheren Geldbeträge xk und xl durch die Lotterien ek und el
dargestellt werden und ek >1 el gilt.
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2. Präferenzen über Lotterien
2.5 Beispiele für Nutzenfunktionen
Zwei Beispiele für Nutzenfunktionen, die auf einer Menge von
monetären Lotterien definiert sind, haben wir bereits gesehen:
1
Die Nutzenfunktion U(p) = ∑ni=1 pi xi stellt das
Erwartungswertkriterium dar:
n
n
p q ⇔ ∑ pi xi ≥ ∑ qi xi .
i=1
2
i=1
Die Nutzenfunktion U(p) = ∑ni=1 pi ln(xi ) stellt Bernoullis Vorschlag
zur Bewertung von Lotterien dar:
n
n
p q ⇔ ∑ pi ln(xi ) ≥ ∑ qi ln(xi ).
i=1
i=1
Beide diese Beispiele stellen monotone Präferenzrelationen dar.
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2. Präferenzen über Lotterien
2.5 Beispiele für Nutzenfunktionen
Abbildung: Einige Indifferenzkurven zu der Nutzenfunktion U(p) = ∑ni=1 pi xi im
Machina-Dreieck für (x1 , x2 , x3 ) = (2, 6, 8). Die Indifferenzkurven stellen die
Lösung der Gleichung 2p1 + 8p3 + 6(1 − p1 − p3 ) = k für unterschiedliche
Werte von k dar. Bessere Lotterien liegen links oben.
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2. Präferenzen über Lotterien
2.5 Beispiele für Nutzenfunktionen
Abbildung: Einige Indifferenzkurven zu der Nutzenfunktion
U(p) = ∑ni=1 pi ln(xi ) im Machina-Dreieck für (x1 , x2 , x3 ) = (2, 6, 8). Die
Indifferenzkurven stellen die Lösung der Gleichung
ln(2)p1 + ln(8)p3 + ln(6)(1 − p1 − p3 ) = k für unterschiedliche Werte von k dar.
Bessere Lotterien liegen links oben. Die Indifferenzkurven verlaufen steiler
als im vorhergehenden Bild.
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2. Präferenzen über Lotterien
2.5 Beispiele für Nutzenfunktionen
Ein weiteres Beispiel: U(p) = ∑ni=1 p2i xi stellt eine Präferenzrelation
dar, die nicht monoton ist – obgleich die Nutzenfunktion steigend
in p ist!
Abbildung: Einige Indifferenzkurven zu der Nutzenfunktion U(p) = ∑ni=1 p2i xi
im Machina-Dreieck für (x1 , x2 , x3 ) = (2, 6, 8). Die Indifferenzkurven stellen die
Lösung der Gleichung 2p21 + 8p23 + 6(1 − p1 − p3 )2 = k für unterschiedliche
Werte von k dar.
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3. Erwartungsnutzendarstellung
3.1 Definition
Definition (Erwartungsnutzendarstellung)
Eine Präferenzrelation auf ∆ besitzt eine
Erwartungsnutzendarstellung, wenn es eine Funktion u : X → R gibt, so
dass
n
U(p) = ∑ pi u(xi )
i=1
die Präferenzrelation darstellt.
Die Funktion u in der Erwartungsnutzendarstellung bezeichnet
man als Bernoulli-Nutzenfunktion.
Man sagt man zur Vereinfachung auch, dass die
Bernoulli-Nutzenfunktion u die Präferenzrelation darstellt.
Als Erwartungsnutzenhypothese bezeichnet man die
Unterstellung, dass Präferenzen eine
Erwartungsnutzendarstellung besitzen.
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3. Erwartungsnutzendarstellung
3.2 Anmerkungen
In ökonomischen Modellen wird fast durchweg angenommen,
dass Präferenzrelationen über Lotterien eine
Erwartungsnutzendarstellung besitzen.
Spieltheorie, Finanzmarkttheorie, Versicherungsökonomie . . .
Die wesentliche Eigenschaft einer Erwartungsnutzendarstellung
ist, dass die Nutzenfunktion U(p) linear in den
Wahrscheinlichkeiten ist.
In Machina-Dreieck bedeutet dies, dass die Indifferenzkurven
parallele Geraden sind.
In den ersten beiden Beispiele des vorhergehenden Abschnittes
handelte es sich um Erwartungsnutzendarstellungen.
Mit Bernoulli-Nutzenfunktion u(x) = x, bzw. u(x) = ln(x).
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3. Erwartungsnutzendarstellung
3.3 Fragen
Welche Eigenschaften von sichern, dass es eine
Erwartungsnutzendarstellung gibt? → Rest dieser Vorlesung.
Wie lassen sich die Eigenschaften der Bernoulli-Nutzenfunktion in
einer solchen Erwartungsnutzendarstellung interpretieren? →
Vorlesung 3.
Wie sieht es mit der empirischen Evidenz aus? → Vorlesung 5.
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3. Erwartungsnutzendarstellung
3.4. Das Unabhängigkeitsaxiom
Definition (Unabhängigkeitsaxiom)
Die Präferenzrelation auf ∆ erfüllt das Unabhängigkeitsaxiom, wenn
für alle p, q, r ∈ ∆ und α ∈ (0, 1) gilt:
p q ⇒ α p + (1 − α)r αq + (1 − α)r
Was soll das bedeuten?
Zieht man eine Lotterie p einer Lotterie q vor, so sollte diese
Präferenz erhalten bleiben, wenn man beide dieser Lotterien mit
der gleichen Wahrscheinlichkeit α mit der gleichen anderen Lotterie
r mischt.
Ist es plausibel?
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3. Erwartungsnutzendarstellung
3.5 Das Erwartungsnutzentheorem
Theorem (Erwartungsnutzentheorem)
Eine rationale und stetige Präferenzrelation auf ∆ kann genau dann
durch eine Bernoulli-Nutzenfunktion u dargestellt werden, wenn das
Unabhängigkeitsaxiom erfüllt.
Die eine Richtung des Beweis (Erwartungsnutzendarstellung
impliziert Unabhängigkeitsaxiom) ist einfach.
Die andere Richtung (Unabhängigkeitsaxiom impliziert
Erwartungsnutzendarstellung) ist schwerer . . . .
und wir werden daher nur ein grafisches Argument für den Fall
einer monotonen Präferenzrelation auf einer Menge von monetären
Lotterien mit n = 3 betrachten.
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