ML Aufgabenblatt 3: Grundbegriffe der Mathematik @224e213

Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik
Frühlingssemester 2016, Aufgabenblatt 3
Aufgabenblatt 3
40 Punkte
Aufgabe 1 (Negation)
Seien e ∈ R, n, m, k ∈ N und
φ∶
∀e [e > 0 → ∃k ∀n, m (((n ≥ k) ∧ (m ≥ k)) → ∣1/n − 1/m∣ < e)]
Negieren Sie φ.
4
Lösung
Es gilt
¬ϕ ⇐⇒ ∃e ¬[e > 0 → ∃k ∀n, m (((n ≥ k) ∧ (m ≥ k)) → ∣1/n − 1/m∣ < e)]
⇐⇒ ∃e [e > 0 ∧ ¬[∃k ∀n, m (((n ≥ k) ∧ (m ≥ k)) → ∣1/n − 1/m∣ < e)]]
⇐⇒ ∃e [e > 0 ∧ ∀k ¬[∀n, m (((n ≥ k) ∧ (m ≥ k)) → ∣1/n − 1/m∣ < e)]]
⇐⇒ ∃e [e > 0 ∧ ∀k ∃n, m ¬(((n ≥ k) ∧ (m ≥ k)) → ∣1/n − 1/m∣ < e)]
⇐⇒ ∃e [e > 0 ∧ ∀k ∃n, m (((n ≥ k) ∧ (m ≥ k)) ∧ ¬(∣1/n − 1/m∣ < e))]
⇐⇒ ∃e [e > 0 ∧ ∀k ∃n, m (((n ≥ k) ∧ (m ≥ k)) ∧ ∣1/n − 1/m∣ ≥ e)].
Aufgabe 2 (Mengenalgebra I)
Die Mengen A, B, C seinen Teilmenge der Grundmenge G. Geben Sie bei jeder Umformung das Gesetz an,
das Sie verwendet haben.
a) Zeigen Sie, dass gilt
[((B ∪ C) ∖ A) ∪ A] ∩ [((B ∪ C) ∖ A) ∪ (C ∖ B)] = A∆(B ∪ C)
mit den Gesetzen der Mengenalgebra.
3
b) Zeigen Sie mit den Gesetzen der Mengenalgebra dass gilt
[(A ∪ C) ∩ (B ∪ A)] ∪ [A ∪ B ∪ C] = G
3
c) Dualisieren Sie die Aussage von 2 b).
1
7
Lösung
a) Es gilt
[((B ∪ C) ∖ A) ∪ A] ∩ [((B ∪ C) ∖ A) ∪ (C ∖ B)]
= [(B ∪ C) ∖ A] ∪ [A ∩ (C ∖ B)]
(Distributivgesetz)
= [(B ∪ C) ∖ A] ∪ [A ∩ (C ∩ B)]
(Definition ∖)
= [(B ∪ C) ∖ A] ∪ (A ∩ (C ∪ B))
(De Morgansche Gesetze)
= [(B ∪ C) ∖ A] ∪ [A ∖ (B ∪ C)]
= (B ∪ C)∆A.
(Kommutativgesetz und Definition ∖)
(Definition ∆)
1
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Frühlingssemester 2016, Aufgabenblatt 3
b) Es gilt
[(A ∪ C) ∩ (B ∪ A)] ∪ [A ∪ B ∪ C]
= [[(A ∪ C) ∩ (B ∪ A)] ∪ A] ∪ B ∪ C
(Assoziativgesetz)
= [[(A ∪ C) ∪ A] ∩ [(B ∪ A) ∪ A]] ∪ B ∪ C
(Distributivgesetz)
= [[A ∪ C ∪ A] ∩ [B ∪ A ∪ A]] ∪ B ∪ C
(Assoziativgesetz)
= [[A ∪ A ∪ C] ∩ [B ∪ A ∪ A]] ∪ B ∪ C
(Kommutativgesetz)
= [[A ∪ C] ∩ [B ∪ A ∪ A]] ∪ B ∪ C
(Idempotenz)
= [[A ∪ C] ∩ [B ∪ G]] ∪ B ∪ C
(Komplementgesetz)
= [[A ∪ C] ∩ G] ∪ B ∪ C
(Gesetz der Dominierung)
= [A ∪ C] ∪ B ∪ C
(Identitätsgesetz)
=A∪B∪C ∪C
=A∪B∪G
(Kommutativ- und Assoziativgesetz)
(Komplementgesetz)
= G.
(Gesetz der Dominierung)
c) Beim dualisieren vertauschen wir ∩ und ∪ sowie ∅ und G. Die so erhaltene Aussage gilt dann noch immer,
da wir mittels doppelter Verneinung diese aus der ursprünglichen herleiten können. In unserem Beispiel
lautet die duale Aussage
[(A ∩ C) ∪ (B ∩ A)] ∩ [A ∩ B ∩ C] = ∅.
Für interessierte: Ein Beweis sieht wie folgt aus
[(A ∩ C) ∪ (B ∩ A)] ∩ [A ∩ B ∩ C]
= [(A ∩ C) ∪ (B ∩ A)] ∩ [A ∩ B ∩ C]
= [(A ∪ C) ∪ (B ∪ A)] ∩ [A ∪ B ∪ C]
= [(A ∪ C) ∩ (B ∪ A)] ∩ [A ∪ B ∪ C]
= [(A ∪ C) ∩ (B ∪ A)] ∪ [A ∪ B ∪ C]
= [(A ∪ C) ∩ (B ∪ A)] ∪ [A ∪ B ∪ C]
=G
= ∅.
(Anwendung von 2b))
Aufgabe 3 (Mengenalgebra II)
Die Mengen A, B, C seien Teilmengen der Grundmenge G. Beweisen Sie formal (also mit Hilfe der Definitionen
der Operationen, analog zum Beweis von 2a auf S. 40), dass gilt
a) Beweisen Sie das Distributivgesetz A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) formal.
3
b) (A ∪ B) ∖ (A ∩ C) = A ∪ (B ∪ C)
3
6
Lösung
a) Es gilt
x ∈ A ∩ (B ∪ C) gdw x ∈ A ∧ x ∈ B ∪ C
gdw x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)
gdw (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)
gdw x ∈ A ∩ B ∨ x ∈ A ∩ C
gdw x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
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b) Es gilt
x ∈ (A ∪ B) ∖ (A ∩ C) gdw x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ C
gdw x ∈ A ∪ B ∧ ¬x ∈ A ∩ C
gdw (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ A ∧ x ∈ C)
gdw (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ ¬(x ∉ A ∧ x ∈ C)
gdw (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (¬¬x ∈ A ∨ ¬x ∈ C)
gdw (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ ¬x ∈ C)
gdw x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ ¬x ∈ C)
gdw x ∈ A ∨ (x ∉ B ∧ ¬x ∈ C)
gdw x ∈ A ∨ (¬x ∈ B ∧ ¬x ∈ C)
gdw x ∈ A ∨ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C)
gdw x ∈ A ∨ ¬x ∈ B ∪ C
gdw x ∈ A ∨ x ∉ B ∪ C
gdw x ∈ A ∨ x ∈ B ∪ C
gdw x ∈ A ∪ B ∪ C
Aufgabe 4 (Aussageform)
Wir betrachten die Aussageform
φ(n) ∶
∀m [(m2 − n2 ) > 0 → (m > n) ∨ (m > −n)]
bezüglich der Grundmenge Z. Bestimmen Sie die
a) Konversion
b) Inversion
c) Kontraposition
d) Negation
der Formel φ(n) und vereinfachen Sie sie logisch und arithmetisch. Dabei soll das Zeichen ¬ nicht vokommen.
4
Lösung
a) Die Konversion der Aussage p → q lautet q → p. Damit ist die Konversion von φ(n) gegeben durch
∀m [(m > n) ∨ (m > −n) → (m2 − n2 > 0)].
b) Die Inversion der Aussage p → q lautet ¬p → ¬q. Damit ist die Inversion von φ(n) gegeben durch
∀m [¬(m2 − n2 ) > 0 → ¬[(m > n) ∨ (m > −n)]].
Äquivalentes umformen liefert
∀m [¬(m2 − n2 ) > 0 → ¬[(m > n) ∨ (m > −n)]] ⇐⇒ ∀m [m2 ≤ n2 → (m ≤ n) ∧ (m ≤ −n)].
c) Die Kontraposition der Aussage p → q lautet ¬q → ¬p. Damit ist die Kontraposition von φ(n) gegeben
durch
∀m [¬[(m > n) ∨ (m > −n)] → ¬(m2 − n2 > 0)].
Äquivalentes umformen liefert
∀m [¬[(m > n) ∨ (m > −n)] → ¬(m2 − n2 > 0)] ⇐⇒ ∀m [(m ≤ n) ∧ (m ≤ −n) → m2 ≤ n2 ].
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d) Die Negation der Formel φ(n) lautet
¬φ(n)
⇐⇒ ∃m ¬[(m2 − n2 ) > 0 → (m > n) ∨ (m > −n)]
⇐⇒ ∃m [m2 − n2 > 0 ∧ ¬[(m > n) ∨ (m > −n)]]
⇐⇒ ∃m [m2 > n2 ∧ m ≤ n ∧ m ≤ −n].
Aufgabe 5
Wir betrachten eine Funktion f (x) ∶ R → R. Formalisieren Sie die nachstehenden Aussagen. Als Quantoren
sind nur “∀” und “∃” zugelassen (das heisst “es gibt genau eines” dürfen Sie z.B. nicht mit “∃!” abkürzen).
a) Die Gleichung f (x) = 0 hat keine Lösung.
1
b) Die Gleichung f (x) = 0 hat genau eine Lösung.
1
c) Die Gleichung f (x) = 0 hat höchstens eine Lösung.
2
d) Die Gleichung f (x) = 0 hat mehr als eine Lösung.
2
6
Lösung
a) Die Aussage „f (x) = 0 hat keine Lösung“ lässt sich auffassen als „nicht: f (x) = 0 hat eine Lösung, also
¬∃x f (x) = 0.
Äquivalent könnte man auch ∀x f (x) ≠ 0 schreiben.
b) Die Aussage „f (x) = 0 hat genau eine Lösung“ lässt sich auffassen als „es gibt eine Lösung x und für alle
anderen Zahlen y ≠ x sind keine Lösungen“, also
∃x [f (x) = 0 ∧ (∀y [(y ≠ x) → f (y) ≠ 0])].
Mittels der Kontraposition können wir die Aussage noch etwas vereinfachen und erhalten
∃x [f (x) = 0 ∧ (∀y [f (y) = 0 → y = x])].
c) Die Aussage „f (x) = 0 hat höchstens eine Lösung“ lässt sich auffassen als „es gibt genau eine Lösung x
oder es gibt keine Lösungen“, also
[∃x [f (x) = 0 ∧ (∀y [f (y) = 0 → y = x])]] ∨ [∀x f (x) ≠ 0].
Alternativ können wir „höchstens eine Lösung“ auch ausdrücken als ∀x ∀y [(x ≠ y) → ¬(f (x) = f (y) = 0)].
d) Die Aussage „f (x) = 0 hat mindestens eine Lösung“ lässt sich auffassen als „es gibt zwei verschiedene
Lösungen x und y“, also
∃x ∃y [x ≠ y ∧ f (x) = f (y) = 0].
Aufgabe 6
Sei n ∈ N. Mit T(n) bezeichnen wir die Teilmenge von N, welche aus allen Teilern von n besteht. Mit V(n)
jene, die aus allen Vielfachen von n besteht. Zum Beispiel ist
T(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
und
V(12) = {12, 24, 36, 48, . . . }.
Drücken Sie folgende Mengen durch Terme mit Teiler- und Vielfachenmengen aus:
a) Die Menge der natürlichen Zahlen, die nicht gleichzeitig durch 16 und 12 teilbar sind.
2
b) Die Menge der natürlichen Zahlen, welche mit 30 ausser 1 keinen gemeinsamen Teiler haben.
2
c) Die Menge der natürlichen Zahlen, die nicht gleichzeitig durch 9, 10 und 12 teilbar sind.
2
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Lösung
a) Alle Zahlen, die gleichzeitig durch 16 und 12 teilbar sind, sind in der Menge V(16) ∩ V(12). Damit ist die
gesuchte Menge
V(16) ∩ V(12).
Da V(16) ∩ V(12) = V(48) gilt, können wir die gewünschte Menge auch als
V(48)
schreiben.
b) Es handelt sich dabei um alle Zahlen, dessen Teilermenge keine gemeinsamen Elemente mit der Teilermenge
der Zahl 30 hat, also
{n ∈ N∶ T(n) ∩ T(30) = {1}}.
Da T(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, suchen wir Zahlen n die keinen gemeinsamen Teiler mit jeder der
vorherig genannten Zahlen haben. Nun ist aber genaujedes Vielfache von 2 durch 2 teilbar, genau jedes
Vielfache von 3 durch 3 teilbar, u.s.w. Wir suchen also Zahlen n, die keine Vielfachen von 2, 3, 5, 6, 10, 15
und 30 sind. Da jedes Vielfache von z.B. 6 auch ein Vielfaches von 2 ist, können wir uns auch auf die
Vielfachen von den Zahlen 2, 3 und 5 konzentrieren. Es gilt also
n ∉ V(2) ∪ V(3) ∪ V(5).
c) Wie oben lassen sich alle Zahlen, die durch 9,10 und 12 teilbar sind, als V(9) ∩ V(10) ∩ V(12) = V(180)
schreiben. Somit ist die gesuchte Menge
V(180).
Aufgabe 7
Die symmetrische Differenz A∆B der Mengen A und B ist definiert durch
x ∈ A∆B
gdw
(x ∈ A) >−< (x ∈ B).
Vereinfachen Sie schrittweise (vgl. Eigenschaften der symmetrischen Differenz, s.43) oder mit einem VennDiagram
(B∆C)∆(A∆C)∆((A ∩ C)∆B).
2
Lösung
Variante 1: Vereinfachen
Wir verwenden die Eigenschaften der symmetrischen Differenz. Die Zahlen neben den Gleichungen beziehen
sich jeweils auf die Identitäten im Buch auf S. 43.
(B∆C)∆(A∆C)∆((A ∩ C)∆B) = B∆C∆A∆C∆(A ∩ C)∆B
mehrfach 4.
= (A ∩ C)∆B∆B∆C∆C∆A
mehrfach 1.
= (A ∩ C)∆(B∆B)∆(C∆C)∆A
mehrfach 4.
= (A ∩ C)∆∅∆∅∆A
= (A ∩ C)∆A
Variante 2: Venn-Diagramm
Das letzte Venn- Diagramm zeigt, dass
(B∆C)∆(A∆C)∆((A ∩ C)∆B) = C ∪ A.
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mehrfach 3.a)
mehrfach 5.
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A
A
A
B
B
B
C
C
(a) B∆C = (B ∖ C) ∪ (C ∖ B).
C
(b) A∆C = (A ∖ C) ∪ (C ∖ A).
A
(c) (A ∩ C)∆B.
A
B
B
C
C
(d) (B∆C)∆(A∆C).
(e) (B∆C)∆(A∆C)∆((A∩C)∆B).
Aufgabe 8
Wir betrachten die Aussageform
φ(y) ∶ ∃x [(x2 + y 2 > 9) → (y < −x2 ∧ x > 2)]
mit der Grundmenge Z.
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge von φ in aufzählender Form.
2
b) Bestimmen Sie eine zu ¬φ äquivalente Formel, in der das Zeichen ¬ nicht vorkommt.
1
c) Bestimmen Sie die Lösungsmenge von ¬φ in aufzählender Form.
2
5
Lösung
a) Die Lösungsmenge lautet
Lφ = {. . . , −12, −11, −10, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}.
Wir zeigen dies per Fallunterscheidung:
(∣y∣ ≤ 3) Wähle x = 0. Dann ist x2 + y 2 ≤ 9, also die Prämisse nicht erfüllt. Somit gilt die Aussage.
(y > 3) Falls y > 3 gilt, ist die Prämisse x2 +y 2 > 9 stets (d.h. für alle x) erfüllt. Wir müssen also dafür sorgen,
dass durch unsere Wahl von x auch die Konklusion erfüllt ist. Allerdings ist y > 0 ≥ −x2 für alle x.
Somit ist die Aussage stets falsch.
(−9 ≤ y < −3) In diesem Fall ist die Prämisse wieder stets erfüllt. Allerdings gibt es kein x mit y < −x2 , d.h. −y > x2 ,
und x > 2, da dafür x2 ≥ 9 gelten muss. Somit ist die Aussage falsch.
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(y < −9) Auch in diesem Fall ist die Prämisse stets erfüllt. Wählen wir x = 3, so gilt sowohl y < −9 ≤ −x2 als
auch x > 2. Damit ist die Aussage wahr.
b) Es gilt
¬φ(n) ⇐⇒ ¬∃x [(x2 + y 2 > 9) → (y < −x2 ∧ x > 2)]
⇐⇒ ∀x ¬[(x2 + y 2 > 9) → (y < −x2 ∧ x > 2)]
⇐⇒ ∀x [(x2 + y 2 > 9) ∧ ¬(y < −x2 ∧ x > 2)]
⇐⇒ ∀x [(x2 + y 2 > 9) ∧ (y ≥ −x2 ∨ x ≤ 2)].
c) Da wir bereits die Lösungsmenge von φ kennen, können wir daraus die Lösungsmenge von ¬φ herleiten.
Es gilt nämlich für jedes n, dass φ(n) wahr ist genau dann, wenn ¬φ(n) falsch ist. Also gilt für die
Lösungsmengen
L¬φ = Lφ = {−9, −8, . . . , −4, 4, 5, 6, . . . }.
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