Messtechnik 2

Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik
Professur für Mess- und Prüftechnik
Prof. Dr.-Ing. habil. J. Czarske
Messtechnik 2: Mess- und Sensortechnik
Übung 1
Aufgabe 1:
Aufgabe 2:
Aufgabe 3:
OPV, Fortpflanzung von Messabweichungen, DIN 1319, GUM
Lock-In-Verstärker, Messunsicherheit, Konfidenzintervall
Temperaturmessung mit Pt100 und Messbrücke
Übung 2
Aufgabe 4:
Aufgabe 5:
Aufgabe 6:
Zeitdauermessung mit Quarzuhr
Drehzahlmessung mit Zähler
Dual-Slope-ADU
Übung 3
Aufgabe 7:
Aufgabe 8:
Aufgabe 9:
Aufgabe 10:
Phasen- und Amplitudenmessung mittels Korrelation
Bewegungsmessung mittels Korrelation
Kovarianz und verallgemeinerte Unsicherheitsfortpflanzung
Korrelation abgetasteter Signale
Übung 4
Aufgabe 11:
Aufgabe 12:
Aufgabe 13:
Aufgabe 14:
Messung eines verrauschten Spannungssignals, SNR
Quantisierungsrauschen
Signalverstärkung und Digitalisierung
Rauschen eines Photodetektors
Übung 5
Aufgabe 15:
Aufgabe 16:
Aufgabe 17:
Aufgabe 18:
Aufgabe 19:
Regressionsrechnung zur Bestimmung einer Konstante
Regressionsrechnung zur Bestimmung einer Geraden
Kalibrierung eines Temperatursensors
Frequenzmessung mit QDT und Cramér-Rao-Schranke
Diskrete Fourier-Transformation und Cramér-Rao-Schranke
Übung 6
Aufgabe 20:
Aufgabe 21:
Aufgabe 22:
Abstandsmessung (Phasen-Laufzeitmessung)
Pkw-Einparkhilfe
Geschwindigkeitsmessung nach dem Weg-Laufzeit-Verfahren
Übung 7
Aufgabe 23:
Aufgabe 24:
Aufgabe 25:
Aufgabe 26:
Bonusaufgabe:
Ultraschall-Doppler-Geschwindigkeitsmessung
Bewegungsmessung mittels Korrelation
Kraftmessung mit Piezoelement
Temperaturmessung
Bilderfassung mit einer CCD-Kamera
Kurzlösungen (alle Aufgaben)
Stand: 23.10.2014
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Messtechnik 2 - Übung 1
Aufgabe 1: OPV, Fortpflanzung von Messabweichungen, DIN 1319, GUM
R2
R1
UE
R2
UA
UE
UA
R1
a)
b)
Abb. 1: Operationsverstärkerschaltungen.
Die zu messende Gleichspannung UE wird mit einer Operationsverstärkerschaltung
gemäß Abb. 1a oder Abb. 1b verstärkt. Die Ausgangsspannung UA wird mit einem
Voltmeter gemessen. Der Operationsverstärker sei ideal. Der Messbereich des
Spannungsmessgerätes ist auf 1 V eingestellt, wofür eine unbekannte
systematische relative Messabweichung von 2 % gilt. Die Widerstandswerte haben
eine Toleranz von jeweils 1 %. Es sei R1 = 5 k, R2 = 20 k und gemessen wird
UA = 0,5 V.
a) Was ist die Messgröße?
b) Geben Sie für beide Schaltungen jeweils eine Formel für die Berechnung der
Spannung UE in Abhängigkeit von R1, R2 und UA sowie den Wert für UE an!
c) Wie groß ist jeweils die maximale systematische Messabweichung von UE?
d) Berechnen Sie gemäß DIN 1319 bzw. GUM die jeweilige Messunsicherheit!
e) Geben Sie für beide Schaltungen jeweils das vollständige Messergebnis für
UE an!
f) Wie lautet die SI-Basiseinheit für die Messung elektrischer Größen?
Aufgabe 2: Lock-In-Verstärker, Messunsicherheit, Konfidenzintervall
s2(t)
Tiefpass
y(t)
s1(t)
Abb. 2: Aufbau eines Lock-In-Verstärkers.
Zur Bestimmung der Phase 2 eines harmonischen Spannungssignals
s2(t) = A2 cos(2t+2) mit bekannter Kreisfrequenz 2 und bekannter Amplitude A2
soll ein Lock-In-Verstärker genutzt werden (s. Abb. 2). Hierfür steht zusätzlich eine
Spannungsquelle zur Verfügung, die ein harmonisches Signal s1(t) = A1 cos(1t+1)
Seite 2
mit bekannter Amplitude A1, bekannter Phase 1 und einstellbarer Kreisfrequenz 1
liefert.
a) Berechnen Sie das Ausgabesignal y(t) für 1 = 2! Erläutern Sie dabei die
Funktion des Tiefpasses und wie dessen Grenzfrequenz zu wählen ist!
Hinweis: cos(a)cos(b) = 0,5[cos(a-b)+cos(a+b)]
b) Gibt es eine Querempfindlichkeit zur Amplitude A1 des Referenzsignals s1(t)?
c) Durch mehrmalige Messung von y erhält man die Stichprobe
y = [20,5; 21,1; 22,4; 23,2; 22,0; 25,1; 23,9; 23,4; 22,7; 22,6] mV.
Geben den Mittelwert und die empirische Standardabweichung für y an!
d) Bestimmen Sie die Standardunsicherheit des Mittelwerts von y!
e) Wie lässt sich die Messunsicherheit reduzieren?
f) Berechnen Sie das Vertrauensintervall von y für eine statistische Sicherheit
von 95 % unter der Annahme, dass die Messwerte von y einer Gaußverteilung
genügen!
g) Was ist der Unterschied zwischen der Angabe eines vollständigen
Messergebnisses
mit Messunsicherheit und
der Angabe
eines
Konfidenzintervalls?
Aufgabe 3: Temperaturmessung mit Pt100 und Messbrücke
Zur Messung der Temperatur  wird ein Pt100-Sensor genutzt, der in einer
Viertelbrücke verschaltet ist. Für Platin gelte  = 3,85 · 10-3 / K.
a) Geben Sie eine Gleichung an, die die Temperaturabhängigkeit des Pt100Elements beschreibt!
b) Skizzen Sie die Brückenschaltung und dimensionieren Sie deren Elemente
geeignet (unter Verwendung gleichartiger Festwiderstände), so dass die
Brücke bei 0 °C abgeglichen ist und bei der Temperatur  = 10 °C die
Brückendiagonalspannung Ud = 100 mV beträgt!
c) Wie lautet die Standardmessunsicherheit  für  = 10 °C, wenn sämtliche
Widerstände (inkl. des Pt100-Elements) eine Toleranz von 0,1 % aufweisen,
und die Brückendiagonalspannung mit einem digitalen Voltmeter mit 12 Bit
und 10 V Messbereich gemessen wird?
d) Das Übertragungsverhalten der Messbrücke werde als näherungsweise linear
angenommen. Welche Abtastrate muss folglich das Spannungsmessgerät zur
Messung der Brückendiagonalspannung haben, um Temperaturschwankungen mit Frequenzen bis 5 Hz ohne Aliasing aufzunehmen?
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Messtechnik 2 - Übung 2
Aufgabe 4: Zeitdauermessung mit Quarzuhr
Zur Messung der Zeitdauer T wird eine
Quarzuhr verwendet (s. Abb. 1). Die Uhr
besteht
aus
einem
Zähler,
dessen
Referenzfrequenz fref sich durch Teilung der
Quarz-Schwingfrequenz f0 = 32 768 Hz um
den Faktor m = 215 ergibt.
Der Uhrenbesitzer drückt zweimal den
Start/Stopp-Knopf (Stoppuhr), um Beginn und
Ende der Zeitmessung vorzugeben. Die
resultierende Zeitdauer T wird mit einem
Zähler gemessen. Das Zählergebnis ist z.
Quarz
f0
Frequenzteiler (m = 215)
fref
Zähler
T
Abb. 1: Zeitmessung mit Quarzuhr
Unsicherheiten:

Für die Schwingfrequenz
Fertigungstoleranzen
die
-6
f0,Fertigung/f0 = ± 20  10 .

Außerdem ist f0 temperaturabhängig, weshalb eine zusätzliche relative
Frequenzabweichung f0,Temperatur/f0 = a  (-0)2 mit a = 35  10-9/K2 auftritt,
wenn die Temperatur  des Quarzes von der Nenntemperatur 0 = 25 °C
abweicht.

Darüber hinaus ist der Quantisierungsfehler des Zählers zu berücksichtigen.
f0
des Quarzes gilt
maximale
relative
aufgrund von
Abweichung
a)
Wie ergibt sich der Zählerstand z aus T und f0?
b)
Berechnen Sie unter Berücksichtigung aller oben genannten Einflüsse die
maximale Messabweichung T(T) für die Zeitdauer T, wenn die Temperatur
des Quarzes im Bereich von 15 °C ≤  ≤ 35 °C schwankt! Stellen Sie das
Ergebnis in Abhängigkeit der Zeitdauer T in einem Diagramm dar!
c)
Wie groß ist die maximale Messabweichung der Uhr nach einem Jahr, d. h. für
T = 365 Tage?
d)
In welchem Temperaturbereich muss die Temperatur  stabilisiert werden,
damit die aus der Temperaturabhängigkeit resultierende maximale
Messabweichung für die Zeitdauer T kleiner ist als die maximale Abweichung
aufgrund der Fertigungstoleranz des Quarzes?
e)
Eine Temperaturstabilisierung sei nicht möglich. Nennen Sie zwei alternative
Maßnahmen, mit denen eine Reduzierung der Messabweichung T aufgrund
von Temperaturschwankungen prinzipiell erreichbar ist!
Seite 4
z
Aufgabe 5: Drehzahlmessung mit Zähler
Mit Hilfe eines digitalen Gebers soll die Drehzahl einer rotierenden Scheibe
gemessen werden. Ein auf dem Rand der Scheibe aufgebrachter Dauermagnet
erzeugt in der Messspule Spannungsimpulse, die mit einem Zähler ausgewertet
werden (Abb. 2). Zur Minimierung der relativen Messabweichung für die Drehzahl n
kommen sowohl Periodendauermessung als auch Frequenzmessung des
detektierten Signals zum Einsatz.
k
Dauermagnet
ffPP
1
Messspule
fF
n
z
Zähler
Z
Abb. 2: Drehzahlmessung mit digitalem Geber.
Für die Periodendauermessung steht ein Frequenznormal fP zur Verfügung. Das
Zeitnormal TF = 1/fF für die Frequenzmessung ergibt sich mittels fF = fP/k, wobei k
eine ganze Zahl sei. Die Messeinrichtung soll je nach Drehzahl n auf die Methode mit
der geringeren relativen Messabweichung für n umschalten.
a) Geben Sie sowohl für die Periodendauermessung als auch für die
Frequenzmessung den formalen Zusammenhang zwischen Drehzahl n und
dem Zählergebnis z an! Wie lautet jeweils die Berechnungsvorschrift für die
maximale relative Messabweichung F̂n von n, wenn nur der Quantisierungsfehler des Zählers berücksichtigt wird?
b) Zeichnen Sie für beide Verfahren den qualitativen Verlauf der maximalen
relativen Messabweichung in Abhängigkeit der Drehzahl n in ein Diagramm
ein und kennzeichnen Sie den Umschaltpunkt n0 sowie den Maximalwert der
auftretenden maximalen relativen Messabweichung Fˆn ,max !
c) Bestimmen Sie den Maximalwert der auftretenden maximalen relativen
Messabweichung Fˆn ,max der Drehzahl n in Abhängigkeit des Teilerfaktors k.
Berechnen Sie den Faktor k so, dass Fˆ
den Wert 1 % annimmt!
n ,max
d) Der Umschaltpunkt zwischen den beiden Verfahren soll bei n0 = 1000 s-1
liegen und der Maximalwert Fˆn ,max der relativen Messabweichung der Drehzahl
soll 1 % betragen. Berechnen Sie die hierfür erforderliche Frequenz fP!
e) Berechnen Sie für die Parameter aus Teilaufgabe d) die notwendige Messzeit
TM für die Periodendauermessung und die Frequenzmessung in Abhängigkeit
der Drehzahl n und zeichnen Sie die beiden Verläufe in ein Diagramm ein!
f) Durch welche Veränderung am Messobjekt kann die Messzeit für die
Periodendauermessung verkürzt werden? Zeigen Sie, dass dadurch die
maximale relative Messabweichung F̂n ansteigt! Durch welche Maßnahme
könnte dies verhindert werden?
g) Gelten die Ergebnisse von Teilaufgabe f) auch für die Frequenzmessung?
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Aufgabe 6: Dual-Slope-ADU
Die digitale Messung einer Gleichspannung UE im Bereich von 0 V ≤ UE ≤ 5 V soll
nach dem Dual-Slope-Prinzip (Abb. 3) erfolgen. In der Schalterstellung S = 1 wird
zunächst für eine feste Zeit T1 die Eingangsspannung UE aufintegriert. Danach wird
die Schalterstellung zu S = 2 verändert und die Steuerung ermittelt die Zeitdauer T2,
in der die Integratorausgangsspannung UA über die Referenzspannung Uref wieder
auf 0 V abintegriert wird. Anschließend wird T2 mittels eines Zählers gemessen.
a) Skizzieren Sie den Zeitverlauf der Integratorausgangsspannung U A für zwei
unterschiedliche Eingangsgleichspannungen UE1 < UE2 !
b) Leiten Sie mit Hilfe der Skizze aus Teilaufgabe a) die Beziehung zwischen
dem Zählergebnis z (Anzeigewert) und der Eingangsspannung UE her!
c) Die Integration über die Eingangsspannung UE soll so erfolgen, dass die zu
erwartenden mittelwertfreien Störspannungen von 50 Hz und 16 2/3 Hz keine
Auswirkungen auf das Messergebnis haben können. Wie groß muss daher die
minimale Integrationszeit T1 der ersten Integrationsphase gewählt werden?
d) Bestimmen Sie das Teilerverhältnis m, wenn die Integrationszeit T1 aus der
Referenzfrequenz fref = 200 kHz abgeleitet werden soll. Was soll durch diese
Maßnahme hauptsächlich erreicht werden? Begründen Sie Ihre Aussage!
S
1

UE
 dt
1
UA
Uref
m
fref
1/T1
T2
Abb. 3: ADU nach dem Dual-Slope-Verfahren (Prinzip).
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z
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Messtechnik 2 - Übung 3
Aufgabe 7: Phasen- und Amplitudenmessung mittels Korrelation
Betrachtet wird ein harmonisches Spannungssignal x(t) mit der Frequenz f als
Sensorausgangssignal. Die Amplitude Ax und die Phase x von x(t) sind nicht
bekannt. Zur Glättung des Signals x(t) wird ein Tiefpass verwendet, der eine
Phasenverzögerung und eine Dämpfung der Amplitude bewirkt. Das
Tiefpassausgangssignal sei y(t). Mittels Korrelation der Signale x(t) und y(t) soll die
aufgrund der Signalglättung auftretende Phasenschiebung  = y - x bestimmt
werden.
Die (Kreuz-)Korrelationsfunktion xy() der Signale x(t), y(t) lautet
T /2
1
 xy ( )  lim
x(t )  y (t   ) dt .
T  T 
T / 2
a)
Mit welchem analogen Gerät lässt sich eine solche Korrelation durchführen?
b)
Wie lautet die Korrelationsfunktion für die gegebenen Signale bei unendlicher
und endlicher Messzeit T?
c)
Wie erhält man bei bekannter Frequenz f aus xy() für T die Phase ?
Betrachtet wird nun der Fall, dass die Frequenz nicht bekannt sei.
Amplitudenauswertung:
d)
Zunächst sollen die Amplituden
Ax, Ay durch Nutzung der
Autokorrelationsfunktionen xx(), yy() gemessen werden. Berechnen sie die
Zusammenhänge zwischen xx(0), yy(0), Ax, Ay für T!
e)
Wie lässt sich mittels Korrelationsauswertung der Effektivwert xeff
Spannungssignals x(t ) bestimmen?
f)
Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen der oben angegebenen
Korrelationsfunktion xy und der Berechnung der Koeffizienten einer FourierReihe!
eines
Phasenauswertung: Angenommen, Ax und Ay wurden nun vorab bestimmt.
g)
Wie ergibt sich die Phasenschiebung  aus xy(0) für T und was ist bei
einer endlichen Messzeit T zu beachten?
h)
Berechnen Sie die maximale Messabweichung  in Abhängigkeit der
Messzeit T, der Frequenz f, und der Phasenschiebung ! Was passiert für
  0?
i)
Welche Messzeit T ist demzufolge erforderlich, um für f = 1 kHz …1 MHz und
/4    3/4 die Messabweichung || < 0,5° zu gewährleisten?
j)
Was wird benötigt um  = 0 zu erreichen?
Seite 7
Aufgabe 8: Messung einer Signalverschiebung mittels Korrelation
Die Korrelation kann zur Messung einer Signalverschiebung genutzt werden.
Betrachtet werden die in Abb. 1 dargestellten Signale x(t) und y(t), die zueinander
zeitverschoben sind. Ermitteln Sie die Zeitverschiebung der Signale mittels einer
qualitativen Bestimmung der (Kreuz)-Korrelationsfunktion!
Abb. 1: Zwei zueinander zeitverschobene Signale x(t) und y(t)
Aufgabe 9: Kovarianz und verallgemeinerte Unsicherheitsfortpflanzung
Zur Speisung einer Brückenschaltung werden zwei ideale Spannungsquellen U1, U2
in Reihe geschaltet. Aufgrund von EMV-bedingten Störungen schwanken beide
Quellenspannungen zufällig. Die Standardabweichungen der Schwankungen betrage
σU1 = 10 mV, σU 2 = 30 mV und die Kovarianz beträgt cU1,U 2 = 2510-6 V2.
a)
Wie groß ist die Standardunsicherheit σU der Gesamtspannung U = U1 + U2?
b)
Wie lässt sich die Kovarianz aus den Spannungssignalen U1(t), U2(t) mittels
der Korrelation bestimmen?
Seite 8
Aufgabe 10: Korrelation abgetasteter Signale
Einem zu messenden Spannungssignal ist additiv ein Störsignal n(t) überlagert. Das
Störsignal sei mittelwertfrei und habe das in Abb. 2 dargestellte
Leistungsdichtespektrum R(f) = k für |f| < B, sonst 0 („bandbegrenztes weißes
Rauschen“). Dieses Leistungsdichtespektrum hat man gemäß dem WienerChintschin-Theorem
erhalten,
d.h.
durch
Fourier-Transformation
der
Autokorrelationsfunktion rnn().
Die Autokorrelationsfunktion beträgt dabei rnn ( )  2 Bk
sin(2πB )
.
2πB
R(f)
Abb. 2: Spektrale Rauschleistungsdichte.
a)
Skizzieren Sie die Autokorrelationsfunktion rnn()!
b)
Welche größtmögliche Abtastfrequenz fa ist zu wählen, um unkorrelierte
Abtastwerte zu erhalten?
c)
Ist bezüglich der Störung das Abtasttheorem gewahrt?
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Messtechnik 2 - Übung 4
Aufgabe 11: Messung eines verrauschten Spannungssignals, SNR
Einer zu messenden Gleichspannung von 0,5 V ist eine mittelwertfreie
Rauschspannung mit einem Effektivwert von 10 mV überlagert. Es handelt sich dabei
um ideal bandbegrenztes weißes Rauschen mit einer Grenzfrequenz von 10 MHz.
a)
Was ist der Unterschied
Standardabweichung?
zwischen
einem
Effektivwert
b)
Wie groß ist das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) in dB?
c)
Wie groß ist die Standardunsicherheit 
Spannungsmessgerät) gemessenen Spannung?
d)
Wie lässt sich die Standardunsicherheit um den Faktor 10 verbessern und wie
groß ist dann das SNR?
der
(mit
und
einem
einer
idealen
Aufgabe 12: Quantisierungsrauschen
Ein harmonisches Spannungssignal u(t) = Uacos(t+) wird mit einem AnalogDigital-Umsetzer (ADU) mit der Bitzahl Nbit gemessen. Der Messbereich des ADU
lautet Umax. Nachfolgend wird allein die durch die Quantisierung verursachte
Messabweichung betrachtet. Diese wird als unbekannte systematische
Messabweichung gemäß DIN1319 bzw. GUM behandelt.
a)
Wie groß ist die Standardunsicherheit  eines Abtastwertes?
b)
Wie groß ist das SNR des abgetasteten Spannungssignals in dB?
c)
Wie lautet das SNR, wenn eine Vollaussteuerung des ADUs vorliegt und
2 Nbit  1 ist?
Seite 10
Aufgabe 13: Signalverstärkung und Digitalisierung
Zur Signaldigitalisierung steht ein 8 Bit Analog-Digital-Umsetzer (ADU) mit einem
Messbereich von -5 V ≤ Uin ≤ 5 V zur Verfügung. Um den ADU optimal aussteuern zu
können, wird gemäß Abb. 1 ein Messverstärker verwendet. Der Operationsverstärker
hat eine Bandbreite von 1 MHz und kann als ideal und rauschfrei betrachtet werden.
Die Boltzmann-Konstante beträgt k = 1,38·10-23 J/K.
R2
R1
UE
- 

+
ADU
Uin
8 Bit
Uout
-5 V … 5 V
Abb. 1: Schaltbild: Analog-Digital-Umsetzer (ADU) mit Vorverstärker.
a)
Wie groß muss R1 gewählt werden, wenn die Spannungsquelle |UE|  50 mV
mit maximal 10 μA belastet werden darf?
b)
Geben Sie eine formale Beziehung für die Spannung Uin in Abhängigkeit der
Komponenten der Verstärkerschaltung an!
c)
R1 sei gleich 10 k. UE sei eine Wechselspannung mit einer Amplitude von
50 mV. Welcher Widerstand R2 ist zu wählen, damit der ADU voll ausgesteuert
wird?
d)
Zeichnen Sie ein erweitertes Ersatzschaltbild, in dem das thermische
Rauschen der ohmschen Widerstände als Rauschspannungsquellen u1 und u2
berücksichtigt ist!
e)
Berechnen Sie die Effektivwerte von u1 und u2 unter der Annahme, dass die
Temperatur aller Widerstände  = 27 °C = 300 K beträgt.
f)
Berechnen Sie die aufgrund des thermischen Rauschens resultierende
Standardabweichung der Spannung Uin! (Die Rauschquellen sind unkorreliert.)
g)
Vergleichen Sie das am Eingang des ADU vorliegende SNRin aufgrund des
thermischen Rauschens mit dem SNRADU, welches aufgrund des
Quantisierungsrauschens vorliegt! Gehen Sie hierbei von einem Sinussignal
und einer Vollausteuerung des ADU aus.
h)
Ist die Bitzahl des ADU als ausreichend zu betrachten? Begründen Sie Ihre
Aussage und geben Sie die mindestens erforderliche Bitzahl an, damit das
Quantisierungsrauschen nicht mehr dominiert!
Seite 11
Aufgabe 14: Rauschen eines Photodetektors
Der Photostrom Iph einer Photodiode wird gemäß Abb. 2a mit Hilfe eines
Operationsverstärkers in eine Spannung UA umgewandelt und verstärkt. Der
Operationsverstärker hat eine Bandbreite von 100 MHz und kann als ideal und
rauschfrei betrachtet werden. Der Widerstand R beträgt 10 kΩ und hat eine
konstante Temperatur von 300 K. Die Photodiode soll als ideale Stromquelle
behandelt werden und hat eine Empfindlichkeit E = 0,5 A/W.
Abb. 2a: Photodetektor-Schaltung.
Abb. 2b: Ersatzschaltbild.
a) Wie groß ist die Ausgangsspannung UA der Schaltung gemäß Abb. 2a für eine
mittlere einfallende Lichtleistung von P = 2 µW.
b) Welches sind die physikalischen Ursachen von thermischem Rauschen und
Schrotrauschen?
Gemäß dem Ersatzschaltbild in Abb. 2b kann das thermische Rauschen des
Widerstandes R als Rauschspannungsquelle uth modelliert werden. Die Photodiode
wird als Stromquelle Iph dargestellt und deren Schrotrauschen als parallel geschaltete
Rauschstromquelle ish. Dabei sind ish und uth unkorreliert. Alle übrigen
Rauschbeiträge sollen vernachlässigt werden. Die Elementarladung beträgt
q = 1,6022·10-19 C und die Boltzmann-Konstante k = 1,38·10-23 J/K.
c) Berechnen Sie den Mittelwert und die Standardunsicherheit der
Ausgangsspannung UA und stellen Sie für UA ein Messunsicherheitsbudget
auf! Wie ließe sich folglich die Messunsicherheit von UA reduzieren?
d) Es werden nun 10 aufeinander folgende Messungen der Spannung UA
durchgeführt. Die Messwerte seien normalverteilt und es gelten die in c)
berechneten Unsicherheiten. Systematische Messabweichungen liegen nicht
vor. Als Mittelwert ergibt sich U A = 10,23 mV. Wie groß ist das
Vertrauensintervall für die Ausgangsspannung UA bei einer geforderten
statistischen Sicherheit von 95 % (1,96·-Bereich)?
Seite 12
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Messtechnik 2 - Übung 5
Aufgabe 15: Regressionsrechnung zur Bestimmung einer Konstante
Leiten Sie die nebenstehende Berechnungsvorschrift für die
gewichtete Mittelung der Messwerte xi mit den
Wichtungsfaktoren wi mit Hilfe der Methode der kleinsten
Quadrate (Least-Squares-Methode) her.
N
x
xw
i 1
N
i
i
w
i 1
i
Aufgabe 16: Regressionsrechnung zur Bestimmung einer Geraden
Abb. 1: Ausgangssignal des Photodetektors UA(ti).
Abb. 1 stellt das zu den diskreten Zeitpunkten ti abgetastete Ausgangssignal UA(t)
eines Photodetektors dar. Es lässt sich wie folgt beschreiben:
xi  U A (ti )  A(ti )  n(ti )
mit
A(t )  m  t  U 0 ,
d.h. die linear ansteigende Signalamplitude A(t) ist mit einem Rauschen n(t)
überlagert. Mit Hilfe einer gewichteten linearen Regression soll die Steigung m und
das Absolutglied U0 der Messkurve bestimmt werden.
a)
Leiten Sie allgemein die Berechnungsformeln für m und U0 her!
b)
Die Wichtungen sollen indirekt proportional zur Varianz der Abtastwerte sein.
Da die Varianz aus thermischem Rauschen resultiert, sind die Varianzen aller
Abtastwerte gleich. Wie lauten damit die Berechnungsformeln für m und U0?
N
t
Beachten Sie, dass hier zusätzlich
i 1
i
N
Seite 13
 0 gilt.
Aufgabe 17: Kalibrierung eines Temperatursensors
Gegeben ist ein PT100-Temperatursensor
mit Brückenschaltung (s. Abb. 2), den es zu
kalibrieren
gilt.
Der
Zusammenhang
zwischen der zu messenden Temperatur 
und der Spannung U am Ausgang der
Brückenschaltung sei  = k  U + 0, wobei k
und 0 Kalibrierkonstanten sind.
PT100
Temperatur

Spannung
Brückenschaltung
U
Abb. 2: Temperatursensor
Bei der Kalibrierung werden für vorgegebene Temperaturen die folgenden
Spannungsmesswerte aufgenommen:
Temperatur 
0 °C
30 °C
60 °C
100 °C
Spannung U
-0,8 V
1,6 V
5V
7,8 V
a)
Bestimmen Sie die Kalibrierkonstanten mit Hilfe der Ergebnisse der
Aufgabe 16a! Verwenden Sie dabei die Wichtungen wi = 1.
b)
Zeichnen Sie die Messwerte und die Regressionsgerade in ein Diagramm!
c)
Angenommen, die Abweichungen der Messwerte von der Regressionsgeraden sind systematische Messabweichungen. Wie ist vorzugehen, damit
diese systematischen Abweichungen die Temperaturmessungen nicht stören?
d)
Angenommen, die Abweichungen der Messwerte von der Regressionsgeraden sind unkorrelierte zufällige Messabweichungen. Wie ist vorzugehen,
damit diese Abweichungen die Temperaturmessungen nicht stören?
Aufgabe 18: Frequenzmessung mit QDT und Cramér-Rao-Schranke
Für die Frequenzmessung eines Spannungssignals der Form
b(t )  Asin( (t )),  (t )  2ft   0 ,
soll die Quadratur-Demodulations-Technik (QDT) eingesetzt werden. Hierfür wird
zuerst ein um 90° phasenverschobenes Signal a(t )  A cos( (t )) erzeugt, so dass
sich das Phasensignal (t) wie folgt extrahieren lässt:
b(t )
 (t )  arctan
.
a(t )
Schließlich erhält man die Signalfrequenz f aus dem Anstieg von (t), der sich mit
einer linearen Regression bestimmen lässt.
a)
a(t) und b(t) sind mit einem unkorrelierten, weißen gaußschen Rauschen mit
der Standardabweichung  additiv überlagert. Wie groß ist demzufolge die
Standardabweichung  von (t)?
Hinweis:
arctan( x)' 
1
1  x2
Seite 14
b)
Geben Sie mit Hilfe der Annahmen und Ergebnisse der Aufgabe 16b die
Gleichung zur Berechnung der Frequenz an!
c)
Wenden Sie nun eine Unsicherheitsfortpflanzung an, um die Messunsicherheit
der Frequenz f zu bestimmen!
Hinweis 1: Das Phasensignal (t) wird hierbei verrauscht betrachtet, wobei
die Standardabweichung  des Rauschens der Teilaufgabe a) entnommen
werden kann. Die Anzahl N der Abtastwerte sei >>1.
Hinweis 2:
N 1
N
N3
2
2
ti 
ti 
, fa Abtastrate, T = N/fa Messzeit:
.

fa
12 f a2
i 1
Kann mit einem anderen Verfahren die Frequenz mit geringerer Unsicherheit
gemessen werden?
i
d)
Aufgabe 19: Diskrete Fourier-Transformation und Cramér-Rao-Schranke
Aus N Abtastwerten eines verrauschten Spannungssignals u(t) werden die
zugehörigen Fourier-Koeffizienten einer diskreten Fourier-Transformation (DFT/FFT)
bei den Frequenzen fk = k fa/N, k = 1, …, N/2, berechnet:
1 N 1
1 N 1
ak   u (n / f a )  cos(2f k n / f a ), bk    u (n / f a )  sin(2f k n / f a ),
N n 0
N n 0
wobei fa die Abtastrate ist.
a)
Leiten Sie obige Berechnungsvorschriften des Fourier-Koeffizienten ak für ein
zeitdiskretes Signal (DFT/FFT) aus der Formel für den Fourier-Koeffizienten
eines kontinuierlichen Signals (Fourier-Reihe) ab:
T
1
ak   u (t ) cos(2f k t ) dt
T0
mit der Messzeit T = N/fa.
b)
Wie lauten die Fourier-Koeffizienten für u(t) = Ua cos(2ft), f = 2fa/N?
c)
Wie groß ist die Messunsicherheit der Fourier-Koeffizienten, wenn u(t) mit
einem gaußschen, weißen Rauschen mit der Varianz 2 additiv überlagert ist?
Wie groß ist demnach die Cramér-Rao-Schranke der Fourier-Koeffizienten?
d)
Wie kann die Messunsicherheit reduziert werden?
Hinweise:
cos( x) cos( y) 
1
cos( x  y)  cos( x  y)
2
cos( x) sin( y) 
1
sin( x  y)  sin( x  y)
2
Seite 15
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Messtechnik 2 - Übung 6
Aufgabe 20: Abstandsmessung (Phasen-Laufzeitmessung)
Von einem Messgerät wird eine elektromagnetische Welle ausgesendet, deren
Intensität mit der Frequenz fm sinusförmig moduliert ist. Das vom Messobjekt
reflektierte und vom Detektor 2 empfangene Signal s2(t) weist gegenüber dem vom
Detektor 1 gemessenen Sendesignal s1(t) eine Phasenverschiebung  auf, die
proportional zum Objektabstand d ist (s. Abb. 1). Die Ausbreitungsgeschwindigkeit
der Welle beträgt c = 3108 m/s.
Messobjekt
Messgerät
s1(t) = A1 cos(2  fm t)
Detektor 1
Sender
s2(t) = A2 cos(2  fm t + )
Detektor 2
d
Abb. 1: Abstandsbestimmung durch Laufzeitmessung mittels Phasenauswertung.
d) Wie hängt der Abstand d von der Phasenverschiebung  ab (Formel)?
e) Die Phase  soll nun durch Auswertung der Koeffizienten der diskreten
Fourier-Transformation des abgetasteten Signals s2(t) ermittelt werden. Geben
Sie die hierfür erforderlichen Berechnungsformeln an!
f) Berechnen Sie die Standardmessunsicherheit des Abstands d, wenn die
Signale s1(t), s2(t) jeweils mit einem weißen, gaußschen Rauschen mit der
Varianz 2 additiv überlagert sind? Wie geht hierbei das SignalRauschverhältnis SNR2 des Signals s2(t) ein?
Hinweis:
arctan( x)' 
1
1  x2
g) Wie groß ist die Standardmessunsicherheit, wenn nun die Phasendifferenz der
zwei Signale zueinander ausgewertet wird und, aufgrund der Lichtstreuung an
der Wand, das Signal-Rausch-Verhältnis von s2(t) deutlich kleiner als das von
s1(t) ist? Wie lautet die Cramér-Rao-Schranke für d?
h) Berechnen Sie die (Kreuz-)Korrelationsfunktion KKF() der beiden Signale! Ist
auch eine Auswertung der KKF() prinzipiell geeignet, um den
Phasenversatz  der Signale zu bestimmen? Begründen Sie!
i) Man erhält aus 10 aufeinanderfolgenden Messungen
d=[1,4 m; 1,56 m; 1,43 m; 1,45 m; 1,5 m; 1,43 m; 1,4 m, 1,43 m, 1,4 m; 1,4 m]
Geben Sie das vollständige Messergebnis an!
Seite 16
Aufgabe 21: PKW-Einparkhilfe
Zur Messung des Abstands d wird ein Ultraschallsensor eingesetzt (siehe Abb. 2).
Die Zeitdauer T zwischen Aussendung und Empfang eines Ultraschall-Pulses soll
mittels eines Zählers und der Referenzfrequenz fref gemessen werden. Aus dem
Zählergebnis z kann der gesuchte Abstand d berechnet werden, der minimal 0 m und
maximal 1,5 m beträgt. Die Schallausbreitungsgeschwindigkeit c in Luft kann
Tabelle 1 entnommen werden.
Ultraschall-Sender
und -Empfänger
Wand
Lufttemperatur
Ausbreitungsgeschwindigkeit c
von Schall in Luft
20 °C
343,8 m/s
15 °C
340,0 m/s
0 °C
331,8 m/s
-20 °C
319,3 m/s
d
fref
z
T
Zähler
???
Abb. 2: PKW-Einparkhilfe.
d
m
Tab. 1: Schallausbreitungsgeschwindigkeit in Luft.
a)
Leiten Sie den formelmäßigen Zusammenhang zwischen dem Abstand d und
dem Zählergebnis z her.
b)
Wie groß muss die Referenzfrequenz fref bei einer Lufttemperatur von 20 °C
mindestens sein, damit die Messabweichung d̂ allein aufgrund des
Quantisierungsfehlers des Zählers maximal 2 cm beträgt?
Die Referenzfrequenz betrage im Folgenden fref = 25 kHz und schwanke nicht. Der
Ultraschallsensor wird für eine Lufttemperatur von 20 °C kalibriert.
c)
Welche maximale Messabweichung d̂ tritt in Abhängigkeit des Abstands d
auf, wenn sich die Schallgeschwindigkeit aufgrund einer Änderung der
Lufttemperatur um c ändert und zusätzlich der Quantisierungsfehler des
Zählers zu berücksichtigen ist (Formel)?
Stellen Sie diese Abhängigkeit dˆ (d ) in einem Diagramm dar!
Wird die Forderung d̂ ≤ 2 cm eingehalten, wenn sich die Lufttemperatur von
20 °C auf -20 °C abkühlt?
d)
Wie groß kann die Messrate fM des Abstandssensors für den gegebenen
Abstands- und Temperaturbereich mindestens sein?
Hinweis: Die Dauer der Signalverarbeitung ist vernachlässigbar.
e)
Welche Einparkgeschwindigkeit v in km/h darf folglich das Auto maximal
haben, damit sich der Abstand d während einer Messung um maximal 2 cm
verändert?
f)
Wäre eine Frequenzmessung (Pulswiederholrate) anstelle der Zeitmessung
sinnvoll? Begründen Sie Ihre Antwort!
Seite 17
Aufgabe 22: Geschwindigkeitsmessung nach dem Weg-Laufzeit-Verfahren
Zwei Lichtschranken bestehend aus je einer Lichtquelle und einer Photodiode (PD)
sind in einem festen Abstand d = 10 cm zueinander angeordnet (siehe Abb. 3).
Passiert ein nicht transparentes Messobjekt mit der Geschwindigkeit v diese
Anordnung, so werden die Photodioden kurzzeitig abgeschattet, so dass jeweils ein
pulsförmiger Signaleinbruch entsteht. Aus dem zeitlichen Abstand dieser beiden
Signaleinbrüche wird mittels einer digitalen Schaltung eine Zeitdauer Tx generiert, die
mit einem Oszillator der Frequenz f0 und einem Zähler digitalisiert werden soll. Aus
dieser Zeitdauer lässt sich dann über den bekannten Abstand d zwischen den beiden
Lichtschranken die Objektgeschwindigkeit v ermitteln.
Abb. 3: Geschwindigkeitsmessung nach dem Weg-Laufzeit-Verfahren.
a)
Geben Sie eine Gleichung zur Berechnung der Objektgeschwindigkeit v(z) an!
b)
Wie groß muss die Frequenz f0 des Oszillators mindestens gewählt werden,
damit die maximale relative Messabweichung der Objektgeschwindigkeit v
allein aufgrund des Quantisierungsfehlers des Zählers für Geschwindigkeiten
im Bereich von v = (1…10) m/s höchstens 0,1 % beträgt?
c)
Hier wurden zwei optische Geber in Form von Lichtschranken verwendet.
Nennen Sie drei andere Arten von Gebern, die anstelle der optischen Geber
verwendet werden könnten! Welchen oder welche dieser Geber würden Sie
für die Messung in einer staubigen Umgebung bevorzugen? Begründen Sie!
d)
Alternativ zu der Anordnung nach Abb. 3 soll nun ein Korrelationsverfahren für
die Geschwindigkeitsmessung verwendet werden. Dazu werden die
Ausgangssignale der beiden Photodioden invertiert und gefiltert. Als Ergebnis
ergeben sich beim Passieren eines Messobjektes die beiden in Abb. 4
dargestellten Ausgangssignale für die beiden Photodioden. Skizzieren Sie die
Kreuzkorrelationsfunktion der beiden Signale aus Abb. 4!
Abb. 4: Gefilterte Signale von Photodiode 1 (links) und Photodiode 2 (rechts).
e)
Wie kann man aus dieser Kreuzkorrelationsfunktion die Geschwindigkeit v des
Messobjektes berechnen? Wie groß ist die Geschwindigkeit v?
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Messtechnik 2 - Übung 7
Aufgabe 23: Ultraschall-Doppler-Geschwindigkeitsmessung
Die Strömungsgeschwindigkeit v in einem
Rohr soll mittels Ultraschall gemessen
werden (s. Abb. 1). Die Dopplerfrequenzverschiebung fD zwischen Sende- und
Empfangssignal beträgt
v
f D  f E  fS  fS 2 cos( ) ,
c
wobei fS die Schallfrequenz des Sendesignals
aS(t) ist, fE die Schallfrequenz des Empfangssignals aE(t), c die Schallgeschwindigkeit und
 der Schalleinfallswinkel.
aS (t )  AS cos(2 π fSt )
aE (t )  AE cos(2 π f Et   )
Sensor

v
Streuteilchen
Abb. 1: Messanordnung.
Es gilt:  = 45°, fS = 4 MHz, c = 1498 m/s, v = (1 …10) m/s.
a)
Zunächst wird ein Lock-In-Verstärker genutzt, um aus aS(t) und aE(t) ein
harmonisches Signal mit der Differenzfrequenz fD = fE - fS (= Dopplerfrequenz)
zu erzeugen. Zeichnen Sie den Signalflussplan dieses Lock-In-Verstärkers,
benennen Sie die Signale und berechnen Sie das Ausgangssignal a(t)!
1
Hinweis: cos( ) cos( )  cos(   )  cos(   )
2
b)
Aus dem Ausgangssignal a(t) des Lock-In-Verstärkers wird mittels FFT die
Dopplerfrequenz fD bestimmt. Wegen der Cramér-Rao-Schranke gilt:
f 
D
3
.
  SNR N  T
Welches SNR in dB ist mindestens erforderlich, damit bei der Messdauer
T = 1 s und N = 1024 Abtastwerten die relative Messunsicherheit  f D / f D stets
kleiner als 0,1 % ist?
c)
Es
sei
v = 1 m/s.
Berechnen
Sie,
basierend
auf
einer
Unsicherheitsfortpflanzung gemäß GUM (= Guide to the Expression of
Uncertainty in Measurement), die Gesamtstandardunsicherheit v für die
Geschwindigkeit v unter Berücksichtigung folgender Unsicherheitsbeiträge:
- Schallfelddivergenz
|| ≤ 5°
- Temperaturdrift
|| ≤ 10 K, c/ = 1,05 m/(s K)
 fD / f D = 0,1 %
- Frequenzunsicherheit
Wie groß sind die einzelnen Unsicherheitsbeiträge (=Messunsicherheitsbudget) und was liefert den größten Unsicherheitsbeitrag?
Seite 19
Aufgabe 24: Bewegungsmessung mittels Korrelation
Zur Bestimmung der Geschwindigkeit und der Bewegungsrichtung eines Roboters
wird an dessen Unterseite eine Kamera angebracht, mit der zu zwei aufeinander
folgenden Zeitpunkten t1 und t2 je ein Bild des Untergrundes aufgenommen wird
(s. Abb. 2). Der Zeitversatz zwischen beiden Kamerabildern beträgt t = t2 – t1
= 2 ms.
Abb. 2: Aufgenommene Kamerabilder zum Zeitpunkt t1 (links) und zum Zeitpunkt t2 (rechts).
a)
Zeichnen Sie die Position (xmax ; ymax)
zweidimensionalen Kreuzkorrelationsfunktion
Κ(x;y) 
des
Maximums
der
1
  I1 ( x; y) I 2 ( x  x; y  y) , k…Normierungskonstante
k x y
der beiden Kamerabilder aus Abb. 2 in ein x-y-Diagramm ein!
(Schwarz entspreche der maximalen Intensität, weiß entspreche der Intensität 0.)
b)
Wie können daraus der Betrag der Robotergeschwindigkeit v und der

Einheitsvektor der Bewegungsrichtung in der x-y-Ebene ev = (x ; y)T bestimmt
werden? Geben Sie jeweils die Berechnungsformel und den Zahlenwert an!
c)
Die Bestimmung der Bildaufnahmezeitpunkte t1 und t2 ist jeweils mit einer
Standardunsicherheit  t1   t2   t  1 µs behaftet. Wie lautet die resultierende
Standardunsicherheit des Betrags der Geschwindigkeit v?
d)
Nennen Sie ein technisches Gerät, bei dem dieses Korrelationsverfahren
Anwendung findet!
Seite 20
Aufgabe 25: Kraftmessung mit Piezoelement
Ein Piezoelement soll in Verbindung mit einem Ladungsverstärker als Sensor zur
Kraftmessung eingesetzt werden. Abb. 3 zeigt die Messanordnung. Der Kondensator
besitzt die Kapazität Cx = 500 pF und der Sensor die piezoelektrische Konstante
d33 = 500 pC/N. Der Operationsverstärker darf als ideal angenommen werden.
Cx
Kraft F
∞
Piezo
Ua
Abb. 3: Piezoelektrischer Kraftsensor
a) Geben Sie den formalen Zusammenhang zwischen Ausgangsspannung Ua und
der Kraft F an!
b) Bei 10 aufeinander folgenden Messungen unter gleichen Bedingungen wurden
folgende Werte für Ua ermittelt:
Ua / V = [5,02; 5,21; 5,01; 4,98; 4,83; 5,06; 4,73; 5,14; 5,32; 4,86].
Der Mittelwert beträgt U a = 5,016 V. Systematische Messabweichungen liegen
nicht vor. Wie groß ist das Vertrauensintervall für die Spannung Ua bei einer
geforderten statistischen Sicherheit von 95 %?
c) In welchen Bereich liegt dann
Wahrscheinlichkeit von 95 %?
die
anliegende
Tabelle 1: Student-t-Verteilung.
Seite 21
Kraft
F
mit
einer
Aufgabe 26: Temperaturmessung
Die Temperatur T1 von Dampf soll mit einem auf dem Seebeck-Effekt basierenden
Thermoelement gemessen werden (s. Abb. 4). Das Thermoelement misst die
Temperaturdifferenz zur Temperatur Tv der Vergleichsstelle:
Uth = E(T1 -Tv),
Empfindlichkeit E = 0,05 mV/K.
Gleichzeitig wird gemäß Abb. 4 die Temperatur Tv mit einem PT1000Thermowiderstand Rδ gemessen, für den gilt: Rδ = R0(1 + α Tv) mit
R0 = Rδ(Tv = 0°C) = 1000 Ω und α = 3,908∙10-3/°C.
Mittels zweier idealer Operationsverstärker wird einerseits die Thermospannung Uth
zur Spannung UTE verstärkt und andererseits der temperaturabhängige
Widerstandswert von Rδ(Tv) in die Spannung URT überführt.
Rδ
T1
Thermoelement
Uth
+ 
-
R1
R2
Tv
I
Vergleichsstelle
R3
UTE
- 
+
URT
I*
Uref
Abb. 4: Schaltbild des Temperatursensors.
Es sind folgende Werte gegeben: Boltzmannkonstante: k = 1,38·10-23 J/K,
R1 = 4,990 kR2 = 10 R3 = 1 kUref = 5,0 V
a) Welche Thermospannung Uth ist bei T1 = 420 °C zu erwarten, wenn die
Vergleichsstellentemperatur Tv = 20 °C beträgt?
b) Leiten Sie zwei formelmäßige Zusammenhänge her, und zwar (I.) zwischen der
Thermospannung Uth und der Spannung UTE und (II.) zwischen dem
Thermowiderstand Rδ und der Spannung URT!
c) Geben Sie eine Berechnungsvorschrift für die Temperatur des Dampfes T1 in
Abhängigkeit der Spannungen UTE und URT an. Welcher Zahlenwert ergibt sich
für T1, wenn UTE = 12 V und URT = -5,4 V betragen?
Im Folgenden wird nur der in Abb. 4 grau hinterlegte Schaltungsteil für den
Thermowiderstand Rδ betrachtet.
d) Zeichnen Sie ein erweitertes Ersatzschaltbild dieses Schaltungsteils, in dem das
thermische Rauschen der 2 Ohmschen Widerstände als Rauschspannungsquellen U th und U th δ berücksichtigt ist! Andere Rauschquellen liegen nicht vor.
3
e) Berechnen Sie die Effektivwerte von U th und U th δ , wenn beide Widerstände
eine Temperatur von 26,85 °C = 300 K aufweisen und die Verstärkerbandbreite
10 MHz beträgt! Bestimmen Sie anschließend den resultierenden Effektivwert
des Rauschens unRT,eff in der Ausgangsspannung URT, wenn die beiden Rauschquellen unkorreliert sind!
3
f) Welcher dominante Rauschprozess tritt neben dem thermischen Rauschen bei
Halbleiterbauelementen auf und was ist dessen physikalische Ursache?
Seite 22
Bonusaufgabe: Bilderfassung mit einer CCD-Kamera
Zur Bilderfassung wird eine CCD-Kamera verwendet. Zwischen dem angezeigten
Grauwert V und der Anzahl ne der durch Photonen herausgelösten Photoelektronen
gilt der Zusammenhang:
V = ne / K .
Die Anzahl ne der Photoelektronen hängt zudem wie folgt von der Anzahl nPhoton der
einfallenden Photonen ab:
ne = QE  nPhoton .
Pixelanzahl
Bitzahl (gleichmäßige Quantisierung)
Bildrate
Quanteneffizienz
Konversionsfaktor
Ausleserauschen
(Standardabweichung)
Dunkelstrom
Nbit
fR
QE
K
n
e
ID
4008 x 2672
14
5 Hz
50 %
3,3
22
0 … 0,7 e/s
Tabelle 2: Auszug vom Datenblatt der CCD-Kamera.
(Das Symbol e steht für die Elementarladung.)
a)
Auf ein Pixel treffen 2000 Photonen pro Sekunde. Welcher Grauwert V wird
angezeigt, wenn man 2 Sekunden lang belichtet?
b)
Welchen Messbereich hat die Kamera, d. h. welche Anzahl von Photonen
nPhoton kann maximal angezeigt werden?
c)
Aufgrund der Ausleseelektronik ist die Messung von nPhoton verrauscht. Die
Standardabweichung des Ausleserauschens  ne ist in Tab. 2 gegeben.
Welche Standardabweichung resultiert somit für nPhoton?
d)
Aufgrund
einer
Digitalisierung
der
Messwerte
tritt
zusätzlich
Quantisierungsrauschen auf. Welche Standardunsicherheit folgt allein
aufgrund des Quantisierungsrauschens für nPhoton, wenn man von einer
Gleichverteilung der Messabweichungen ausgeht?
e)
Wie groß ist die Gesamtstandardunsicherheit  nphoton,ges für eine Belichtungszeit
von T = 2 s, wenn man das Ausleserauschen, das Quantisierungsrauschen
und den Dunkelstrom des Sensors betrachtet? Welcher dieser Störeinflüsse
ist dominant?
Hinweis: Die Abweichung des Dunkelstroms ID von seinem Mittelwert soll hier
als unbekannte systematische Messabweichung behandelt werden. Der
mittlere Dunkelstrom sei hingegen eine systematische Messabweichung, die
gemäß GUM korrigiert werde und deshalb hier nicht näher betrachtet wird.
f)
Auf
welchen
vier
Annahmen
beruht
die
Gleichung
SNRQ = 1,76 dB + 6,02 dB  Nbit
zur
Berechnung
des
aus
dem
Quantisierungsrauschen resultierenden Signal-Rausch-Verhältnisses? Sind
diese Annahmen hier zutreffend?
Seite 23
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Messtechnik 2 - Kurzlösungen
Aufgabe 1: OPV, Fortpflanzung von Messabweichungen, DIN 1319, GUM
a) U E
b) U E  
UE 
R1
U A  125 mV ;
R2
UA
 100 mV
R2
1
R1
c) Uˆ E  5 mV ;
Uˆ E  3,6 mV
d)  UE  1,77 mV ;
 U  1,33 mV
E
e) U E  125 mV  1,77 mV, k p  1;
U E  100 mV  1,33 mV, k p  1
f) Ampere
Aufgabe 2: Lock-In-Verstärker, Messunsicherheit, Konfidenzintervall
a) y(t ) 
A1 A2
cos( 2  1 ) ; Grenzkreisfrequenz < 22
2
b) Ja.
c) y  22,69 mV ;
s y  1,33 mV
d) s y  0,42 mV
e) Erhöhung des Stichprobenumfangs
f) 21,74 mV  y  23,64 mV
g) Konfidenzintervall benötigt Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
Aufgabe 3: Temperaturmessung mit Pt100 und Messbrücke
a) Widerstand R   R 0   1    (   0 ) mit R 0  0 C  100 
b) Festwiderstände mit R  100  ;
Brückenspeisespannung mit U 0  10,6 V
c)  θ  0,34 C
d) Abtastrate > 10 Hz
Seite 24
Aufgabe 4: Zeitdauermessung mit Quarzuhr
 T  f0 
a) z  int 

 m 
b) Tˆ  1 s  23,5  106  T
c) Tˆ  742,1 s
d) 1,1 C    48,9 C
e) z. B. Synchronisierung mit Funkuhr
Aufgabe 5: Drehzahlmessung mit Zähler
a) Periodendauermessung:
fp
n
z
n
;
Fˆn 
fp
;
z  fp
f
Fˆn  p
nk
k
b) Periodendauermessung: Gerade durch Ursprung;
Frequenzmessung: Hyperbel
Frequenzmessung:
n
;
1
c) Fˆn ,max 
;
k
k  10 000
d) f p  100 kHz
e) Periodendauermessung:
1
n
TM  0,1 s
TM 
(Hyperbel);
Frequenzmessung:
(Konstante)
f) Verwendung eines Multipolrads (Polzahl p): Messzeit sinkt;
n
Fˆn,multipol  p  ;
fp
Kompensation durch Erhöhung der Referenzfrequenz um Faktor p
g) Verwendung eines Multipolrads: Messzeit bleibt konstant;
1 f
Fˆn,multipol   p ;
p nk
Kompensation durch Erhöhung der Referenzfrequenz  Messzeit sinkt
Aufgabe 6: Dual-Slope-ADU
a) jeweils Dreiecksfunktion, Dreieck für UE2 höher und länger
z
b) U E  U ref
T1 f ref
c) T1  60 ms
d) m  12 000 ;
Beseitigung der Querempfindlichkeit bezüglich f ref
Seite 25
Aufgabe 7: Phasen- und Amplitudenmessung mittels Korrelation
a) Lock-In-Verstärker
b) T unendlich:
 xy ( ) 
T endlich:
 xy ( ) 
Ax Ay
2
Ax Ay
cos(   ) ;
cos(   ) 
2
c)    max , max … Maximalstelle von xy()


1 Ax Ay
T / 2
sin(2t     x   y ) T / 2
T 4
Ay2
Ax2
,  yy (0) 
d)  xx (0) 
2
2
e) xeff   xx (0)
f) Koeffizienten der Fourier-Reihe von x(t)
= 2·Kreuzkorrelationsfunktion von x(t) mit Kosinus- bzw. Sinusfunktionen, für τ = 0
 2 (0) 
g) T unendlich:
  arccos  xy  ;
 Ax Ay 
T endlich:
keine geschlossene Lösung für 
h)  
1
;
2fT sin( )
lim  ( )  
 0
i) T  26 ms
j) T  k 
1
, k ℕ
2f
Aufgabe 8: Messung einer Signalverschiebung mittels Korrelation
Maximalstelle der Kreuzkorrelationsfunktion bei    / 0,04 s
Aufgabe 9: Kovarianz und verallgemeinerte Unsicherheitsfortpflanzung
a)  U  32,4 mV
~
~
b) cU1 ,U 2   U~1U~2 (0) mit U1  U1 (t )  U1 , U 2  U 2 (t )  U 2
Aufgabe 10: Korrelation abgetasteter Signale
a) Spaltfunktion mit Nullstellen bei k /( 2B), k ℤ
b) f a  2 B
c) Ja.
Seite 26
Aufgabe 11: Messung eines verrauschten Spannungssignals, SNR
a) Standardabweichung ist Effektivwert des mittelwertfreien Signals
b) SNR  34 dB
c)   10 mV
d) Tiefpass verwenden (mit einer Grenzfrequenz von 100 kHz)
 SNR neu  54 dB
Aufgabe 12: Quantisierungsrauschen
a)  
U max
3 (2 N bit  1)
b) SNR  1,76 dB  20 log10
Ua
dB  20 log10 (2 Nbit  1) dB
U max
c) SNR  1,76 dB  N bit  6,02 dB
Aufgabe 13: Signalverstärkung und Digitalisierung
a) R1  5 kΩ
b) U in  
R2
UE
R1
c) R2  1 MΩ
d) thermisches Rauschen der Widerstände als Spannungsquelle in Reihe hinzufügen
e) u1,eff  12,9 µV , u2,eff  128,7 µV
f)  Uin  1,3 mV
g) SNR ADU  50 dB , SNR in  68 dB
h) Nein, mindestens 12 Bit erforderlich.
Aufgabe 14: Rauschen eines Photodetektors
a) U A  10 mV
b) thermisches Rauschen: Brownsche Bewegung der Ladungsträger
Schrotrauschen: Überwindung einer Potentialbarriere durch Ladungsträger
c) U A  10 mV ,  UA  141 µV ;
Beiträge zur Standardunsicherheit: 57 µV (Schrotrauschen), 129 µV (thermisches
Rauschen)
 thermisches Rauschen dominiert, daher ohmschen Widerstand, Temperatur oder
Bandbreite reduzieren
d) 10,143 mV  U A  10,317 mV
Seite 27
Aufgabe 15: Regressionsrechnung zur Bestimmung einer Konstante
N
!
Beweis über Minimierung der Gütefunktion:    ( xi  x ) 2  wi  min
i 1
Aufgabe 16: Regressionsrechnung zur Bestimmung einer Geraden
N
a) m 
N
N
N
 wi   xi wi ti   wi ti   xi wi
i 1
i 1
N
i 1
N
w wt
i
i 1
2
i i
i 1
i 1


   wi ti 
 i 1

N
2
N
, U0 
b) m 
i 1
N
N
i 1
N
i 1
N
w wt
i
i 1
2
i i
i 1
2


   wi ti 
 i 1

N
N
xt
i i
t
i 1
i 1
N
i 1
N
N
 xi wi   wi ti2   xi wi ti   wi ti
U0 
,
x
i 1
2
i
i
N
Aufgabe 17: Kalibrierung eines Temperatursensors
a) k  11,26 C/V , 0  9,21 C
b) 2 Datenpunkte liegen oberhalb, 2 unterhalb der Regressionsgeraden
c) Look-Up-Table verwenden
d) Mittelung von Wiederholungsmessungen
Aufgabe 18: Frequenzmessung mit QDT und Cramér-Rao-Schranke
a)   

A
N
1
b) f 
2
 t
i i
i 1
N
t
i 1
c)  f 
2
i
3 
T N
d) Nein.
Aufgabe 19: Diskrete Fourier-Transformation und Cramér-Rao-Schranke
a) Integration als Summation approximieren, dabei dt durch 1 / f a ersetzen
U a

b) a k   2
 0
c)  ak   bk 
für k  2 b  0
, k
sonst
2
2N
;
Cramér-Rao-Schranke: hier gleich der Varianz  ak
d) N vergrößern oder  verringern
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2
Aufgabe 20: Abstandsmessung (Phasen-Laufzeitmessung)
a) d  
c 
4  f m
b) tan  
c)  d 
d)  d 
bk~
a k~
~
mit k 
c

4f m

N
A2
fm
; Definition von ak , bk siehe Aufgabe 19
fa / N

c
1

4f m
N  SNR 2
2
c
1
;

4f m
N  SNR 2
Cramér-Rao-Schranke: hier gleich der Varianz  d
e) KKF( )
2
A1 A2
cos(2f m   ) ;
2
  2f m max , max … Maximalstelle von KKF()
f) d  1,44 m  0,017 m, k p  1
Aufgabe 21: PKW-Einparkhilfe
a) d 
cz
2 f ref
b) f ref  8,595 kHz
c) dˆ (d )  0,713  d  6,9 mm (Geradengleichung)
dˆ (d  1,5 m)  11,4 cm  2 cm  Forderung nicht eingehalten
max
d) f M  106,43 Hz
e) v  7,66 km/h
f) Frequenzmessung nur vorteilhaft bei kleinem Abstand d
Aufgabe 22: Geschwindigkeitsmessung nach dem Weg-Laufzeit-Verfahren
a) v 
d  f0
z
b) f 0  100 kHz
c) resistive, induktive und kapazitive Geber
 induktive Geber am wenigsten staubanfällig
d) Peak bei   ()0,4 s , sonst rund null
e) v 
d
 max
, max … Maximalstelle der Kreuzkorrelationsfunktion
v  2,5 m/s
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Aufgabe 23: Ultraschall-Doppler-Geschwindigkeitsmessung
AS AE
cos(2f D t   )
2
b) SNR  46,8 dB
a) a(t ) 
c)  v  0,05 m/s , Unsicherheitsbeiträge:
 v,θ  50 mm/s (Schallfelddivergenz)  größter Beitrag,
 v,  4 mm/s (Temperaturdrift),
 v, f  1 mm/s (Frequenzunsicherheit)
D
Aufgabe 24: Bewegungsmessung mittels Korrelation
a) Δxmax  1 mm, Δymax  1 mm
b) v 
(Δxmax ) 2  (Δymax ) 2
 0,707 m/s ;
Δt
1 / 2 
 Δx 

1

ev    max  
 

2
2
Δ
y
1
/
2
 max  ( Δxmax )  ( Δymax )


c)  v  0,5 mm/s
d) optische Maus
Aufgabe 25: Kraftmessung mit Piezoelement
a) U a  F
d 33
Cx
b) 4,888 V  U a  5,144 V
c) 4,888 N  F  5,144 N
Aufgabe 26: Temperaturmessung
a) U th  20 mV

R 
b) (I.) U TE  U th 1  1  ;
 R2 
R
(II.) U RT  U ref δ
R3
U
1
U TE R2
  RT  1  500,471 C
R1  R2 E  U ref  
d) thermisches Rauschen der Widerstände als Spannungsquelle in Reihe hinzufügen
e) U th 3,eff  12,869 μV ;
c) T1 
U th δ,eff  13,527 μV ;
U nRT,eff  19,626 μV
f) Schrotrauschen: Überwindung einer Potentialbarriere durch Ladungsträger
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Bonusaufgabe: Bilderfassung mit einer CCD-Kamera
a) V  606
b) max( nphoton)  108 128
c)  nphoton,Ausleseelektronik  44
d)  nphoton,Quantisierung  1,9
e)  nphoton,ges  44,05 ;
 Ausleserauschen dominant
f) Sinussignal:
Vollaussteuerung:
gleichmäßige Quantisierung:
gleichverteilte Messabweichung:
nicht zutreffend;
nicht zutreffend;
zutreffend;
zutreffend
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