Stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld, Halleffekt

Physikalisches Anfängerpraktikum Teil 1
Versuch 1–73: Stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld, Halleffekt
—Protokoll—
Gruppe 13:
Marc A. Donges <[email protected]>, 1060028
Michael Schüssler, 1228119
2004–09–13
1
Einleitung
Diese Versuchsreihe beschäftigt sich mit den Wirkungen magnetischer Felder auf elektrische Ströme.
Durch verschiedene Experimente sollen unter anderem Rückschlüsse von makroskopischen Beobachtungen auf die mikroskopischen Eigenschaften von Materialien, die für die elektrische Leitfähigkeit
maßgeblich sind, gezogen werden.
2
Aufgaben
2.1
2.1.1
Aufgabe 1: Messung des magnetischen Feldes mit einer Feldplatte
Beschreibung
In diesem Versuch wird das Magnetfeld im verwendeten Magneten in Abhängigkeit des felderzeugenden Erregerstroms Ierr experimentell mit einer Feldplatte gemessen.
Eine Feldplatte besteht aus einem Halbleiter, dessen ohmscher Widerstand bei Stromdurchfluß gemessen wird. Orthogonal zur Flußrichtung sind Drähte angebracht, in denen sich Elektronen mit
vergleichsweise geringem Widerstand bewegen können. Wird die Feldplatte in ein magnetisches Feld
gebracht, das einen Anteil orthogonal zur Stromflußrichtung und orthogonal zur Platte hat, legen
die Elektronen auf dem Weg durch die Platte einen längeren Weg zurück (nicht den kürzesten Weg,
sondern schräg) als im feldfreien Fall, was den meßbaren Widerstand der Platte erhöht.
Die Möglichkeit, das Magnetfeld der Spule nach B = µ0 · nd · Ierr (Gerthsen, aus 7.49) zu berechnen,
wird nicht verwendet, da eine Abweichung von diesem linearen Zusammenhang vermutet wird (siehe
Abbildung 1).
1
2.1.2
Messung der Feldstärke in Abhängigkeit des Erregerstroms
Der Verlauf von B(Ierr ) ist zunächst annähernd linear, bis bei einer Feldstärke von 0,9T die Auswirkungen der ferromagnetischen Sättigung sichtbar werden und die Feldstärke weniger als linear mit
dem Erregerstrom zunimmt.
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
B/T
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
Ierr/mA
Abbildung 1: Abhängigkeit der Magnetfeldstärke B vom Erregerstrom Ierr
2.1.3
Widerstand der Feldplatte
Mit U0 = 6,42V und Rv = 25kΩ kann der Widerstand Rf der Feldplatte bestimmt werden:
Uf
Rf
=
U0
Rv + Rf
Rv · Uf
⇒ Rf =
U0 − Uf
Abbildung 2 und Abbildung 3 zeigen die Abhängigkeit des Widerstands der Feldplatte von der
magnetischen Flußdichte B, respektive die Zunahme desselben gegenüber dem Widerstand bei B =
0T.
Der Überproportionale Verlauf ist aufgrund des Aussehens der Eichkurve erwartet worden.
2
1500
1400
1300
1200
1100
1000
Rf/Ohm
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
B/T
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Abbildung 2: Abhängigkeit des Widerstands der Feldplatte vom magnetischen Feld: Rf (B)
15
14
13
12
11
(Rf-Rf0)/Rf0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
B/T
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
Abbildung 3: Zunahme des Widerstands der Feldplatte: B →
3
1.5
Rf (B)−Rf (0)
Rf (0)
2.2
Aufgabe 2: Messung an einer Au–Metallhallsonde
In diesem Versuch wird die Hallspannung Uh bei verschiedenen Werten des Stroms IS durch die
Hallsonde und bei verschiedenen Stärken der magnetischen Flußdichte B gemessen.
0.15
Is= 34,0mA
Is= 70,0mA
Is=105,2mA
Is=139,7mA
lin. Regr. fuer Is= 34,0mA
lin. Regr. fuer Is= 70,0mA
lin. Regr. fuer Is=105,2mA
lin. Regr. fuer Is=139,7mA
0.14
0.13
0.12
0.11
0.1
Uh/mV
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
B/T
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Abbildung 4: Hallspannung Uh in Abhängigkeit von B, mit Is als Parameter
0.15
B=1,15T
lin. Regr. fuer B=1,15T
0.14
0.13
0.12
0.11
0.1
Uh/mV
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Is/mA
90
100
110
120
130
140
150
Abbildung 5: Hallspannung Uh in Abhängigkeit von Is , mit B = 1, 15T
Abbildung 4 zeigt einige Meßreihen Uh (B) für verschiedene Werte von Is , während Abbildung 5 eine
Meßreihe Uh (Is ) für B = 1, 15T.
2.2.1
Parameter der linearen Regression
Für Uh (B) und Uh (Is ) wird ein proportionaler Verlauf angenommen und daher eine Gerade der Form
f (x) = m · x mit linearer Regression genähert (mit gnuplot).
4
Erregerstrom Is
Is = 34,0mA
Is = 70,0mA
Is = 105,2mA
Is = 139,7mA
mB
0,0246261 mV
T
0,0579167 mV
T
0,0838351 mV
T
0,112854 mV
T
Magnetische Flußdichte B
B = 1,15T
2.2.2
Standardabweichung für mB
±0,001081 mV
T
±0,0005594 mV
T
±0,001505 mV
T
±0,001411 mV
T
mI
mV
0,000937467 mA
Standardabweichung für mI
mV
±0,000003442 mA
Hallkonstante Rh
Die Hallspannung ist Ergebnis eines elektrischen Feldes, das die Ablenkung von Elektronen in der
Hallsonde durch ihren Fluß und das äußere Magnetfeld gerade ausgleicht. Die von ihr auf die Ladungsträger in der Sonde ausgeübte elektrische Kraft Fe ist daher gleich der durch Bewegung und
Magnetfeld verursachten Lorentzkraft FL :
Fe = FL
⇒q·E =q·v×B
mit v⊥B, wie es jedenfalls in unserem Experiment gilt, ergibt das:
E =v·B
U
=v·B
⇒
d
⇒U =v·B·d
Ferner gilt:
I =j·A
Mit Dicke der Hallsonde dh und Breite bh heißt das:
5
I =j·A
⇒ Is = (%qv) · (bh dh )
Is
⇒v=
% · q · bh dh
und
U =v·B·d
⇒ Uh = v · B · bh
Is
⇒ Uh =
· B · bh
% · q · bh dh
B · Is
1
·
=
%·q
dh
B · Is
= Rh ·
dh
Also gibt es eine Proportionalität Uh ∼ Is respektive Uh ∼ B:
Uh = Rh ·
B
Is
· Is = mI · Is ∧ Uh = Rh ·
· B = mB · B
dh
dh
B
Is
⇒ mI = Rh ·
∧ mB = Rh ·
dh
dh
Mit den Konstanten mI und mB aus den Ausgleichsgeraden zu Uh (Is ) respektive Uh (B) kann also
zunächst Rh berechnet werden:
Rh = mI ·
Erregerstrom Is
Is = 34,0mA
Is = 70,0mA
Is = 105,2mA
Is = 139,7mA
dh
dh
∧ Rh = mB ·
B
Is
Rh = mB · Ids
3
4,41821 · 10−11 mC
3
5,04703 · 10−11 mC
3
4,86116 · 10−11 mC
3
4,92777 · 10−11 mC
Der Mittelwert R̄h ist dann:
R̄h = 4,845364 · 10−11
Magnetische Flußdichte B
B = 1,15T
2.2.3
Rh = mI · Bd
3
4,97265 · 10−11 mC
Konzentration freier Elektronen nAu
Wegen
6
m3
C
1
%·q
1
⇔%=
Rh · q
Rh =
und unter der Annahme, daß es sich bei den Ladungsträgern um Elektronen e− handelt, können wir
nAu = % bestimmen:
nAu =
Kenngröße der Meßreihe
Is = 34,0mA
Is = 70,0mA
Is = 105,2mA
Is = 139,7mA
B = 1,15T
2.2.4
1
Rh · e
Rh
1
Rh ·e
1029 m13
1029 m13
1029 m13
1029 m13
1029 m13
nAu =
3
4,41821 · 10−11 mC
3
5,04703 · 10−11 mC
3
4,86116 · 10−11 mC
3
4,92777 · 10−11 mC
3
4,97265 · 10−11 mC
1,412678 ·
1,236669 ·
1,283954 ·
1,266599 ·
1,255167 ·
Mittlere Zahl freier Elektronen je Goldatom ζAu
Wir benötigen die Zahl der Goldatome in der Sonde. Diese berechnen wir aus:
g
cm3
g
= 197
mol
%m,Au = 19,3
MAu
Die Teilchendichte von Gold ergibt sich dann zu
NA
MAu
1
6 · 1023 mol
g
= 19,3 3 ·
g
cm
197 mol
1
= 5,878 · 1022 3
cm
%n,Au = %m,Au ·
Aus der Elektronendichte und der Teilchendichte ergibt sich trivialerweise die mittlere Zahl freier
Elektronen:
ζAu =
7
nAu
%n,Au
Kenngröße der Meßreihe
Is = 34,0mA
Is = 70,0mA
Is = 105,2mA
Is = 139,7mA
B = 1,15T
nAu
1,412678 · 1029 m13
1,236669 · 1029 m13
1,283954 · 1029 m13
1,266599 · 1029 m13
1,255167 · 1029 m13
Au
ζAu = %nn,Au
2,4033
2,1039
2,1843
2,1548
2,1354
Ein Wert von etwa zwei freien Elektronen je Goldatom ist ein zumindest realistischer Wert.
2.2.5
Bemerkung
Während der Veränderung des B-Feldes treten an der Hallsonde große Spannungen im Vergleich zur
Hallspannung im stationären Fall auf. Dies liegt an in der Hallsondenebene induzierten Kreisströmen aufgrund des zeitlich veränderlichen B-Feldes, die durch die Geometrie der Hallsonde und die
Empfindlichkeit des Meßgeräts so stark auffallen.
2.2.6
Messung des Hallwiderstands
Aus der Messung der Spannung Ur an Anschlüssen im Abstand l = (29,0±0,1)mm (in Stromrichtung)
bei fließendem Strom Is kann die Leitfähigkeit der Hallsonde (also des Goldes) berechnet werden:
l
A
A
⇔%=R·
l
1
σ=
%
l
⇒σ=
R·A
l
Is
l
69,90mA
29,0mm
S
⇒ σAu =
=
·
=
·
= 12,0 · 106
R·A
Ur bh · dh
0,308V 9,0mm · 61nm
m
R=%·
3
µAu berechnet sich dann nach µAu = σAu · Rh . Für einen mittleren Wert von R̄h = 4,845364 · 10−11 mC
m2
ergibt dies µAu = 5,8144 · 10−4 ΩC
2.3
2.3.1
Aufgabe 3: Messung an einer InAs–Halbleiterhallsonde
Parameter der linearen Regression
Für Uh (Is ) wird ein proportionaler Verlauf angenommen und daher eine Gerade der Form f (x) =
m · x + c mit linearer Regression genähert (mit gnuplot). Hier ist ein Summand c berücksichtigt, da
kein Abgleich der Spannung bei B = 0T durchgeführt werden kann.
Erregerstrom Is
Is = 6,0mA
Is = 12,0mA
Is = 18,0mA
Is = 24,0mA
mB
46,9138 mV
T
86,9927 mV
T
132,473 mV
T
180,007 mV
T
Standardabweichung für mB
±0,9112 mV
T
±2,975 mV
T
±2,995 mV
T
±3.382 mV
T
8
c
3,49397mV
9,60564mV
12,6073mV
15,0451mV
Standardabweichung für c
±0,8073mV
±2,615mV
±2,502mV
±2,679mV
Uh/mV
250
240
230
220
210
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Is= 6,0mA
Is=12,0mA
Is=18,0mA
Is=24,0mA
lin. Regr. fuer Is= 6,0mA
lin. Regr. fuer Is=12,0mA
lin. Regr. fuer Is=18,0mA
lin. Regr. fuer Is=24,0mA
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
B/T
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Abbildung 6: Hallspannung Uh in Abhängigkeit von B, mit Is als Parameter
20
Werte fuer c, also B=0T, aus lin. Regression
lin. Regression fuer c
19
18
17
16
15
14
13
Uh/mV
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
Is/mA
14
16
18
20
22
24
Abbildung 7: Hallspannung Uh in Abhängigkeit von Is bei B = 0T
Abbildung 7 zeigt die Hallspannung Uh in Abhängigkeit von Is bei B = 0T. Die Werte wurden
aus c aus den linearen Regressionen für Uh (B) durch gewichtete lineare Regression bestimmt. Es ist
deutlich zu erkennen, daß die Spannung bei B = 0T mit zunehmendem Strom Is ansteigt. Dabei ist
ein in etwa linearer Verlauf sichtbar.
Die hier gezeigte Hallspannung läßt sich vermutlich ebenso wie bei der Au–Hallsonde durch die
geometrischen Eigenschaften der InAs–Hallsonde erklären. Sie ist klein gegenüber der Hallspannung
bei signifikanten Magnetfeldern, weswegen sie üblicherweise vernachlässigt wird. Sie ist außerdem für
die in diesem Versuch berechneten Größen irrelevant, da jeweils nur auf den proportionalen Anteil
der Beziehung Uh (B) eingegangen wird.
2.3.2
Hallkonstante Rh
Mit der Konstanten mB aus der Ausgleichsgeraden zu Uh (Is ) kann zunächst Rh berechnet werden:
9
Rh = mB ·
Erregerstrom Is
Is = 6,0mA
Is = 12,0mA
Is = 18,0mA
Is = 24,0mA
dh
Is
Rh = mB · Ids
3
1,95474 · 10−5 mC
3
1,81235 · 10−5 mC
3
1,83990 · 10−5 mC
3
1,87508 · 10−5 mC
Der Mittelwert R̄h ist dann:
R̄h = 1,87052 · 10−5
2.3.3
m3
C
Konzentration freier Elektronen nInAs
Wegen
1
%·q
1
⇔%=
Rh · q
Rh =
und unter der approximierenden Annahme, daß es sich bei den Ladungsträgern um Elektronen e−
handelt, können wir nInAs = % bestimmen:
nInAs =
1
Rh · e
Kenngröße der Meßreihe
Rh
Is
Is
Is
Is
m3
= 34,0mA
= 70,0mA
= 105,2mA
= 139,7mA
2.3.4
1,95474 · 10−5 C
3
1,81235 · 10−5 mC
3
1,83990 · 10−5 mC
3
1,87508 · 10−5 mC
= 3,33678 · 1023
1
m3
1
Rh ·e
1023 m13
1023 m13
1023 m13
1023 m13
nInAs =
3,1930 ·
3,4439 ·
3,3923 ·
3,3287 ·
Mittlere Zahl freier Elektronen je InAs–Teilchenpaar ζInAs
Wir benötigen die Zahl der InAs–Teilchenpaare in der Sonde. Indium ist ein Metall der dritten
Hauptgruppe, Arsen ein Halbmetall der fünften Hauptgruppe. Sie bilden eine Ionenverbindung mit
Zinkblendegitterstruktur, bestehend aus In3+ und As3− . Aufgrund der sich ergebenden Ionenradien
gehen wir ohne weitere Bedenken davon aus, daß Indiumarsenid eine noch kleinere Dichte als Arsen
hat und verwenden daher nach %m,In = 7,29 cmg 3 und %m,As = 5,77 cmg 3 folgende Approximation:
%m,InAs = 5
Mit
10
g
cm3
MInAs = MIn + MAs = 114,8
g
g
g
+ 74,9
= 189,7
mol
mol
mol
folgt dann
NA
MInAs
1
6 · 1023 mol
g
=5 3 ·
g
cm
189,7 mol
1
= 1,58 · 1022 3
cm
%n,InAs = %m,InAs ·
Aus der Elektronendichte und der Teilchendichte ergibt sich trivialerweise die mittlere Zahl freier
Elektronen:
ζInAs =
Kenngröße der Meßreihe
Is = 34,0mA
Is = 70,0mA
Is = 105,2mA
Is = 139,7mA
2.3.5
nInAs
3,1930 · 1023 m13
3,4439 · 1023 m13
3,3923 · 1023 m13
3,3287 · 1023 m13
nInAs
%n,InAs
InAs
ζInAs = %nn,InAs
2,0209 · 10−5
2,1797 · 10−5
2,1470 · 10−5
2,1068 · 10−5
Messung des Hallwiderstands
Aus der Messung der Spannung Ur an Anschlüssen im Abstand l = (3,0±0,05)mm (in Stromrichtung)
bei fließendem Strom Is kann die Leitfähigkeit der Hallsonde (also des InAs) berechnet werden:
σInAs =
Is
l
69,90mA
3,0mm
S
·
=
·
= 29,432 · 103
Ur bh · dh
0,308V 1,5mm · 2,5µm
m
3
µInAs berechnet sich dann nach µInAs = σInAs ·Rh . Für einen mittleren Wert von R̄h = 1,87052·10−5 mC
m2
ergibt dies µInAs = 0,5505 ΩC
2.3.6
Diskussion der Ergebnisse
Die Zahl freier Ladungsträger pro ¨‘Teilchen¨’ ζ ist bei InAs um fünf Größenordnungen kleiner als bei
Gold, die Leitfähigkeit σ um drei Größenordnungen. Dies verwundert insofern nicht, als InAs eine
Halbmetallegierung ist und kein Metall wie Gold, das für seine gute Leitfähigkeit berühmt ist.
Als Folge daraus ist die Hallkonstante Rh bei InAs sehr viel größer, und bei ansonsten gleichen
Parametern, wie der magnetischen Flußdichte B, ist die Hallspannung Uh sehr viel größer. Da größere Spannungen im vorliegenden Bereich wesentlich leichter und störungsärmer gemessen werden
können, eignen sich daher Materialien mit geringer Leitfähigkeit, bzw. eigentlich geringer Ladungsträgerdichte, besonders gut zur Herstellung von Hallsonden.
11
Prinzipiell ist interessant, daß hier mit einem einfachen makroskopischen Meßverfahren herausgefunden wurde, daß in der Salzverbindug InAs je ca. 200000 Ionenpaaren nur etwa ein freier Ladungsträger vorhanden ist, und damit ein mikroskopisches Detail bestimmt wurde, das anders jedenfalls
nicht trivial bestimmt werden kann.
3
Fehlerrechnung
3.1
Übersicht
Bei diesem Versuch treten sowohl systematische Fehler als auch statistische Fehler bei den Messungen
auf. Die meisten dieser Fehler können im Rahmen der Fehlerrechnung abgeschätzt werden. Viele der
gefragten Größen sind aus Meßwerten berechnet, was eine Berechnung des fortgepflanzten Fehlers
erfordert.
3.1.1
Systematische Fehler
• Messung der Hallspannung Uh
• Erregerstrom der Hallsonde Is
• Messung der Spannung Ur längs der Hallsonden
• Abstand l der Anschlüsse längs der Hallsonden
• Abmessungen bh und dh der Hallsonden
3.1.2
Statistische Fehler
Als statistischer Fehler treten hier eine Abweichung in den Messungen von Hallspannung und Erregerstrom der Hallsonde auf. Da hierfür jedoch keine einzelnen Meßreihen vorliegen, wird der sich
daraus ergebende statistische Fehler nur für die Steigung mB der Funktion Rh = mB · dIhs ermittelt,
da diese jeweils aus mehreren Wertepaaren bestimmt wird.
12
3.2
3.2.1
Formeln für die Fehlerrechnung
Größtfehlerabschätzung
Hier gilt allgemein:
¯
¯
¯
¯
¯ ∂E ¯
¯ ∂E ¯
¯
¯
¯
¯ · ∆B + · · ·
∆E = ¯
· ∆A + ¯
∂A ¯
∂B ¯
Also insbesondere:
d
Rh = mB ·
Is
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ∂Rh ¯
¯ ∂Rh ¯
¯ ∂Rh ¯
¯
¯
¯
¯ · ∆Is
¯
¯
⇒ ∆Rh = ¯
· ∆mB + ¯
· ∆d + ¯
∂mB ¯
∂d ¯
∂Is ¯
¯ ¯
¯
¯
¯
¯
¯ mB ¯
¯ mB · d ¯
¯d¯
¯
¯
¯
¯
¯ · ∆Is
¯
· ∆d + ¯−
= ¯ ¯ · ∆mB + ¯
Is
Is ¯
Is2 ¯
¯ ¯
¯
¯
¯
¯
¯d¯
¯ mB ¯
¯ mB · d ¯
¯
¯
¯
¯ · ∆Is
¯
¯
= ¯ ¯ · ∆mB + ¯
· ∆d + ¯
Is
Is ¯
Is2 ¯
l
Is
·
Ur bh · dh
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ∂σx ¯
¯ ∂σx ¯
¯ ∂σx ¯
¯ ∂σx ¯
¯ ∂σx ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ · ∆dh
¯
¯
¯
¯
⇒ ∆σx = ¯
· ∆Is + ¯
· ∆Ur + ¯
· ∆l + ¯
· ∆bh + ¯
∂Is ¯
∂Ur ¯
∂l ¯
∂bh ¯
∂dh ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1
¯ Is
¯ Is
l ¯¯
l ¯¯
1 ¯¯
¯
¯
¯
=¯
·
·
· ∆Is + ¯− 2 ·
· ∆Ur + ¯
· ∆l
Ur bh · dh ¯
Ur bh · dh ¯
Ur bh · dh ¯
¯
¯
¯
¯
¯ Is
¯ Is
l ¯¯
l ¯¯
¯
¯
·
·
· ∆dh
+ ¯−
· ∆bh + ¯−
Ur b2h · dh ¯
Ur bh · d2h ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1
¯ Is
¯ Is
l ¯¯
l ¯¯
1 ¯¯
¯
¯
= ¯¯
·
·
·
·
∆I
+
·
∆U
+
s
r
¯ U 2 bh · dh ¯
¯ Ur bh · dh ¯ · ∆l
Ur bh · dh ¯
r
¯
¯
¯
¯
¯ Is
¯ Is
l ¯¯
l ¯¯
¯
¯
+¯
·
·
· ∆bh + ¯
· ∆dh
Ur b2h · dh ¯
Ur bh · d2h ¯
σx =
µx =σx · Rh
¯
¯
¯
¯
¯ ∂µx ¯
¯ ∂µx ¯
¯
¯ · ∆σx + ¯
⇒ ∆µx = ¯¯
¯ ∂Rh ¯ · ∆Rh
∂σx ¯
µ
¶
∆σx ∆Rh
=
+
· µx
σx
Rh
3.2.2
Statistische Fehler
Die statistischen Fehler der linearen Regressionen werden durch das gleiche numerische Tool (gnuplot)
berechnet, das die (nicht gewichtete) lineare Regression durchgeführt hat. Die ensprechenden Werte
für die Standardabweichung können den jeweiligen Tabellen entnommen werden.
13
3.2.3
Spezialfälle
Bei abhängigen Größen, die multiplikativ aus anderen Größen berechnet werden, von denen genau
eine mit einem Fehler behaftet ist, wird genau ihr relative Fehler ohne Änderung fortgepflanzt. Dies
sei beispielhaft für ζx hergeleitet:
¯
¯
¯
¯
¯ ∂E ¯
¯ ∂E ¯
¯
¯
¯
¯ · ∆B + · · ·
∆E = ¯
· ∆A + ¯
∂A ¯
∂B ¯
nx
ζx =
%n,x
¯
¯
¯
¯
¯ ∂ζx ¯
¯ ∂ζx ¯
¯
¯
¯
¯ · ∆%n,x
⇒ ∆ζx = ¯
· ∆nx + ¯
∂nx ¯
∂%n,x ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1 ¯
¯ ∂ζx ¯
¯
¯
¯
¯·0
=¯
· ∆nx + ¯
%n,x ¯
∂%n,x ¯
¯
¯
¯ 1 ¯
¯ · ∆nx
= ¯¯
%n,x ¯
1
nx
=
· ∆nx ·
%n,x
nx
nx ∆nx
·
=
%n,x nx
∆nx
= ζx ·
nx
Bei der Bildung eines arithmetischen Mittels ist der Fehler des Mittelwertes gerade der Mittelwert
der Fehler der Einzelwerte (die Herleitung ist trivial).
3.3
Fehlerrechnung im Einzelnen
3.3.1
Au–Sonde: Hallkonstante 1. Meßreihe
Rh = 4,41821 · 10−11
m3
C
¯ ¯
¯
¯
¯
¯
¯d¯
¯ mB ¯
¯ mB · d ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ · ∆Is
∆Rh = ¯ ¯ · ∆mB + ¯
· ∆d + ¯
Is
Is ¯
Is2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0,0246261 mV · 61 · 10−9 m ¯
¯ 0,0246261 mV ¯
¯ 61 · 10−9 m ¯
mV
¯
¯
¯
T ¯
T
¯ · ∆0,001081
= ¯¯
+¯
¯ · ∆3 · 10−9 m + ¯
¯ · ∆3mA
¯
¯
¯
¯
34mA ¯
T
34mA
(34mA)2
= 0,801 · 10−11
m3
C
Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler:
Rh = (4,4 ± 0,8) · 10−11
14
m3
C
3.3.2
Au–Sonde: Hallkonstante 2. Meßreihe
Rh = 5,04703 · 10−11
m3
C
¯ ¯
¯
¯
¯
¯
¯d¯
¯ mB ¯
¯ mB · d ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ · ∆Is
∆Rh = ¯ ¯ · ∆mB + ¯
· ∆d + ¯
Is
Is ¯
Is2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0,0579167 mV ¯
¯ 0,0579167 mV · 61 · 10−9 m ¯
¯ 61 · 10−9 m ¯
mV
¯
¯
¯
¯
T
T
¯ · ∆0,0005594
= ¯¯
+¯
¯ · ∆3 · 10−9 m + ¯
¯ · ∆3mA
¯
2
¯ 70,0mA ¯
¯
¯
70,0mA
T
(70,0mA)
= 0,513 · 10−11
m3
C
Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler:
Rh = (5,0 ± 0,5) · 10−11
3.3.3
m3
C
Au–Sonde: Hallkonstante 3. Meßreihe
Rh = 4,86116 · 10−11
m3
C
¯ ¯
¯
¯
¯
¯
¯d¯
¯ mB ¯
¯
¯
¯ · ∆d + ¯ mB · d ¯ · ∆Is
∆Rh = ¯¯ ¯¯ · ∆mB + ¯¯
¯
¯
Is
Is
Is2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0,0838351 mV ¯
¯ 0,0838351 mV · 61 · 10−9 m ¯
¯ 61 · 10−9 m ¯
mV
¯
¯
¯
¯
T
T
¯ · ∆0,001505
+¯
= ¯¯
¯ · ∆3 · 10−9 m + ¯
¯ · ∆3mA
¯
2
¯ 105,2mA ¯
¯
¯
105,2mA
T
(105,2mA)
= 0,465 · 10−11
m3
C
Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler:
Rh = (4,9 ± 0,5) · 10−11
3.3.4
m3
C
Au–Sonde: Hallkonstante 4. Meßreihe
Rh = 4,92777 · 10−11
m3
C
¯ ¯
¯
¯
¯
¯
¯d¯
¯ mB ¯
¯ mB · d ¯
¯ · ∆d + ¯
¯
∆Rh = ¯¯ ¯¯ · ∆mB + ¯¯
¯ I 2 ¯ · ∆Is
Is
Is ¯
s
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0,112854 mV · 61 · 10−9 m ¯
¯ 0,112854 mV ¯
¯ 61 · 10−9 m ¯
mV
¯
¯
¯
¯
T
T
¯ · ∆0,001411
= ¯¯
+¯
¯ · ∆3 · 10−9 m + ¯
¯ · ∆3mA
¯
2
¯
¯ 139,7mA ¯
¯
139,7mA
T
(139,7mA)
= 0,410 · 10−11
m3
C
15
Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler:
Rh = (4,9 ± 0,4) · 10−11
3.3.5
Au–Sonde: Mittlere Hallkonstante
∆R̄h = 0,547 · 10−11
3.3.6
m3
C
m3
⇒ R̄h
C
= 4,8 · 10−11
m3
m3
± 0,5 · 10−11
C
C
InAs–Sonde: Hallkonstante 1. Meßreihe
Rh = 1,95474 · 10−5
m3
C
¯
¯
¯
¯
¯ ¯
¯ mB ¯
¯ mB · d ¯
¯d¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ · ∆Is
∆Rh = ¯ ¯ · ∆mB + ¯
· ∆d + ¯
Is
Is ¯
Is2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 46,9138 mV ¯
¯ 46,9138 mV · 2,5 · 10−6 m ¯
¯ 2,5 · 10−6 m ¯
mV
¯
¯
¯
T ¯
T
¯ · ∆0,9112
= ¯¯
+¯
¯ · ∆0,5 · 10−6 m + ¯
¯ · ∆0,3mA
¯
¯ 6mA ¯
¯
¯
6mA
T
(6mA)2
= 0,527 · 10−5
m3
C
Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler:
Rh = (2,0 ± 0,5) · 10−5
3.3.7
m3
C
InAs–Sonde: Hallkonstante 2. Meßreihe
Rh = 1,81235 · 10−5
m3
C
¯
¯
¯
¯
¯ ¯
¯d¯
¯ mB ¯
¯ mB · d ¯
¯
¯
¯
¯
¯ · ∆Is
¯
· ∆d + ¯
∆Rh = ¯ ¯ · ∆mB + ¯
Is
Is ¯
Is2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 86,9927 mV · 2,5 · 10−6 m ¯
¯ 86,9927 mV ¯
¯ 2,5 · 10−6 m ¯
mV
¯
¯
¯
¯
T
T
¯ · ∆2,975
= ¯¯
+¯
¯ · ∆0,5 · 10−6 m + ¯
¯ · ∆0,3mA
¯
2
¯
¯ 12mA ¯
¯
12mA
T
(12mA)
= 0,470 · 10−5
m3
C
Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler:
Rh = (1,8 ± 0,5) · 10−5
16
m3
C
3.3.8
InAs–Sonde: Hallkonstante 3. Meßreihe
Rh = 1,83990 · 10−5
m3
C
¯
¯
¯ ¯
¯
¯
¯d¯
¯ mB ¯
¯ mB · d ¯
¯ · ∆d + ¯
¯
∆Rh = ¯¯ ¯¯ · ∆mB + ¯¯
¯ I 2 ¯ · ∆Is
Is
Is ¯
s
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 132,473 mV ¯
¯ 132,473 mV · 2,5 · 10−6 m ¯
¯ 2,5 · 10−6 m ¯
mV
¯
¯
¯
¯
−6
T
T
¯ · ∆2,995
= ¯¯
+¯
¯ · ∆0,5 · 10 m + ¯
¯ · ∆0,3mA
¯ 18mA ¯
¯
¯
18mA ¯
T
(18mA)2
= 0,440 · 10−5
m3
C
Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler:
Rh = (1,8 ± 0,4) · 10−5
3.3.9
m3
C
InAs–Sonde: Hallkonstante 4. Meßreihe
Rh = 1,87508 · 10−5
m3
C
¯ ¯
¯
¯
¯
¯
¯d¯
¯ mB ¯
¯ mB · d ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ · ∆Is
∆Rh = ¯ ¯ · ∆mB + ¯
· ∆d + ¯
Is
Is ¯
Is2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 180,007 mV ¯
¯ 180,007 mV · 2,5 · 10−6 m ¯
¯ 2,5 · 10−6 m ¯
mV
¯
¯
¯
¯
T
T
¯ · ∆3,382
+¯
= ¯¯
¯ · ∆0,5 · 10−6 m + ¯
¯ · ∆3mA
¯
2
¯ 24mA ¯
¯
¯
24mA
T
(24mA)
= 0,645 · 10−5
m3
C
Dann erhalten wir daraus einen Wert mit Fehler:
Rh = (1,9 ± 0,6) · 10−5
3.3.10
InAs–Sonde: Mittlere Hallkonstante
∆R̄h = 0,521 · 10−5
3.3.11
m3
C
m3
⇒ R̄h
C
= 1,9 · 10−5
Konzentration freier Elektronen nAu
Kenngröße der Meßreihe
Is = 34,0mA
Is = 70,0mA
Is = 105,2mA
Is = 139,7mA
nAu = Rh1 ·e
1,412678 · 1029 m13
1,236669 · 1029 m13
1,283954 · 1029 m13
1,266599 · 1029 m13
h
∆nAu = nAu · ∆R
Rh
1
29
±0,26 · 10 m3
±0,13 · 1029 m13
±0,12 · 1029 m13
±0,10 · 1029 m13
17
m3
m3
± 0,5 · 10−5
C
C
3.3.12
Mittlere Zahl freier Elektronen je Goldatom ζAu
Kenngröße der Meßreihe
Is = 34,0mA
Is = 70,0mA
Is = 105,2mA
Is = 139,7mA
3.3.13
nAu
%n,Au
2,40
2,10
2,18
2,15
Au
∆ζAu = ζAu · ∆n
nAu
±0,44
±0,22
±0,20
±0,17
Konzentration freier Elektronen nInAs
Kenngröße der Meßreihe
Is = 34,0mA
Is = 70,0mA
Is = 105,2mA
Is = 139,7mA
3.3.14
ζAu =
nInAs = Rh1 ·e
3,2 · 1023 m13
3,4 · 1023 m13
3,4 · 1023 m13
3,3 · 1023 m13
h
∆nInAs = nInAs · ∆R
Rh
1
23
±0,9 · 10 m3
±0,9 · 1023 m13
±0,8 · 1023 m13
±1,1 · 1023 m13
Mittlere Zahl freier Elektronen je InAs–Teilchenpaar ζInAs
Kenngröße der Meßreihe
Is = 34,0mA
Is = 70,0mA
Is = 105,2mA
Is = 139,7mA
InAs
ζInAs = %nn,InAs
2,0 · 10−5
2,2 · 10−5
2,1 · 10−5
2,1 · 10−5
InAs
∆ζInAs = ζInAs · ∆n
nInAs
±0,6 · 10−5
±0,6 · 10−5
±0,5 · 10−5
±0,7 · 10−5
18
3.3.15
Hallwiderstand σAu
∆σAu
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ Is
¯ Is
¯ 1
l ¯¯
l ¯¯
1 ¯¯
¯
¯
¯
·
· ∆Is + ¯ 2 ·
· ∆Ur + ¯
·
· ∆l
=¯
Ur bh · dh ¯
Ur bh · dh ¯
Ur bh · dh ¯
¯
¯
¯
¯
¯ Is
¯ Is
l ¯¯
l ¯¯
¯
¯
+¯
·
· ∆bh + ¯
·
· ∆dh
Ur b2h · dh ¯
Ur bh · d2h ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1
¯ 69,90mA
29,0mm
29,0mm
¯ · 3mA + ¯
¯ · 0,03V
= ¯¯
·
·
¯
¯
2
0,308V 9,0mm · 61nm
(0,308V) 9,0mm · 61nm ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 69,90mA
¯
¯
¯ 69,90mA
1
29,0mm
¯ · 0,1mm
¯ · 0,1mm + ¯
+ ¯¯
·
·
¯
¯
2
0,308V 9,0mm · 61nm
0,308V (9,0mm) · 61nm ¯
¯
¯
¯ 69,90mA
¯
29,0mm
¯
¯ · 3nm
+¯
·
2
0,308V 9,0mm · (61nm) ¯
S
=2,588 · 106
m
Also:
σAu = 12,0 · 106
S
S
± 2,6 · 106
m
m
Wegen
µAu = σAu · Rh
gilt:
µ
∆µAu =
∆σAu ∆Rh
+
σAu
Rh
¶
· µAu
In diesem Fall also
µ
∆µAu =
2
∆σAu ∆R̄h
+
σAu
R̄h
¶
2
m
m
Also ist µAu = 5,8 · 10−4 ΩC
± 2,8 · 10−4 ΩC
.
19
· µAu = 2,848 · 10−4
m2
ΩC
3.3.16
Hallwiderstand σInAs
∆σInAs
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ Is
¯ Is
¯ 1
l ¯¯
l ¯¯
1 ¯¯
¯
¯
¯
·
· ∆Is + ¯ 2 ·
· ∆Ur + ¯
·
· ∆l
=¯
Ur bh · dh ¯
Ur bh · dh ¯
Ur bh · dh ¯
¯
¯
¯
¯
¯ Is
¯ Is
l ¯¯
l ¯¯
¯
¯
+¯
·
· ∆bh + ¯
·
· ∆dh
Ur b2h · dh ¯
Ur bh · d2h ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1
¯ 14,90mA
3,0mm
3,0mm
¯ · 0,3mA + ¯
¯ · 0,03V
= ¯¯
·
·
¯
¯
2
0,405V 1,5mm · 2,5µm
(0,405V) 1,5mm · 2,5µm ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 14,90mA
¯
¯
¯ 14,90mA
1
3,0mm
¯ · 0,05mm
¯ · 0,05mm + ¯
+ ¯¯
·
·
¯
¯
2
0,405V 1,5mm · 2,5µm
0,405V (1,5mm) · 2,5µm ¯
¯
¯
¯ 14,90mA
¯
3,0mm
¯
¯ · 0,5µm
+¯
·
2
0,405V 1,5mm · (2,5µm) ¯
S
=10,130 · 103
m
Also:
σInAs = 29 · 103
S
S
± 10 · 103
m
m
Außerdem:
µ
∆µInAs =
2
∆σInAs ∆R̄h
+
σInAs
R̄h
2
m
m
Also ist µInAs = 0,6 ΩC
± 0,3 ΩC
.
20
¶
· µInAs = 0,3456
m2
ΩC