Dokument_88.
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Frequenzabstimmbarer
CO2-Flachkanal-Laser mit
strahlformenden Siliziumgittern
Der Technischen Fakultät der
Universität Erlangen-Nürnberg
zur Erlangung des Grades
Doktor-Ingenieur
vorgelegt von
Dipl.-Phys. Roland Günter Schulz
Erlangen 2004
Als Dissertation genehmigt von
der Technischen Fakultät
der Universität Erlangen-Nürnberg
Tag der Einreichung :
Tag der Promotion :
9. September 2004
15. November 2004
Dekan :
Prof. Dr. rer. nat. Albrecht Winnacker
Berichterstatter :
Prof. em. Dr.-Ing. habil. Hans Brand
Prof. Dr.-Ing. Reinhard Lerch
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1
1.2
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inhaltsübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Grundlagen
2.1
2.2
2.3
CO2 -Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Das aktive Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Gasentladung als Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Aufbau des CO2 -Lasers . . . . . . . . . . . . . . . .
Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Strahlenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Wellenoptik und Beugungstheorie . . . . . . . . . . .
Gittertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Winkel-Analyse von Reflexionsgittern . . . . . . . . .
2.3.2 Quantitative Analyse von Reflexionsgittern . . . . . .
2.3.3 Verallgemeinertes Fermatsches Prinzip . . . . . . . .
2.3.4 Plane Reflexionsgitter mit fokussierenden Eigenschaften
2.3.5 Toleranzanalyse planer fokussierender Gitter . . . . .
3 Laserresonatoren
3.1
3.2
Stabile Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Gaußstrahltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Beispielhafte Feldverteilungen beim Flachkanal-Laser
3.1.3 Strahlformung bei stabilen Resonatoren . . . . . . . .
Instabile Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Strahlformung bei instabilen Resonatoren . . . . . . .
1
1
5
7
7
8
13
16
19
19
22
28
28
31
35
39
42
45
47
48
53
55
57
59
IV
4 Gitterherstellung
4.1
4.2
4.3
Herstellungsverfahren von Reflexionsgittern
4.1.1 Photolithographie . . . . . . . . . .
4.1.2 Aufwachsende Verfahren . . . . . .
4.1.3 Abtragende Verfahren . . . . . . .
Anisotropes Ätzen von Silizium . . . . . .
Gitterherstellung . . . . . . . . . . . . . .
63
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Lasersystem
5.1
5.2
Aufbau des Lasersystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Charakterisierung der Frequenzstabilität des Lasersystems . .
6 Messergebnisse
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Messung der Gittereffizienzen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strahlausbreitung der durch den Wellenleiter bestimmten Feldverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stabile Resonatorkonfigurationen . . . . . . . . . . . . . . . .
Instabile Resonatorkonfigurationen des positiven Asts . . . . .
6.4.1 Messungen im 10 R – Band . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Messungen im 9 P – Band . . . . . . . . . . . . . . .
Instabile Resonatorkonfigurationen des negativen Asts . . . .
6.5.1 Diskretisierung der Gitterperioden . . . . . . . . . . .
6.5.2 Messung des Krümmungsradius . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Messung der Gittereffizienzen . . . . . . . . . . . . .
6.5.4 Verwendung im Resonator . . . . . . . . . . . . . . .
63
64
65
65
67
68
73
73
84
91
91
98
101
105
105
107
110
110
114
116
118
7 Zusammenfassung
127
8 Summary
129
A CO2 –Laser–Wellenlängen und Kleinsignalverstärkungen
131
B Siliziumparameter
139
Literaturverzeichnis
141
Lebenslauf
154
V
Verzeichnis der wichtigsten Formelzeichen
Symbol
Einheit
Beschreibung
A
Amn
α
αLitt
αmess
bG
∆r bG
1
V/m
rad
rad
rad
m
1
bS
bT
B
B
B
β0
β−1
βm
C
ddisk
m
m
1
T
T
rad
rad
rad
1
m
dER
dRand
D
DJ
D
D
δSkin
E
E
m
m
1
1
As/m2
As/m2
m
V/m
V/m
Matrixelement A der Strahlmatrix
G AUSSstrahl-Amplitude
Einfallswinkel auf das Gitter
L ITTROWwinkel
Messwinkel für Gittermessungen
Grabenbreite eines Gitters
Relative Abweichung der Grabenbreiten des Gitters
von den spezifizierten Werten
Stegbreite eines Gitters
Grabenbodenbreite eines Gitters
Matrixelement B der Strahlmatrix
Magnetische Induktion
Vektorzeiger der magnetischen Induktion
Beugungswinkel der nullten Beugungsordnung
Beugungswinkel der -1ten Beugungsordnung
Beugungswinkel der mten Beugungsordnung
Matrixelement C der Strahlmatrix
Schrittweite eines Diskretisierungsschritts der
Gitterperiode
Abstand Wellenleiter - Resonatorspiegel
Dicke der Randschicht der Gasentladung
Matrixelement D der Strahlmatrix
Entartung der Rotationszustände
Dielektrische Verschiebungsdichte
Vektorzeiger der dielektrischen Verschiebungsdichte
Skintiefe
Elektrische Feldstärke
Vektorzeiger der elektrischen Feldstärke
VI
Symbol
Einheit
Beschreibung
E
V/m
ε
εr
fB
fA
fHF
fmnq
As/Vm
1
m
Hz
Hz
Hz
fmod
fRampe
fRef
∆fq
Hz
Hz
Hz
Hz
∆fϑ
ϕ(x)
gi
γ
γk
γl
γL
Γ
h
H
H
Hi
I
Jges
Jrot
J
k
κ
l
l(x)
∆lHyst
∆lmax
L
Hz
rad
1
rad
rad
rad
1/°C
1
m
A/m
A/m
1
W/m2
1
1
A/m2
1/m
1
1
m
m
m
m
Komponente der elektrischen Feldstärke bei
beliebiger Polarisation
Permittivität
relative Permittivitätszahl
Brennweite
atomare Mittenfrequenz eines Übergangs
Frequenz der HF-Gasentladung
Eigenfrequenzen eines gebundenen
G AUSS -H ERMITE-Laserstrahls
Modulationsfrequenz der Harmonischen-Analyse
Rampenfrequenz der Harmonischen-Analyse
Referenzfrequenz der Harmonischen-Analyse
Eigenfrequenzabstand einer longitudinalen
Modenordnung
durch Temperaturänderung bedingte Frequenzänderung
Phasenterm der optischen Weglänge
g-Parameter des i-ten Spiegels
Fokuswinkel
Neigungswinkel der kurzen Gitterflanke
Neigungswinkel der langen Gitterflanke
Wärmeausdehnungskoeffizient
Eigenkoppelverlust
Höhe des Flachkanals
Magnetische Feldstärke
Vektorzeiger der magnetischen Feldstärke
i-tes H ERMITE-Polynom
Intensität
Gesamtdrehimpulsquantenzahl
Rotationsquantenzahl
Elektrische Stromdichte
Wellenzahl
Koppelkoeffizient
Drehimpulsentartung der Knickschwingung
dem Phasenterm äquivalenter Weglängenterm
Längenhub der Hysterese
maximale Längenausdehnung des Piezoelements
Resonatorlänge
VII
Symbol
Einheit
Beschreibung
LABCD
LHF
Lopt.
λHF
λ
λ45
λq
Λ
Λdisk
Λkont
m
M
M2
M±
µ
µr
nB
NJ
Nx
Ny
ωv
P−1
PE
Pref
Ψm
Ψn
Ψmn
q
R0
R−1
R−1Soll
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
1
1
1
1
Vs/Am
1
1
1
1
1
[1/s]
W
W
W
1
1
1
1
1
1
1
Rout
ρel
Ω
out
1
As/m3
Ω/m
m
m
Freiraumlänge im Collinsintegral
Länge der Elektroden
optische Weglänge
Wellenlänge der HF-Gasentladung
Wellenlänge
optimierte Wellenlänge eines Gitters für αLitt = 45o
Wellenlänge der q-ten longitudinalen Modenordnung
Gitterperiode
diskret variierende Gitterperiode
kontinuierlich variierende Gitterperiode
Beugungsordnung
Strahlmatrix
Beugungsmaßzahl
Vergrößerungsfaktor pro Resonatorumlauf
Permeabilität
relative Permeabilitätszahl
Brechungsindex
Besetzungszahl des Rotationszustandes J
Fresnelzahl in x-Richtung
Fresnelzahl in y-Richtung
Kreisfrequenz der Vibration
in die -1te Beugungsordnung gebeugte Leistung
auf das Gitter einfallende Leistung
Referenzleistung für Gittermessung
G AUSSstrahlstrukturfunktion für die x-Richtung
G AUSSstrahlstrukturfunktion für die y-Richtung
G AUSSstrahlstrukturfunktion
Longitudinale Modenordnung
Beugungseffizienz der nullten Beugungsordnung
Beugungseffizienz der -1ten Beugungsordnung
spezifizierte Beugungseffizienz der -1ten
Beugungsordnung
Reflektivität des Auskoppelspiegels
Elektrische Ladungsdichte
spezifischer Widerstand
Spiegelkrümmungsradius
Spiegelkrümmungsradius des Auskoppelspiegels
VIII
Symbol
Einheit
Beschreibung
total
S
S
σ
TRef
m
W/m2
W/m2
1/Ωm
s
TRot
TT rans
Tvi
ϑ
θ0
K
K
K
°C
rad
θm
rad
Θmult
rad
∆UHyst
v
vD
v
wF
Wv
WJ
w00
w0x
W0
Wmult
wout0
V
1
m/s
1
m
J
J
m
m
m
m
m
wtot0
m
x
x
x0
xF
xG
y
m
m
m
m
m
m
Spiegelkrümmungsradius des Totalreflektorspiegels
Poyntingvektor
Vektorzeiger des Poyntingvektors
spezifische Leitfähigkeit
Periodendauer der Referenzfrequenz der
Harmonischen-Analyse
Rotationstemperatur
Translationstemperatur
Vibrationstemperatur der Vibration vi
Temperatur
Fernfeldöffnungswinkel in x-Richtung eines
TEM00 G AUSSstrahls
Fernfeldöffnungswinkel in x-Richtung eines
TEMm0 G AUSSstrahls
Fernfeldöffnungswinkel in x-Richtung eines
Multimode-Laserstrahls
Spannungshub der Hysterese
Vibrationsquantenzahl
Driftgeschwindigkeit der Elektroden
Strahlvektor
Breite des Flachkanals
Vibrationsenergie
Rotationsenergie
Strahltaille in x-Richtung eines TEM00 G AUSSstrahls
Strahlradius in x-Richtung eines TEM00 G AUSSstrahls
Strahltaille eines Multimode-Laserstrahls
Strahlradius eines Multimode-Laserstrahls
Strahlradius am Auskoppelspiegel eines
TEM00 G AUSSstrahls
Strahlradius am Totalreflektorspiegel eines
TEM00 G AUSSstrahls
Ortskoordinate in x-Richtung
Schwerpunkt der Verteilung in x-Richtung
Spiegelaufpunkt
Radius der ersten F RESNELzone in Reflexion
Ortskoordinate auf dem Gitter
Ortskoordinate in y-Richtung
IX
Symbol
Einheit
Beschreibung
z
zR
ζ
m
m
1
Ortskoordinate in z-Richtung
R AYLEIGHlänge
normierte Ausbreitungskoordinate eines G AUSSstrahls
Naturkonstanten
Symbol
Wert
Einheit
Bedeutung
c0
ε0
µ0
h
= h/2π
kB
2.99792458·108
8.854·10-12
4π · 10−7
6.626075·10-34
1.054573·10-34
1.38066·10-23
m/s
As/Vm
Vs/Am
Js
Js
J/K
Vakuumlichtgeschwindigkeit
Dielektrizitätskonstante
Permeabilitätskonstante
P LANCKsches Wirkungsquantum
P LANCKsches Wirkungsquantum
B OLTZMANN-Konstante
Umrechnung atomarer Einheiten
Bezeichnung
Einheit
Elektronenvolt
1 eV
Umrechnung
= 1.6022·10-19 J
Kapitel 1
Einleitung
1.1
Motivation
Der CO2 -Laser ist einer der ersten Gaslaser, die entwickelt wurden, und kann
heute auf eine sehr erfolgreiche Geschichte zurückblicken. Die ersten Experimente stammen von C.K.N. PATEL aus dem Jahr 1964 [1] [2]. Die verfügbaren Ausgangsleistungen stiegen schnell von wenigen mW bis zu 100 kW im
Dauerstrichbetrieb bei Wirkungsgraden von 10 bis 20 %. Bei gepulsten Systemen sind Pulsenergien bis 100 kJ mit Pulslängen von 1 ns möglich [3]. Heute
ist der CO2 -Laser der leistungsstärkste kommerziell erhältliche Laser für den
Dauerstrichbetrieb und eine der wichtigsten Strahlquellen für die Materialbearbeitung, wo er zum Härten, Schweißen und Schneiden von Metallen mehrerer
Zentimeter Dicke eingesetzt wird. Die Materialbearbeitung selbst ist der größte Markt für Nicht-Diodenlaser [4]. Eine andere Anwendung findet der Laser
in der Medizin. Dort wird der CO2 -Laser zum Schneiden oder zur Koagulation
verwendet.
Bei diesen Anwendungen wird der CO2 -Laser mit einer Wellenlänge von
10.6 µm eingesetzt. Dies ist die Wellenlänge mit der größten Verstärkung und
damit der größten Ausgangsleistung. Das CO2 -Molekül verfügt aber über eine
Vielzahl weiterer Übergänge, die für einen Laserprozess herangezogen werden
können. Die Wellenlängen liegen zwischen 9 bis 11 µm, was einem Frequenzbereich von ca. 27 bis 33 THz entspricht. Da die meisten Metalle in dem Wellenlängenbereich des CO2 -Lasers eine gewissermaßen konstante Reflektivität
aufweisen, ist eine andere Wellenlänge als 10.6 µm für die Metallbearbeitung
nicht notwendig [5].
Wird für eine Anwendung eine bestimmte Wellenlänge benötigt, so handelt
es sich im weitesten Sinne um eine spektroskopische Anwendung. Spektroskopie untersucht das Absorptions- und Emissionsverhalten einer Probe. Die
Emissionswellenlänge des Lasers wird auf eine Absorptionswellenlänge eines
2
1
Einleitung
Abbildung 1.1: Absorptionsspektrum von Ammoniak (NH3 ) [6] [7]
anderen Stoffes abgestimmt.
Eine solche Anwendung ist z. B. die Messung der Konzentration von Ammoniak. Bereits Konzentrationen von Ammoniak (NH3 ) in der Größenordnung
weniger ppm erzeugen in der Fertigung von Halbleiterbauelementen Probleme
in der Strukturübertragung. Abbildung 1.1 zeigt das Absorptionspektrum von
Ammoniak bis in das nahe Infrarot. Das Absorptionsspektrum ist typisch für
ein mehratomiges Molekül. Die verschiedenen Atome vibrieren gegeneinander
und rotieren umeinander und haben daher sehr viele Möglichkeiten für elektromagnetische Übergänge. Die CO2 -Laserwellenlänge 9.22 µm (≈ 32.5 THz)
liegt sehr nahe am Absorptionsmaximum von Ammoniak. Es ist mit dieser
CO2 -Laserlinie somit möglich, durch Absorptionsmessungen exakte Aussagen
über die vorhandene Ammoniakkonzentration zu machen [8].
Eine andere Anwendung, für die eine ganz bestimmte CO2 -Laserwellenlänge
noch wichtiger ist, ist die Energieversorgung eines weiteren Lasers. Der gewünschte Übergang des weiteren Lasers ist hier nur zu erhalten, wenn die
exakt richtige Absorptionslinie gepumpt wird, und somit nur, wenn eine passende CO2 -Laserlinie zur Verfügung steht. Alternative Linien, wie man sie bei
Absorptionsmessungen verwenden könnte, stehen hier nicht zur Verfügung.
1.1
Motivation
CO2-Laser
3
λCO2 = 9.7 µm
fCO2 = 30.92 THz
CH3OH-Laser
λFIR = 118.8 µm
fFIR = 2.523 THz
Abbildung 1.2: Prinzipskizze für das Pumpen eines Methanol-Lasers ( CH3 OH ) mit
einem Kohlendioxid-Laser ( CO2 )
Ein Beispiel für ein solches kombiniertes System ist ein Methanol-LaserSystem [9], wie es in Abbildung 1.2 dargestellt ist. Der CO2 -Laser mit einer Wellenlänge von etwa 9.7 µm regt ein Methanol-Molekül an, das diese
Energie wieder durch Emission von Strahlung im fernen Infrarot (FIR) bei ca.
118.8 µm bzw. fMethanol = 2522.8 GHz abgibt. Leistung bei dieser Frequenz
wird z. B. zur heterodynen Detektion des Hydroxyl-Radikals (OH) benötigt,
das selbst Licht bei fOH = 2514.3 GHz emittiert. Das OH-Radikal ist an allen
Hauptreaktionsketten beteiligt, die zum Abbau des Ozons in der Stratosphärenchemie beitragen. Bei der radiometrischen Detektion durch einen HeterodynEmpfänger wird die Differenzfrequenz der zu detektierende Frequenz und einer Lokaloszillatorfrequenz des Methanol-Lasers gemessen. Dies stellt eine
hohe Anforderung an die Frequenzstabilität des CO2 -Lasers, da eine Schwankung der Emissionsfrequenz des CO2 -Lasers eine Schwankung der Emissionsfrequenz und der Leistung des Methanol-Lasers mit sich bringt. Der Aufwand
für ein solches kombiniertes Lasersystem muss betrieben werden, da es in diesem Frequenzbereich keine anderen Strahlquellen mit ausreichender Leistung
gibt.
Die Vorteile, die durch eine Änderung der Emissionswellenlänge erzielt werden können, wurden inzwischen auch für die Materialbearbeitung erkannt.
Kunststoffe haben im Gegensatz zu Metallen deutliche Absorptionsbanden,
wie in Abbildung 1.3 anhand des Absorptionsspektrums von Polypropylen zu
erkennen ist. Bei einer anderen Laserwellenlänge als 10.6 µm ist die Absorption des Kunststoffes zum Teil höher. Durch den erhöhten Energieübertrag auf
das Werkstück kann somit ein Laser geringerer Leistung eingesetzt werden
oder auch eine höhere Materialstärke bearbeitet werden – eine Optimierungsrichtung, die etliche Hersteller bereits verfolgen [10] [11].
4
1
Einleitung
Transmission [%]
50
40
30
20
10
0
9.3
9.6
10.3
10.6
[m]
Abbildung 1.3: Absorptionsspektrum von Polypropylen [10]
Die in der Kunststoffbearbeitung verwendeten CO2 -Laser mit einer anderen
Wellenlänge als 10.6 µm arbeiten mit dielektrisch beschichteten Optiken. Auf
diese Weise ist es nur möglich, Laserbetrieb auf den leistungsstärksten CO2 Laserlinien zu gewährleisten. Um alle CO2 -Laserlinien abstimmen zu können,
werden in aller Regel Gitter als linienselektive Elemente verwendet.
Viele kommerziell erhältliche linienabstimmbare CO2 -Laser bestehen aus einem rohrförmigen Entladungsgefäß. Bei diesen Lasern ist die Laserleistung
nur proportional zur Länge, was schnell zu großen Längen des Lasers führt.
Darüber hinaus werden diese Laser meist mit einer Gleichspannungsentladung
angeregt, was bei großen Längen eine sehr hohe Betriebsspannung mit sich
bringt. In dieser Arbeit wird eine andere Bauform verfolgt, bei der die Laserleistung auch mit der Breite des aktivierten Lasermediums steigt, wodurch
kompaktere Systeme realisiert werden können [12] [13]. Diese Systeme werden mit einer Hochfrequenz-Entladung quer zur Fläche der Struktur mit Energie versorgt. Durch die Querentladung verringern sich die Spannungen zwischen dern Elektroden deutlich und es müssen weniger Vorkehrungen zur elektrischen Isolation getroffen werden.
Durch die niedrigeren Spannungen kommt es auch zu einem geringeren
Elektroden-Abbrand. Dies ist vorteilhaft für die Zusammensetzung des Lasergases. Frühere CO2 -Laser wurden daher und aus anderen Gründen der Gaszersetzung oder meist zur Kühlung mit Hilfe einer Gasströmung betrieben. Dies
erfordert, neben dem eigentlichen Lasersystem, auch eine Überwachung dieser
Gasperipherie. Es muss ein konstanter Gasfluss in den Laser und aus ihm her-
1.2
Inhaltsübersicht
5
aus für einen gleichmäßigen Betrieb gewährleistet sein. Darüber hinaus erzeugt
dies auch hohe Kosten durch den Verbrauch an Lasergas bzw. die katalytische
Aufbereitung. Daher werden heutzutage vermehrt Systeme eingesetzt, die mit
einem abgeschlossenen Gasvolumen zwischen mehreren 10 bis zu mehreren
10.000 Stunden arbeiten, je nach Leistungsklasse.
Für all die hier geschilderten Anwendungen ist nicht zuletzt eine hohe Strahlqualität notwendig. Ein Laserstrahl einer hohen Strahlqualität hat eine geringere Strahldivergenz und lässt sich auf kleinere Durchmesser fokussieren. Dies
vereinfacht die Strahlführung vom Laser zum untersuchenden Objekt deutlich.
Des Weiteren ist nur mit einer hohen Strahlqualität ein optimaler Energieübertrag auf das zu untersuchende Objekt möglich, seien es ein makroskopisches
Werkstück oder nur wenige mikroskopische Moleküle.
Um all diesen Anforderungen Genüge zu leisten, wurde in dieser Arbeit ein
linienselektiver CO2 -Laser aufgebaut, der über ein abgeschlossenes Gasvolumen und eine Hochfrequenz-Entladung verfügt. Der Laser wurde nach dem
Flachkanal-Prinzip realisiert, um trotz kompakter Ausmaße eine hohe Laserleistung zu erzielen. Es wurden dazu spezielle Gitter auf Silizium-Substraten
entwickelt, die die gewünschte CO2 -Laserlinie auswählen, den Laserstrahl aus
dem Laser auskoppeln und gleichzeitig, durch eine sich räumlich ändernde
Struktur, die Strahlqualität erhöhen.
1.2
Inhaltsübersicht
Auf die zum Verständnis der Arbeit notwendigen Grundlagen wird in Kapitel 2
eingegangen. Dabei wird kurz die Funktionsweise eines Lasers im Allgemeinen erläutert und dann im Speziellen auf den hier verwendeten HF-angeregten
CO2 -Laser in Flachkanalbauweise eingegangen.
Des Weiteren werden strahlen- und wellenoptische Berechnungsverfahren besprochen, wie sie zur numerischen Berechnung von Laserresonatoren verwendet werden. Am Ende des Grundlagenkapitels werden die Eigenschaften von
Reflexionsgittern verdeutlicht. Dabei wird zuerst die Gittergleichung für Reflexionsgitter hinsichtlich ihrer Beugungswinkel untersucht. Daraufhin wird
für verschiedene Gitteroberflächen eine Leistungsbilanz bestimmt und auf die
Möglichkeit eingegangen, die gebeugte Leistung räumlich zu variieren. Am
Ende des Abschnittes zur Gittertheorie wird analysiert, inwieweit plane Reflexionsgitter fokussierende Eigenschaften vorweisen können.
In Kapitel 3 werden grundsätzlich unterschiedliche Laserresonatoren vorgestellt und bzgl. ihres Abstrahlverhaltens analysiert. Dabei wird auch auf die
6
1
Einleitung
Möglichkeit eingegangen, das resonatorinterne elektrische Feld durch räumlich
inhomogen reflektierende Spiegel zu manipulieren, um das Abstrahlverhalten
des Lasers zu verbessern.
Die Herstellung von Reflexionsgittern wird in Kapitel 4 vorgestellt. Nach einer
allgemeinen Einführung wird das in dieser Arbeit verwendete Herstellungsverfahren des anisotropen Ätzens von Silizium erläutert und auf seine Probleme
hingewiesen.
Kapitel 5 beschäftigt sich mit dem Aufbau des konstruierten CO2 Lasersystems. Dabei wird zum einen auf das mechanische Lasergehäuse eingegangen, zum anderen aber auch auf Frequenzstabilität und somit auf die Anwendbarkeit des Lasers selbst.
In Kapitel 6 werden Messungen an hergestellten optischen Reflexionsgittern
vorgestellt und es wird ihre Anwendung im Laserresonator aufgezeigt. Bei der
Auswertung der Experimente wird auf Probleme und Schranken von Reflexionsgittern anhand von Messergebnissen eingegangen.
In Kapitel 7 findet sich eine Zusammenfassung der wichtigsten Ergebnisse
dieser Arbeit mit einem Ausblick für weiterführende Arbeiten auf diesem Gebiet.
Kapitel 2
Grundlagen
In diesem Kapitel werden die zum Verständnis der Arbeit notwendigen Grundlagen kurz dargestellt. Zu Beginn wird auf die Funktionsweise eines Lasers im
Allgemeinen und des in dieser Arbeit verwendeten CO2 –Lasers im Speziellen
eingegangen. Des Weiteren werden einige Grundlagen der geometrischen und
der Wellenoptik besprochen, die für Berechnungen von Laserresonatoren wichtig sind. Das Kapitel endet mit einer Diskussion der Theorie optischer Gitter
und deren Wirkungsweise im Laser.
2.1
CO2 -Laser
In Abbildung 2.1 ist der allgemeine Aufbau eines Lasers als Oszillator schematisch dargestellt. Zu erkennen sind die vier Grundelemente, die in jedem
Lasersystem notwendig sind und die in den weiteren Abschnitten näher be-
Kühlung
aktives Medium
Resonatorspiegel
Resonatorspiegel
Pumpe
Abbildung 2.1: Allgemeiner Aufbau eines Lasers
8
2 Grundlagen
sprochen werden.
Das namengebende Element eines Lasers ist das aktive Medium, in dem die
Lichtverstärkung durch stimulierte Emission stattfindet. Bei dem hier diskutierten CO2 –Laser handelt es sich um ein Gasgemisch aus CO2 und den Hilfsgasen N2 sowie He.
Für eine Erzeugung einer Lichtoszillation ist ferner eine Rückkopplung eines
Teils des Signals in das aktive Medium notwendig, wozu der Resonator verwendet wird. Mindestens einer der Spiegel muss teiltransmittierend sein. In
dieser Arbeit wird der Resonator aus einem totalreflektierenden Metallspiegel
und einem Reflexionsgitter gebildet, welches auch als Auskoppler dient.
Als Pumpe wird in der Lasertechnik die Energieversorgung des aktiven Mediums bezeichnet. In dieser Arbeit wird der Laserprozess durch eine Gasentladung mit Energie versorgt.
Wie alle Systeme hat auch der Laser einen endlichen Wirkungsgrad, der bei höheren Temperaturen weiter reduziert wird. Die Kühlung, die als Wasserkühlung
realisiert wurde, dient dazu, überzählige Energie aus dem Laser abzuführen.
2.1.1
Das aktive Medium
Beim aktiven Medium handelt es sich bei diesem Laser um CO2 , das in gasförmigem Zustand vorhanden ist. CO2 ist ein symmetrisches lineares dreiatomiges Molekül∗ , das die in Abbildung 2.2 dargestellten Schwingungen durchführen kann. Bei den Schwingungen handelt es sich um die symmetrische Streck-
O
C
O
Wv1 = 0,171 eV
O
C
O
O
Wv2 = 0,082 eV
C
O
Wv3 = 0,285 eV
Abbildung 2.2: Vibrationsmöglichkeiten des CO2 Moleküls
schwingung mit der Vibrationsquantenzahl v1 , die Knickschwingung mit der
Vibrationsquantenzahl v2 und die asymmetrische Streckschwingung mit der
Vibrationsquantenzahl v3 [7]. Bei der Knickschwingung bewegt sich das Kohlenstoffatom auf einer Ebene senkrecht zur Molekülachse. Die Bewegung des
C-Atoms ist wegen dieser nicht eindeutigen Ausrichtung im Raum zweifach
entartet.
∗ Es wird in dieser Arbeit nur das Isotopomer
vorkommenden CO2 ausmacht.
16 O 12 C 16 O
betrachtet, welches über 98% des
2.1
CO2 -Laser
9
Jede der drei Schwingungen kann als harmonischer Oszillator betrachtet werden. Beim harmonischen Oszillator sind die Energieniveaus gemäß Gleichung (2.1) gegeben:
1
i = 1, 2, 3
Wvi = ωvi · vi +
.
(2.1)
vi ∈ IN0
2
Dies ergibt auch für vi = 0 eine von Null verschiedene minimale Energie bzw.
Nullpunktsenergie von:
Wvi =0 =
ωvi
2
i = 1, 2, 3
.
(2.2)
Wegen Wvi =0 = 0 bedeutet Gleichung (2.2), dass jede Schwingung vi stets
vorhanden ist.
Die jeweiligen Eigenfrequenzen lassen sich mit den Energieniveaudifferenzen
aus Abbildung 2.2 gemäß Gleichung (2.3) bestimmen:
∆Wvi = ωvi
bzw.
ωvi =
∆Wvi
i = 1, 2, 3
.
(2.3)
Bei der Knickschwingung v2 ergibt sich wegen der Entartung eine Ellipsenbewegung für das Kohlenstoffatom. Diese Ellipsenbewegung hat einen Drehimpuls und führt daher zu einer l-fachen Drehimpulsentartung der Knickschwingung.
Ein Zustand eines CO2 –Moleküls ist somit nur über die Angabe aller drei Vibrationszustände definiert:
v2 , v2 − 2, v2 − 4, ..., 0, v2 gerade
l
(v1 , v2 , v3 ),
|l| =
. (2.4)
v2 , v2 − 2, v2 − 4, ..., 1, v2 ungerade
Neben den Vibrationen um die mittleren Bindungslängen treten beim CO2 auch
noch Rotationen um den Schwerpunkt des Moleküls auf. Die Energien der Rotationen des CO2 –Moleküls sind mit der Rotationsquantenzahl Jrot und der
Rotationskonstante B gegeben durch:
WJ = BJrot (Jrot + 1)
.
(2.5)
Die Rotationszustände selbst sind DJ –fach entartet mit
DJ = 2 Jrot + 1 .
(2.6)
Die Abstände zwischen den Rotationsniveaus sind um Größenordnungen kleiner als die Abstände zwischen den einzelnen Vibrationsniveaus. Die Vibrationsniveaus erscheinen daher durch die überlagerten Rotationsniveaus aufgespalten.
10
2 Grundlagen
Unter Zuhilfenahme der Gleichungen 2.1 bis 2.5 erhält man unter Berücksichtigung der 2-fachen Entartung der Knickschwingung die Gesamtenergie des
CO2 –Moleküls:
Wges = Wv + WJ
1
= ωv1 v1 +
+ ωv2 (v2 + 1) +
2
1
+ ωv3 v3 +
+ BJrot (Jrot + 1)
2
.
(2.7)
Im Allgemeinen erhält man Emission bei einem strahlenden Übergang eines
Stoffes, wenn er, aus einem energetisch oben liegenden Zustand kommend,
einen darunterliegenden Zustand einnimmt. Hierbei handelt es sich um einen
Vibrations-Rotations-Übergang des CO2 –Moleküls. Für elektromagnetische
Dipolübergänge gilt die Auswahlregel für die Änderung des Gesamtdrehimpulses Jges [14]:
∆Jges = ±1
.
(2.8)
Es sei angemerkt, dass es sich bei dem Gesamtdrehimpuls um die Summe aller
auftretenden Drehimpulse handelt (Rotationen, Bahndrehimpulse, Spin etc.).
Übergänge zwischen Vibrationsniveaus v = 1 −→ v = 0 werden als
das reguläre bzw. fundamentale Band, Übergänge zwischen Vibrationsniveaus
v = 2 −→ v = 1 als „hot band“-Übergänge bezeichnet.
Bei den regulären Übergängen zwischen den Vibrationsniveaus des CO2 –
Moleküls bleibt der Drehimpuls der Knickschwingung v2 erhalten. Es muss
daher eine Änderung der Rotationsquantenzahl Jrot auftreten:
∆Jrot = ±1 .
(2.9)
Bei den regulären Bändern des CO2 –Moleküls handelt es sich um die
Übergänge aus dem Vibrationsniveau (000 1) in die Niveaus (100 0) bzw.
(020 0), wie in Abbildung 2.3 zu erkennen. Die Übergänge ergeben eine
Emissionswellenlänge im Bereich von 10 µm bzw. 9 µm. Diese regulären
Vibrations-Rotations-Übergänge werden nach dem Rotationsniveau des
unteren Zustandes benannt. Übergänge mit ∆Jrot = +1 werden mit dem
Buchstaben R bezeichnet, Übergänge mit ∆Jrot = −1 mit dem Buchstaben P.
2.1
CO2 -Laser
11
J
T = 400 K
25
19
9
J (0001)
NJ
4
9R1 6
9P1
10P20
10R20
J
20
20
0
NJ
(10 0)
(0200)
NJ
Abbildung 2.3: Vereinfachtes Termschema für die regulären Bänder beim
CO2 –Molekül
Für den für THz-Laser relevanten Übergang 9P36 ergibt dies z. B. [9]:
Name des
Übergangs
9P36
Wellenlänge
λ ≈ 9.69 µm
oberes
Laserniveau
(000 1), Jrot = 35
∆J = −1
9
36
P
λ ∈ 9 µm Zielrotationsniveau
-Bereich
unteres
Laserniveau
(020 0), Jrot = 36
.
(2.10)
Die Übergänge des CO2 -Laserprozesses sind bei den in dieser Arbeit
verwendeten Gasdrücken von p ≈ 100 mbar im Wesentlichen homogen
druckverbreitert [15]. Abbildung 2.3 zeigt weiterhin die Anzahl NJ der
besetzten DJ –fach entarteten Rotationsniveaus für eine Temperatur von
400 K. Die Besetzung der einzelnen Rotationsniveaus unterliegt einer
12
2 Grundlagen
400
N2
CO2
(2000)
300
0
(v = 1)
1
(01 0)
t sp » 0,1 s
(1000) (0200)
V-V
Elektronenstoß
m
0
100
~1
200
~9
W [meV]
m
(00 1)
V-T
0
(0000)
Abbildung 2.4: Anregungsprozess für die regulären Bänder beim CO2 –Molekül
B OLTZMANN-Verteilung. Durch die gemäß Gleichung (2.6) steigende
Entartung mit steigender Rotationsquantenzahl Jrot ergibt sich für die
Anzahl NJ der besetzten Rotationsniveaus aber der von der klassischen
B OLTZMANN-Verteilung abweichende Verlauf. Für die in Abbildung 2.3
berechneten Besetzungszahlen NJ ergibt sich ein Maximum bei Jrot = 19.
Durch die stimulierten Übergänge zwischen den unterschiedlichen VibrationsRotations-Niveaus wird diese B OLTZMANN-Verteilung nicht beeinflusst. Der
Energieaustausch zwischen unterschiedlichen Rotationszuständen desselben
Vibrationszustandes geschieht durch Molekülstöße und findet sehr viel
schneller statt als zwischen unterschiedlichen Vibrationszuständen. Man
spricht von einer schnellen Thermalisierung der Rotationszustände , da sie
gewissermaßen stets mit einer einzigen Temperatur in der B OLTZMANNVerteilung beschrieben werden können. Aus diesen Gründen schwingt ein
CO2 –Laser ohne wellenlängenselektive Elemente auf der Linie 10P20 an [15]
[16]. Eine Übersicht über die möglichen Laserlinien beim CO2 –Laser und ihre
Verstärkungen findet sich in Anhang A.
Neben CO2 sind in dem aktiven Medium noch weitere Gase vorhanden.
Das neben CO2 wichtigste Gas ist Stickstoff. Das Stickstoff–Molekül ist für
die Anregung des CO2 –Moleküls verantwortlich. Abbildung 2.4 zeigt den
Anregungsprozess des CO2 –Moleküls. Das zweiatomige Stickstoff–Molekül
hat nur eine Vibrationsmöglichkeit. Die sich daraus ergebenden Energieniveaus passen sehr gut zu der asymmetrischen Streckschwingung des CO2 ,
deren erstes angeregtes Niveau das obere Niveau des Laserprozesses bildet.
Stickstoff selbst wird durch schnelle Elektronen der Gasentladung durch
2.1
CO2 -Laser
13
einen Stoß erster Art angeregt. Diese Energie kann es aber nicht alleine
wieder verlieren, da das Stickstoffmolekül kein Dipolmoment besitzt. Es
kann nur durch Wandstöße oder durch Kollisionen mit anderen Molekülen
relaxieren. Durch einen solchen Stoß zweiter Art wird das Kohlendioxid aus
dem Grundzustand in den (000 1)-Zustand angeregt.
Auch das bei der Dissoziation
2 CO2 2 CO + O2
(2.11)
entstehende CO kann zum Pumpen des CO2 beitragen. Die Energiedifferenz
zum (000 1)-Zustand des CO2 ist aber mit 20 meV deutlich größer als beim N2
mit einer Energiedifferenz von 2.2 meV, wodurch die Pumpeffizienz deutlich
geringer ist. Des Weiteren hat das Kohlenmonoxid–Molekül ein Dipolmoment
und hat daher selbst strahlende Übergänge. Es kann somit selbst spontan emittieren und steht dem Anregungsprozess des CO2 nicht mehr zur Verfügung.
Es hat sich herausgestellt, dass das optimale Verhältnis von CO2 : N2 = 2 : 3
beträgt [17].
Ein weiteres für den Laserprozess sehr wichtiges Gas ist Helium. Helium ist
das leichteste Edelgas, hat daher eine sehr hohe thermische Geschwindigkeit
und Wärmeleitfähigkeit. Es dient zur Kühlung des Lasergases, da es durch Stöße übertragene Energie schnell wieder an das Entladungsgefäß abgeben kann.
Eine Überhitzung des Lasergases hätte eine höhere Besetzung des unteren Laserniveaus zur Folge, was durch eine reduzierte Besetzungsinversion eine Verringerung der Laserleistung zur Folge hätte.
Gelegentlich wird in das Lasergas auch Xenon beigemischt. Dies reduziert die
mittlere Elektronengeschwindigkeit der Gasentladung und erhöht so die Pumpeffizienz [15].
Andere Gase werden beim CO2 –Laser im kommerziellen Einsatz kaum verwendet.
2.1.2
Gasentladung als Pumpe
Als Energieversorgung wird beim CO2 –Laser eine Gasentladung eingesetzt.
Bei dem in dieser Arbeit verwendeten Laser handelt es sich um eine Hochfrequenzentladung im Gegensatz zu den ansonsten oft verwendeten Gleichstromentladungen. Der Aufbau der Entladungsstruktur ist in Abbildung 2.5 dargestellt. Zwei flächige Elektroden der Breite wF liegen sich planparallel im Abstand h gegenüber, die Länge LHF ist an sich beliebig. Ist die Frequenz fHF
des HF-Generators hoch genug, so stellt sich eine nahezu homogene Volumenentladung ein. Um Rückreflexionen in den Generator zu unterbinden, wird ein
14
2 Grundlagen
y
z
x
Anpasstransformator
LHF
wF
h
HF-Generator
Elektroden
Abbildung 2.5: Aufbau der Flachkanalentladungsstruktur
Anpasstransformator verwendet, der den Betriebswiderstand der Entladungsstruktur an den Innenwiderstand des Generators anpasst.
Um die auf diese Weise eingebrachte Pumpenergie auch nutzen zu können,
sind zwei Aspekte zu beachten.
Eine Eigenart von Hochfrequenzentladungen ist das Vorhandensein von Grenzschichten zwischen Entladungsvolumen und Elektroden [18]. Dies sind an
Elektronen verarmte Bereiche. Wegen der deutlich geringeren Masse der Elektronen gegenüber den positiv geladenen Molekülrümpfen haben die Elektronen
eine höhere Driftgeschwindigkeit und geringere Trägheit. Sie folgen den Umpolungen des elektrischen Feldes daher schneller. Meist können die positiven
Molekülrümpfe sogar als statisch betrachtet werden. Elektronen am Rand der
Entladung können daher auf die Elektroden treffen und verlieren so ihre kinetische Energie. Die Elektronen dieser Randschicht haben somit eine geringere
mittlere kinetische Energie und pumpen den Laserprozess deutlich schlechter.
Die Dicke dRand einer Randschicht kann über die Anregungsfrequenz fHF
und die Driftgeschwindigkeit der Elektronen vD abgeschätzt werden [19]:
dRand =
vD
2π fHF
.
(2.12)
Die Driftgeschwindigkeit vD selbst ist abhängig von der elektrischen Feldstärke und der mittleren Kollisionsfrequenz in der Gasentladung [18]. Die Anregungsfrequenz muss somit hinreichend groß gewählt werden, damit die Randschichtdicke dRand klein wird.
Ein anderer Aspekt, der beachtet werden muss, ist der Wellenleitereffekt der
2.1
CO2 -Laser
15
U
Uzünd
z
LHF
L0
1'
l3
l2
l1
L1
0
l4
L2
1
3
2
AT
Abbildung 2.6: Spannungsverlauf entlang des Flachkanals für den kompensierten (–)
und den unkompensierten (- -) Fall; Simulation für P = 600 W, Länge
L = 390 mm, Kanalbreite wF = 20 mm, fHF = 100 MHz
Entladungsstruktur. Es stellen sich Stehwellen ein und damit eine inhomogene
elektrische Spannungsverteilung längs der Entladung, da die Länge LHF der
Entladungsstruktur des Lasers in der Größenordnung der Wellenlänge λHF
des HF-Generators ist und die Entladungsstruktur mit einem Leerlauf endet.
Für den im Rahmen dieser Arbeit aufgebauten Laser gilt:
fHF ≈ 100 MHz ⇒ λHF ≈ 3 m ⇒ LHF ≈ λHF /6
.
Dies führt zu einem ungleichmäßigen Pumpen der Gasentladung und somit
des aktiven Mediums. Abbildung 2.6 zeigt mögliche Spannungsverläufe – numerisch berechnet – entlang einer solchen Struktur [20]. Die HF-Einspeisung
erfolgt meist an einer Seite der Entladungsstruktur. Bei dem im Rahmen dieser Arbeit aufgebauten Laser findet die HF-Einspeisung bei einem Sechstel der
Entladungslänge statt. An den Enden der Entladungsstruktur liegt wegen des
Leerlaufs stets ein Spannungsmaximum vor. Die gestrichelte Linie in Abbildung 2.6 zeigt den Fall des Spannungsverlaufs auf dem Wellenleiter ohne weitere Elemente. Vom Maximum am Ende des Wellenleiters (3) hin zum Einspeisepunkt (0) sinkt die jeweils anliegende Spannung wegen des Leerlaufs [21].
Dasselbe geschieht für die Transformation von (1’) → (0). Durch den deutlich inhomogenen Spannungsverlauf wird das aktive Medium ungleichmäßig
16
2 Grundlagen
und damit nicht effizient mit Energie versorgt. Im Extremfall sinkt die Spannung entlang der Leitung unter die Zündspannung Uzünd der Gasentladung,
und das Lasergas ist nur in einem geringen Teil des Wellenleiters aktiv. Durch
das Parallelschalten von Induktivitäten ist es möglich, die Phasendrehung der
Leitungstransformation zu kompensieren und bei entsprechender Dimensionierung soweit auszugleichen, dass sich ein nahezu gleichmäßiger Spannungsverlauf ergibt, wie in Abbildung 2.6 als durchgezogene Linie dargestellt. Das
aktive Medium wird gleichmäßig und somit effizient mit Energie versorgt. Je
höher die Anregungsfrequenz fHF des Lasers ist, desto mehr Parallelinduktivitäten bzw. Beschwerungsspulen sind notwendig.
Eine Optimierung einer Hochfrequenzentladung ist somit stets ein Kompromiss zwischen einer möglichst hohen Anregungsfrequenz zur Minimierung der
Dicke der Randschichten und einer möglichst geringen Anregungsfrequenz zur
Minimierung der Wellenleitereffekte.
2.1.3
Aufbau des CO2 -Lasers
Abbildung 2.7 zeigt den prinzipiellen Aufbau des linienselektiven CO2 –
Lasers, wie er im Rahmen dieser Arbeit aufgebaut und verwendet wurde. Der
Aufbau befindet sich in einem gasdichten zylindrischen Gehäuse, das mit dem
Lasergas gefüllt ist. Man erkennt in Abbildung 2.7 die in Abschnitt 2.1.2 beschriebenen Elektroden. Die Elektroden selbst sind wassergekühlt. Dies reicht
bei dem geringen Plattenabstand aus, das Lasergas zu kühlen, welches nur der
thermischen Konvektion unterliegt.
y
Wasserkühlung
x
z
Littrowgitter
Totalreflektor
HF-Generator
+
Anpasstransformator
ausgekoppelter
Laserstrahl
Abbildung 2.7: Prinzipskizze eines linienabstimmbaren Flachkanal-Lasers mit Auskopplung durch das optische Gitter
2.1
CO2 -Laser
17
Der Resonator wird bei diesem Laser durch einen total reflektierenden Metallspiegel und ein Gitter in der in Abbildung 2.7 dargestellten Anordnung gebildet. Das Gitter dient dabei auch zur Auskopplung des Laserstrahls unter etwa
90° gegenüber der Resonatorachse und zur Rückkopplung in den Resonator.
Die Rückkopplung des Gitters ist wellenlängenselektiv. Auf die Funktionsweise des Gitters wird detaillierter in Abschnitt 2.3 eingegangen.
Der Aufbau des Lasers in dieser Flachkanalbauweise hat deutliche Vorteile gegenüber anderen Bauweisen [12] [13]. Durch den geringen Elektrodenabstand
wird die zwischen den Elektroden gezündete Gasentladung sehr gut gekühlt.
Die Wärmeleitung findet aber nur entlang der y-Achse statt. Dies reduziert die
Wärmeleitung zu einem eindimensionalen Problem. Automatisch führt dies
dazu, dass die erzielbare Laserleistung proportional zu der Entladungsfläche
ist. Gegenüber Rohrlasern, bei denen eine Vergrößerung des Rohrquerschnittes
wegen der schlechteren Kühlung keine Leistungserhöhung bringt, ist es somit
möglich, Laser mit hoher Leistung und dennoch geringer Resonatorlänge zu
konstruieren.
Der Vollständigkeit halber wird an dieser Stelle bereits auf die Feldverteilun eingegangen, soweit es durch die Elektroden
gen des elektrischen Feldes E
bestimmt ist. Natürlich müssen auch hier die M AXWELLschen Gleichungen
(2.23) bis (2.26) erfüllt sein, die erst in Abschnitt 2.2.2 besprochen werden.
Ein Problem, das das Prinzip des Flachkanal-Lasers mit sich bringt, ist die ungleiche Ausdehnung der Entladungsstruktur in die x- und y-Richtung. Durch
die unterschiedlichen Aperturen ergeben sich ungleiche Divergenzwinkel. Dieser Astigmatismus erschwert die Strahlführung und ist somit ungünstig für die
Verwendung des Lasers. In y-Richtung liegt eine Wellenführung des elektromagnetischen Feldes innerhalb des Resonators durch die Entladungselektroden
vor [22]. Die anschwingenden Feldtypen entsprechen in y-Richtung den Feldtypen Hmn bzw. T Emn [23], wobei m die Ordnung des Feldtyps in x-Richtung
angibt und n die Ordnung in y-Richtung:
E(y) ∝
nπy
2
sin
h
h
mit
n ∈ IN .
(2.13)
Trotz der in Wellenlängen großen Kanalhöhe (h ≈ 200λ) schwingt meist
nur der niedrigste Feldtyp Hm1 an. Abbildung 2.8 zeigt ein Feldliniendiagramm der elektrischen und magnetischen Feldstärke eines H01 -Feldtyps. Ab dar. Das elektribildung 2.8 a) stellt die Feldlinien des elektrischen Feldes E
sche Feld hat nur Komponenten in der xy-Ebene und somit nur transversal zur
Ausbreitungsrichtung z. Die Feldlinien beginnen und enden auf den metallenen
Elektroden. Abbildung 2.8 b) zeigt die Feldlinien des magnetischen Feldes H.
18
2 Grundlagen
y
x
Abb. 2.8(b),
yz-Ebene
- Feldlinien im xy-Schnitt
(a) E
y
Abb. 2.8(a),
xy-Ebene
z
λ
2
- Feldlinien im yz-Schnitt
(b) H
Abbildung 2.8: Feldliniendiagramm der elektrischen und magnetischen Feldstärke E
eines H01 -Feldtyps
und H
Die magnetischen Feldlinien sind geschlossen und haben in der hier dargestellten Strahlmitte nur Komponenten in der yz-Ebene. Die in Abbildung 2.8 b)
gekennzeichnete z-Position der xy-Ebene von Abbildung 2.8 a) ist der Ort maximaler elektrischer Feldstärke.
In x-Richtung liegen keinerlei Einschränkungen des elektromagnetischen Feldes vor, so dass hier Freiraummoden anschwingen, die nur durch die Resonatorgeometrie bestimmt sind. Auf den Zusammenhang zwischen diesen Moden
und der Resonatorgeometrie wird in Kapitel 3 näher eingegangen.
Der Gesamtfeldtyp ist somit eine Hybridisierung zwischen einem Wellenleitermode Hmn in y-Richtung und der Freiraummode in x-Richtung. Es wird auf
eine eigene Nomenklatur dieser Hybridisierung verzichtet, da die Separation
durch die orthogonalen Koordinatenachsen x und y gegeben ist. Es wird im
Weiteren für die Bezeichnung der Feldtypen der beiden Koordinatenrichtungen stets explizit die Richtung angegeben, für die die verwendete und in der
Literatur übliche Bezeichnung richtig ist. So sei z. B. ausdrücklich darauf hingewiesen, dass die Bezeichnungen Hmn nur für die y-Richtung und somit die
zweite Indizierung n Gültigkeit hat.
Innerhalb des Resonators ergibt sich für das elektrische Feld wegen ihrer geringeren Verluste eine lineare Polarisation in x-Richtung [24].
2.2
2.2
Optik
19
Optik
Zum besseren Verständnis der Arbeit soll im Folgenden auf einige Grundlagen
zur Strahlen- und Wellenoptik eingegangen werden.
Mit Hilfe der Strahlenoptik bzw. geometrischen Optik lässt sich die Ausbreitung des Lichts und deren Änderung durch optische Elemente wie Linsen oder
Spiegel beschreiben. Effekte wie Beugung und Interferenz werden aber vernachlässigt, da sie auf der Wellennatur des Lichts beruhen.
2.2.1
Strahlenoptik
Bei der geometrischen Optik werden abbildende optische Systeme auf einfache
geometrische Weise beschrieben. Grundlage dafür ist das Strahlenmodell. Dabei wird die Lichtausbreitung durch mathematische Linien eindimensionaler
Ausdehnung beschrieben.
Als Grundaxiome für die Ausbreitung der Lichtstrahlen gelten [25]:
• in homogenen Medien breiten sich Lichtstrahlen geradlinig aus
• verschiedene Strahlen verlaufen unabhängig voneinander
• Brechung und Reflexion von Lichtstrahlen an Grenzflächen werden durch
das Brechungs- bzw. Reflexionsgesetz beschrieben
Wellenmechanisch entspricht dies dem Grenzwert λ → 0 [26].
Zur Beschreibung der Lichtstrahlen hat sich ein Verfahren durchgesetzt, das
die Strahlen als Vektoren betrachtet. Dabei werden die Vektoren gemäß Gleichung (2.14) und Abbildung 2.9 durch ihren Abstand x von der optischen
Achse an einer bestimmten Stelle z und den Winkel α bzgl. der optischen
Achse definiert [30]:
x
v =
.
(2.14)
α
Zur Transformation dieser Vektoren von einer Ebene senkrecht zur optischen
Achse zur darauf folgenden finden 2 × 2 - Matrizen Verwendung, wie in der
Mathematik üblich [27]. Die Definition der Vektoren zusammen mit den Transformationsmatrizen entspricht einer Einschränkung auf paraxiale Strahlen, wie
sie in der geometrischen Optik aber meist verwendet wird [26]:
vnachher = M · vvorher
.
(2.15)
20
2 Grundlagen
Strahl
a
x
z'
optische
Achse
z
Abbildung 2.9: Vektordefinition für strahlenoptische Berechnungen im Matrixformalismus
Es sei angemerkt, dass die beiden Ebenen vor und nach der Transformation
auch räumlich zusammenfallen können, wie dies bei der einfachen Brechung
gemäß des S NELLIUSschen-Brechungsgesetzes der Fall sein muss.
Die einzelnen Einträge der Strahlmatrix M werden gemäß Gleichung (2.16)
bezeichnet:
A B
.
(2.16)
M=
C D
Strahlmatrizen werden allgemein auch ABCD-Matrizen genannt. Die Gleichungen (2.17) bis (2.19) zeigen einige Beispiele für solche Matrizen, die für
weitere Berechnungen in dieser Arbeit notwendig sind.
1L
MF reiraum =
,
(2.17)
0 1
1
0
Mdünne Sammellinse =
,
(2.18)
−1/fB 1
1 0
MSpiegel, konvex =
.
(2.19)
−2/ 1
Dabei ist L die Länge des Freiraums, fB die Brennweite der dünnen Sammellinse und der Krümmungsradius des Spiegels.
Jedes optische System von Interesse, von der reinen Freiraumausbreitung abgesehen, besteht aus mehr als einem Element. Auch eine Linse kann in der Praxis
nur mit einer Freiraumstrecke davor und dahinter verwendet werden. Die Matrix für die Transformation eines zusammengesetzten optischen Systems erhält
man, indem man die entsprechenden Einzelmatrizen in der Reihenfolge des
Durchlaufens gemäß Gleichung (2.15) miteinander multipliziert.
Mges = Mn · Mn−1 · · · M2 · M1
.
(2.20)
2.2
Optik
21
fB = fB
2fB
=2fB
fB
2fB
Abbildung 2.10: 1:1 - Abbildung (–) und Fokussierung (- -) mit einer dünnen Sammellinse und einem konkaven Spiegel
Es muss kein Zwischenergebnis nach jeder Einzeltransformation berechnet
werden. Zum besseren Verständnis der Berechnungen der Feldverteilung innerhalb des Laserresonators werden im Folgenden noch einige Parallelen speziell diskutiert.
Durch Vergleich der Matrixeinträge von Gleichungen (2.18) und (2.19) erhält
man eine Beziehung für die Brennweite von sphärisch gekrümmten Spiegeln.
fB =
2
.
(2.21)
Diese Beziehung ist offensichtlich, wenn man sich vor Augen führt, dass alle
Strahlen, die aus dem Mittelpunkt einer Kugel kommen, von dieser dorthin zurückreflektiert werden. Dies entspricht einer klassischen 1:1 - Abbildung, wie
man sie auch bei einer Sammellinse erhält, wenn die Gegenstandsweite der
doppelten Brennweite entspricht, wie in Abbildung 2.10 mit der durchgezogenen Linie dargestellt. Analog ergibt sich für Strahlen, die aus dem Unendlichen
parallel zur optischen Achse kommen, eine Fokussierung in der Brennebene
auf der optischen Achse. Der Unterschied besteht nur darin, dass der Spiegel
als spiegelndes Element die Richtung der Strahlausbreitung umkehrt.
Mit dieser Symmetrie ist es möglich, ein einfaches Modell eines Resonators
aufzustellen, ohne Richtungsumkehrungen beachten zu müssen. Anstatt eines
Spiegels werden in dem Modell zwei Linsen ohne dazwischen liegenden Freiraum hintereinander geschaltet. Dadurch ist es möglich, den Resonator aufzufalten, wie in Abbildung 2.11 dargestellt. Die Auftrennung eines kompletten
22
2 Grundlagen
L
L
f1
f2 f2
f1
Abbildung 2.11: Resonator strahlenoptisch mit ABCD-Matrizen, äquivalentes Wellenleitmodell
Umlaufs ist an jeder Stelle möglich, es wird aber meist die aus Abbildung 2.11
verwendet. Die Gesamtmatrix für ein solches optisches System lautet:
1
1
L2
1
1
2
1
+
−
L
+
+
2L
−
L
1 2
1
2
1
2
.
MRes =
2
1
L
1
0
1+
−L
+
1 2
1
2
(2.22)
Mit der Matrix MRes aus Gleichung (2.22) ist es möglich, die Transformation,
der ein Lichtstrahl bei einem Umlauf durch den Resonator unterliegt, mit nur
einer Matrixmultiplikation gemäß Gleichung (2.15) zu bestimmen.
Eine Berechnung von Laserresonatoren führt aber rein strahlenoptisch dennoch
nicht zu befriedigenden Lösungen. Die geringen Abweichungen der Näherung
der geometrischen Optik erhöhen sich durch jeden Resonatorumlauf, was zu
untragbaren Fehlern führt.
Der Matrixformalismus muss daher unter Einbeziehung wellenoptischer Effekte weiterentwickelt werden.
2.2.2
Wellenoptik und Beugungstheorie
Betrachtet man optische Systeme genauer, so erkennt man, dass die strahlenoptische Näherung zwar viele Phänomene mit guter Näherung beschreiben kann,
aber auch bei der Erklärung einer Vielzahl von wichtigen optischen Effekten
an ihre Grenzen gerät. So sind weder auf Interferenzen beruhende Effekte erklärbar, noch polarisationsoptische. Auch die Phänomene sind wellenoptischer
2.2
Optik
23
Natur, die die Auflösung an sich perfekter optischer Systeme begrenzen [25].
Die allgemein von Ort und Zeit abhängigen elektromagnetischen Größen: die
r, t), die magnetische Feldstärke H(
r, t), die Stromelektrische Feldstärke E(
dichte J (r, t), die elektrische Verschiebungsdichte D(r, t), die magnetischen
r, t) und die skalare Raumladungsdichte ρel (r, t) sind über die
Induktion B(
M AXWELLschen Gleichungen miteinander verknüpft [29]. Diese lauten in Differentialform:
r, t) ,
r, t) = − ∂ B(
rot E(
∂t
r, t)
r, t) = J (r, t) + ∂ D(
rot H(
∂t
r, t) = ρel (r, t) ,
div D(
r, t) = 0 .
div B(
(2.23)
,
(2.24)
(2.25)
(2.26)
Die Kopplung zwischen diesen Größen ist vom Medium abhängig. Im Weiteren
wird davon ausgegangen, dass hier das optische Medium linear, homogen, zeitunabhängig und isotrop ist. Darüber hinaus wird es als nicht leitend und raumladungsfrei betrachtet, womit J (r, t) ≡ 0 und ρel (r, t) ≡ 0 gilt. Als weitere
Vereinfachung werden nur sinusförmige Zeitverläufe mit einer Kreisfrequenz
ω betrachtet. Dabei wird für die Zeitabhängigkeit ein Term e−jωt verwendet,
wie er in dieser Form auch mit der S CHRÖDINGERgleichung konform ist [14].
Für die in den M AXWELLschen Gleichungen (2.23) bis (2.26) vorkommenden
Feldgrößen ergeben sich somit die folgenden Beziehungen zwischen den ei r, t), H(
r, t), D(
r, t), B(
r, t)
gentlichen orts- und zeitabhängigen Vektoren E(
und den jeweils zugeordneten, nur noch ortsabhängigen, komplexen Vektorzei r), H(
r), D(
r), B(
r):
gern E(
r, t) = Re{E(
r) e−jωt }
E(
r, t) = Re{D(
r) e−jωt }
D(
−jωt
r, t) = Re{B(
r) e
B(
}
r, t) = Re{H(
r) e−jωt }
H(
,
(2.27)
,
(2.28)
,
(2.29)
.
(2.30)
Unter den oben genannten Bedingungen kann jetzt eine Beziehung zwischen
r) und dem Vekdem Vektorzeiger der elektrischen Verschiebungsdichte D(
torzeiger der elektrischen Feldstärke E(r) über die Permittivität ε = ε0 εr
hergestellt werden und zwischen dem Vektorzeiger der magnetischen Induk-
24
2 Grundlagen
r) und dem Vektorzeiger der magnetischen Feldstärke H(
r) über die
tion B(
Permeabilität µ = µ0 µr :
r) = ε E(
r) ,
D(
r) = µ H(
r) .
B(
(2.31)
(2.32)
Aus den M AXWELLschen-Gleichungen (2.23) bis (2.25) lässt sich durch wenige Umformungen die Helmholtzgleichung bzw. Wellengleichungen ableiten
2
[28]. Mit dem Laplaceoperator = ergibt sich:
r) = 0 .
+ εµ ω 2 E(
(2.33)
Für die für diese Arbeit interessanten Medien gilt µr = 1. Die Ausbreitungsrichtung einer elektromagnetischen Welle ist in isotropen Medien durch den
r, t) gemäß Gleichung (2.35) definiert:
Poyntingvektor S(
r, t) = E(
r, t) × H(
r, t)
S(
.
(2.34)
Für den zeitlichen Mittelwert des Poyntingvektors ergibt sich:
r, t) = S(
r) = 1 Re{E(
r) × H
∗ (r)}
S(
2
.
(2.35)
r) ist ein Maß für die Intensität† der elektromagnetischen
Der Betrag von S(
Welle am Ort r:
r)|
I(r) = |S(
(2.36)
Da wegen Gleichung (2.35) die Ausbreitungsrichtung und die beiden bestim r) und B(
r) durch
menden Feldgrößen aufeinander senkrecht stehen und E(
die M AXWELLschen Gleichungen (2.23) und (2.24) in einer festen Beziehung
stehen, ist es meist ausreichend, nur eine dieser Größen zu betrachten. Im Fol betrachtet und von dieser
genden wird daher nur die elektrische Feldstärke E
nur eine Komponente E des Vektors. Der in dieser Arbeit verwendete Laser
hat eine lineare Polarisation, die durch das System vorgegeben ist, wie in Abschnitt 2.1.3 beschrieben.
Die Kugelwelle ist eine Lösung der Wellengleichung. Für eine aus dem Ursprung herauslaufende Welle lautet sie [30]:
E(r) = E0
λ j(kr+ϕ)
e
r
(2.37)
† Der Energiefluss pro Flächenelement und Zeiteinheit wird oft auch mit Bestrahlungsstärke bezeichnet
2.2
Optik
25
mit der Feldamplitude E0 . Die Lösung der Wellengleichung aus Gleichung (2.37) verliert ihre Gültigkeit, sobald der zur Verfügung stehende Raum
endlich wird, also bei allen realen Systemen. Die elektromagnetische Welle
wird in den abgeschatteten Bereich hinein gebeugt.
2a
y1
x1
y2
2b
L
x2
z
A
Abbildung 2.12: Geometrie zur Bestimmung der Feldverteilung in einem Punkt
(x2 , y2 ) nach einer mit der Feldverteilung E1 (x1 , y1 ) belegten Rechteckblende
Abbildung 2.12 zeigt vereinfacht die Geometrie für einen solchen Fall. Eine
beliebige, unendlich ausgedehnte Feldverteilung E1 (x1 , y1 ) trifft auf eine begrenzende Apertur der Größe 2a × 2b, die die Phasenfront der Feldverteilung
modifiziert.
Eine elementare Methode, die gebeugte Feldverteilung in einer Ebene hinter
der Apertur zu erklären, stammt von H UYGENS, nach dessen Prinzip jeder
Punkt einer Wellenfront als Ursprung von sekundären Elementarkugelwellen
dient [26]. Erhöht man das Punktraster dieser Elementarwellen immer weiter,
so erhält man als Grenzwert das K IRCHHOFF-Integral [31], das in paraxialer
Näherung lautet:
E2 (r2 ) = −
j
λ
E1 (r1 )
A
ejkr
dA .
r
(2.38)
26
2 Grundlagen
Dieses Integral ist analytisch nicht und auch numerisch nur mit hohem Rechenaufwand lösbar [30]. Daher begnügt man sich meist mit einer Näherung:
r = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + L2
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
=L 1+
L2
2
2
1 x1 − x2
1 y1 − y2
≈L 1+
+
+ ···
.
(2.39)
2
L
2
L
Befindet man sich im Fernfeld, für das a, b L und λ L gilt, so ist es
legitim, die Näherung aus Gleichung (2.39) nach den Termen linearer Ordnung
abzubrechen. Man erhält so die F RAUNHOFER-Näherung.
j jkL
e
E2 (x2 , y2 ) = −
E1 (x1 , y1 )·
λL
A
jk
· exp − (x1 x2 + y1 y2 ) dx1 dy1 .
(2.40)
L
Ist eine Separation der Variablen möglich, wie z. B. bei rechteckigen Aperturen, so können die x- und y-Koordinaten unabhängig voneinander betrachtet werden. Die F RAUNHOFER-Näherung entspricht einer F OURIERTransformation, für die schnelle Algorithmen vorhanden sind, um das Integral
numerisch mit kurzer Rechenzeit zu bestimmen.
Ist man nicht im Fernfeld, so muss man auch höhere Terme der Näherung
(2.39) bei der Entwicklung der Gleichung (2.38) beachten. In quadratischer
Näherung erhält man die F RESNEL-Näherung.
j jkL
e
E2 (x2 ,y2 ) = −
E1 (x1 , y1 )·
λL
A
jπ
2
2
2
2
(x1 + x2 − 2x1 x2 + y1 + y2 − 2y1 y2 ) dx1 dy1 .
· exp
λL
(2.41)
Für die Berechnung von Laserresonatoren ist die F RESNEL-Näherung meist
ausreichend [24].
Für die numerische Berechnung von Resonatoren ist es möglich, die Ausbreitung im Raum zwischen den Spiegeln mit Hilfe des F RESNEL-Integrals zu
lösen. Die Resonatorspiegel selbst können dann durch die Multiplikation mit
einem reinen Phasenterm, der die Phasenfronttransformation beschreibt, hinzugefügt werden.
2.2
Optik
x
y
27
FRef1
FRef2
z
optisches System
E1(x1, y1)
M=
( )
A B
C D
E2(x2, y2)
LABCD
Abbildung 2.13: Anordnung zur Berechnung der Feldverteilung E2 hinter einem optischen System, das durch eine ABCD-Matrix gegeben ist, bei vorgegebener Feldverteilung E1 mit dem C OLLINS-Integral
Eine andere Möglichkeit ist die Erweiterung des F RESNEL-Integrals um das
Transformationsverhalten optischer Systeme. Eine solche Erweiterung ist das
C OLLINS-Integral [32], welches das F RESNEL-Integral um optische Systeme
in Form des ABCD-Matrixformalismusses erweitert. Das C OLLINS-Integral ist
gemäß Gleichung (2.42) definiert:
j jkLABCD
e
E2 (x2 , y2 ) =
E1 (x1 , y1 )·
λB
FRef 1
π
(Ax21 + Dx22 − 2x1 x2 )
λB
π
· exp j
(Ay12 + Dy22 − 2y1 y2 ) dx1 dy1
λB
· exp j
.
(2.42)
Dabei sind die Matrixelemente A, B und D und die Ausbreitungslänge
LABCD wie in Abbildung 2.13 definiert. Mit Hilfe des C OLLINS-Integrals
ist es möglich, ausgehend von einer Feldverteilung E1 in einer Ebene FRef 1 ,
die Feldverteilung E2 in einer Ebene FRef 2 zu bestimmen, die sich hinter einem optischen System der Länge LABCD befindet. Gleichung (2.42) ist für
den Fall der reinen Freiraumausbreitung, d. h. mit der ABCD-Matrix aus Gleichung (2.17), identisch mit dem F RESNEL-Integral aus Gleichung (2.41). Ein
Laserresonator lässt sich somit mit dem Wellenleitmodell aus Abbildung 2.11
und der ABCD-Matrix aus Gleichung (2.22) wellenoptisch berechnen.
28
2 Grundlagen
Welche Näherung des K IRCHHOFF-Integrals ausreichend ist bzw. ob das Integral aus Gleichung (2.38) selbst gelöst werden muss, kann durch die F RESNELZahl N mit den Maximalauslenkungen ∆x|max und ∆y|max in die jeweilige
Koordinatenrichtung bestimmt werden.
(∆x|max )2
(∆y|max )2
bzw.
Ny =
.
(2.43)
Lλ
Lλ
Für Nx,y 1 ist die F RAUNHOFER-Näherung ausreichend. Bis zu einer
F RESNEL-Zahl von Nx,y < 100 ist es ausreichend, das F RESNEL-Integral
zu lösen. Bei noch höheren F RESNEL-Zahlen muss das K IRCHHOFF-Integral
selbst ausgewertet werden [30].
Nx =
2.3
Gittertheorie
Gitter haben in der Spektroskopie und der optischen Messtechnik eine lange
Tradition wegen ihres dispersiven Verhaltens. Das erste Beugungsgitter wurde
von dem Astronomen David Rittenhouse 1785 hergestellt. Detailliertere Untersuchungen mit der Ableitung der Gittergleichung folgten 1821 von Joseph von
Fraunhofer. Erste Reflexionsgitter wurden von Lewis Morris Rutherfurd bereits Mitte des 19. Jahrhunderts entworfen, 1875 erschienen die Arbeiten von
Marie Alfred Cornu zu Gittern mit ortsabhängiger Gitterperiode. Weitere für
diese Arbeit wichtige Arbeiten wurden von Littrow und Wadsworth durchgeführt [33] [34].
Im folgenden Abschnitt sollen die für diese Arbeit notwendigen Grundlagen
optischer Reflexionsgitter dargestellt werden. Dabei werden nur Reflexionsgitter betrachtet, bei denen eine metallische Oberfläche eindimensional strukturiert ist.
2.3.1
Winkel-Analyse von Reflexionsgittern
Abbildung 2.14 zeigt die Aufspaltung eines Lichtstrahls an einem optischen
Reflexionsgitter durch Beugung an der periodischen Struktur der Oberfläche.
Ein unter einem Winkel α bzgl. der Flächennormalen einfallender Strahl wird
nach dem S NELLIUSschen Reflexionsgesetz nur teilweise direkt reflektiert,
d. h. α = β0 . Teile der Leistung werden aber auch in andere Richtungen gebeugt. Der Zusammenhang zwischen dem Einfallswinkel α, der Lichtwellenlänge λ, der Gitterperiode Λ und den Beugungswinkeln βm der Beugungsordnung m ist durch die Gittergleichung (2.44) gegeben:
Λ · (sin βm − sin α) = mλ
mit
m ∈ IN .
(2.44)
2.3
Gittertheorie
29
m=0
m=1
Gitternormale
m = -1
Einfallende Welle
Abbildung 2.14: Darstellung der Winkel-Aufspaltung eines Reflexionsgitters bei einem schräg unter dem Winkel α einfallenden Lichtstrahl
Die Winkel α und βm werden von der Oberflächennormalen weg in unterschiedliche Richtungen gezählt. Für den in Abbildung 2.14 dargestellten Fall
ist α, β0 und β1 > 0, aber β−1 < 0. Bedingt durch das Reflexionsgesetz werden die Beugungsordnungen mit Beugungswinkeln βm ≥ α positiv gezählt,
die Beugungsordnungen mit βm < α negativ.
Beugungswinkel βm existieren im Rahmen der Gittergleichung (2.44) nur ,
wenn gilt:
−1 ≤
mλ
+ sin α ≤ 1
Λ
da ansonsten für den Winkel
βm = arcsin
,
mλ
+ sin α
Λ
(2.45)
(2.46)
keine reelle Lösung existiert. Eine komplexe Lösung βm ∈ C geht mit einem Dämpfungsterm in der Ausbreitung dieser Beugungsordnung einher. Sie
werden senkrecht zum Gitter exponentiell gedämpft und klingen im Bereiche
weniger Wellenlängen λ auf ein nicht messbares Leistungsniveau ab. Diese
Beugungsordnungen sind somit nicht ausbreitungsfähig. Diese Lösungen für
βm nennt man auch ewaneszente Lösungen.
Abbildung 2.15 zeigt, bei welcher Gitterperiode Λ bei einem Reflexionsgitter
bei einem Einfallswinkel von α = 45° höhere Beugungsordnungen auftreten
und welche Beugungsordnungen m erscheinen. Für Gitterperioden Λ, die deutlich unterhalb der Wellenlänge λ liegen, ist nur die nullte Beugungsordnung
30
2 Grundlagen
80
m=1
60
m=0
Beugungswinkel m [°]
40
m = -1
20
m = -2
m = -3
4
m=-5
m=
-6
m=
0
-20
-40
m
-60
7
=-
-80
0
10
20
30
40
50
Gitterperiode [m]
Abbildung 2.15: Beugungswinkel βm als Funktion der Gitterperiode Λ für α = 45°
und λ = 10.6 µm
vorhanden. Erst wenn die Gitterperiode Λ in die Größenordnung der Wellenlänge λ kommt, sind noch weitere Beugungsordnungen ausbreitungsfähig. Die
erste neben der nullten auftretende Beugungsordnung ist die -1te Beugungsordnung. Bei weiterer Vergrößerung der Gitterperiode Λ treten weitere negative Beugungsordnungen (m < 0) auf, ehe als sechstes die erste positive Beugungsordnung (m > 0) ausbreitungsfähig ist. Dies ist auch der Grund, weshalb
bei vielen Monochromatoren oder abstimmbaren Lasern, wie auch in dieser
Arbeit, die -1te Beugungsordnung verwendet wird, da sie die erste Beugungsordnung ist, die nach der nullten ausbreitungsfähig ist. Man erhält somit ein
eineindeutiges dispersives Element. Der alleinige Beugungswinkel β−1 hängt
gemäß Gleichung (2.46) über eine streng monotone Funktion nur noch von der
Wellenlänge λ ab. Bei nur zwei ausbreitungsfähigen Beugungsordnungen ist
es bei realen Fertigungsmöglichkeiten möglich, beinahe die gesamte auf das
Gitter eingestrahlte Leistung in der dispersiven -1ten Beugungsordnung zu haben. Dies ist bei mehr ausbreitungsfähigen Beugungsordnungen schwieriger.
Ein solches Gitter, bei dem nur die nullte und die -1te Beugungsordnung ausbreitungsfähig sind, findet auch in dieser Arbeit Verwendung, wie bereits in
Abschnitt 2.1.3 erwähnt wurde. Das Gitter ist so in den Laserresonator inte-
2.3
Gittertheorie
31
griert, dass die -1te Beugungsordnung in Richtung des einfallenden Strahls
gebeugt wird, d. h. β−1 = −α. Es gilt daher folgende Beziehung:
Λ=
λ
2 sin α
⇐⇒
α = arcsin
λ
2Λ
.
(2.47)
Eine solche Konfiguration nennt man Autokollimation oder auch L ITTROWKonfiguration.
Aus Gleichung (2.47) ergibt sich durch Differentiation eine Winkelauflösung
von:
dα
1
=√
2
dλ
4Λ − λ2
.
(2.48)
Beim Entwurf eines linienabstimmbaren Lasers für eine Wellenlänge λ1 ist
darauf zu achten, dass die Winkelauflösung groß genug ist, damit jede andere
Wellenlänge λ2 = λ1 ± dλ aus dem Resonator hinausgebeugt wird.
2.3.2
Quantitative Analyse von Reflexionsgittern
Will man ein Reflexionsgitter in ein System integrieren, der Einfallswinkel α,
die Gitterperiode Λ und die Beugungswinkel βm sind damit festgelegt, so muss
man sich für eine Oberflächenform eines Gitters entscheiden. Für die folgende
Analyse werden Reflexionsgitter betrachtet, die, soweit nicht anders bezeichnet, unter α = 45° beleuchtet werden, eine Gitterperiode Λ haben, bei der
nur die nullte und -1te Beugungsordnung ausbreitungsfähig sind und die in
L ITTROW-Konfiguration betrieben werden.
Abbildung 2.16 zeigt vereinfacht ein Reflexionsgitter mit Gitterperiode Λ, Neigungswinkeln γg und γk der Flanken der Gitterstege der Breite bS herunter in
die Gittergräben der Breite bG mit dem zur Oberfläche parallelen Grabenboden der Breite bT . Oberflächenstrukturen gebräuchlicher Gitter sind in Abbildung 2.17 dargestellt. In Abbildung 2.17 a) ist die gebräuchlichste Oberflä-
k
k
g
h
Abbildung 2.16: Allgemeines Reflexionsgitter
bG
bS
bT
32
2 Grundlagen
a)
b)
c)
Abbildung 2.17: Verschiedene Oberflächenstrukturen gebräuchlicher Gitter; a) blazed
grating, b) V-Gruben, c) binär
chenstruktur dargestellt. Für blazed gratings‡ gilt idealerweise gemäß Abbildung 2.16 bS = 0, bT = 0 und γk + γg = 90°. Fällt ein einfallender Lichtstrahl unter einem Winkel γk schräg auf das Gitter, somit aber lotrecht auf die
lange Flanke des Keils, so wird die nullte Beugungsordnung fast vollständig
unterdrückt, und beinahe die gesamte Leistung wird zurück in Richtung des
einfallenden Strahls reflektiert, sofern Gleichung (2.44) erfüllt ist. Es liegt Autokollimation vor. Durch Variation der Grabenbreite bG |bT ≡0 – für bS = 0
handelt es sich nicht mehr um blazed gratings im eigentlichen Sinne – und somit der Gittertiefe h ist es weiterhin möglich, die in die -1te Beugungsordnung
reflektierte Leistung zu variieren.
Blazed gratings werden meist auf Gitterteilmaschinen hergestellt [33]. Die im
Rahmen dieser Arbeit erforderten Spezifikationen überschreiten aber die Genauigkeit dieser Maschinen, weshalb hier nur lithographisch hergestellte Gitter
verwendet werden können. Auf die Herstellung der Gitter wird näher in Kapitel 4 eingegangen.
Für den in dieser Arbeit aufgebauten Laser wird ein Gitter mit einem
L ITTROW-Winkel von αLitt. = 45° verwendet. Dies erfordert bei einem blazed grating für die Winkel γg = γk = 45°. Abbildung 2.18 zeigt die Beugungseffizienz R−1 unter L ITTROW-Bedingung für V-Grubengitter mit verschiedenen Neigungswinkeln der Gruben, aber γk = γg , in Abhängigkeit der
Grabenbreite bG |bT ≡0 . Die Beugungseffizienz ist gemäß Gleichung (2.49) definiert:
R−1 =
P−1
PE
.
(2.49)
Dabei ist P−1 die in die -1te Beugungsordnung reflektierte Leistung und PE
die auf das Gitter einfallende Leistung.
Durch die bei der Berechnung der Beugungseffizienzen betrachteten Nebenbedingungen γk = γg und bT ≡ 0 ist ein eindeutiger Zusammenhang zwischen
‡ Beugungsgitter mit bevorzugter Reflexionsrichtung bzw. Gitter mit einem Glanzwinkel heißen
in der englischen Literatur „blazed grating“. Wegen der prägnanten Bezeichnung wird in dieser
Arbeit der englische Begriff verwendet.
2.3
Gittertheorie
Beugungseffizienz R−1
1
0.8
33
γg/k = 54.76°
γg/k = 45°
γg/k = 35.24°
0.6
0.4
g,k
0.2
0
0
bG
1
2
3
4
5
Grabenbreite bG [µm]
6
7
Abbildung 2.18: Vergleich der Beugungseffizienzen R−1 verschiedener VGrubengitter; Λ = 7.5µm, λ = 10.6µm, α = αLitt = 45°;
Simulation mit „Integral Methode“ [42]
dem Neigungswinkel γg/k der Flanken, der Gittertiefe h und der Grabenbreite
bG gegeben:
h = tan γg/k
bG
2
.
(2.50)
Die Winkel γg/k , für die in Abbildung 2.18 die Beugungseffizienz R−1 berechnet wurde, wurden unter dem Aspekt der Herstellungsmöglichkeit ausgewählt,
auf die in Kapitel 4 näher eingegangen wird. Man erkennt, dass für das ideale
blazed grating die gesamte Leistung – bis auf die Absorption wegen endlicher
Leitfähigkeit des metallisierten Gitters – in die -1te Beugungsordnung reflektiert wird. Für schmalere Grabenbreiten sinkt die in die -1te Beugungsordnung
reflektierte Leistung dann stetig bis auf Null ab. Für Gitter mit einem flacheren
Neigungswinkel γg/k sieht der Verlauf der Kurve ähnlich aus. Das Maximum
der Kurve bleibt aber bereits bei einer 10° flacheren Grubenneigung deutlich
unterhalb des blazed grating zurück. Die Gittertiefe h ist wegen der geringeren Neigungswinkel γg/k für alle Grabenbreiten bG niedriger als im Vergleich
mit dem blazed grating. Dadurch kann es nicht mehr zur vollständigen, d. h.
100-prozentigen, konstruktiven Interferenz der Strahlen kommen, die innerhalb einer Gitterperiode Λ gebeugt werden. Für stärkere Neigungswinkel γg/k
als beim blazed grating steigt die Kurve steiler an und erreicht ihr Maximum,
das auch nur durch die Absorption begrenzt ist, bereits bei schmaleren Graben-
34
2 Grundlagen
Beugungseffizienz R
−1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
bG
h
0
2
1.5
1
Gittertiefe h [µm]
0.5
2
0
0
6
4
Grabenbreite b [µm]
G
Abbildung 2.19: Vergleich der Beugungseffizienz R−1 eines binären Gitters
(γg/k = 90°) mit der eines V-Grubengitters (γg/k = 54.76°)
in Abhängigkeit von der Grabenbreite bG und Gittertiefe h;
Simulation: λ = 10.6 µm, Λ = 7.5 µm, α = αLitt = 45°
breiten und fällt dann wieder hin zu geringeren Beugungseffizienzen ab. Die
Bedingung für konstruktive Interferenz wird hier schon vor dem blazed grating
erreicht, da die Gittertiefe h gemäß Gleichung (2.50) schneller mit steigender Grabenbreite bG anwächst. Für Grabenbreiten bG jenseits des Maximums
geht die Beugungseffizienz R−1 zurück, da die innerhalb einer Gitterperiode
Λ reflektierten Strahlen nicht mehr vollständig konstruktiv interferieren. Ähnlich der F RESNEL-Zonenplatte wird jenseits der Grabenbreite bG mit maximaler Beugungseffizienz R−1 eine zweite F RESNEL-Zone beleuchtet, die mit der
ersten F RESNEL-Zone destruktiv interferiert. Die Beugungseffizienz R−1 geht
zurück.
Es sei ausdrücklich erwähnt, dass die hier angebrachten Argumente zur Erklärung von Abbildung 2.18 reine Plausibilitätsargumente sind, die nur den grundlegenden Verlauf prinzipiell erklären. Subwellenlängenstrukturen können nur
mit rigorosen Beugungstheorien berechnet werden [42] [44] [76].
Die letzte gebräuchliche Oberflächenstruktur aus Abbildung 2.17 ist das binäre
Gitter. Beim binären Gitter gilt gemäß Abbildung 2.14 γg = γk = 90° und
bG + bS = Λ. Dies bedeutet, dass bei binären Gittern sowohl die Grabenbreite bG als auch die Höhe der Struktur h Freiheitsgrade der Oberflächenstruktur
sind. Abbildung 2.19 zeigt die Beugungseffizienz R−1 beim binären Gitter in
2.3
Gittertheorie
35
Abhängigkeit der Grabenbreite bG und der Gittertiefe h. Beim binären Gitter ist kein zwingender Zusammenhang zwischen den beiden Größen gegeben,
im Gegensatz zu V-Grubengittern. Die Abhängigkeit der Beugungseffizienz
von der Grabenbreite zeigt stets ein Maximum etwa bei einem Tastverhältnis von Grabenbreite zu Stegbreite von bG : bS = 1 : 1. Bezüglich
des Maximums erkennt man einen weitgehenden symmetrischen Verlauf, der
auch durch das BABINETsche Prinzip einsichtig ist [42]. Für die Abhängigkeit
der Beugungseffizienz von der Gittertiefe ergibt sich ein monoton steigender
Verlauf bis zu einem Maximum bei etwa h = 2.3 µm. Darüber hinaus ist
in Abbildung 2.19 die Beugungseffizienz eines V-Grubengitters zu erkennen.
Vergleicht man diesen zweidimensionalen Verlauf der Beugungseffizienz des
binären Gitters R−1 |binär = R−1 |binär (bG , h) mit dem eindimensionalen Verlauf des γg/k = 54.74° V-Grubengitters R−1 |54 = R−1 |54 (bG ), so zeigt
sich, dass die Beugungseffizienz R−1 |54 ein gleich hohes Maximum erreicht.
Die Beugungseffizienz des V-Grubengitters R−1 |54 steigt aber schräg das Höhenprofil der Beugungseffizienz R−1 |binär (bG , h) hinauf. Dies hat Vorteile für
den Herstellungsprozess optischer Reflexionsgitter, auf den in Kapitel 4 näher
eingegangen wird. Bei normalen Herstellungsverfahren wird bei binären Gittern bei konstanter Gittertiefe h nur die Grabenbreite bG variiert. Dies bringt
aber deutlich geringere Herstellungstoleranzen mit sich, da man sich auf einer
steileren Flanke der Beugungseffizienz bewegt als bei V-Grubengittern [35].
2.3.3
Verallgemeinertes Fermatsches Prinzip
Bislang wurden Gitter stets isoliert betrachtet. Im Folgenden wird die Wirkungsweise eines optischen Reflexionsgitters auf einfallende Phasenfronten
betrachtet, bzw. deren Deformation, und die Funktionsweise optischer Reflexionsgitter im Laserresonator.
Dazu wird zuerst allgemein ein zu den Phasenfronten paralleles diffraktiv optisches Element (im folgenden DOE§ ) mit fokussierenden Eigenschaften betrachtet. Die dazu abgeleiteten Gleichungen werden daraufhin auf schräg im
Strahlengang befindliche DOEs erweitert. Diese Ergebnisse werden dann auf
Reflexionsgitter im Speziellen angewandt.
Grundlage hierzu bildet das Fermatsche Prinzip bzw. das Variationsprinzip von
Hero von Alexandria [26]. Dieses besagt, dass ein Lichtstrahl stets den Weg
nimmt, den er in der kürzesten Zeit durchlaufen kann, bzw. den, unter Einbeziehung optischer Brechungsindizes, kürzesten optischen Weg selbst. Gleichzeitig gilt auch, dass die optische Weglänge Lopt. zwischen zwei Phasenfronten
§ engl.
diffractive optical element
36
2 Grundlagen
FRef1
FRef2
DOE
B
A
x
P
z
L
fB
Abbildung 2.20: Reflektierendes DOE mit fokussierender Wirkung
für alle Lichtstrahlen gleich ist [31].
Abbildung 2.20 zeigt ein nicht weiter spezifiziertes DOE als Reflexionselement, auf das eine ebene Welle trifft mit Phasenfronten, die zur optischen
Achse senkrecht stehen. Ein Strahl dieser Phasenfront kommt vom Punkt A,
wird an B reflektiert und auf den Punkt P fokussiert. Die optische Weglänge
Lopt. ergibt sich dann aus den Wegen AB und BP zzgl. eines Phasenterms
ϕ(x) für das DOE. Aus dem Phasenterm lässt sich ein äquivalenter Weglängenterm l(x) gemäß Gleichung (2.51) errechnen:
l(x)
ϕ(x)
=
λ
2π
.
(2.51)
Der Term l(x) für das DOE hat eine Vieldeutigkeit von λ, wie der Phasenterm
ϕ(x) eine Vieldeutigkeit von 2 π hat [39].
Aus Abbildung 2.20 ergibt sich dann für die optische Weglänge Lopt. :
Lopt. = AB + l(x)|mod λ + BP ,
= L + l(x)|mod λ + fB2 + x2
(2.52)
.
(2.53)
Nach dem Prinzip von Fermat muss diese optische Weglänge minimal sein. Zur
Minimierung dieser Weglänge muss für die Ableitung der optischen Weglänge
gelten [26]:
d
Lopt. ≡ 0
dx
.
(2.54)
2.3
Gittertheorie
37
Weglängenfunktion l(x) [m]
0
0.1
0.005
0.01
0.015
Apertur x[m]
0.05
0
−0.05
−0.1
2000
4000
6000
8000
10000
Phasenvariation ϕ(x) [rad]
Abbildung 2.21: Weglängenfunktion und Phasenfunktion eines fokussierenden DOEs;
fB = 0.250 m, λ = 10.6 µm
Wendet man Gleichung (2.54) auf Gleichung (2.53) an, so ergibt sich:
0=0+
1
2x
d
l(x) + 2
dx
2 fB + x2
.
(2.55)
Dies ist eine Differentialgleichung zur Bestimmung von l(x). Umstellung der
Gleichung und Integration ergibt die Weglängenfunktion l(x).
d
2x
l(x) = − 2
dx
2 f + x2
B
l(x) = − fB2 + x2 .
(2.56)
(2.57)
Diese Lösung lässt sich umformen zu:
l2 (x) = fB2 + x2
⇐⇒
x2
l2 (x)
− 2 =1
2
fB
fB
(2.58)
.
(2.59)
Gleichung (2.59) ist eine Hyperbelgleichung [27]. Abbildung 2.21 zeigt zur
besseren Veranschaulichung die kontinuierlich fortgesetzte Weglängenfunktion bzw. Phasenfunktion.
38
2 Grundlagen
FRef1
FRef2
DOE
B
A
x
P
z
L
fB
Abbildung 2.22: Schräg im Strahlengang stehendes reflektierendes DOE mit fokussierender Wirkung
Abbildung 2.22 zeigt den Fall des um einen Winkel α geneigten DOEs. Alle
anderen Bedingungen bleiben identisch zur bisherigen Betrachtung. Die Gleichung für die optische Weglänge Lopt. muss daher gegenüber Gleichung (2.53)
erweitert werden:
2
Lopt. = L + x · tan α + l(x)|mod λ + (fB + x · tan α) + x2 . (2.60)
Betrachtet man auch hier die Ortsableitung der optischen Weglänge gemäß
Gleichung (2.54), so gilt:
0 = tan α +
2 · (fB + x · tan α) · tan α + 2x
d
l(x) +
dx
2
2 · (fB + x · tan α) + x2
0 = tan α +
d
fB tan α + tan2 α + x
l(x) + dx
2
(fB + x · tan α) + x2
,
.
(2.61)
(2.62)
Aus Gleichung (2.62) erhält man wiederum eine Differentialgleichung, die elementar zu lösen ist:
d
2 · (fB + x · tan α) · tan α + 2x
l(x) = − tan α −
dx
2
2 · (fB + x · tan α) + x2
2
l(x) = −x · tan α + (fB + x · tan α) + x2 .
,
(2.63)
(2.64)
2.3
Gittertheorie
39
Weglängenfunktion l(x) [m]
0.1
−0.35
−0.3
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
Apertur x [m]
0.05
0
−0.05
−0.1
−2
−1.5
−1
−0.5
Phasenvariation ϕ(x) [rad]
0
x 10
5
Abbildung 2.23: Weglängenfunktion und Phasenfunktion eines schrägen DOEs;
fB = 0.250 m, λ = 10.6 µm, α = 45°
Gleichung (2.64) ist in Abbildung 2.23 wiederum für die kontinuierlich fortgesetzte Weglängenfunktion l(x) und Phasenfunktion ϕ(x) dargestellt. Man
erkennt in Abbildung 2.23 zwar einen leicht gekrümmten Verlauf, der Verlauf
der Kurve wird aber klar durch den linearen Term der Verkippung (−x · tan α)
aus Gleichung (2.64) dominiert.
2.3.4
Plane Reflexionsgitter mit fokussierenden Eigenschaften
Das in dieser Arbeit benutzte DOE ist ein Reflexionsgitter. Im Folgenden wird
daher anstatt des allgemeinen und idealen DOEs ein reales Reflexionsgitter betrachtet.
Wie bei allen reflektierenden optischen Elementen mit fokussierender Wirkung
bietet sich auch bei einem Beugungsgitter eine konkave Oberflächenform an
[45]. Da bei einem Gitter die Winkel der zurückgeworfenen Strahlen durch die
Gittergleichung (2.44) gegeben sind, bietet sich hier auch eine ortsabhängige
Variation der Gitterperiode Λ = Λ(x) an [46] [47].
Abbildung 2.24 zeigt ein Reflexionsgitter in einer identischen Konfiguration
wie in Abbildung 2.22. Ein Lichtstrahl einer ebenen Phasenfront fällt unter
einem Winkel α auf ein optischen Reflexionsgitter. Dort wird er gemäß der
40
2 Grundlagen
FRef
Gitter
A
B
x
P
z
fB
Abbildung 2.24: Reflexionsgitter mit fokussierender Wirkung als schräg im Strahlengang stehendes DOE
Gittergleichung (2.44) unter einem Winkel β gebeugt. Für den einfachen Fall
einer L ITTROW-Anordnung, d. h. α = αLitt. = −β erhält man in der Referenzebene FRef wiederum eine ebene Phasenfront.
Gemäß Abbildung 2.24 erhält man, um für einen beliebigen Wert von x zum
Punkt P reflektiert zu werden:
x
γ(x) = arctan
,
(2.65)
fB + x · tan α
β(x) = −(α + γ(x))
.
(2.66)
Setzt man dies in die Gittergleichung (2.44) ein, so ergibt sich eine Ortsabhängigkeit für die Gitterperiode Λ:
λ
,
sin β(x) − sin α
λ
Λ(x) = −
,
− sin (α + γ(x)) − sin α
λ
Λ(x) =
x
sin α + arctan
+ sin α
fB + x · tan α
Λ(x) = −
(2.67)
(2.68)
.
(2.69)
Für den Fall x = 0 gilt die normale L ITTROW-Bedingung aus Gleichung (2.47).
Unter dem Aspekt ebener Phasenfronten für alle Beugungsordnungen am Gitter ergibt sich ein Unterschied für die Weglängenfunktion ∆l(x) für die Fälle
2.3
Gittertheorie
0.1
41
Phasenvariation ϕFokus durch Fokussierung [rad]
0
2000
4000
6000
8000
10000
ϕREST (x)
ϕFokus (x)
Apertur x [m]
0.05
0
−0.05
−0.1
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Restphasenvariation ϕREST wegen Λ = Λ(x) [rad]
Abbildung 2.25: Phasenfunktion eines schräg stehenden Reflexionsgitters mit variabler Gitterperiode; fB = 0.250m, λ = 10.6 µm, Λ(x = 0) = 7.5µm
eines herkömmlichen L ITTROW-Gitters und eines Gitters mit fokussierenden
Eigenschaften von:
∆l(x)|mod λ = Lopt. |Λ=Λ0 − Lopt. |Λ=Λ(x)
= 2 · AB − AB + BP
= 2 (fB + x · tan α) − fB + x · tan α +
= fB + x · tan α −
x
sin γ(x)
.
x
sin γ(x)
(2.70)
Abbildung 2.25 zeigt die aus ∆l(x)|mod λ aus Gleichung (2.70) gemäß Gleichung (2.51) errechnete kontinuierliche Phasenfunktion. Diese gleicht nahezu
der Phasenfunktion der idealen Hyperbel aus Abbildung 2.21. Als Unterschied
zwischen der Phasenfunktion der idealen Hyperbel und des fokussiernden Gitters bleibt als Rest die ebenfalls in Abbildung 2.25 dargestellte Phasenvariation durch Variation der Gitterperiode [48]. Wie aus Abbildung 2.25 leicht erkennbar, bleibt bei einem 20 cm breiten Gitter nur eine Restphasenabweichung
42
2 Grundlagen
von ca. 1.25 rad bzw. 0.2·λ. Dies entspricht einer Verkippung von weniger
als 10−4 ° bzw 2”. Im Folgenden wird auf diese Restphasenabweichung aber
nicht weiter eingegangen, da es sich hier um eine erweiterte Theorie gegenüber
dem Modell aus Abbildung 2.20 handelt und auch die Reflexionsebene auf der
strukturierten Oberfläche eines Gitters nicht klar definiert ist [76]. Um brauchbare Beugungseffizienzen zu erhalten, ist sicherlich eine Gittertiefe h > λ/10
notwendig, wie in Abschnitt 2.3.2 beschrieben.
2.3.5
Toleranzanalyse planer fokussierender Gitter
Wie in Gleichung (2.69) beschrieben, ist die Gitterperiode Λ von vielen Parametern abhängig: Λ = Λ(x, fB , α, λ). Will man ein bestehendes Design
eines planen Gitters mit fokussierenden Eigenschaften bei einer anderen Wellenlänge verwenden, ändern sich verschiedene Eigenschaften des Gitters. Die
L ITTROW-Bedingung aus Gleichung (2.47) ist in Gleichung (2.69) nicht mehr
für die Mitte des Gitters erfüllt, sofern es sich um ein symmetrisches Design
handelt. Wegen der Gleichungen (2.65) und (2.66) ändert sich damit aber auch
das vom Gitter reflektierte Winkelspektrum.
Allgemein betrachtet handelt es sich im Fall einer anderen Wellenlänge um
ein vollkommen anderes optisches Element. Für den Fall eines fokussierenden
Gitters, welches einen sphärischen Spiegel ersetzen soll, ist es aber für typische, hier relevante Größenordnungen möglich, die Wellenlängenabweichung
nur als geringe Störung zu betrachten. Abbildung 2.26 a) zeigt den Fall des dem
fokussierenden Gitter äquivalenten sphärischen Spiegels, auf den eine ebene
Phasenfront einer Welle mit Wellenlänge λ trifft. Es bildet sich ein Fokus auf
der optischen Achse mit der Brennweite fB = /2. Die x-Koordinate des Fokus wird im Folgenden mit x0 bezeichnet und Aufpunkt des Spiegels genannt.
Bei Beleuchtung des Gitters mit einer anderen als der vorgesehenen Wellenlänge λ ergibt sich der Aufpunkt des Spiegels aus Gleichung (2.69) für die
x-Koordinate, für die die Gitterperiode Λ(x) die einfallenden Strahlen einer
Wellenlänge λ + dλ mit β−1 = −α zurückreflektiert. Aus dem verschobenen
Aufpunkt x0 ergibt sich gemäß Abbildung 2.24 und den Gleichungen (2.65)
und (2.66) eine neue Brennweite des Gitters von:
x − x0
− (x − x0 ) tan α
tan γ(x)
1
− tan α
= (x − x0 )
tan γ(x)
fB + df =
.
(2.71)
Abbildung 2.26 b) zeigt dieses Verhalten graphisch. Bei Beleuchtung des für
die Wellenlänge λ bestimmten Reflexionsgitters mit fokussierender Wirkung
2.3
Gittertheorie
43
x
a)
z
fB
x
b)
x0
z
d
fB - df
Abbildung 2.26: Brennweitenverschiebung df und Aufpunktverschiebung x0 bei Beleuchtung eines äquivalenten sphärischen Spiegels für die Wellenlänge λ mit „falscher“ Wellenlänge λ + dλ
mit einer zu großen Wellenlänge λ + dλ verkürzt sich die Brennweite, und
der Spiegelaufpunkt verschiebt sich zu negativen x-Werten. Abbildung 2.27
zeigt die resultierende Brennweite fB und den sich ergebenden Aufpunkt x0
für Wellenlängen im 10 µm-Bereich. Sowohl der Spiegelaufpunkt als auch die
Brennweite ändern sich fast linear bei einer abweichenden Wellenlänge. Dies
ist eine Folge der variierenden Periode des Gitters. Denn auch die ortsabhängige Gitterperiode Λ(x) aus Gleichung (2.69) weist eine fast lineare Ortsabhängigkeit auf, wie die Näherung für kleine Aperturen x bei α = 45° in Gleichung (2.72) zeigt:
λ
Λ(x)|Gl.2.69 ≈
sin (α + x/fB ) + sin α
xfB
λ
1
λ
≈ √ (1 − x/fB + · · · )
≈ √
1
+
x/f
2
2
B
◦
α=45
.
(2.72)
44
2 Grundlagen
350
20
x0
fB 15
10
0
5
Aufpunkt x [mm]
BrennweitefB [mm]
300
250
0
−5
200
−10
−15
150
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
−20
11
Wellenlänge λ [µm]
Abbildung 2.27: Resultierende Brennweite f B und Aufpunkt x0 des äquivalenten
sphärischen Spiegels bei Beleuchtung eines Gitters mit „falscher“
Wellenlänge; Gitter optimiert für fB = 250 mm, λ = 10.6 µm,
α = 45°
Der Linienabstand der unterschiedlichen CO2 -Laserlinien beträgt im P-Band
etwa 60 GHz, im R-Band etwa 30 GHz [15]. Dies entspricht einem Wellenlängenunterschied von etwa 20 nm bzw. 10 nm. Eine quantitative Auswertung
von Abbildung 2.27 ergibt hierfür in linearer Näherung eine Brennweitenvariation von ∆f30 GHz ≈ −2 mm und eine Variation des Spiegelaufpunktes von
∆x030 GHz ≈ −0.5 mm. Auf die Auswirkung dieser Änderung der äquivalenten
Spiegelparameter für den Einsatz im Laser wird im Kapitel 3 eingegangen.
Kapitel 3
Laserresonatoren
Der Resonator bildet ein grundlegendes Element eines Laser-Oszillators, wie
bereits in Kapitel 2.1 beschrieben wurde und in Abbildung 2.1 zu erkennen
war. Zwischen den Spiegeln eines gestreckten Resonators läuft die elektromagnetische Welle hin und her und bildet so stehende Wellen aus. Diese stehenden
Wellen besitzen feste räumliche Feldverteilungen.
Abbildung 3.1 zeigt einen allgemeinen gestreckten Resonator. Die Resonatorlänge L bezeichnet den Abstand der Resonatorspiegel auf der optischen Achse.
Die Spiegel sind meist gekrümmt, wobei die allgemeine Vorzeichenkonvention
besagt, dass konkave Krümmungen innerhalb des Resonators positive Krümmungsradien haben, wie in Abbildung 3.1 dargestellt.
Man unterscheidet zwei unterschiedlich Arten von Resonatoren [58] [59]. Bei
einem gestreckten Resonator mit zwei Spiegeln bedient man sich hierbei der
g-Parameter,
gi = 1 −
Lopt
i
mit i = 1, 2
,
(3.1)
die die optische Resonatorlänge Lopt mit den Spiegelkrümmungsradien 1,2
verbinden. Für den in dieser Arbeit aufgebauten Gaslaser, bei dem die Optiken
1
2
L
Abbildung 3.1: Allgemeiner Laserresonator, bestehend aus zwei Resonatorspiegeln
mit den konkaven Krümmungsradien i > 0, i = 1, 2 und i. Allg.
1 = 2 im Abstand L auf der Achse
46
3 Laserresonatoren
g2
instabil
neg. Ast
instabil
pos. Ast
2
1
konfokal
-2
konfokal
stabil
-1
1
2
g1
stabil
-1
-2
instabil
neg. Ast
instabil
pos. Ast
Abbildung 3.2: Stabilitätsbereich von Laserresonatoren
im Gasvolumen montiert sind, gilt Lopt = nB L, wobei nB die Brechzahl des
Mediums ist. Für den Fall, dass
0 (−)
< g1 · g2 < 1
(3.2)
ist, handelt es sich um einen stabilen Resonator mit einer analytischen Lösung
der Helmholtzgleichung (2.33) . Die Lösung g1 · g2 = 0 gilt nicht allgemein,
sondern nur unter der Einschränkung, dass gi = 0, j=i > 0. Ist die Ungleichung (3.2) nicht erfüllt, so handelt es sich um einen instabilen Resonatortyp.
Die Ungleichung (3.2) ist in Abbildung 3.2 graphisch veranschaulicht. Der Bereich von Resonatoren, bei dem stabile Lösungen der Helmholtzgleichung vorliegen, ist zum einen durch die Koordinatenachsen g1 und g2 begrenzt, zum
anderen durch die Hyperbel g2 = 1/g1 , mit der Einschränkung auf den 1. und
3. Quadranten des Koordinatensystems. Außerhalb dieses grau gekennzeichneten Bereichs liegt eine instabile Resonatorkonfiguration vor. Auf die als konfokal eingezeichneten Linien wird in Abschnitt 3.2 eingegangen.
Für die Resonatorlänge L und die mögliche anschwingende Wellenlänge λq
gilt wegen der sich entlang der Resonatorachse ausbreitenden stehenden Wellen die Beziehung:
L=q
λq
2 nB
mit q ∈ IN .
(3.3)
3.1
Stabile Resonatoren
47
Gleichung (3.3) ergibt mit dem Zusammenhang zwischen Wellenlänge, Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit fq = c0 /λq einen Eigenfrequenzabstand ∆fq von
∆fq =
c0
2 L nB
mit q ∈ IN .
(3.4)
q gibt dabei die axiale Modenzahl an, da es sich nur um eine Diskretisierung
entlang der Resonatorachse handelt.
3.1
Stabile Resonatoren
Lösungen der Wellengleichung sind z. B. ebene Wellen oder auch Kugelwellen, wie aus Gleichung (2.37) bekannt. Diese beschreiben aber nur idealisierte Lösungen und sind als Modelle für Laserstrahlen nur begrenzt brauchbar
[3]. Laserresonatoren haben quer bzw. transversal zum Resonator eine endliche Ausdehnung, was unweigerlich zu einer Aufweitung des Strahls durch
Beugung führt, wie in Kapitel 2.2.2 bereits erwähnt wurde.
Eine Analyse der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen führt von der Wellengleichung (2.33) unter der Einschränkung, dass sich die Amplitude der
elektrischen Feldstärke E0 (x, y, z) nur langsam in Bezug auf die Wellenlänge λ in alle drei Raumrichtungen (x, y, z) ändert, zur paraxialen Wellengleichung [40]. Die paraxiale Näherung ist die Näherung für achsnahe Strahlen. Eine mathematisch exakte Lösung zu dieser paraxialen Wellengleichung
sind die G AUSS -H ERMITE-Moden für Rechtecksymmetrie und die G AUSS L AGUERRE-Moden für Kreissymmetrie. Diese genäherten Lösungen decken
sich sehr gut mit experimentellen Werten und werden daher meist zur Laserstrahlanalyse verwendet. Eine genauere Analyse findet kaum Verwendung
[52]. Da hier kaum Wellenfrontkrümmungen auftreten – die transversalen
Feldkomponenten dominieren betragsmäßig über die longitudinalen – spricht
man von transversalen elektromagnetischen Wellen bzw. TEM–Moden.
48
3 Laserresonatoren
3.1.1
Gaußstrahltheorie
Im Folgenden werden einige Aspekte der G AUSS -H ERMITE-Moden besprochen, die für diese Arbeit relevant sind. Soweit nicht explizit erwähnt, gelten
die Gleichungen sowohl für einen sich im Freiraum ausbreitenden G AUSSstrahl
als auch für einen in einem Resonator gebundenen G AUSSstrahl.
Es wird ein sich in +z-Richtung ausbreitender G AUSSstrahl betrachtet. Auf
die Polarisation wird nicht weiter eingegangen, da sie durch das Lasersystem
vorgegeben ist, wie in Kapitel 2.1.3 beschrieben wurde. Jede Komponente des
r) lässt sich dabei in
komplexen Vektorzeigers der elektrischen Feldstärke E(
drei Terme zerlegen:
Strukturfunktion
E(x, y, z) = Amn · Ψmn (x, y, z) · ejkz
Ausbreitungsterm
Amplitude
mit
m, n ∈ IN0
(3.5)
.
Die Amplitude Amn selbst ist nicht ortsabhängig, sondern ist konstant für eine transversale Modenordnung (m, n). Die gesamte transversale Ortsabhängigkeit ist in der Strukturfunktion Ψmn (x, y, z) enthalten, die bei Rechtecksymmetrie in einen Ψm (x, z)- und einen Ψn (y, z)-Anteil separierbar ist. Wegen der Separation betrachtet die folgende Diskussion der G AUSS -H ERMITEModen nur die x-Abhängigkeit der sich ausbreitenden Strahlen. Alle folgenden
Gleichung gelten durch Vertauschung der Variablen auch für die y–Richtung.
Alle strahlbestimmenden Parameter sind im Allgemeinen unterschiedlich in
x- und y-Richtung. In Abhängigkeit von den Variablen (x, z) lautet die TeilFunktion Ψm [30]:
Normierung
2
x
4
Ψm (x, z) = 1 + ζx2 · Hm
·
w0x 1 + ζx2
H ERMITE-Polynom
G UOY-Phase-Shift
1
x2
.
· exp j m +
arctan ζx · exp − 2
2
w0x (1 − jζx )
G AUSS-Term
(3.6)
3.1
Stabile Resonatoren
49
1
Amplitude [a.u.]
Amplitude [a.u.]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
4
0
−0.5
−1
4
−4
2
0.5
2
−4 4
y [a.u.]
y [a.u.]
x [a.u.]
(a) TEM00 , H0 (x) = 1
(b) TEM10 , H1 (x) = 2x
1
Amplitude [a.u.]
1
Amplitude [a.u.]
0
−2
2
−4 4
x [a.u.]
−2
0
0
−2
−4
2
−2
0
0.5
0
−0.5
4
−4
2
−2
0
0
−2
0
−0.5
−1
4
−4
2
−2
0
0
−2
2
−4 4
x [a.u.]
0.5
2
−4 4
y [a.u.]
x [a.u.]
2
(c) TEM20 , H2 (x) = −2 + 4x
y [a.u.]
(d) TEM30 , H3 (x) = 4x(−3 + 2x2 )
Abbildung 3.3: G AUSSstrahl Strukturfunktion Ψmn (x, y, z0 ) am Ort der Strahltaille
z0 für einen nicht astigmatischen G AUSSstrahl für die transversalen Moden TEMm0 mit den entsprechenden H ERMITE-Polynomen
Hm , m = {0, 1, 2, 3}
0x
Dabei ist ζx = z−z
zRx die normierte Ausbreitungskoordinate für einen Strahl
mit einer Taille w0x am Ort z0x und einer R AYLEIGHlänge zRx .
Die Gesamtstrukturfunktion Ψmn = Ψm Ψn ergibt sich durch Multiplikation
mit der entsprechenden Funktion für die (y, z)-Abhängigkeit. Abbildung 3.3
zeigt auf das Maximum normierte Strukturfunktionen für die niedrigsten vier
Feldtypen der x-Abhängigkeit. Abbildung 3.3 a) zeigt den niedrigsten G AUSS H ERMITE-Mode, die G AUSS-Funktion selbst, denn das niedrigste H ERMITEPolynom ist H0 = 1. Die höheren G AUSS -H ERMITE-Moden aus Abbildung 3.3 haben entsprechend den H ERMITE-Polynomen Nullstellen der Strukturfunktion. Der imaginäre Anteil in dem G AUSS-Term in Gleichung (3.6)
beinhaltet die Phasenfrontkrümmung des sich ausbreitenden Strahls. Der Term
des G UOY-Phase-Shifts in Gleichung (3.6) sorgt für eine Phasenverschiebung
in der Taille der unterschiedlichen G AUSS -H ERMITE-Moden zueinander [40].
50
3 Laserresonatoren
Bei einem in einem Resonator gebundenen G AUSSstrahl hat dies zur Folge, dass bei höheren transversalen G AUSS -H ERMITE-Modenordnungen Gleichung (3.4) für die Eigenfrequenzabstände ∆fq zu einem ∆fmnq erweitert
werden muss:
m+n+1
c
√
arccos g1 g2 + q
.
(3.7)
fmnq =
2 L nB
π
Der G AUSSstrahlradius w0 (z) ist der Abstand zwischen dem Schwerpunkt
der transversalen Modenordnung (0, 0) und dem Ort, an dem der Betrag der
Komponente der elektrischen Feldstärke aus Gleichung (3.5) auf den e−1 ten Teil abgefallen ist. Aus dem G AUSSstrahlradius w0 (z) kann direkt der
G AUSSstrahlradius höherer transversaler Modenordnungen m bestimmt werden:
√
(z − z0x )2
wm (z) = 2m + 1 · w0 (z)
mit
w0 (z) = w00 1 +
.
2
zR
x
(3.8)
Dabei ist w00 der Taillenradius des Feldtyps TEMmn niedrigster Ordnung in
x-Richtung m = 0. Wie der G AUSSstrahlradius wm (z) für m = 0 direkt
messtechnisch bestimmt werden kann, wird später in diesem Abschnitt bei der
Diskussion transversal multimodiger G AUSSstrahlen erläutert.
Bei einem in einem Resonator gebundenen G AUSSstrahl kann der Strahlradius
w0i der niedrigsten Modenordnung m = 0 an dem Resonatorspiegel mit
Krümmungsradius i bestimmt werden:
gj
Lλ
i, j = {1, 2}
mit
.
(3.9)
w02i =
i = j
π
gi (1 − g1 g2 )
Der Verlauf des G AUSSstrahlradius wm (z) als Funktion der Ausbreitungskoordinate z wird auch als Strahlkaustik bezeichnet. Gemäß Gleichung (3.8)
ergibt sich die Strahlkaustik höherer transversaler Modenordnungen aus der
Strahlkaustik√der niedrigsten Modenordnung m = 0 durch Multiplikation mit
dem Skalar 2m + 1. Aus diesem Grund ist offensichtlich, dass die R AYLEIGH länge zRx aller Modenordnungen m identisch ist. Die R AYLEIGH länge
ist der Abstand von der Strahltaille zu dem Ort , an dem die Phasenfrontkrümmung am stärksten ist bzw. der Phasenfrontkrümmungsradius am kleinsten.
Gleichzeitig ist die R AYLEIGHlänge der Ort, an dem sich der Strahl auf das
√
2–fache aufgeweitet hat. Die R AYLEIGHlänge ist gegeben durch:
zRm =
2
!
π w00
= zR
λ
∀m
.
(3.10)
Stabile Resonatoren
Strahlradius wm (z) [mm]
3.1
51
0.1
0.05
θ
0
0
−0.05
TEM
00
TEM10
TEM20
−0.1
−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05
0
0.05
Ort z [mm]
0.1
0.15
0.2
Abbildung 3.4: Strahlkaustik unterschiedlicher transversaler Modenordnungen eines
G AUSSstrahls; λ = 10.6 µm, θ0 = 10°, w00 ≈ 19.3 µm,
zR ≈ 111 µm
Abbildung 3.4 zeigt die Strahlkaustik für drei TEM–Moden mit m = {0, 1, 2}.
Man erkennt den steigenden Taillenradius w0m mit steigender Modenzahl m.
Alle Moden divergieren und haben einen Fernfeldöffnungswinkel von:
θm =
√
2m + 1 · θ0
mit
θ0 =
λ
w00 π
.
(3.11)
Aus den Gleichungen (3.8) bis (3.11) ergibt sich als Zusammenhang zwischen
der Strahltaille wm , der R AYLEIGHlänge zR und dem Fernfeldöffnungswinkel
θm :
wm0
w00
=
= zR
θm
θ0
.
(3.12)
Ferner ergibt sich eine weitere wichtige Größe zur Kennzeichnung von
G AUSSstrahlen, das Strahlparameterprodukt SP P .
SP Px = wm θm = (2 m + 1) ·
λ
= const.
π
(3.13)
Das Strahlparameterprodukt ist eine Konstante, die für eine Modenordnung m
nur von der Wellenlänge λ abhängt.
Alle bisher beschriebenen Größen gelten nur für einzelne reine TEM–Moden,
nicht aber für Gemische mehrerer TEM–Moden gleichzeitig. Dafür müssen die
Gleichungen erweitert werden.
Der Strahlradius eines Multimode–Laserstrahls Wmult , also eines Gemisches
mehrerer G AUSS -H ERMITE-Moden, ist sicherlich größer als der des entspre-
52
3 Laserresonatoren
chenden TEM00 G AUSSstrahls. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann
man daher annehmen, dass
Wmult (z) = M · w0 (z)
M ∈ IR
M ≥1
mit
.
(3.14)
Setzt man diesen allgemeinen Bezug in die Gleichungen (3.8) bis (3.13) ein, so
ergeben sich für den Öffnungswinkel Θmult und die R AYLEIGHlänge zRmult
folgende Zusammenhänge [24]:
Θmult = M · θ0
zRmult =
W02
M2
,
π !
= zR
λ
(3.15)
.
(3.16)
Betrachtet man Gleichung (3.16) unter dem Aspekt, welche physikalischen
Größen messbar sind, so ergibt sich zur Bestimmung der Beugungsmaßzahl
M 2:
M2 =
W02 π
·
zR λ
.
(3.17)
Um den Einfluss von Messfehlern zu reduzieren, ist es vorteilhaft, nicht alleine
die Werte W0 und zR zu bestimmen, sondern die gesamte Strahlkaustik zu
erfassen [53].
Vergleicht man die Gleichungen (3.8) mit (3.14) und (3.11) mit (3.15), so ergibt
sich für die Beugungsmaßzahl M 2 einer reinen transversalen Modenordnung
m:
2
Mx,TEM
= 2m + 1 .
mn
(3.18)
Kennt man die exakte Zusammensetzung der G AUSS -H ERMITE-Moden des
Multimode-Strahlprofils, so ergibt sich die gesamte Beugungsmaßzahl M 2 als
2
gewichtete Summe der einzelnen Beugungsmaßzahlen MTEM
[56]:
mn
Mx2 =
|am,n |2 · (2 m + 1) .
(3.19)
m,n
Dabei sind |am,n |2 die normierten Leistungskoeffizienten (=
ˆ Gewichtungsfaktoren) der einzelnen Moden.
Zur Bestimmung der Strahlradien W (z) in einer Beobachtungsebene senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung des Laserstrahls bedient man sich der Momentenmethode [27]. Dabei ist der Schwerpunkt x der Intensitätsverteilung des Laser-
3.1
Stabile Resonatoren
53
strahls I(x, y), bei symmetrischen Strahlen die Strahlmitte, gegeben durch das
erste Moment der Verteilung:
x · I(x, y) dx dy
.
(3.20)
x = I(x, y) dx dy
Die Breite der Verteilung wird durch das zweite zentrale Moment bzw. die
Varianz σ 2 gegeben:
(x − x)2 · I(x, y) dx dy
σx2 =
.
(3.21)
I(x, y) dx dy
σ wird auch Standardabweichung der Verteilung genannt.
Die Strahlbreite ist gegeben durch
Wx = 2 σ x
.
(3.22)
Sollten andere Messverfahren zur Bestimmung des Strahlradius W verwendet werden, muss die daraus bestimmte Beugungsmaßzahl M 2 entsprechend
korrigiert werden [53].
3.1.2
Beispielhafte Feldverteilungen beim Flachkanal-Laser
In diesem Abschnitt werden mehrere Feldverteilungen vorgestellt, wie sie
beim Flachkanal-Laser vorzufinden sind. Da die Feldverteilungen gemäß Kapitel 2.1.3 durch den Wellenleiter vorgegeben sind, wird im Folgenden nur die
Feld- bzw. Leistungsverteilung in x-Richtung betrachtet.
Abbildung 3.5 zeigt eine Simulation des Strahlprofils für den in dieser Arbeit
aufgebauten Laser, dessen Aufbau in Kapitel 5 vorgestellt wird. Die Simulation wurde durch iterative numerische Berechnung des C OLLINS-Integrals
unter Einbeziehung des Sättigungsverhaltens des aktiven Mediums bestimmt
[37]. Man erkennt durch Vergleich der Strahlprofile für die drei unterschiedlichen Breiten wF der Entladungsstruktur, dass höhere Modenordnungen größere Strahldurchmesser haben, wie mit den Gleichungen (3.8) und (3.14) analytisch berechenbar. Schränkt man die Breite wF des Flachkanals ein, so haben höhere TEM–Modenordnungen einen größeren Anteil des Leistungstransports außerhalb des verstärkenden Bereichs, der durch die Kanalbreite begrenzt ist. Sie haben damit höhere Resonatorverluste. Es schwingen somit
54
3 Laserresonatoren
y
h
wF
x
wF=15 mm
wF=10 mm
wF=5 mm
-5
0
Ort x [mm]
5
Abbildung 3.5: Mit steigender Flachkanalbreite schwingen höhere TEM-Moden an;
Simulation: λ = 10.6 µm, L = 48 cm, out = ∞,
=
10 m, Kanalhöhe h = 2 mm, Kanalbreite
total
2
= 1.1|5 mm , 4.6|10 mm , 10.1|15 mm ,
wF = 5, 10, 15 mm, Msim
2
Mtheo = 1|5 mm , 7|10 mm , 13|15 mm
auch ohne harte Aperturen nur niedrigere Modenordnungen an. Vergleicht man
2
das durch Ausbreitung des Strahls errechnete Msim
mit dem gemäß Glei2
chung (3.18) bestimmten Mrein einer scheinbar vorhandenen reinen TEM–
Modenordnung, so erkennt man, dass es sich hier um ein Modengemisch handelt [56]. Abbildung 3.6 zeigt den resonatorinternen Verlauf des Strahlradius W (z) für denselben Laser mit einem plan-konkaven Resonator. Die Simulation wurde durch iteratives Berechnen des K IRCHHOFF-Integrals aus Gleichung (2.38) und der Momentenmethode aus den Gleichungen (3.20) und
(3.21) berechnet, indem der aus [37] bekannte Algorithmus entsprechend erweitert wurde. Der theoretische Verlauf wurde mit Hilfe von Gleichung (3.9)
und der Beugungsmaßzahl M 2 aus der Simulation bestimmt. Man erkennt
den Strahlradiusverlauf, wie er aus Gleichung (3.8) hervorgeht. Die Taille,
der einzige Ort mit ebenen Phasenfronten, liegt auf dem planen Resonatorspiegel. Von dort aus weitet sich der Strahl auf. Des Weiteren ist zu erkennen, dass der Strahlradius W (z) größer ist als der Radius des Flachkanals von
wF /2 = 7.5 mm, der auch in Abbildung 3.6 eingezeichnet ist. Ein Teil des
Feldes wird somit außerhalb des aktiven Bereichs geführt. Die Spiegelradien
müssen daher stets größer sein als die Breite des Flachkanals.
3.1
Stabile Resonatoren
55
Strahlradius W [mm]
9
8.5
Simulation
Theorie
Flachkanal
8
7.5
-0.24
-0.12
0
0.12
Resonatorposition z [m]
0.24
Abbildung 3.6: Strahlkaustik innerhalb des Laborlasersystem;
Simulation: λ = 10.6 µm, L = 48 cm, (links) total = 10 m,
(rechts) out = ∞, Kanalhöhe h = 2 mm, Kanalbreite wF = 15 mm,
2
= 9.68
Msim
3.1.3
Strahlformung bei stabilen Resonatoren
Wie in Abbildung 3.5 zu erkennen, schwingen bei breiten FlachkanalLasern mit stabiler Resonatorkonfiguration stets höhere transversale G AUSS H ERMITE-Moden an. Für Anwendungen des Lasers, z. B. in der Materialbearbeitung, ist es aber wichtig, eine hohe Leistungsdichte bei guter Strahlqualität zu haben [61]. Höhere transversale Moden mit ihren ausgeprägten Minima erfüllen diese Anforderung aber nicht. Zur optimierten Anwendung für
die Materialbearbeitung ist daher eine möglichst kleine Beugungsmaßzahl M 2
notwendig [5]. Im Folgenden werden daher die Möglichkeiten und Grenzen
einer Strahlformung bzw. Modenselektion bei stabilen Resonatoren dahingehend diskutiert, inwieweit es möglich ist, bei breiten aktiven Medien geringe
Beugungsmaßzahlen M 2 zu erzielen.
Abbildung 3.7 zeigt eine Simulation, die die Schranken der Strahlformung
bzw. resonatorinternen Modenselektion bei stabilen Resonatoren verdeutlicht.
Die Simulation wurde wiederum durch iterative numerische Berechnung des
C OLLINS-Integrals unter Einbeziehung des Sättigungsverhaltens des aktiven
Mediums bestimmt [37]. Abbildung 3.7 a) zeigt den Fall einer homogenen Reflektivität des Auskoppelspiegels. Es schwingt ein Modengemisch hoher transversaler Ordnung an. Die ausgekoppelte Intensität ist wegen der gleichmäßigen
Auskopplung direkt proportional mit der resonatorinternen Intensität. Abbil-
56
3 Laserresonatoren
0.5
0
−10
1
intern
extern
Refl.
−5
0
Ort x [mm]
5
0
10
1
Reflektivität R
1
Reflektivität R
Intensität I [a.u.]
Intensität I [a.u.]
1
0.5
0
−10
intern
extern
Refl.
−5
0
Ort x [mm]
(a) Intensitätsquerschnitt bei homogener (b) Intensitätsquerschnitt
Reflektivität R
Reflektivität R, M 2 = 9.7
−10
−5
0
0
10
5
bei
5
variabler
10
ausgekoppeltes Strahlprofil aus Abb. 3.7 a), Ort x [mm]
−10
−5
0
5
10
ausgekoppeltes Strahlprofil aus Abb. 3.7 b), Ort x [mm]
Abbildung 3.7: Strahlformung bei stabilen Resonatoren; Simulation: λ = 10.6µm,
L = 48 cm, out = ∞, total = 10 m, Kanalhöhe h = 2 mm,
Kanalbreite wF = 15 mm, Reflektivität Rout wie gekennzeichnet
dung 3.7 b) zeigt den Fall eines linearen Reflektivitätsgradienten in x-Richtung
auf dem Auskoppelspiegel. Bezogen auf die Resonatorachse ist das Reflexionsprofil in diesem Fall asymmetrisch. Man erkennt den Symmetriebruch bereits
bei dem resonatorinternen Leistungsprofil. Die resonatorinterne Leistung ist
im Bereich der hohen Reflektivität geringer als im Bereich hoher Auskopplung, da Leistungsdichte hier weit oberhalb der Sättigungsleistungsdichte des
aktiven Mediums liegt. Dies wird auch durch eine Rigrod-Analyse verständlich
[62][63]. Bei niedriger Auskopplung ist im Gegensatz dazu noch eine höhere
Verstärkung vorhanden, weshalb sich eine höhere Leistung errechnet. Die ausgekoppelte Intensität richtet sich räumlich deutlich nach der Reflektivität des
Auskoppelspiegels, weshalb hier die Verzerrung des ausgekoppelten Strahls
ausgeprägter wird. Außer der geringen Verzerrung ist aber zwischen den resonatorinternen Leistungsverteilungen der Abbildungen 3.7 a) und b) kein Unter-
3.2
Instabile Resonatoren
57
schied zu erkennen. Es handelt sich de facto noch immer um dasselbe Modengemisch mit all seinen Problemen in der weiteren Anwendung. Zur Verdeutlichung sind in Abbildung 3.7 unten noch die sich ergebenden Strahlprofile für
beide Fälle dargestellt.
3.2
Instabile Resonatoren
Gibt es aufgrund der Resonatorkonfiguration keine selbstreproduzierende Lösung der Wellengleichung, so handelt es sich um eine instabile Resonatorkonfiguration. Für die g–Parameter aus Gleichung (3.1) gilt invers zu Ungleichung (3.2):
g1 · g2 (−)
<0
,
(3.23)
g1 · g2 ≥ 1
.
(3.24)
Wegen des Vorzeichens des g–Parameterprodukts werden daher auch die Konfigurationen nach Gleichung (3.23) instabile Resonatorkonfigurationen des negativen Asts¶ genannt und die nach Gleichung (3.24) instabile Resonatorkonfigurationen des positiven Asts [24]. Auch wenn es keine stabile Lösung der
Wellengleichung gibt, bedeutet dies nicht, dass instabile Resonatoren instabil
in Justierung oder Handhabung sind.
Abbildung 3.8 zeigt die geläufigsten instabilen Resonatorkonfigurationen. Fall
a) und b) zeigen konfokale Resonatorkonfigurationen. Bei konfokalen Resonatoren fallen die Fokusse der beiden Resonatorspiegel zusammen. Diese Konfigurationen haben den Vorteil, dass die ausgekoppelte Feldverteilung zumindest
strahlenoptisch kollimiert ist und eine ebene Phasenfront besitzt [55]. Abbildung 3.8 c) zeigt den Falle eines plan-konvexen Resonators, wie er für gitterabstimmbare Konfigurationen eingesetzt wird, da Gitter in Laserresonatoren
zumeist plan sind [24]. Bereits bei der strahlenoptischen Betrachtung ist eine deutliche Aufweitung des ausgekoppelten Laserstrahls zu erkennen. Wegen
ihrer geringeren Strahldivergenz werden im Folgenden die konfokalen Resonatorkonfigurationen diskutiert.
In Abbildung 3.2 zur Bestimmung des Stabilitätsbereichs von Laserresonatoren sind bereits die g-Parameter für die beiden konfokalen instabilen Resonatorkonfigurationen dargestellt. Mit Hilfe von Gleichung (2.21) muss für die
Krümmungsradien der Resonatorspiegel i und die Resonatorlänge L gelten:
1 + 2 = 2 L
¶ engl.
engl.
negative branch
positive branch
.
(3.25)
58
3 Laserresonatoren
a)
b)
c)
Abbildung 3.8: Instabile Resonatorkonfigurationen; a) negativer Ast konfokal, b) positiver Ast konfokal, c) positiver Ast plan-konvex
Wie in Abbildung 3.8 bereits ersichtlich, vergrößert bzw. verkleinert sich der
Strahldurchmesser bei einem Resonatorumlauf um den Faktor M± auf ∗∗ :
M± = −
i
j
mit
i = j
i, j = {1, 2}
.
(3.26)
Dabei ist der Vergrößerungsfaktor M± > 0 für instabile Resonatorkonfigurationen des positiven Asts und < 0 für solche des negativen Asts.
Der Vergrößerungsfaktor M± kann zur Auskopplung aus dem Resonator ausgenutzt werden, indem die Spiegeldurchmesser auf die Breite des aktiven Mediums abgestimmt werden. Die Auskopplung findet dann durch Überstrahlung
eines Resonatorspiegels statt, wie in Abbildung 3.8 dargestellt ist.
Wegen der Möglichkeit der Auskopplung durch Überstrahlung ist es bei instabilen Resonatoren üblich, totalreflektierende und für Hochleistungslaser flüssigkeitsgekühlte Resonatorspiegel zu verwenden. Dennoch ist es möglich, mit
geringer resonatorexterner Filterung einen nahezu beugungsbegrenzten Laserstrahl und damit einen fast reinen TEM00 G AUSSstrahl auszukoppeln.
∗∗ M
2
± hat nichts mit der vorher definierten Beugungsmaßzahl M zu tun. Leider hat sich aber in
der Literatur derselbe Buchstabe eingebürgert. Der Vergrößerungsfaktor M± wird daher stets mit
einem Vorzeichen als Index verwendet.
3.2
Instabile Resonatoren
3.2.1
59
Strahlformung bei instabilen Resonatoren
Instabile Resonatorkonfigurationen haben den Vorteil, dass nur longitudinale
Modenordnungen auftreten. Es sind keine transversalen Modenordnungen mit
ihren ausgeprägten Minima vorhanden, wie sie von den G AUSS -H ERMITEModen bekannt sind [57]. Sie nutzen das aktive Medium daher bei beliebiger
Breite deutlich gleichmäßiger aus, als dies mit stabilen Resonatorkonfigurationen möglich ist [24].
Im Folgenden wird auf die Strahlformung bei instabilen Resonatoren eingegangen. Zur besseren Vergleichbarkeit wurden die gleichen Reflektivitäten der
Auskoppelspiegel betrachtet, wie schon in Abschnitt 3.1.3. Dies wurde für alle
drei aus Abbildung 3.8 bekannten Resonatortypen durchgeführt. Die numerischen Simulationen wurden wiederum durch iterative numerische Berechnung
des C OLLINS-Integrals unter Einbeziehung des Sättigungsverhaltens des aktiven Mediums bestimmt [37].
0.5
0
1
−10
0
Ort x [mm]
10
0
1
intern
extern
Refl.
Reflektivität R
1
intern
extern
Refl.
Reflektivität R
Intensität I [a.u.]
Intensität I [a.u.]
1
0.5
0
−10
0
Ort x [mm]
10
0
(a) Intensitätsquerschnitt, neg. Ast;
(b) Intensitätsquerschnitt, neg. Ast;
variable Reflektivität R
homogene Reflektivität R, M 2 = 6.7
Abbildung 3.9: Strahlformung bei instabilen Resonatoren; Simulation: λ = 10.6µm,
L = 48 cm, Kanalhöhe h = 2 mm, Kanalbreite wF = 15 mm,
total = 495 mm, out = 465 mm, Reflektivität Rout wie gekennzeichnet
Abbildung 3.9 zeigt den Fall einer konfokalen instabilen Resonatorkonfiguration des negativen Asts. In Abbildung 3.9 a) ist der Fall homogener Reflektivität R dargestellt, wie er schon aus Abbildung 3.7 a) bekannt ist. Das aktive
Medium wird gleichmäßig ausgenutzt, und die ausgekoppelte Leistung ist über
einen weiten Bereich transversal zum Strahl konstant. Wie auch bei stabilen
Resonatoren ist die Leistung primär auf den Bereich des aktiven Mediums kon-
60
3 Laserresonatoren
zentriert. Abbildung 3.9 b) zeigt den Fall des linearen Reflektivitätsverlaufs,
wie er schon in Abschnitt 3.1.3 verwendet wurde. Im Gegensatz zum stabilen Resonator ist hier eine deutliche Formung des ausgekoppelten Leistungsprofils zu erkennen. Durch den gleichmäßigeren Verlauf der resonatorinternen
Leistung spiegelt das ausgekoppelte Leistungsprofil sehr gut den Verlauf der
Spiegeltransmission Tout = 1 − Rout wider.
0.5
0
1
−10
0
Ort x [mm]
10
0
1
intern
extern
Refl.
Reflektivität R
1
intern
extern
Refl.
Reflektivität R
Intensität I [a.u.]
Intensität I [a.u.]
1
0.5
0
−10
0
Ort x [mm]
10
0
(a) Intensitätsquerschnitt, pos. Ast;
(b) Intensitätsquerschnitt, pos. Ast;
variable Reflektivität R
homogene Reflektivität R, M 2 = 6.2
Abbildung 3.10: Strahlformung
bei
instabilen
Resonatoren;
Simulation:
λ = 10.6µm, L = 48 cm, Kanalhöhe h = 2 mm, Kanalbreite wF = 15 mm, total = 10.96 m, out = −10 m,
Reflektivität Rout wie gekennzeichnet
Abbildung 3.10 zeigt den Fall eines konfokalen instabilen Resonators des positiven Asts. Wie schon in den vorherigen Fällen konzentriert sich im Fall a) die
Leistung auf den Bereich des aktiven Mediums, ist aber im Bereich des aktiven Mediums weniger gleichmäßig als im Falle des negativen Asts. Wegen des
zerstreuenden Verhaltens des konvexen Auskoppelspiegels erkennt man in der
Mitte des aktiven Mediums eine geringere Leistung. Die Feldverteilung divergiert auf dem Weg vom konvexen Auskoppler zum konkaven kollimierenden
zweiten Resonatorspiegel. Die Unterschiede zwischen den beiden konfokalen
instabilen Resonatoren werden erst bei variabler Reflektivität deutlich. Wegen
des divergierenden Verhaltens des Auskoppelelements wird im Falle variabler Reflektivität der Schwerpunkt der resonatorinternen Feldverteilung an den
Rand des aktiven Mediums gedrängt, hin zu hoher Rückkopplung in den Resonator, wie in Abbildung 3.10 b) zu erkennen. Durch die geringere Auskopplung
sind die Resonatorverluste in diesem Bereich geringer. Aus diesem Grund ist
Instabile Resonatoren
1
61
1
intern
extern
Refl.
0.5
0.5
0
−40
−20
0
Ort x [mm]
20
Reflektivität R
Intensität I [a.u.]
3.2
0
40
1
1
intern
extern
Refl.
0.5
0.5
0
−40
−20
0
Ort x [mm]
20
Reflektivität R
Intensität I [a.u.]
(a) Intensitätsquerschnitt bei homogener Reflektivität R, M 2 = 7.6
0
40
(b) Intensitätsquerschnitt bei variabler Reflektivität R
Abbildung 3.11: Strahlformung bei stabilen Resonatoren; Simulation: λ = 10.6µm,
L = 48 cm, out = ∞, total = 10 m, Kanalhöhe h = 2 mm, Kanalbreite wF = 15 mm, total = −20 m, out = ∞ m, Reflektivität
Rout wie gekennzeichnet
das ausgekoppelte Leistungsprofil nur gering verzerrt. Abbildung 3.11 zeigt
Leistungsverteilungen für den Fall eines plan-konvexen Resonators, wie er in
Abbildung 3.8 c) dargestellt ist. In diesem Falle liegt keine Kollimation vor.
Das Profil ist deutlich breiter als in den vorangegangenen Fällen, wie auch die
Resonatorverluste, da keinerlei Rückfokussierung der Feldverteilung hin zur
Resonatorachse stattfindet. Im Fall b) der variablen Reflektivität sind dieselben
Effekte erkennbar wie schon beim konfokalen instabilen Resonator des positiven Asts. Die resonatorinterne Leistungsdichte wird an den Rand der aktiven
Zone gedrängt, wodurch der Effekt der variablen Reflektivität bei dem ausgekoppelten Strahlprofil in großem Maße amortisiert wird.
Betrachtet man alle diskutieren Fälle im Vergleich, so ergeben sich deutliche
Vorteile der instabilen Resonatorkonfigurationen gegenüber den stabilen. Dabei sind vor allem die konfokalen instabilen Resonatoren interessant. Die beiden konfokalen instabilen Resonatorkonfigurationen weisen sehr ähnliche Verhaltensweisen auf, wobei die instabilen Resonatoren des negativen Asts besser
zur Strahlformung dienen. Wegen der geringeren Spiegelkrümmungsradien erweisen sie sich auch noch als deutlich toleranter in der Justierung [60].
62
3 Laserresonatoren
Aus all den diskutieren Gründen muss es daher Ziel sein, auch gitterabstimmbare instabile Resonatorkonfigurationen aufzubauen, die nach dem Prinzip der
konfokalen instabilen Resonatoren des negativen Asts arbeiten.
Kapitel 4
Gitterherstellung
In diesem Kapitel wird die Herstellung optischer Reflexionsgitter auf planen
Oberflächen betrachtet. Es wird ein kurzer Überblick über die verschiedenen
Herstellungsverfahren gegeben und dann im Speziellen auf das in dieser Arbeit
verwendete Verfahren eingegangen. Die Herstellungsmethoden beziehen sich
stets auf Reflexionsgitter selbst bzw. Master-Gitter, die als Vorlagen für Gitter
durch Abformtechniken dienen können. Die Vervielfältigung von Gittern durch
Abformung wird im Folgenden nicht näher untersucht [33].
4.1
Herstellungsverfahren von Reflexionsgittern
Ausgehend von einem planen Substrat als Gitterrohling, gibt es zwei unterschiedliche Wege zur Herstellung von Reflexionsgittern. Die Strukturierung
der Oberfläche kann durch Abtragen von Teilen der Oberfläche geschehen oder
durch Aufwachsen der komplementären Struktur, wie in Abbildung 4.1 zu erkennen ist.
Lässt man Reflexionsgitter außer Acht, die auf Gitterteilmaschinen oder Mikrofräsmaschinen hergestellt werden [77], so benötigen alle Herstellungsverfahren zuerst einen lithographischen Prozessschritt, der die gewünschte Struktur auf das verwendete Substrat überträgt [64].
aufwachsen
abtragen
a)
b)
Substrat
Abbildung 4.1: Grundprinzipien zur Herstellung von Reflexionsgittern
64
4.1.1
4
Gitterherstellung
Photolithographie
Die Photolithographische Maskenübertragung ist in Abbildung 4.2 dargestellt.
Das plane Substrat aus Abbildung 4.2 a) wird gleichmäßig mit Photolack benetzt ( Abbildung 4.2 b) ). In den meisten Fällen wird der Photolack mit Hilfe von Lackschleudern aufgebracht, d. h. schnell rotierenden Drehtellern, wodurch man Lackdicken im Bereich von 1 − 2 µm erhält. Andere Verfahren wie
das Aufsprühen des Lacks oder das komplette Eintauchen des Substrats in Photolack finden nur wenig Anwendung [64]. Abbildung 4.2 c) zeigt den Schritt
der eigentlichen Maskenübertragung. Als Maske wird meist ein mit Chrom
strukturiertes Quarzglassubstrat verwendet. Handelt es sich um eine Serienproduktion, so wird im Abstand weniger µm planparallel zum Substrat justiert
(Proximity-Belichtung) oder die Maske selbst über ein optisches System auf
das Substrat abgebildet, um Beschädigungen der Maske zu vermeiden (Projektionsbelichtung) [65]. Dadurch wird aber auch die Auflösung des Prozesses
verringert. Um hohe Auflösungen zu erzielen, muss die Maske direkt auf das
belackte Substrat aufgelegt werden (Soft-Kontakt) oder sogar mittels Unterdruck angesaugt werden (Hard-Kontakt). Die Maske wird dann durch eine Belichtung mit ultraviolettem Licht übertragen. Bei Verwendung eines positiven
Photolacks härten die nicht belichteten Bereiche bei dem Entwicklungsprozess aus und die belichteten Flächen können dann ausgewaschen werden. Bei
Negativ-Photolacken härten entsprechend die belichteten Bereiche aus [67].
a)
Substrat
b)
Substrat
PhotolackBeschichtung
UV-Belichtung
Maske
c)
Substrat
d)
Substrat
Photolackmaske
Abbildung 4.2: Photolithographische Strukturierung eines Substrats
4.1
Herstellungsverfahren von Reflexionsgittern
65
Die auf diese Weise hergestellte Photolackmaske, wie sie in Abbildung 4.2 d)
dargestellt ist, dient als Schutz ausgewählter Bereiche des Substrats für die
weitere Bearbeitung. Je nach Herstellungsverfahren kann in den nicht mit Photolack bedeckten Bereichen Material aufgewachsen oder abgetragen werden.
4.1.2
Aufwachsende Verfahren
Wie bereits in Abbildung 4.1 a) zu erkennen, kann eine Gitterstruktur durch
Aufwachsen bzw. Abscheiden von Material erzeugt werden. In den Bereichen,
die nicht mit Photolack bedeckt sind, kann Material aufwachsen. Ein gebräuchliches Verfahren, Reflexionsgitter für CO2 –Laser auf diese Weise herzustellen,
ist die mikrogalvanische Herstellung auf einem Kupfersubstrat [71]. Durch dieses Verfahren schränkt man sich aber pro Technologiedurchlauf auf rein binäre
Gitteroberflächen ein. Es ist auf diese Weise nur möglich, senkrecht bzw. leicht
trapezförmige Kanten der Photolackmaske herzustellen. Eine genau definierte
Trapezform reproduzierbar herzustellen ist ein sehr aufwändiger Prozess. Andere Strukturen können nur durch Kaskadierung des gesamten Prozesses hergestellt werden. Diese Strukturen haben aber stets Stufengestalt [72]. Binäre
Reflexionsgitter erfordern dagegen eine größere Genauigkeit in der Übertragung der Strukturen auf das Substrat. Wie in Kapitel 2.3.2 beschrieben, ändert
sich die Beugungseffizienz R−1 bereits bei geringen Abweichungen deutlich.
Des Weiteren darf die Höhe der Photolackbeschichtung nicht niedriger als die
geplante Gittertiefe sein, da es sonst zu einem ungerichteten Aufwachsen kommen kann.
Für eine genaue Analyse mikrogalvanisch gefertigter Reflexionsgitter und ihre
Anwendung im CO2 –Laser sei auf die Literatur verwiesen [35].
Es existieren auch aufwachsende Herstellungsverfahren, die den Photolack direkt verwenden [69] [73]. Für Reflexionsgitter muss diese Lackschicht metallisiert werden. Wegen der hohen erforderlichen Lackdicken und geringen Wärmeleitfähigkeit von Photolacken spielen diese Verfahren für Reflexionsgitter
aber nur eine untergeordnete Rolle.
4.1.3
Abtragende Verfahren
Mehr Freiheitsgrade in der Strukturierung der Oberfläche hat man mit abtragenden Verfahren.
In dem in dieser Arbeit betrachteten Frequenzbereich und den dadurch bedingten Geometrien können abtragende Verfahren nur mittels Ätztechniken durchgeführt werden. Bei den Ätztechniken werden zwei grundsätzliche Verfahren
unterschieden, das klassische nasschemische Ätzen und das Trockenätzen.
66
4
Gitterherstellung
Photolack
Unterätzung
ng
tu
h
ic
zr
t
Ä
ng
tu
h
c
i
zr
Ät
Substrat
a)
Substrat
b)
Abbildung 4.3: Unterschiedliche nasschemische Ätzverfahren; (a) isotropes Ätzen,
(b) anisotropes Ätzen
Beim Trockenätzen wird das Substrat in einer Gasatmosphäre geätzt, indem
entweder physikalisch durch Ionenbeschuss Teilchen aus der Oberfläche herausgeschlagen werden oder das Gas selbst eine chemische Reaktion mit dem
Substrat eingeht. Auch eine Kombination beider Prozesse ist möglich [64].
Beim nasschemischen Ätzen wird das Substrat in einer Flüssigkeit geätzt.
Durch eine chemische Reaktion wird das Substrat an den unmaskierten Stellen
in Lösung gebracht. Abbildung 4.3 zeigt die zwei unterschiedlichen nasschemischen Ätzverfahren. Im Fall a) des isotropen Ätzens wird, ausgehend von
der Öffnung in der Photolackmaske, das Substrat gleichmäßig in alle Richtungen geätzt. Dabei kommt es auch zu einer Vergrößerung der geätzten Stelle
gegenüber der von der Maskierung vorgegebenen Stelle. Der Photolack wird
unterätzt. Für Reflexionsgitter hätte dies eine Verbreiterung der Grabenbreite
bG zur Folge und damit eine Änderung der Beugungseffizienz in die gewünschten Beugungsordnungen, wie in Abbildung 2.18 zu erkennen. Abbildung 4.3 b)
zeigt den Fall des anisotropen Ätzens. Durch eine Anisotropie in dem Substrat
wird eine Richtung des Ätzprozesses vorgegeben. Es ist eine unterschiedliche Ätzrate in unterschiedliche Raumrichtungen vorhanden. Die Anisotropie
kann durch eine Kristallstruktur bereits im Substrat enthalten sein oder auch
durch Eindiffundieren von Fremdstoffen in das Substrat eingebracht werden
[66]. Durch Ausnutzung dieses Effekts ist es möglich, Strukturen definierter in
das Substrat zu übertragen. Die Anisotropie entspricht einer Ätzstop-Schicht,
die eine Ätzung in eine unerwünschte Richtung weitgehend verhindert. Des
Weiteren können auch Profile in das Substrat geätzt werden, die mit herkömmlichem isotropem Ätzen nicht herstellbar sind.
4.2
4.2
Anisotropes Ätzen von Silizium
67
Anisotropes Ätzen von Silizium
Silizium kristallisiert in Diamantstruktur. Die Einheitszelle entspricht daher
zwei kubisch-flächenzentrierten Einheitszellen, die um eine viertel Kantenlänge zueinander verschoben sind [49]. Zur Spezifikation der unterschiedlichen
Kristallebenen und -richtungen werden die M ILLER-Indizes verwendet [64]
[67]. Ist das Zahlen-Triplett hkl der M ILLER-Indizes mit runden Klammern
(hkl) umgeben, wird dadurch eine Ebene definiert. Eckige Klammern [hkl] bezeichnen die Richtung der entsprechenden Oberflächennormalen. Ebenen, die
sich nur durch eine Permutation und eventuell einen Vorzeichenwechsel der Indizes unterscheiden(z. B.: h, k, l oder h, l, k oder h, −l, k etc.), sind äquivalent.
Handelt es sich nicht um die spezifizierte Ebene (hkl) selbst, sondern um eine
dazu äquivalente Ebene, so werden geschweifte Klammern {hkl} bei gleicher
Reihenfolge der Indizes verwendet. Entsprechend definieren spitze Klammern
hkl Richtungen äquivalenter Oberflächennormalen.
Die relevanten Parameter des Siliziums, die zur Gitterherstellung notwendig
sind, sind in Tabelle 4.1 zusammengefasst. In Anhang B ist eine ausführlichere Übersicht spezifischer Parameter zu finden. Vergleicht man die Ätzraten für
die verschiedenen Kristallrichtungen, so erkennt man eine deutliche Anisotropie zwischen der 111–Richtung und den 110 und 100–Richtungen. Das
Anisotropieverhältnis der Ätzrate ist etwa 400 : 1 für 100 : 111 und sogar 600 : 1 für 110 : 111. Ätzt man die {100}- bzw. {110}-Ebene von
Silizium, so ist die {111}-Ebene ein natürlicher Ätzstop. Abbildung 4.4 zeigt
den Fall des anisotropen nasschemischen Ätzens mit Kalilauge bei Silizium,
wobei eine {100}-Ebene die Oberfläche bildet. Ausgehend von den offenliegenden Stellen in der Maskierung wird isotrop, aber somit in 100–Richtung
nach unten geätzt. Sobald der Ätzprozess auf eine {111}–Ebene trifft, verlangsamt sich die Ätzrate in 111–Richtung, bleibt in 100–Richtung aber
Winkel
Winkel
Winkel
Ätzrate#
Ätzrate#
Ätzrate#
Ätzrate#
#
(100),(111)
(110),(111)
(111),(111)
100-Richtung
110-Richtung
111-Richtung
SiO2
[°]
[°]
[°]
[µm/h]
[µm/h]
[µm/h]
[µm/h]
54.74
35.26
70.53
64
99
0.16
0.06
Ätzrate in 40%iger KOH-Lauge bei 80°C
Tabelle 4.1: Ausgewählte Parameter des kristallinen Siliziums [64][65]
68
4
Gitterherstellung
e
en
b
}-E
11
{1
{100}-Ebene
54.74°
{1
11
}
-E
be
ne 70.53°
Abbildung 4.4: Anisotropes Ätzen von (100)–Silizium
gleich. Es kommt gleichsam zu einer Verjüngung der offenliegenden Maskierung. Die Ätzung stoppt gleichermaßen bei Erreichen der Schnittgeraden zweier {111}-Ebenen. Für {100}–Silizium ergibt sich gemäß der Winkeldefinition
aus Abbildung 2.16 für die Neigungswinkel der Flanken γg = γk = 54.74°.
Für {110}–Silizium ergibt sich nach Tabelle 4.1 γg = γk = 35.26°. Die
V-Gruben sind daher bei {100}–Silizium mit 70.53° deutlich spitzer als die
V-Gruben bei {110}–Silizium mit 109.47°.
4.3
Gitterherstellung
Für die Herstellung der in dieser Arbeit angefertigten und verifizierten Gitter
werden alle oben genannten Prozessschritte benötigt. Abbildung 4.5 zeigt die
einzelnen Herstellungsschritte. Als Substrat wird einkristallines Silizium mit
den Kristallorientierungen der Wafer-Oberfläche {100} und {110} verwendet. Das Si-Substrat (a) wird thermisch mit einer SiO2 -Schicht versehen, die
mehrere 100 nm dick ist (b). Die SiO2 -Schicht wird später für den nasschemischen Ätzprozess benötigt. Bei der thermischen Oxidation wird das Silizium
bei Temperaturen um 1000°C mehrere Stunden in oxidierender Atmosphäre
gebacken. Bei Oxidationsgeschwindigkeiten unter 1 µm/h ist das Aufbringen
von SiO2 -Schichten höchster Genauigkeit möglich [65] [68]. Alternativ wäre
auch eine Si3 N4 -Beschichtung denkbar [64]. Der oxidierte Si-Wafer wird dann,
wie in Abschnitt 4.1.1 beschrieben, mit einem positiven Photolack benetzt
(c). Daraufhin folgt die Belichtung (d), wie sie in Abschnitt 4.1.1 bereits beschrieben wurde. Wegen der kleinen Strukturgrößen muss eine Hard-KontaktBelichtung durchgeführt werden. Die Photolackmaske (e) dient als Maskierung
für einen Trockenätzschritt. Ein nasschemisches Aufbrechen der SiO2 -Schicht
ist bei den benötigten Grabenbreiten von ca. 1.5 µm nicht möglich. SiO2 kann
nur mit Flusssäure ( HF ) geätzt werden. Dabei handelt es sich um einen iso-
4.3
Gitterherstellung
69
a)
Si-Substrat
b)
SiO2-Beschichtung
c)
PhotolackBeschichtung
Belichtung
Cr-Maske
d)
zzgl. Entwicklung
e)
Photolackmaske
f)
SiO2-Hartmaske
nach Trockenätzschritt
g)
KOHNassätzprozess
h)
HFNassätzprozess
i)
Metallisiertes
Si V-Grubengitter
Abbildung 4.5: Herstellungsschritte der in dieser Arbeit verwendeten Beugungsgitter
70
4
(a)
Gitterherstellung
(b)
Abbildung 4.6: REM-Aufnahmen eines V-Grubengitters auf (100)–Silizium, Gitterperiode Λ = 7.5 µm
tropen Prozess. Nach dem Trockenätzprozess erhält man die SiO2 -Hartmaske
(f). Daraufhin folgt der nasschemische Ätzprozess mit Kalilauge ( KOH ). Erst
das strukturierte SiO2 kann als Maske für den nasschemischen Ätzprozess verwendet werden, da SiO2 gemäß Tabelle 4.1 eine deutlich geringere Ätzrate
vorweist als Silizium in 111–Richtung. Dieser KOH–Ätzprozess liefert die
in Abschnitt 4.2 beschriebenen V-Gruben (g). Die SiO2 –Schicht wird noch
mit Flusssäure HF entfernt (h) und das strukturierte Silizium mit einer Metallisierung überzogen (i), um die Reflektivität zu erhöhen. Als Metallisierung
wurde Gold gewählt, da es eine hohe Reflektivität aufweist und als Edelmetall
keine Reaktionen mit vorhandenen Radikalen der Gasentladung eingeht. Als
Schichtdicke der Metallisierung wurden 200 nm spezifiziert. Andere mögliche
Materialien sind in Tabelle 4.2 zusammengefasst.
Material
Gold
Kupfer
Aluminium
Platin
Symbol
Au
Cu
Al
Pt
Brechungsindex nB
11.5 + j 67.5
11.6 + j 60.3
31.2 + j 104
9.9 + j 36.7
R [%]
99.0
98.8
98.9
97.3
Tabelle 4.2: Komplexe Brechungsindizes und Reflektivitäten ausgewählter Metalle bei
λ ≈ 10 µm [74] [75]
Die Abbildungen 4.6 bis 4.8 zeigen Rasterelektronenmikroskopaufnahmen
(Abk. REM-Aufnahmen) von hergestellten Gittern. Abbildung 4.6 a) und
b) zeigt ein V-Grubengitter in einem Silizium-Substrat mit einer {100}Oberfläche. Die Gitterperiode Λ beträgt 7.5 µm. Man erkennt gerade am An-
4.3
Gitterherstellung
(a) Grabenbreite bg ≈ 5.4 µm
71
(b) Grabenbreite bg ≈ 2.2 µm
Abbildung 4.7: REM-Aufnahme eines V-Grubengitters auf (110)–Silizium, Gitterperiode Λ = 7.15 µm
Abbildung 4.8: REM-Aufnahme eines V-Grubengitters auf (110)–Silizium; Gitterperiode Λ = 6.9 µm, Sprungstelle der Grabenbreite von bg ≈ 1.9 µm
(links) auf bg ≈ 2.7 µm (rechts)
fang der Gräben die V-förmig in die Tiefe geätzten Gräben. Die drei die Gräben bildenden Ebenen sind jeweils {111}–Ebenen. Die Schnittgeraden der
(100)–Ebene mit den {111}–Ebenen sind parallel oder schneiden sich unter
90°, wie in Abbildung 4.6 b) deutlich zu erkennen. Abbildung 4.7 zeigt ein
V-Grubengitter auf einem Silizium Substrat mit einer {110}-Oberfläche. Abbildung 4.7 a) und b) zeigen dasselbe Gitter an unterschiedlichen Positionen.
Wie in Kapitel 3 beschrieben und in Abbildung 2.18 zu erkennen, ist es durch
die unterschiedliche Grabenbreite möglich, die in den Laserresonator zurückreflektierte Leistung zu variieren. Dadurch kann man, ortsaufgelöst die in die
-1te Beugungsordnung gebeugte Leistung ändern, um den Laserstrahl zu for-
72
4
Gitterherstellung
men. In Abbildung 4.8 ist eine Stelle eines Gitters abgebildet, bei der die Grabenbreite variiert wurde. Die Gräben auf der linken Seite des Gitters sind etwa
1 µm schmäler als auf der rechten Seite. Dadurch wird die Beugungseffizienz
R−1 von etwa 5% auf etwa 20% erhöht.
Abbildung 4.9: Fotographie des Gitters 9p36_pb;
Größe der Gitterstruktur: 10 × 30 mm2 ,
Metallscheibe: ∅ = 38 mm, Dicke 8 mm
Abbildung 4.9 zeigt eine Fotographie des mit dem geschilderten Prozess hergestellten Gitters 9p36_pb. Die Gitterstege liegen parallel zur kurzen Seite
(=10
ˆ mm-Seite) der Struktur. Das Gitter auf dem Silizium-Substrat wurde nach
dem Herstellungsprozess aus dem Wafer ausgesägt und wurde mit einem Klebstoff mit hoher thermischer Leitfähigkeit auf einer, als Wärmesenke dienender,
Metallscheibe aus Messing befestigt [70]. Um Lufteinschlüsse unter dem Gitter zu verhindern, wurde das Gitter mit Federn auf die Metallscheibe gedrückt
und für 15 min bei einem Druck p < 0.1 mbar in eine Unterdruckkammer
gebracht. Das Gitter 9p36_pb ist ein Gitter mit variabler Grabenbreite. Man
erkennt bereits auf der Fotographie in Abbildung 4.9 ein ungleichmäßiges Reflexionsverhalten, das symmetrisch zur Gittermitte ist. Eine genauere Betrachtung der Gittereffizienzen und der Verwendung des Gitters im Resonator findet
sich in Kapitel 6.
Kapitel 5
Lasersystem
5.1
Aufbau des Lasersystems
Im folgenden Kapitel wird das Lasersystem näher betrachtet, das zur experimentellen Verifikation der gemäß Kapitel 4 hergestellten Gitter herangezogen
wurde und im weiteren Laborbetrieb eingesetzt werden soll [36]. Ziel der
Konstruktion war ein
• linienabstimmbarer
• frequenzstabiler und
• ungeströmter
CO2 –Laser, der als Pumplaser für Ferninfrarot-Laser verwendet werden
kann [9]. Dazu muss es möglich sein, den Laser auch bei CO2 –Linien
zu betreiben, die nur eine geringe Verstärkung aufweisen. Als dispersives
Element wird daher ein Gitter zur Wellenlängen- bzw. Frequenzselektion
verwendet. Das Gitter wird, wie in Kapitel 2 in den Abschnitten 2.1.3 und
2.3 beschrieben, in L ITTROW-Konfiguration verwendet. Gleichzeitig wird das
Gitter zur Auskopplung aus dem Resonator genutzt. Bei Betrachtung aller
Fertigungsmöglichkeiten und Toleranzen ist es bei Gittern nicht möglich, die
nullte Beugungsordnung vollständig zu unterdrücken. Wird ein Gitter nur als
dispersives Element, aber nicht zur Strahlauskopplung verwendet, ergeben
sich damit erhöhte Resonatorverluste. Die nullte Beugungsordnung wird zwar
als solche von dem Gitter reflektiert, da die Leistung aber nicht als Nutzsignal
verwendet wird, muss sie als Verlust gewertet werden. Die CO2 –Laserlinie
von größtem Interesse ist in diesem Zusammenhang die Linie 9P36. Sie wird
zum Pumpen von Ferninfrarot-Lasern auf Methanol-Basis als aktives Medium
benötigt, die eine Frequenz von 2522.78 THz emittieren. Es sollte aber auch
74
5
Anschlussflansch
für Totalreflektor
Elektrode
Lasersystem
Anschlussflansch
für Gitterhalter
Littrow
Invar-Rohr
Richtung der
Strahlauskopplung
Abbildung 5.1: Draufsicht auf das Gehäuse mit montierten Elektroden, Resonatorlänge
L = 48 cm
die Möglichkeit bestehen, andere CO2 –Laserlinien auswählen zu können [78].
Soll der CO2 –Laser als Pumpquelle für ein weiteres Lasersystem verwendet
werden, ist es notwendig, dass das Pump-Lasersystem eine hohe Frequenzstabilität aufweist. Eine Veränderung der Emissionsfrequenz des Pumpsystems
hätte zwangsweise eine Veränderung der Laserleistung und der Emissionsfrequenz des gepumpten Systems zur Folge [9].
Um den Gesamtaufbau kompakt zu halten, wurde entschieden, ein gasdichtes
Gehäuse zu entwickeln, das mit einmaliger Gasbefüllung mehrere Tage verwendet werden kann. Dadurch kann die Gas-Peripherie deutlich vereinfacht
werden.
Abbildung 5.1 zeigt eine Draufsicht auf das Gehäuse des Lasers mit montierten
Elektroden. Das Gehäuse selbst ist ein durchgehendes Rohr ohne Beobachtungsfenster oder andere unnötige Öffnungen, durch die Lasergas entweichen
oder auch Luft eindringen könnte. Das Rohr besteht aus der Legierung Invar,
einer Eisen/Nickel-Legierung mit sehr niedrigem Wärmeausdehnungskoeffizienten. An das Gehäuse werden in Abbildung 5.1 links der Halter des
Totalreflektors angeflanscht und rechts der Gitterhalter. Der resonatorinterne
Strahl trifft unter dem L ITTROW-Winkel auf das optische Gitter, und ein Teil
des Feldes wird unter einem Winkel von 2αLitt. ≈ 90° zur Resonatorachse aus
dem Laser ausgekoppelt. Tabelle 5.1 zeigt die Wärmeausdehnungskoeffizienten γL der verschiedenen bei der Konstruktion verwendeten Werkstoffe. Durch
den geringen Wärmeausdehnungskoeffizienten von Invar tritt eine sehr geringe
5.1
Aufbau des Lasersystems
75
Material
Invar
Edelstahl
Kupfer
Messing
Aluminium
Al2 O3
Glas
Sikor
Zerodur
γL [10−5 /°C]
0,15
1,17
1,65
1,84
2,38
7,00
∼ 0,2
0,10
0,1
Tabelle 5.1: Wärmeausdehnungskoeffizienten γL einiger bei der Konstruktion des
Lasers wichtiger Materialien [79]
Längenänderung ∆L der Resonatorlänge L bei einer Temperaturänderung ∆ϑ
auf. Gemäß Gleichung (5.1) ergibt sich:
L + ∆L = L (1 + γL ∆ϑ)
.
(5.1)
Durch Einsetzten von Gleichung (5.1) in Gleichung (3.4) erhält man eine Frequenzdrift ∆f in Abhängigkeit der Resonatorlängenänderung ∆L:
∆fϑ = −fq
∆L
= −fq γL ∆ϑ
L
.
(5.2)
Die Frequenzdrift aus Gleichung (5.2) ist unabhängig von der Resonatorlänge
des Lasers, sondern nur eine Funktion der Temperaturänderung ∆ϑ. Der Term
∆L aus Gleichung (5.1) ist aber eine Funktion der Resonatorlänge selbst. Der
Längenbezug ergibt sich erst wieder bei dem Vergleich von Gleichung (5.2) mit
Gleichung (3.4). Bei großer Resonatorlänge L ist ein kleiner Eigenfrequenzabstand ∆fq vorhanden. Bei homogen verbreiterten Laserübergängen muss die
temperaturabhängige Resonatorlängenänderung daher stets in Bezug zur Wellenlänge betrachtet werden. Für einen CO2 –Laser, dessen Resonatorlänge mit
Invar stabilisiert ist, ergeben sich Frequenzänderungen von:
∆fϑ ≈ 42.5 MHz / °C
∆fq ≈ 312 MHz
mit
L = 48 cm
f10P20 ≈ 28.3 THz
.
(5.3)
Das aktive Medium des Lasers wird durch eine Gasentladung angeregt, wie
bereits in Kapitel 2.1.2 beschrieben. Die Abbildungen 5.2 und 5.3 zeigen die
Elektroden, wie sie im Laser verwendet werden. Zwischen den Elektroden wird
76
5
Lasersystem
Schnittebene und
Blickrichtung von Abb. 5.3
Kühlwasseranschlüsse
Entladungsstruktur
LElektrode
wF
Gewindebohrungen für
Spulen, Abstandshalter, usw.
Abbildung 5.2: Aufbau der Laserelektroden, Seitenansicht und Draufsicht; Kanalbreite
wF = 15 mm, Länge mittig LElektrode = 460.5 mm
Kühlwasseranschlüsse
Kühlwasserbohrungen
Gewindebohrungen für
Spulen, Abstandshalter, usw.
wF
Entladungsstruktur
Abbildung 5.3: Querschnitt durch eine Elektrode in der in Abbildung 5.2 gekennzeichneten Ebene
5.1
Aufbau des Lasersystems
Material
Kupfer
Gold
Aluminium
Leitfähigkeit
σ [1/Ωm]
59.77 ·106
42.55 ·106
37.66 ·106
77
δSkin ( ∼ 30 THz)
δSkin (100 MHz)
12.2 nm
14.5 nm
15.4 nm
6.5 µm
7.7 µm
8.2 µm
Tabelle 5.2: Leitfähigkeiten und Skintiefen einiger bei der Laserkonstruktion wichtiger
Materialien [21]
die in Kapitel 2.1.2 beschriebene Gasentladung auf einer Breite wF = 15 mm
gezündet. Die Entladungsstruktur ist deutlich vom Rest der Elektrode abgesetzt, um einen genügend großen Abstand der Abstandshalter und Spulen zur
Gasentladung zu gewährleisten. Des Weiteren sind die Elektroden zu Kühlung
des Lasergases wassergekühlt. Die Wasserkühlung wird durch zwei Bohrungen längs der Elektroden mit Querverbindungen realisiert. Die Kühlwasseranschlüsse befinden sich auf der der Gasentladung abgewandten Seite. Bei der
Konstruktion der Elektroden wurde Wert darauf gelegt, dass sie aus einem einzigen Stück Aluminium gefertigt werden konnten, um eine hohe Dichtigkeit
des Kühlwassers gegenüber dem Gasentladungsraum zu gewährleisten [80].
Aluminium ist ein sehr weiches Material mit einer hohen Wärmeleitfähigkeit.
Des Weiteren hat es den Vorteil, dass sich seine Oberfläche an Sauerstoff passiviert, da Al2 O3 und Al dieselbe Kristallstruktur besitzen. Dadurch oxidieren Aluminiumwerkstücke unter normalen Bedingungen nur wenige Atomschichten tief. Darüber hinaus wurden die Elektroden mit einer Goldschicht
überzogen. Gold besitzt sehr gute katalytische Eigenschaften, die die aus Gleichung (2.11) bekannte Dissoziation des CO2 vermindern [81] [82]. Des Weiteren verfügt Gold über eine höhere elektrische Leitfähigkeit als Aluminium, wie
in Tabelle 5.2 zusammengefasst ist. Dies ist wichtig wegen der in Kapitel 2.1.2
erwähnten Wellenleitereigenschaften der Elektroden, die hohe Wandströme bei
den optischen Frequenzen des CO2 –Lasers erzeugen. Zur Spezifikation einer
minimalen Dicke der Goldschicht wurde die Skintiefe herangezogen. Die Skintiefe ist die Tiefe, bei der die Amplitude eines in das Material eindringenden
elektrischen Feldes auf den 1/e-ten Teil abgefallen ist. Die Skintiefe δSkin ist
abhängig von der betrachteten Frequenz f , der spezifischen Leitfähigkeit σ und
der Permeabilität µ und ist gegeben durch [21]:
δSkin = 1
π f σ(f ) µ(f )
.
(5.4)
Um zu gewährleisten, dass das Feld bis auf einen unwesentlichen Teil abgefallen ist, wird die dreifache Skintiefe angenommen. Um trotz aller Ecken und
78
5
Lasersystem
Paus
y
z
Prück
dER
Abbildung 5.4: Aus dem Wellenleiter ausgekoppelte Leistung Paus und nach einer
Freiraumstrecke 2 dER wieder in ihn zurückreflektierte Leistung Prück
Kanten eine Schichtdicke von ca. 50 nm Gold zu garantieren, wurde in allen
Fällen eine Dicke von 200 nm für den Beschichtungsprozess spezifiziert.
Die Elektroden enden beiderseits mit einem Abstand von dER = 10 mm vor
den Resonatorspiegeln, wie in Abbildung 5.4 dargestellt, um eine Beschädigung der Optiken durch die in der Gasentladung entstehende UV-Strahlung und
Radikale zu vermeiden. Dies führt dazu, dass die sich ausbreitende elektromagnetische Welle aufweitet, sobald sie die Wellenleiterstruktur verlässt. Nach der
Reflexion an den Resonatorspiegeln muss diese Freiraumwelle wieder mit der
in dem Wellenleiter ausbreitungsfähigen Feldverteilung verkoppeln. Für die
Verkopplung ist, wegen der Möglichkeit der Separation in x- und y-Richtung,
nur die y-Komponente der elektrischen Feldstärke relevant, wie in Kapitel 3
beschrieben, da sie durch die harte Apertur des metallischen Wellenleiters bestimmt ist. Der Koppelkoeffizient κ ist gegeben durch:
E1 (y) E2∗ (y) dy
κ = E1 (y) E1∗ (y) dy
E2 (y) E2∗ (y) dy
.
(5.5)
Dabei ist E1 die vom Wellenleiter geführte Feldverteilung und E2 die Feldverteilung nach Ausbreitung in z-Richtung über die Länge 2 dER .
Abbildung 5.5 zeigt die Eigenkoppelverluste Γ = 1 − κ2 für die zwei niedrigsten ausbreitungsfähigen Feldtypen H01 und H02 , die den y-Anteil des hybriden Gesamtfeldtyps beschreiben, wie in Kapitel 2.1.3 angesprochen. Mit dem
Eigenkoppelverlust Γ kann der Leistungsverlust PV erlust = Paus − Prück bestimmt werden, die durch den endlichen Abstand dER zwischen Wellenleiter
und Resonatorspiegel bedingt ist.
PV erlust = Γ Paus
bzw.
Γ=
PV erlust
Paus
.
(5.6)
Eigenkoppelverlust Γ
5.1
Aufbau des Lasersystems
0.2
79
H01
H
02
0.15
0.1
0.05
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Abstand Elektrode−Resonatorspiegel dER [mm]
90
Abbildung 5.5: Eigenkoppelverluste Γ wegen des endlichen Abstands dER zwischen
den Elektroden und den Resonatorspiegeln gemäß Abbildung 5.4
Die Ausbreitung über die Länge dER wurde mit Hilfe des Kirchhoff-Integrals
aus Gleichung (2.38) berechnet. Man erkennt die steigenden Eigenkoppelverluste Γ mit größer werdendem Abstand dER der Spiegel von den Elektroden.
Vergleicht man die Eigenkoppelverluste unterschiedlicher Modenordnungen,
so sieht man, dass höhere Modenordnungen deutlich stärkere Eigenkoppelverluste vorweisen [83], da höhere Ordnungen eine größere Strahldivergenz besitzen [23]. Für die Konstruktion des Lasers wurde ein Abstand dER = 10 mm
vorgesehen. Bei diesem Abstand liegen die Eigenkoppelverluste Γ(H02 ) bei
etwa 2.17% und sind damit viermal so hoch wie Γ(H01 ) bei etwa 0.54 %. Für
einen Resonatorumlauf hat der H01 -Feldtyp somit die geringsten Verluste. Aus
diesem Grund schwingt in y-Richtung nur dieser Feldtyp aus Gleichung (2.13)
im Laser an. Abbildung 5.6 zeigt die am Totalreflektorkopf montierten LaserKühlwasserzuleitung
Isolator
Beschwerungsspule
HF-Durchführung
Abbildung 5.6: Photographie der am Totalreflektorkopf montierten Laserelektroden
80
5
Lasersystem
elektroden. Die untere Elektrode liegt auf Massepotential, die andere wird von
der hochfrequenten Wechselspannung versorgt. Die beiden Elektroden sind mit
Abstandshaltern aus der Glaskeramik Zerodur miteinander verschraubt. Um
die elektrische Isolierung zum Massepotential zu gewährleisten, ist auch in
der Kühlwasserzuleitung der mit Wechselspannung versorgten Elektrode ein
Keramikisolator integriert. Darüber hinaus sind in Abbildung 5.6 die in Kapitel 2.1.2 beschriebenen Beschwerungsspulen zu erkennen.
Hinter dem Totalreflektorspiegel ist ein Piezoelement angebracht, um die Resonatorlänge auf die Laserlinie abzustimmen. Mit Hilfe eines M ICHELSONInterferometers wurde die Längenänderung ∆l des Piezoelements in Abhängigkeit von der angelegten Spannung UP iezo vermessen. Das Ergebnis ist in
Abbildung 5.7 dargestellt. Es zeigt sich ein deutliches Hystereseverhalten,
wenn man die Spannung erhöht und wieder reduziert [85]. Die Hysteresekurve weist eine maximale Spannungsdifferenz bei gleicher Ausdehnung von
∆UHyst = 45 V und einen maximalen Längenhub bei gleicher Spannung von
∆lHyst ≈ 2 µm auf. Für eine manuelle Regelung der Resonatorlänge ist dieses
Hystereseverhalten nicht relevant, für eine automatisierte Regelung muss dies
aber beachtet werden.
Abbildung 5.8 zeigt die äußere rückwärtige Ansicht des Abschlusses des Gehäuses, die das Gitter aufnimmt. Die Grundplatte mit einer Dicke von 10 mm
hat eine elliptische Grundform, da das Gitter unter 45° zur Resonatorachse des
runden Gehäuses montiert wird. Das Gitter ist auf der Innenseite des inneren
Ringes montiert und durch eine Diffusionskühlung wassergekühlt. Des Weiteren ist der äußere Ring zu erkennen, der die Schrauben zur Justierung der
x- und y-Richtung des Gitters trägt. Zwischen dem inneren und dem äußeren
Ring ist die Edelstahlgrundplatte auf eine 0.6 mm dicke Membran ausgedünnt.
Die Justierung erfolgt über eine Verspannung der Membran durch Verkippen
des Zylinders des inneren Ringes gegenüber dem äußeren Zylinder.
Eine weitere unverzichtbare Justierungsmöglichkeit des Gitters ist eine Drehung des Gitters um seine Oberflächennormale. Fällt eine ausgedehnte Wellenfront auf ein Reflexionsgitter, so wird sie in die Eigenkoordinaten des Gitters,
parallel und senkrecht zu den Gittergräben, zerlegt. Die Aufteilung in höhere
Beugungsordnungen findet immer in einer Ebene statt, die durch die Oberflächennormale des Gitters und die Richtung senkrecht zu den Gräben des Gitters
definiert ist. Dadurch wird im Falle des hier beschriebenen Flachkanal-Lasers
die vom Wellenleiter kommende Feldverteilung gedreht, wenn das Gitter nicht
passend zur Ebene des Wellenleiters justiert ist. Abbildung 5.9 zeigt den Aufbau der Drehjustierung im Laser, durch das Rohr des Gehäuses blickend. Es
handelt sich um die innenseitige Ansicht von Abbildung 5.8. Die Drehjustie-
5.1
Aufbau des Lasersystems
Längenänderung ∆ l [µm]
6
5
81
aufsteigender Ast
absteigender Ast
Messung
4
3
∆lHyst
2
1
∆UHyst
0
0
50
100
Piezospannung UP iezo [V]
150
Abbildung 5.7: Hystereseverhalten des Piezoelements; maximale Längenausdehnung
∆lmax = 5.6 µm
Äußerer
Ring
Innerer Ring
Bohrungen
für Justierungsschrauben
Membran
Abbildung 5.8: Konstruktion des Gitterkopfes aus dem Edelstahl V2A mit Kippeinheit
des Gitters
82
5
Lasersystem
Linearversteller zur
Winkeleinstellung
Gitter
Rückholfeder
Auskoppelfenster
Abbildung 5.9: Drehaufhängung des Gitters
rung wird mit einem Linearversteller durchgeführt, der auf einen seitlich am
Gitter angebrachten Hebel drückt. Die Rückstellung findet über eine Rückholfeder statt. Das Gitter ist so angebracht, dass seine Oberfläche in der Ebene des
Abschlusses des Invar-Rohres liegt. Auf diese Weise ist eine hohe thermische
Stabilität der Resonatorlänge gewährleistet, da außer Invar kein anderes Material Einfluss auf die Resonatorlänge ausübt.
Abbildung 5.10 zeigt die Außenansicht des kompletten Lasersystems, wie
es im Rahmen dieser Arbeit aufgebaut wurde. Bis auf das Auskoppelfenster
ist das Gehäuse des Lasers aus den Metallen Invar und Edelstahl gefertigt.
Durch den Verzicht auf Beobachtungsfenster konnte eine hohe Gasdichtigkeit
erreicht werden. Es konnte ein Druckanstieg von ∆p ≈ 1 mbar / 2 Monate gemessen werden. Die Anpassschaltung ist in einem Messingzylinder direkt mit dem Lasergehäuse verschraubt. Die Stoßstellen sind mit einer EMVDichtschnur versehen, um eine unerwünschte Abstrahlung der Anregungsfrequenz fHF ≈ 100 MHz zu gewährleisten. Des Weiteren ist die aus Abbildung 5.9 bekannte schräg ins Gehäuse eingebrachte Drehjustierung des Gitters
zu erkennen. Die Verkippung des Resonatorspiegels und des Gitters wird mit
den aus Abbildung 5.8 bekannten Justierungsschrauben durchgeführt. Außerhalb des Laser sind noch die Zuleitung der Gasversorgung mit einem Drucksensor und die Kühlwasserschläuche zu erkennen.
5.1
Aufbau des Lasersystems
83
Drehjustierung
des Gitters
Anpassschaltung
in
EMV-Abschirmung
Drucksensor
Auskoppelfenster
Kühlwasserschläuche
Drehjustierung
des Gitters
Drucksensor
Justierungsschrauben
Gasversorgung
Abbildung 5.10: Aufbau des Lasersystems
84
5.2
5
Lasersystem
Charakterisierung der Frequenzstabilität des Lasersystems
Das Lasersystem aus Abbildung 5.10 wurde auf seine Frequenzstabilität hin
vermessen [86]. Eine Abschätzung der erforderlichen Genauigkeit zeigen die
Zahlenwerte aus Gleichung (5.7):
Laserlinie 10P20
≈ 28.3 THz
Linienabstand P-Band
≈ 60 GHz
Linienbreite bei 100mbar
≈ 150 MHz
.
(5.7)
Die Vermessung der Frequenzstabilität innerhalb einer Laserlinie erfordert somit eine Auflösung ∆f /f im Bereich von 10−6 bis 10−7 . Solche Auflösungen sind mit herkömmlichen Spektroskopen, wie Gittermonochromatoren oder
Prismen, nicht mehr zu erreichen. Man verwendet daher meist interferometrische Messmethoden [51].
Zur Messung der Frequenzstabilität wird auf die Methode der HarmonischenAnalyse zurückgegriffen [7]. Abbildung 5.11 zeigt das Prinzip dieser Messmethode. Das CO2 -Linienprofil habe die Mittenfrequenz fA und oszilliere auf
der Eigenfrequenz fmod = fA . Wird die Eigenfrequenz eines Lasers sinusförmig durch Variation der Länge L mit der Frequenz fRef moduliert, so ergibt
sich am Leistungsdetektor zwar ein periodisches Signal mit der Periodendauer
TRef = 1/fRef , dieses ist aber im Allgemeinen nicht mehr sinusförmig. Zerlegt man das Detektionssignal in eine F OURIER-Sinus-Reihe, so erhält man bei
einer linearen Kennlinie nur einen F OURIER-Sinus-Koeffizienten bei der ersten
Harmonischen der Modulationsfrequenz fRef . An nichtlinearen Kennlinien ergeben sich Verzerrungen des ursprünglichen Signals, die als Harmonische der
Frequenz fRef interpretiert werden können.
Abbildung 5.12 zeigt qualitativ eine numerisch berechnete F OURIER-Analyse
des Detektionssignals PDet aus Abbildung 5.11. Dargestellt ist der Gleichanteil und der erste (1f ) und zweite (2f ) Harmonische der Modulationsfrequenz
fRef . Der Gleichanteil (DC) entspricht dem Verlauf des CO2 -Linienprofils.
Der 1f -Anteil gibt qualitativ die erste Ableitung des Linienprofils an. Er ist
daher für fmod < fA positiv mit einem Maximum im linearen Bereich der
Kennlinie aus Abbildung 5.11. Wegen der waagerechten Tangente im Maximum des Linienprofils ergibt sich eine Nullstelle bei der Linienmitte fA [7].
Für fmod > fA ergibt sich ein entsprechend punktsymmetrischer Verlauf zu
dem Verlauf von fmod < fA . Der Verlauf des 2f -Anteils des Detektionssignals PDet entspricht dementsprechend dem Verlauf der zweiten Ableitung des
Linienprofils.
5.2
Charakterisierung der Frequenzstabilität des Lasersystems
85
PL
PDet
1
TRef 2TRef
f
TRef
2TRef
f=fA - fmod
fA
Abbildung 5.11: Grundmessprinzip der Methode der Harmonischen-Analyse
rel. Amplitude [a.u.]
1
DC
1f
2f
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
fA − fmod [a.u.]
Abbildung 5.12: F OURIER-Analyse des Detektionssignals PDet gemäß Abbildung 5.11; normierter Verlauf des Gleichanteils (DC), der ersten Harmonischen (1f ) und der zweiten Harmonischen (2f ) der Modulationsfrequenz fRef bei Modulation im Abstand ∆f = fA − fmod von
der atomaren Mittenfrequenz fA
86
5
Leistungsmessung
Pyrodetektor .
Signalgenerator
Lasersystem
Lock-InPiezoVerstärker fRef Treiber
fRampe
HFGenerator
AT
Druckmessung
Wasserkühlung
Temperaturmessung
Abbildung 5.13: Aufbau zur Vermessung der Frequenzstabilität des Lasersystems
Abbildung 5.13 zeigt den in dieser Arbeit verwendeten Aufbau zur
Harmonischen-Analyse. Die Resonatorlänge des Lasers wird durch eine sinusförmige Spannung des Piezoelements mit der Frequenz fRef moduliert. Durch
diese Modulation verschieben sich periodisch die gemäß Gleichung (3.3) bzw.
Gleichung (3.7) definierten Eigenfrequenzen des Lasers. An unterschiedlichen
Frequenzen des Linienprofils ist aber eine unterschiedliche Verstärkung durch
das aktive Medium vorhanden. Die ausgekoppelte Laserleistung ist daher moduliert. Als Harmonischen-Detektor wird ein Pyrodetektor verwendet. Der eigentliche Leistungsdetektor besitzt als thermischer Detektor eine zu hohe Trägheit und kann daher zur Frequenzanalyse nicht verwendet werden [54]. Wegen der hohen Empfindlichkeit des Pyrodetektors kann alleine das Streulicht
der matten Oberfläche des Leistungsdetektors verwendet werden. Dadurch ist
man unabhängig vom transversalen Modenprofil des Lasers, wie es bei Fokussierung auf die sehr kleine aktive Zone des Pyrodetektors zu beachten wäre.
Die Analyse des Detektionssignals auf dem Pyrodetektor auf seine Eigenfrequenzanteile hin wird von einem Lock-In-Verstärker durchgeführt. Dieser stellt
auch die Referenzfrequenz fRef bereit. Es stellte sich heraus, dass das Hystereseverhalten des Piezoelements einen zu großen Einfluss auf den quantitativen
Verlauf der Harmonischen-Analyse hat, als dass die Anteile der 1f bzw. 2f
direkt ausgewertet werden konnten. Es wurde daher ein Signalgenerator verwendet, der die Modulationsfrequenz fmod kontinuierlich mit einer Frequenz
fRampe änderte. Es wurde dann nur noch eine Detektion der Nullstelle des
1f -Anteils durchgeführt, um das zeitlich Verhalten der Mittenfrequenz fA zu
5.2
Charakterisierung der Frequenzstabilität des Lasersystems
87
∆ fmess
∆f
400
200
Temperatur ϑ
∆f
19
18
0
0
Temperatur ϑ [°C]
Frequenzdrift ∆ f [MHz]
extr
ϑ
17
2
4
Zeit t [h]
6
8
16
Abbildung 5.14: Langzeitmessung der Frequenzdrift des Lasersystems ∆fmess (mit
Extrapolation ∆fextr ) und der Kühlwassertemperatur ϑ; Laserübergang 10P20, instabile Resonatorkonfiguration total = −20 m,
out = ∞
beobachten.
Des Weiteren wurden bei den Messungen auch die hin- und rücklaufende Leistung des HF-Generators, der Druck innerhalb des Gehäuses und die Wassertemperatur protokolliert. Abbildung 5.14 zeigt eine Langzeitmessung der Frequenzstabilität des Lasersystems. Dabei wurde das in Abbildung 5.11 vorgestellte Messprinzip mit dem in Abbildung 5.13 dargestellten Messaufbau über
eine Zeit von ca. neun Stunden etwa alle zehn Sekunden durchgeführt [86].
Abbildung 5.14 zeigt die gemessene Frequenzdrift ∆fmess und eine Extrapolation der Frequenzdrift ∆fextr für Bereiche, die nicht gemessen werden konnten. Darüber hinaus wurde die Kühlwassertemperatur detektiert. In Tabelle 5.3
ist die Auswertung dieser Messung zu finden. Innerhalb des Messbereichs, der
durch die Längenvariation des Piezoelements begrenzt war, ist eine sprunghafte Änderung der Emissionsfrequenz zu erkennen, die als Änderung einer
longitudinalen Modenordnung identifiziert werden konnte. Dies wird vor allem durch die Extrapolation der Frequenzdrift ∆fextr deutlich , die für beide
longitudinalen Modenordnungen dargestellt ist. Es fällt ein periodischer Verlauf der Frequenzdrifts auf. Diese periodische Schwankung geht mit einer periodischen Variation der Temperatur des Kühlwassers einher und hat eine Periodizität TDrif t von etwa 2 12 Stunden, wobei die Zeit des Temperaturanstiegs
etwa viermal so lange dauert wie die Abfallzeit. An den Sprungstellen änderte
88
5
Periode, TDrif t
Bereich ∆f > 0, T∆f +
Bereich ∆f < 0, T∆f −
Frequenzsprung , ∆fSprung
Frequenzdrift pro Periode,
∆fges. Drif t /TDrif t
Temperatursprung,
∆ϑSprung
Temperaturdrift pro Periode,
∆pges. Drif t /TDrif t
Lasersystem
143 min
26 min
117 min
163 MHz
14.2 MHz
1.5 °C
0.2 °C
Tabelle 5.3: Auswertung der Messung aus Abbildung 5.14
sich die Emissionsfrequenz des Lasers um über 160 MHz, was gemäß Gleichung (5.3) mehr als einem halben Eigenfrequenzabstand ∆fq entspricht. Die
Variation der Kühlwassertemperatur ist durch die Kühlanlage des Gebäudes
begründet, die nur eine geringe Temperaturstabilität aufweist.
Die Änderung der Emissionsfrequenz des Laser liegt gemäß Gleichung (3.4)
an einer Änderung der optischen Resonatorlänge Lopt = nB L. Eine Änderung der optischen Resonatorlänge kann somit in einer Brechzahländerung des
aktiven Mediums oder einer Änderung der Resonatorlänge begründet sein.
Eine Temperaturänderung des Kühlwassers hat auch eine Temperaturänderung
des Laserresonators zur Folge. Dies führt zu einer Längenausdehnung und somit gemäß Gleichung (5.2) zu einer Verschiebung der Eigenfrequenzen des
Lasers. Mit den Werten für den Längenausdehnungskoeffizienten von Invar
γL (Invar) = 1.5 · 10−6 /°C aus Tabelle 5.1 kann man eine theoretische Frequenzdrift berechnen. Die Werte hierzu sind in Tabelle 5.4 angeführt.
Frequenzänderung
Längenänderung
∆fmess = 163 MHz →
∆fϑ = 63.8 MHz
Temperaturänderung
→
∆ϑextr = 3.8 °C
← ∆LInvar = 1.08 µm ←
∆ϑmess = 1.5 °C
∆L = 2.76 µm
Tabelle 5.4: Extrapolation der Messergebnisse aus Abbildung 5.14 und Tabelle 5.3
Die theoretische Frequenzdrift ∆fϑ = 63.8 MHz entspricht nur etwa 40%
der gemessenen Frequenzdrift von ∆fmess = 163 MHz aus. Die gemessene
Frequenzdrift ist somit nicht alleine durch die Längenausdehnung des Resonatorgehäuses aus Invar begründet.
Die andere Möglichkeit der Änderung der optischen Resonatorlänge ist eine
5.2
Charakterisierung der Frequenzstabilität des Lasersystems
89
Änderung des Brechungsindex innerhalb des Gehäuses. Die Brechzahl eines
Stoffes ist aber nur eine Funktion der Dichte das Mediums, wie die L ORENTZ L ORENZ- bzw. C LAUDIUS -M OSSOTTI-Beziehung besagt [87]. Da aber kein
Lasergas hinzugefügt oder abgepumpt wurde, muss die Brechzahl nB innerhalb des Gehäuses als konstant angenommen werden. Die verbleibende Frequenzdrift muss damit aus einer Längenveränderung der Resonatorlänge herrühren, die durch die Erwärmung bzw. Abkühlung der beiden Laserköpfe begründet ist.
Über die deutliche Frequenzdrift hinaus ist noch eine langsame Drift erkennbar, wenn man den Verlauf der Maxima und Minima in Abbildung 5.14 auswertet. Diese verbleibende Frequenzdrift von 14.2 MHz innerhalb von neun
Stunden ergibt sich aus einer Erwärmung des Labors tagsüber.
Die Frequenzstabilität des Lasers ist somit fast nur durch die Variationen
der Kühlwassertemperatur beeinflusst, die mit einer Temperaturdifferenz
∆ϑ = 1.5 °C einen zu groben Regelbereich hat.
90
5
Lasersystem
Kapitel 6
Messergebnisse
Im folgenden Kapitel werden Messergebnisse vorgestellt, die mit Beugungsgittern auf Silizium-Substraten erzielt wurden. Alle Gitter besitzen eine Gitterperiode Λ, bei der nur die nullte und die -1te Beugungsordnung ausbreitungsfähig sind. Es werden zuerst Messungen der Beugungseffizienzen R−1 verschiedener Gitter für stabile und instabile Resonatorkonfigurationen des positiven
Asts vorgestellt. Daraufhin werden Ergebnisse ihrer Anwendung im Laser gezeigt. Anschließend folgt eine Darstellung von Messungen für instabile Resonatorkonfigurationen des negativen Asts. Alle hier verwendeten Gitter sind auf
(100)-Silizium Substraten mit dem in Kapitel 4 vorgestellten Herstellungsverfahren gefertigt.
6.1
Messung der Gittereffizienzen
Alle im Folgenden vorgestellten Gitter wurden für den in Kapitel 5 vorgestellten Laser entworfen. Bei diesem Lasersystem wird das Gitter in L ITTROWKonfiguration unter einem Winkel von αLitt ≈ 45° verwendet. Für unterschiedliche Wellenlängen λ ergibt sich gemäß der Gittergleichung (2.44) ein
unterschiedlicher L ITTROW-Winkel. Wie in Kapitel 2.3.2 beschrieben, sind
auch die Beugungseffizienzen R0 und R−1 wellenlängenabhängig. Die Wellenlänge λ des CO2 -Lasers, für die die im Folgenden präsentierten Gitter mit
einer Gitterperiode Λ einen L ITTROW-Winkel αLitt ≈ 45° aufweisen, wird
die optimierte Wellenlänge des Gitters genannt und mit λ45 bezeichnet.
Abbildung 6.1 zeigt den Messaufbau, der zur resonatorexternen Vermessung
der Beugungseffizienzen der gemäß Kapitel 4 hergestellten Gitter [35] verwendet wurde. Zur Vermessung wird ein kommerzieller linienabstimmbarer
CO2 -Laser mit einer Ausgangsleistung von etwa 3 W eingesetzt [88]. Der
CO2 -Laserstrahl wird an einem ZnSe-Strahlteiler in einen Referenzstrahl und
einen Messstrahl aufgeteilt. Die Leistung Pref des Referenzstrahls wird am
92
6
Messergebnisse
CO2-Laser
ZnSe-Strahlteiler
Pref
P-1
HeNeLaser
Laserleistungsdetektor 1
Laserleistungsdetektor 3
Laserleistungsdetektor 2
ZnSeSammellinse
mess
P0
Strahlfokus
Verschiebemöglichkeit
für Gitterhalter
L ITTROW-Gitter
Abbildung 6.1: Messaufbau zur resonatorexternen Vermessung der Beugungseffizienzen von L ITTROW-Gittern [35]
Leistungsdetektor 1 [89] gemessen, um etwaige Leistungsschwankungen des
Lasers während der Vermessung der Gitter festzustellen. Der Messstrahl wird
mittels einer ZnSe-Linse unter einem Winkel αmess auf das Gitter fokussiert,
um einen möglichst kleinen Messfleck und somit eine maximale Ortsauflösung
zu haben. Am Gitter wird der Laserstrahl in die nullte und die -1te Beugungsordnung gebeugt. Die in die nullte Beugungsordnung gebeugte Leistung P0
wird am Leistungsdetektor 2 gemessen [89]. Die in die -1te Beugungsordnung
gebeugte Leistung P−1 wird am Leistungsdetektor 3 detektiert [89]. Um Rückreflexionen in den Laser zu vermeiden, wird nicht in L ITTROW-Konfiguration
gemessen, sondern ein größerer Einfallswinkel αmess > αLitt gewählt. Durch
eine Verschiebung des Gitters ist es möglich, die Beugungseffizienzen R0 und
6.1
Messung der Gittereffizienzen
93
R−1 ortsaufgelöst zu bestimmen.
Zur Justierung des Gitters wird am ZnSe-Strahlteiler ein sichtbarer HeNeLaser kollinear zum CO2 -Laserstrahl eingekoppelt.
Bei der Fertigung der Gitter wird die Gitterperiode Λ korrekt übertragen. Bei
den Grabenbreiten bG kann es aber bei dem Lithographieprozess und bei den
Ätzprozessen zu Verkleinerungen oder Vergrößerungen der tatsächlichen Grabenbreiten bGist gegenüber den spezifizierten Grabenbreiten bGsoll kommen.
Bei den Messergebnissen wird daher auch eine relative Abweichung der tatsächlichen Grabenbreiten von den spezifizierten Grabenbreiten ∆r bG angegeben. Die relative Abweichung ist gemäß Gleichung (6.1) definiert:
∆r bG =
bGist − bGsoll
bGsoll
.
(6.1)
Abbildung 6.2 zeigt die Beugungseffizienzen für die nullte Beugungsordnung
R0 und für die -1te Beugungsordnung R−1 des Gitters 10p20_homog. Die
Gitterparameter sind in Tabelle 6.1 zusammengefasst. Das Gitter besitzt eine
Periode Λ = 7.5 µm und eine konstante Grabenbreite bG = 4.0 µm. Mit dieser Gitterperiode ergibt sich eine optimierte Wellenlänge λ45 ≈ 10.59 µm
des CO2 -Übergangs 10P20. Das Gitter ist mit einer 90 nm Aluminium1
Beugungseffizienz R
0.8
0.6
R0
R−1
R0 + R−1
0.4
0.2
0
−10
−5
0
5
Gitterposition xG [mm]
10
Abbildung 6.2: Gemessene Beugungseffizienzen R0 und R−1 für das Gitter
10p20_homog; Λ = 7.5 µm, αmess ≈ 49°, λmess = 10.59 µm
(10P20)
94
6
Periode
Grabenbreite
optimierte Wellenlänge
−→ CO2 -Übergang
Teilverhältnis
Gesamt-Effizienz
Λ
bG
λ45
R−1 : R0
R−1 + R0
Messergebnisse
7.5 µm
4.0 µm
10.59 µm
10P20
12.5 : 1
94.5 %
Tabelle 6.1: Gitterparameter des Gitters 10p20_homog
Beschichtung überzogen. Gemäß Tabelle 4.2 hat Aluminium eine theoretische
Reflektivität von beinahe 99 % bei einer idealen planen Oberfläche. Durch die
oberflächliche Oxidation, die bei reinen und ungeschützten Aluminiumflächen
zwangsweise auftritt, wird diese Reflektivität verringert. Eine weitere Reduzierung der Reflektivität tritt durch die Oberflächenstruktur des Gitters selbst auf,
da tiefe Gittergräben die Reflektivität eines Gitters herabsetzen [42]. Abgesehen von der hohen Absorption der Gitters liegt das Teilverhältnis R−1 : R0 der
beiden ausbreitungsfähigen Beugungsordnungen mit 12.5 : 1 nahe am theoretischen Wert von 13 : 1, der mit der differentiellen Methode bestimmt wurde.
Abbildung 6.3 zeigt die Beugungseffizienzen R0 und R−1 für die nullte und
-1te Beugungsordnung des Gitters 10r18_pb. Es ist für den Einsatz im 10 RBand vorgesehen und ist für den CO2 -Übergang 10R18 optimiert. Die Gitterparameter sind in Tabelle 6.2 zusammengefasst. Das Gitter 10r18_pb ist mit
einer 200 nm dicken Goldschicht beschichtet. Die Gesamt-Effizienz bleibt mit
92.5 % wiederum deutlich hinter dem theoretischen Wert für die Reflektivität
aus Tabelle 4.2 von 99 % zurück. Teile des Silizium-Wafers wurden während
des Herstellungsprozesses nicht strukturiert. Sie wurden als plane Referenzflächen verwendet, um die Reflektivität der Goldschicht zu bestimmen. Bereits
auf diesen unstrukturierten Bereichen des Silizium-Wafers konnte nur eine Reflektivität von 97.5 % gemessen werden. Berücksichtigt man diese verringerte
Grundreflektivität des Substrats, so erhöhen sich auch die Verluste an den tiefen Gräben der Gitterstruktur wesentlich. Das Gitter 10r18_pb besitzt bei
einer konstanten Gitterperiode Λ eine variable Grabenbreite bG , so dass die in
die -1te Beugungsordnung zurückreflektierte Leistung räumlich unterschiedlich ist, wie in Kapitel 2.3.2 beschrieben. In Abbildung 6.3 sind neben den
gemessenen Beugungseffizienzen R0 und R−1 auch die spezifizierten Beugungseffizienzen R−1 Soll eingezeichnet.
6.1
Messung der Gittereffizienzen
95
1
R0
R−1
R0 + R−1
R−1Soll kont
R
Beugungseffizienz R
0.8
−1Soll disk
0.6
0.4
0.2
0
−15
−10
−5
0
5
Gitterposition xG [mm]
10
15
Abweichung ∆r bG [%]
Abbildung 6.3: Gemessene Beugungseffizienzen R0 und R−1 für das Gitter
10r18_pb; Λ = 7.26 µm, αmess ≈ 49°, λmess = 10.26 µm
(10R18)
30
20
10
0
1.5
∆r 10r18_pb
∆r Teststruktur
2
2.5
3
Grabenbreite bG [µm]
3.5
4
Abbildung 6.4: Relative Abweichung der Grabenbreiten ∆r bG des Gitters 10r18_pb
von den spezifizierten Grabenbreiten bG
Periode
Grabenbreite
optimierte Wellenlänge
−→ CO2 -Übergang
Gesamt-Effizienz
Λ
bG
λ45
R−1 + R0
Tabelle 6.2: Gitterparameter des Gitters 10r18_pb
7.26 µm
2.5 - 4 µm
10.26 µm
10R18
92.5 %
96
6
Messergebnisse
Es ist dabei sowohl die kontinuierliche Beugungseffizienz R−1 Soll kont , die
als Reflexionsprofil Verwendung finden sollte, eingezeichnet als auch die für
den Prozess diskretisierte Beugungseffizienz R−1 Soll disk . Die Größe der Diskretisierungsschritte ergab sich aus dem Schreibraster der Cr-Maske für die
Photolithographie. Dieses Schreibraster lag bei 20 nm. Für die Beugungseffizienz R−1 wurde ein G AUSSsches Reflexionsprofil gewählt. Mit einem
G AUSSschen Reflexionsprofil ist es bei instabilen Resonatorkonfigurationen
möglich, einen Strahl auszukoppeln, der das Verhalten eines G AUSSstrahlGrundmodes aufweist [35] [94] [95]. Auf diese Weise können somit die Vorteile des instabilen Resonators mit seinem großen, gleichmäßig ausgeleuchteten Modenvolumen genutzt werden und gleichzeitig ein beinahe beugungsbegrenzter G AUSSstrahl mit seiner geringen Strahldivergenz und guten Fokussierbarkeit ausgekoppelt werden. In Abbildung 6.3 ist eine deutliche Abweichung zwischen der gemessenen Beugungseffizienz R−1 und der spezifizierten
Beugungseffizienz R−1 Soll kont zu erkennen. Die Erhöhung der gemessenen
gegenüber der spezifizierten Beugungseffizienz liegt an einer Überätzung der
Gitterstruktur. Überätzung bezeichnet den Vorgang, wenn der in Kapitel 4.2 beschriebene nasschemische Ätzprozess zu lange betrieben wurde. Dadurch sind
alle Grabenbreiten bG breiter als spezifiziert. Abbildung 6.4 zeigt die relative Abweichung der Grabenbreiten ∆r bG bei den spezifizierten Grabenbreiten.
Die Abweichungen liegen zwischen 13 % und 23 % oberhalb der spezifizierten
Breiten. Dies erzeugt gemäß Abbildung 2.18 eine Erhöhung der Beugungseffizienz in die -1te Beugungsordnung. Die aus dem gemessenen Reflexionsprofil bestimmten Abweichungen der Grabenbreiten decken sich sehr gut mit den
Abweichungen von Teststrukturen, die auch auf der Cr-Maske aufgebracht waren.
Das letzte für stabile und instabile Resonatorkonfigurationen des positiven Asts
zur Verfügung stehende Gitter wurde für eine Wellenlänge von λ45 = 9.69 µm
optimiert. Eine Vermessung der Beugungseffizienzen ist in Abbildung 6.5 dargestellt. Das Reflexionsprofil für die Beugungseffizienz R−1 wurde für diese
Wellenlänge wiederum als G AUSS-Profil gewählt. Die CO2 -Laserlinie 9P36,
die dieser Wellenlänge entspricht, weist eine deutlich geringere Kleinsignalverstärkung auf als die CO2 -Laserlinie 10R18 [15]. Aus diesem Grund ist das
G AUSSsche Reflexionsprofil für diese Wellenlänge breiter gewählt worden, um
trotz der geringeren Kleinsignalverstärkung noch genug Laserleistung zu erhalten. Wie das Gitter 10r18_pb ist auch das Gitter 9p36_pb mit einer 200 nm
dicken Goldschicht überzogen. Die Gesamt-Effizienz des Gitters ist wegen der
oben genannten Gründe wiederum deutlich unterhalb des theoretischen Werts.
6.1
Messung der Gittereffizienzen
97
1
R0
R−1
R0 + R−1
R−1Soll kont
R
Beugungseffizienz R
0.8
−1Soll disk
0.6
0.4
0.2
0
−15
−10
−5
0
5
Gitterposition xG [mm]
10
15
Abweichung ∆r bG [%]
Abbildung 6.5: Gemessene Beugungseffizienzen R0 und R−1 für das Gitter
9p36_pb; Λ = 6.86 µm, αmess ≈ 49°, λmess = 9.69 µm (9P36)
30
20
10
0
1.5
∆r 9P36_pb
∆r Teststruktur
2
2.5
3
Grabenbreite b [µm]
3.5
4
G
Abbildung 6.6: Relative Abweichung der Grabenbreiten ∆r bG des Gitters 9p36_pb
von den spezifizierten Grabenbreiten bG
Periode
Grabenbreite
optimierte Wellenlänge
−→ CO2 -Übergang
Gesamt-Effizienz
Λ
bG
λ45
R−1 + R0
Tabelle 6.3: Gitterparameter des Gitters 9p36_pb
6.86 µm
2.5 - 3.6 µm
9.69 µm
9P36
91 %
98
6
Messergebnisse
Die maximalen Grabenbreiten sind bei diesem Gitter zwar geringer als bei
dem Gitter 10r18_pb, aber bezogen auf die Wellenlänge ergeben sich dieselben Werte. Auch bei dem Gitter 9p36_pb ist eine deutliche Überätzung
in Form einer erhöhten Beugungseffizienz R−1 gegenüber dem spezifizierten
Reflexionsprofil R−1 Soll erkennbar. Abbildung 6.6 zeigt die relativen Abweichungen der bei diesem Reflexionsprofil erwarteten Grabenbreiten gegenüber
den spezifizierten Werten. Die Abweichung liegt zwischen 10 - 18 % und deckt
sich damit wiederum sehr gut mit den gemessenen relativen Abweichungen,
die bei Teststrukturen vermessen wurden, die sich auf dem Wafer befinden.
6.2
Strahlausbreitung der durch den Wellenleiter bestimmten Feldverteilung
Die Feldverteilung des im Rahmen dieser Arbeit aufgebauten CO2 -Lasers, mit
der in Abbildung 2.7 dargestellten Prinzipskizze, ist innerhalb des Flachkanals in y-Richtung durch die Wellenleitereigenschaften der Laserelektroden
bestimmt, wie bereits in Kapitel 2.1.3 erläutert wurde [22]. Die Verteilung des
elektrischen Feldes ist dabei in y-Richtung durch Gleichung (2.13) gegeben:
E(y) ∝
nπy
2
sin
h
h
mit
n ∈ IN .
(2.13)
Die Feldverteilung in x-Richtung unterliegt keinerlei Einschränkungen. Die
anschwingenden Feldtypen sind solche des Freiraums und primär durch die Resonatorkonfiguration bestimmt. Aus diesem Grund können die hier vorgestellten Ergebnisse auf alle anderen untersuchten Resonatorkonfigurationen übertragen werden.
Abbildung 6.7 zeigt das Strahlprofil und einen y-Schnitt eines ausgekoppelten Laserstrahls. Die Elektroden der Entladungsstruktur liegen parallel zur xzEbene, so dass der y-Schnitt die Intensitätsverteilung der durch den Wellenleiter bestimmten Koordinatenrichtung angibt. Die Aufnahmen wurden mit einer
pyroelektrischen Matrix-Array-Kamera aufgenommen [90]. Nach Auskopplung aus dem Flachkanal und aus dem Laserresonator handelt es sich in xund y-Richtung um eine, wenn auch astigmatische, G AUSS -H ERMITE-Mode,
da die Wellenleitermode hier in G AUSS -H ERMITE-Moden entwickelt werden
muss. In x-Richtung ist die Feldverteilung durch die stabile Resonatorkonfiguration bestimmt. Auf stabile Feldverteilungen wird im folgenden Abschnitt
6.3 näher eingegangen. Abbildung 6.7 a) zeigt das Strahlprofil bei optimaler
Justierung des Resonators.
Strahlausbreitung der durch den Wellenleiter bestimmten Feldverteilung
6
6
4
4
2
2
Ort y [mm]
Ort y [mm]
6.2
0
0
−2
−2
−4
−4
−6
0
−6
−5
0
Ort x [mm]
5
99
(a)
0.5
1
Intensität I(x,y)/Imax
(b)
6
6
4
4
2
2
Ort y [mm]
Ort y [mm]
Abbildung 6.7: Strahlprofil (a) und y-Schnitt (b) 340 mm nach Auskopplung durch das
Gitter; stabile Resonatorkonfiguration: L = 480 mm, tot = 495 mm,
out = ∞ (Gitter: 10p20_homog); Wellenleiterhöhe h = 2 mm,
G AUSS -H ERMITE-Mode TEM50
0
0
−2
−2
−4
−4
−6
−5
0
Ort x [mm]
(a)
5
−6
0
0.5
1
Intensität I(x,y)/Imax
(b)
Abbildung 6.8: Strahlprofil (a) und y-Schnitt (b) 340 mm nach Auskopplung durch das
Gitter; stabile Resonatorkonfiguration: L = 480 mm, tot = 495 mm,
out = ∞ (Gitter: 10p20_homog); Wellenleiterhöhe h = 2 mm,
G AUSS -H ERMITE-Mode TEM51
100
6
Messergebnisse
Strahlradius w(z) [mm]
Es ist in x-Richtung eine höhere transversale Modenordnung erkennbar, während in y-Richtung nur der niedrigste ausbreitungsfähige Wellenleiterfeldtyp vorhanden ist. Dies verdeutlicht auch der gemittelte y-Schnitt aus Abbildung 6.7 b). Es ist nur ein einziges Maximum der Intensitätsverteilung in yRichtung erkennbar. Der Laser emittiert damit einen G AUSS -H ERMITE-Mode
vom Typ TEM50 .
Abbildung 6.8 a) zeigt das ausgekoppelte Strahlprofil derselben Resonatorkonfiguration, nachdem das Gitter um die x-Achse gedreht und somit die durch
den Wellenleiter bestimmte Feldverteilung dejustiert worden ist. Es entstehen
so Verluste für den niedrigsten Wellenleitermode, so dass der nächst höhere
Wellenleitermode anschwingen kann, da er jetzt der Feldtyp mit den geringeren Verlusten ist. Abbildung 6.8 b) zeigt zur Verdeutlichung einen gemittelten
y-Schnitt des Strahlprofils aus Abbildung 6.8 a). Es handelt sich hierbei um
eine G AUSS -H ERMITE-Mode vom Typ TEM51 . Die zu erwartende Nullstelle
in y-Richtung ist durch die Drift des Strahlprofils während der Mittelung der
Aufnahme nur als Minimum ausgeprägt. Man erkennt in dem Strahlprofil aus
Abbildung 6.8 a) aber zweimal übereinander einen identischen Verlauf in xRichtung.
4
Messung
LSQ−Fit
2
0
0
100
200
300
Ort z [mm]
400
Abbildung 6.9: Strahlkaustik des ausgekoppelten Laserstrahls in y-Richtung (vgl.
Abb. 6.7); instabile Resonatorkonfiguration: L = 480 mm,
tot = −20 m, out = ∞ (Gitter: 10r18_pb), Wellenleiterhöhe h = 2 mm; λmess = 10.26 µm (10R18); Beugungsmaßzahl:
2
2
= 2.53, Msim
= 1.12
Mmess
Abbildung 6.9 zeigt eine gemessene Strahlkaustik für die Wellenleiterebene für
den niedrigsten Wellenleiterfeldtyp TEMm0 . Für die Messung wurde der ausgekoppelte Laserstrahl mit einer Linse fokussiert und die Strahlbreite daraufhin in verschiedenen Entfernungen vermessen. Die Strahlradius-Bestimmung
erfolgt daraufhin über Auswertung des Varianzintegrals aus Gleichung (3.21).
Im Bereich der Strahltaille reichte die Ortsauflösung des Detektors nicht aus,
6.3
Stabile Resonatorkonfigurationen
101
weshalb hier auf Messungen verzichtet wurde. Durch Minimierung der quadratischen Abweichung†† der Messwerte von einer theoretischen Strahlkaustik,
wie sie durch Gleichung (3.8) gegeben ist, konnte ein Strahlradiusverlauf an die
Messdaten angepasst werden. Aus diesem Fit wurde dann mit Gleichung (3.17)
2
eine Beugungsmaßzahl Mmess
= 2.54 bestimmt. Diese experimentelle Beugungsmaßzahl liegt etwa doppelt so hoch wie die durch F RESNEL-Ausbreitung
2
simulierte Beugungsmaßzahl von Msim
= 1.12. Diese Abweichung ist in
großem Maße der Instabilität des thermischen Detektors mit seinem schwankenden Nullpunktsversatz zuzuschreiben, da sich dadurch für jeden Messpunkt
eine scheinbar größere Strahltaille ergab.
Insgesamt zeigt sich aber, dass sich mit dem Prinzip des Flachkanal-Lasers sehr
gute Strahleigenschaften für CO2 -Laser erzeugen lassen. Eine Strahlformung
bzw. Modenselektion muss daher nur noch in x-Richtung erfolgen, die durch
die Resonatorkonfiguration bestimmt ist.
6.3
Stabile Resonatorkonfigurationen
Im Folgenden werden einige Messungen an stabilen Resonatorkonfigurationen
vorgestellt, um die theoretischen Ergebnisse aus Kapitel 3.1 zu bestätigen.
Abbildung 6.10 verdeutlicht die begrenzten Möglichkeiten der Strahlformung bzw. Modenselektion bei stabilen Resonatorkonfigurationen. Abbildung 6.10 a) zeigt das Strahlprofil einer höheren transversalen G AUSS H ERMITE-Modenordnung. Gemäß Gleichung (3.9) ergeben sich Strahlradien für den G AUSS -H ERMITE-Grundmode TEM00 von wtot0 = 2.75 mm und
wout0 = 2.69 mm. Gemäß Gleichung (3.8) lässt sich somit bestimmen, dass
bei einer Flachkanalbreite von wF = 15 mm maximal ein TEM30 anschwingen kann. Höhere transversale Modenordnungen haben bereits einen merklichen Anteil ihres Feldes außerhalb des durch die Gasentladung angeregten Bereiches und haben daher höhere Resonatorverluste. Bei der Aufnahme des in
Abbildung 6.10 b) dargestellten Strahlprofils wurde das Gitter 10r18_pb als
Auskoppelelement verwendet. Durch das aus Abbildung 6.3 bekannte G AUSSförmige Reflexionsprofil des Gitters wird die Auskopplung abseits der Resonatormitte erhöht. Höhere transversale G AUSS -H ERMITE-Modenordnungen haben dadurch aber höhere Verluste. Im in Abbildung 6.10 b) dargestellten Fall
konnte nur noch ein TEM10 in dem Resonator anschwingen. Betrachtet man
den in Abbildung 6.10 c) dargestellten x-Schnitt des Strahls, fällt die Asymmetrie der Leistungsverteilung des Strahlprofils (b) auf. Diese kommt von einer Verschiebung des G AUSSschen Reflexionsprofils bzgl. der Resonatorachse.
†† engl.
least-square-fit, Abk. LSQ-Fit
102
6
Messergebnisse
Ort y [mm]
2
0
−2
−6
−4
−2
0
Ort x [mm]
2
4
6
2
4
6
2
4
6
(a)
Ort y [mm]
2
0
−2
−6
−4
−2
0
Ort x [mm]
Intensität I(x,y)/Imax
(b)
1
0.5
0
−6
Abb. 6.10(a)
Abb. 6.10(b)
−4
−2
0
Ort x [mm]
(c)
Abbildung 6.10: Modenselektion bei stabilen Resonatorkonfigurationen;
L = 480 mm, tot = +10 m, Gitter = ∞; (a) Strahlprofil mit
ˆ 10p20_homog, (b) Strahlprofil mit R−1 =
ˆ 10r18_pb,
R−1 =
(c) x-Schnitte aus (a) und (b)
Eine laterale Verschiebung des Gitters war bei dem im Rahmen dieser Arbeit
aufgebauten Lasersystem nicht möglich.
Abbildung 6.11 zeigt das Strahlprofil bei einer stabilen Resonatorkonfiguration nahe der aus Ungleichung (3.2) bekannten Stabilitätsgrenze. Man kann
in dem abgebildeten Modengemisch durch Abzählen der Maxima und Minima einen TEM50 als höchste transversale Modenordnung erkennen. Da der
Krümmungsradius tot nur wenig größer als die Resonatorlänge L ist, ergeben
Stabile Resonatorkonfigurationen
Intensität I(x,y)/I
max
6.3
103
1
0.5
0
5
−5
0
0
5
−5
Ort x [mm]
Ort y [mm]
Abbildung 6.11: Strahlprofil eines Laserstrahls 340 mm nach Auskopplung durch das
Gitter; stabile Resonatorkonfiguration; L = 480 mm,
tot = 495 mm, out = ∞ (Gitter: 10p20_homog),
λ = 10.59 µm (10P20)
Strahlradius w(z) [mm]
sich nach Gleichung (3.9) stark unterschiedliche Strahlradien für den G AUSS H ERMITE-Grundmode an den Resonatorspiegeln von wtot0 = 3.07 mm und
wout0 = 0.54 mm. Abbildung 6.12 zeigt dieses Verhalten graphisch für ausgewählte TEMm0 Gaußstrahlen. Durch den kleineren Krümmungsradius des
Totalreflektorspiegels und die damit verbundenen höheren Strahldivergenzen
TEM00
TEM
20
TEM
40
TEM60
10
5
Slab
0
−400
−300
−200
Ort z [mm]
−100
0
Abbildung 6.12: Numerisch berechnete Strahlkaustik innerhalb des Resonators einer stabilen Resonatorkonfiguration in x-Richtung; L = 480 mm,
links = 495 mm, rechts = ∞, λ = 10.59 µm (10P20)
104
Strahlradius w(z) [mm]
6
10
Messergebnisse
Messung
LSQ−Fit
5
0
0
100
200
300
400
Ort z [mm]
500
600
Abbildung 6.13: Strahlkaustik des ausgekoppelten Laserstrahls einer stabilen Resonatorkonfiguration in x-Richtung; L = 480 mm, tot = 495 mm,
out = ∞ (Gitter: 10p20_homog) λ = 10.59 µm (10P20); Beu2
= 11.63
gungsmaßzahl: Mmess
für alle transversalen Modenordnungen kann bei dieser Resonatorkonfiguration auch eine transversale Modenordnung anschwingen, die zum Teil außerhalb des durch den Flachkanal begrenzten aktiven Mediums geführt wird.
Abbildung 6.13 zeigt eine gemessene Strahlkaustik des ausgekoppelten Laserstrahls mit dem aus Abbildung 6.11 bekannten Strahlprofil. Daraus wurde
2
eine Beugungsmaßzahl Mmess
= 11.63 bestimmt. Das Strahlprofil aus Abbildung 6.11 ist durch eine G AUSS -H ERMITE-Mode TEM50 geprägt. Gemäß
2
Gleichung (3.18) erhält man dafür eine Beugungsmaßzahl MTEM
= 11, die
50
das Messergebnis sehr gut bestätigt.
Wie bereits bei der theoretischen Betrachtung in Kapitel 3.1 festgestellt, ist
es bei stabilen Resonatorkonfigurationen nur möglich, bei großen Modenvolumen Laserstrahlen mit hoher Leistung und geringer Beugungsmaßzahl auszukoppeln, wenn die Spiegelkrümmungsradien, gemäß den Gleichungen (3.8)
und (3.9), sehr groß werden. Sehr große Krümmungsradien können aber technisch nicht mehr präzise hergestellt werden, da sie nur schwierig vermessen werden können und Verbiegungen des Substrats deutliche Abweichungen erzeugen [91]. Darüber hinaus würden die Krümmungsradien durch die,
wenn auch nur geringe Absorption thermisch verzogen werden [92]. Bei normal erhältlichen Resonatorspiegeln schwingen daher stets höhere transversale
G AUSS -H ERMITE-Modenordnungen an, die für Strahlführungssysteme Probleme durch große Divergenzwinkel erzeugen und bei Fokussierung große Fokusdurchmesser aufweisen. Durch Resonatorspiegel mit variabler Reflektivität
ist es bei stabilen Resonatorkonfigurationen kaum möglich, den Strahl zu formen. Die transversale Ausdehnung der einzelnen G AUSS -H ERMITE-Moden ist
alleine durch die Krümmungsradien der Resonatorspiegel bestimmt. Der Einsatz von Resonatorspiegeln mit variabler Reflektivität zur Erzielung eines La-
6.4
Instabile Resonatorkonfigurationen des positiven Asts
105
serstrahls, der sich ähnlich eines TEM00 Grundmodes verhält, entspricht somit
einer Einschränkung des Modenvolumens und damit einer Verringerung der
auskoppelbaren Leistung.
6.4
Instabile Resonatorkonfigurationen des positiven Asts
Im Folgenden werden einige Messungen an instabilen Resonatorkonfigurationen des positiven Asts vorgestellt. Die Messungen wurden mit den planen
Gittern 10r18_pb und 9p36_pb und einem Totalreflektorspiegel mit einem
Krümmungsradius von tot = −20 m durchgeführt. Es handelt sich von daher um nicht kollimierte instabile Resonatorkonfigurationen des positiven Asts
gemäß Abbildung 3.8 c).
6.4.1
Messungen im 10 R – Band
Abbildung 6.14 zeigt ein Strahlprofil eines ausgekoppelten Laserstrahls einer
instabilen Resonatorkonfiguration. Als resonatorinternes strahlformendes Element wurde das Gitter 10r18_pb verwendet. Wie in Kapitel 3.2.1 numerisch
bestimmt, ist es bei instabilen Resonatoren möglich, die resonatorinterne Feld-
Intensität I(x,y)/I
max
1
0.5
0
5
5
0
Ort y [mm]
0
−5
−5
Ort x [mm]
Abbildung 6.14: Strahlprofil eines Laserstrahls 365 mm nach Auskopplung durch
das Gitter; instabile Resonatorkonfiguration; L = 480 mm,
tot = −20 m, out = ∞ (Gitter: 10r18_pb), λ = 10.26 µm
(10R18)
106
Strahlradius w(z) [mm]
6
3
2
Messergebnisse
Messung
LSQ−Fit
1
0
0
200
400
Ort z [mm]
600
800
Abbildung 6.15: Strahlkaustik des ausgekoppelten Laserstrahls einer instabilen Resonatorkonfiguration in x-Richtung; L = 480 mm, tot = −20 m,
out = ∞ (Gitter: 10r18_pb) λ = 10.26 µm (10R18); Beugungs2
= 1.68
maßzahl: Mmess
verteilung durch den Einsatz eines Resonatorspiegels mit variabler Reflektivität zu formen, da keine feste transversale Modenstruktur vorhanden ist, wie bei
den G AUSS -H ERMITE-Moden eines stabilen Resonators. Abbildung 6.15 zeigt
die Strahlkaustik des ausgekoppelten Laserstrahls der Resonatorkonfiguration
des aus Abbildung 6.14 bekannten Laserstrahlprofils. Mit dem oben beschrie2
benen Verfahren konnte ein Mmess
= 1.68 bestimmt werden. Bereits in dem
Strahlprofil aus Abbildung 6.14 ist zu erkennen, dass der Strahl einen Großteil
seiner Feldverteilung innerhalb eines Gaußstrahl-Grundmodes haben muss.
Das Gitter 10r18_pb hat die optimierte Wellenlänge λ45 = 10.26 µm des
CO2 -Laserübergangs 10R18. Durch Drehen des Gitters um die y-Achse ist
es trotz der Optimierung auf diesen Übergang möglich, den Laser auf einen
anderen CO2 -Übergang abzustimmen. Abbildung 6.16 zeigt graphisch das
Wellenlängen-Abstimmverhalten des Lasers. Die CO2 -Laserübergänge wurden mit einem geeichten Gitter-Monochromator durchgeführt [93]. Es konnte bei allen CO2 -Übergängen zwischen dem 10R4 (λ10R4 = 10.37 µm) und
dem 10R40 (λ10R40 = 10.13 µm) Laserleistung erzeugt werden. Das Abstimmverhalten wurde zum einen durch die geringere Kleinsignalverstärkung
der anschließenden Übergänge 10R2 bzw. 10R42 begrenzt, aber auch durch
die eingeschränkte mechanische Drehmöglichkeit des optischen Gitters. Der
durch Simulation bestimmte Wellenlängen-Abstimmbereich des Lasers innerhalb des 10 R-Bandes liegt zwischen den CO2 -Übergängen 10R6 und 10R48.
Die Parameter der Simulation sind in Anhang A zusammengefasst [36].
6.4
Instabile Resonatorkonfigurationen des positiven Asts
107
30
Laserleistung PL [W]
25
20
15
10
R40
R36
R32
R28
R24
R20
R16
R8
R4
0
R12
5
Laserlinie im 10 R-Band
Abbildung 6.16: Abstimmverhalten des Gitters 10r18_pb innerhalb des 10 RBandes; Pumpleistung PHF = 620 W
6.4.2
Messungen im 9 P – Band
Abbildung 6.17 zeigt ein Strahlprofil eines Lasers mit instabiler Resonatorkonfiguration und dem Gitter 9p36_pb als Auskoppelelement. Die G AUSSFunktion, die dem Reflexionsprofil zugrunde liegt, ist bei dem Gitter 9p36_pb
breiter als bei dem Gitter 10r18_pb, wie durch Vergleich der Abbildungen
6.3 und 6.5 zu erkennen ist. Dies spiegelt sich auch deutlich in dem ausgekoppelten Strahlprofil wider. Der Strahl ist in x-Richtung breiter und zeigt bereits
ein Plateau in der Strahlmitte. Dies deutet an, dass die Beugungseffizienz R−1
wegen der Überätzung des Silizium-Substrats zu groß ist. Das Medium ist in
der Strahlmitte schon deutlich in Sättigung. Außerhalb der Strahlmitte ist die
Übersättigung des aktiven Mediums geringer und die Auskopplung aus dem
Resonator höher, weshalb eine konstante Leistung über mehrere Millimeter
Breite erzielt wird.
Abbildung 6.18 zeigt die Strahlkaustik des Strahlprofils aus Abbildung 6.17.
Ein Vergleich der Strahlprofile aus den Abbildungen 6.14 und 6.17 lässt bereits eine größere Beugungsmaßzahl M 2 erwarten. Für den mit dem Gitter 9p36_pb ausgekoppelten Laserstrahl ergab sich eine Beugungsmaßzahl
2
Mmess
= 2.51. Betrachtet man die Beugungsmaßzahl als gewichtete Summe
einzelner G AUSS -H ERMITE-Moden, gemäß Gleichung (3.19), so enthält der in
108
Intensität I(x,y)/Imax
6
Messergebnisse
1
0.5
5
0
−5
0
0
5
−5
Ort y [mm]
Ort x [mm]
Abbildung 6.17: Strahlprofil eines Laserstrahls 380 mm nach Auskopplung durch
das Gitter; instabile Resonatorkonfiguration; L = 480 mm,
tot = −20 m, out = ∞ (Gitter: 9p36_pb), λ = 9.69 µm (9P36)
Abbildung 6.18 untersuchte Gaußstrahl bereits merklich Anteile höherer Moden.
Abbildung 6.19 zeigt wiederum graphisch das Abstimmverhalten des Gitters
9p36_pb (λ45 = 9.69 µm), diesmal innerhalb des 9 P - Bandes. Es konnten
alle CO2 -Laserübergänge zwischen dem 9P8 (λ9P8 = 9.46 µm) und dem 9P42
(λ9P42 = 9.75 µm) zum Anschwingen gebracht werden. Wegen der Optimierung des Gitters auf den Übergang 9P36 konnte aus mechanischen Gründen
keine CO2 -Laserlinie unterhalb des CO2 -Übergangs 9P8 erzielt werden. Die
Übergänge jenseits des CO2 -Übergangs 9P42 besitzen nur eine geringe Kleinsignalverstärkung, weshalb hier keine Laserleistung mehr ausgekoppelt werden konnte. Der durch Simulation bestimmte Wellenlängen-Abstimmbereich
des Lasers innerhalb des 9 P-Bandes liegt zwischen den CO2 -Übergängen 9P6
und 9P48. Die Simulationsparameter finden sich wiederum in Anhang A [36].
Instabile Resonatorkonfigurationen des positiven Asts
Strahlradius w(z) [mm]
6.4
4
109
Messung
LSQ−Fit
2
0
0
100
200
300
400
Ort z [mm]
500
600
Abbildung 6.18: Strahlkaustik des ausgekoppelten Laserstrahls einer instabilen Resonatorkonfiguration in x-Richtung; L = 480 mm, tot = −20 m,
out = ∞ (Gitter: 9p36_pb) λ = 9.69 µm (9P36); Beugungsmaß2
= 2.51
zahl: Mmess
40
Laserleistung PL [W]
35
30
25
20
15
10
P40
P36
P32
P28
P24
P20
P16
P8
0
P12
5
Laserlinie im 9 P-Band
Abbildung 6.19: Abstimmverhalten des Gitters 9p36_pb innerhalb des 9 P-Bandes;
Pumpleistung PHF = 620 W
110
6.5
6
Messergebnisse
Instabile Resonatorkonfigurationen des negativen Asts
Wie in Kapitel 3.2.1 ausführlich beschrieben, sind die gebräuchlichsten instabilen Resonatorkonfigurationen konfokale Konfigurationen mit einem kollimierten Strahlungsfeld. Gemäß Gleichung (3.25) benötigen die beiden konfokalen
instabilen Resonatorkonfigurationen gekrümmte Resonatorspiegel. Wegen des
monokristallinen Silizium-Substrats ist eine Krümmung der Gitter aber nicht
möglich. Von daher wird auf die in Kapitel 2.3.4 vorgestellte Methode zurückgegriffen, durch eine Variation der Gitterperiode Λ fokussierende Eigenschaften des Gitters zu erhalten. Es ist fertigungstechnisch einfacher, kleine Krümmungsradien mit einer großen Schwankung des Beugungswinkels βm zu erzeugen, da die Variation der Gitterperiode Λ gemäß Gleichung (2.69) im Vergleich zur Schwankung des Beugungswinkels βm klein ist. Aus diesem Grund
wird dieses Verfahren nur bei instabilen Resonatoren des negativen Asts eingesetzt.
6.5.1
Diskretisierung der Gitterperioden
Die hier benötigten Gitter haben eine fokussierende Wirkung mit einer Brennweite fB = 232.5 mm. Gemäß Gleichung (2.21) entspricht dies einem Krümmungsradius des Gitters out = 465 mm. Zusammen mit einem entsprechenden Totalreflektorspiegel ergibt sich damit die Konfokalbedingung aus Gleichung (3.25):
1 + 2 = 2 L
(3.25)
495 mm + 465 mm = 2 · 480 mm
.
Die baulich bedingte Breite eines Gitters beträgt etwa 30 mm. Zusammen
mit der Brennweite fB = 232.5 mm ergibt sich die aus Abbildung 2.24 und
der Gittergleichung (2.44) abgeleitete Gleichung (2.69) für eine ortsabhängige
Gitterperiode Λ(x):
Λ(x) =
sin α + arctan
λ
x
f + x · tan α
,
(2.69)
+ sin α
mit einem Zusammenhang zwischen der Ortskoordinate des Laserresonators x
und der Ortskoordinate des Gitter xG :
x = xG sin αLitt
.
(6.2)
6.5
Instabile Resonatorkonfigurationen des negativen Asts
15
Ort xG [mm]
10
111
Λ
disk
Λ
kont
5
0
−5
−10
−15
7050 7100 7150 7200 7250 7300 7350 7400 7450
Gitterperiode Λ [nm]
Abbildung 6.20: Variable Gitterperiode Λ(xG ) als Funktion der Gitterposition xG für
ein Gitter mit einer Brennweite fB = 232.5 mm bei einer Wellenlänge λ = 10.26 µm (10R18)
Abbildung 6.20 zeigt den Verlauf einer variablen Gitterperiode in Abhängigkeit der Position auf dem Gitter für eine Wellenlänge λ = 10.26 µm. Die
Gitterperiode nimmt dabei Werte zwischen 7.10 µm und 7.43 µm an. Je größer die Brennweite des Gitters sein soll, desto geringer wird der Variationsbereich der Gitterperiode und desto kleiner ist das sich ergebende Winkelspektrum bei gleichem Aperturdurchmesser. Zur Herstellung der hier verwendeten
Gitter ist eine Cr-Maske für den Photolithographie-Prozess notwendig, wie in
Kapitel 4.3 beschrieben. Das zugrunde liegende Schreibraster zur Herstellung
dieser Masken betrug 20 nm. Aus diesem Grund ist in Abbildung 6.20 neben dem kontinuierlichen Gitterperiodenverlauf Λkont auch der entsprechende
mit 20 nm diskretisierte Gitterperiodenverlauf Λdisk dargestellt. Wegen dieser,
bezogen auf die gesamte Gitterperiodenvariation von ca. 300 nm, groben Rasterung ist es kaum möglich, fokussierende Gitter für instabile Resonatorkonfigurationen des positiven Asts herzustellen. Für einen Diskretisierungsschritt
ddisk der Gitterposition xG mit gleicher Gitterperiode Λ gilt ddisk ≤ 2 mm,
wie in Abbildung 6.20 zu erkennen ist.
Inwieweit die makroskopische Diskretisierung der Gitterperiode einen Einfluss
auf die elektromagnetische Welle hat, die auf das Gitter einfällt, soll durch eine Betrachtung der ersten F RESNEL-Zone für die Reflexion abgeschätzt wer-
112
6
Messergebnisse
den [26]. Der Radius der ersten F RESNEL-Zone in Reflexion ist durch Gleichung (6.3) gegeben:
λ
(6.3)
L2 + x2F = L +
4
λ
λL
λ
=⇒ xF =
L+
≈
2
8
2
xF (λ ≈ 10 µm, L = 480 mm) = 1.5 mm
.
Der Durchmesser der ersten F RESNEL-Zone in Reflexion ist somit größer als
ein Diskretisierungsschritt der Gitterperiode:
3 mm ≈ 2 xF > ddisk ≥ 2 mm
.
Die Abbildungen 6.21 bis 6.23 verdeutlichen die fokussierende Wirkung von
Gittern mit variabler Periode. Parallel zur optischen Achse einfallende Lichtstrahlen werden in der dargestellten Art reflektiert und somit fokussiert. Die
Ausbreitungslänge aller Strahlen ist für die Abbildungen gleich gewählt, weshalb vom Gitter gesehen hinter dem Fokus ein asymmetrischer Verlauf zu erkennen ist. Abbildung 6.21 und Abbildung 6.23 a) zeigen den Idealfall einer
kontinuierlichen Variation der Gitterperiode. Die Lichtstrahlen treffen gleichmäßig in den Fokus, der auch bei deutlicher Vergrößerung keine endliche Ausdehnung aufweist. Durch die Diskretisierung wird der Fokus aufgeweitet, wie
in Abbildung 6.21 und Abbildung 6.23 b) zu erkennen. Wegen der Diskretisierung wird stets ein ganzer Bereich einfallender Lichtstrahlen parallel abgelenkt. Dies führt zu einer Vergrößerung des Fokus. Instabile Resonatorkonfigurationen des negativen Asts besitzen einen Fokus innerhalb des Resonators.
Durch die Aufweitung des Fokus, wie sie in Abbildung 6.23 deutlich zu erkennen ist, wird dieser Bereich extrem hoher Feldstärken verringert, was mögliche
auftretende Probleme reduziert, wie z. B. die Ionisation des aktiven Mediums.
6.5
Instabile Resonatorkonfigurationen des negativen Asts
113
10
Ort x [mm]
5
0
−5
−10
−300
−250
−200
−150 −100
Ort z [mm]
−50
0
Abbildung 6.21: Am Gitter (rechts im Ursprung) in die -1te Beugungsordnung gebeugte Strahlen mit Λ = Λkont aus Abbildung 6.20 und λ = 10.26 µm
10
Ort x [mm]
5
0
−5
−10
−300
−250
−200
−150 −100
Ort z [mm]
−50
0
2
2
1
1
Ort x [mm]
Ort x [mm]
Abbildung 6.22: Am Gitter (rechts im Ursprung) in die -1te Beugungsordnung gebeugte Strahlen mit Λ = Λdisk aus Abbildung 6.20 und λ = 10.26 µm
0
−1
−2
−260
0
−1
−240
−220
Ort z [mm]
−200
(a) Vergrößerung aus Abbildung 6.21
−2
−260
−240
−220
Ort z [mm]
−200
(b) Vergrößerung aus Abbildung 6.22
Abbildung 6.23: Vergrößerungen der Fokusse aus den Abbildungen 6.21 und 6.22
114
6.5.2
6
Messergebnisse
Messung des Krümmungsradius
Die Vermessung der in Abschnitt 6.5.1 beschriebenen Gitter wurde mit dem in
Abbildung 6.1 vorgestellten Messaufbau durchgeführt. Es musste hierbei aber
darauf geachtet werden, dass der Beugungswinkel β−1 = α + γ nicht für alle
Gitterpositionen xG identisch ist, wie in Abbildung 6.24 dargestellt ist.
0te B.O.
-1
bu
ng
G
itt
er
ve
rs
ch
ie
-1te B.O.
Abbildung 6.24: Messprinzip der Messung der Beugungswinkelvariation
Das Gitter wurde unter dem L ITTROW-Winkel beleuchtet und in Gitterebene
in der in Abbildung 6.24 dargestellten Richtung verschoben. Dabei wurde der
aus den Gleichungen (2.65) und (2.66) bekannte Fokuswinkel γ in Abhängigkeit der Gitterposition xG detektiert.
Abbildung 6.25 zeigt die Messung des Fokuswinkels γ an dem Gitter
10r18_nb, das nach den genannten Kriterien dimensioniert wurde. Es zeigt
sich eine sehr gute Übereinstimmung zwischen dem theoretischen Verlauf und
der Messung. Gleichzeitig verdeutlicht Abbildung 6.25 nochmals das sehr kleine Winkelspektrum γ mit seinen Problemen für instabile Resonatorkonfigurationen des positiven Asts.
Abbildung 6.26 zeigt den Strahlenverlauf, der sich bei parallel zur optischen
Achse einfallenden Lichtstrahlen und dem aus Abbildung 6.25 bekannten Winkelspektrum ergibt. Wiederum ist auch der aus Abbildung 6.22 bekannte theoretische Verlauf eingezeichnet, um den gemessenen Strahlenverlauf zu bestätigen.
Instabile Resonatorkonfigurationen des negativen Asts
Winkel γ [°]
6.5
115
Theorie
Messung
2
0
−2
−15
−10
−5
0
5
Ort xG [mm]
10
Abbildung 6.25: Fokuswinkel γ in Abhängigkeit der
λmess = 10.26 µm, Gitter: 10r18_nb
10
15
Gitterposition
xG ;
Theorie
Messung
Ort x [mm]
5
0
−5
−10
−300
−250
−200
−150 −100
Ort z [mm]
−50
0
Abbildung 6.26: Messung von am Gitter (rechts im Ursprung) in die -1te Beugungsordnung gebeugter Strahlen; Gitter 10r18_nb mit dem Winkelspektrum aus Abbildung 6.25
116
6.5.3
6
Messergebnisse
Messung der Gittereffizienzen
Abbildung 6.27 zeigt die Beugungseffizienz des Gitters 10r18_nb. Das
Gitter hat durch Variation der Gitterperiode Λ eine Brennweite von
fB = 232.5 mm, wie oben bestimmt. Gleichzeitig wurde bei diesem Gitter auch die Grabenbreite bG variiert, so dass sich auch die in die -1te Beugungsordnung gebeugte Leistung räumlich ändert. Bei der in Abbildung 6.27
dargestellten Messung wurde sowohl der Detektor für die nullte als auch der
Detektor für die -1te Beugungsordnung räumlich fest montiert. Aus diesem
Grund ist nur ein Teil der -1ten Beugungsordnung direkt vermessen. Im übrigen Messbereich wurde die Beugungseffizienz R−1 durch die Differenz der
Gesamt-Effizienz des Gitters und der Beugungseffizienz R0 ergänzt. Man erkennt, wie schon in den Abbildungen 6.3 und 6.5, dass die gemessene Beugungseffizienz R−1 und R−1 kont oberhalb der spezifizierten Beugungseffizienz R−1 Soll liegt. Dies liegt wiederum an der Überätzung des Wafers. Die
relativen Abweichungen der Grabenbreiten ∆r bG von den spezifizierten Grabenbreiten bG sind in Abbildung 6.28 dargestellt. Sie liegen, wie schon bei den
Abbildungen 6.4 und 6.6, im Bereich von 10 % bis 20 %. Auch die GesamtEffizienz des Gitters bleibt mit 94.7 % wiederum hinter den theoretischen
Erwartungen zurück. Die wichtigsten Parameter des Gitters 10r18_nb sind
nochmals in Tabelle 6.4 zusammengefasst.
6.5
Instabile Resonatorkonfigurationen des negativen Asts
117
1
R0
R−1 mess
R−1 kont
R0 + R−1
R
−1Soll kont
R−1Soll disk
Beugungseffizienz R
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−10
−5
0
5
10
Gitterposition xG [mm]
15
Abweichung ∆r bG [%]
Abbildung 6.27: Gemessene Beugungseffizienzen R0 und R−1 für das Gitter
10r18_nb; Λ = 7.12−7.42 µm, αmess ≈ 47°, λmess = 10.26 µm
(10R18)
30
20
10
0
1.5
∆r 10r18_nb
∆r Teststruktur
2
2.5
3
Grabenbreite bG [µm]
3.5
Abbildung 6.28: Relative Abweichung der Grabenbreiten ∆r bG
10r18_nb von den spezifizierten Grabenbreiten bG
Periode
Grabenbreite
optimierte Wellenlänge
−→ Übergang
Gesamt-Effizienz
Λ
bG
λ45
R−1 + R0
Tabelle 6.4: Gitterparameter des Gitters 10r18_nb
4
des Gitters
7.12 - 7.42 µm
2.5 - 3.7 µm
10.26 µm
10R18
94.7 %
118
6
6.5.4
Messergebnisse
Verwendung im Resonator
6
6
4
4
2
2
Ort y [mm]
Ort y [mm]
Bei Anwendung der aus den Abschnitten 6.5.2 und 6.5.3 bekannten Gitter im
Resonator ergab sich das in Abbildung 6.29 dargestellte Strahlprofil. Dieses
Strahlprofil zeigt ausgeprägte Maxima und Minima. Dies deutet mehr auf eine
stabile als auf eine instabile Resonatorkonfiguration hin, die stets eine gleichmäßige Ausnutzung des aktiven Mediums vorweisen. Wegen der deutlichen
Asymmetrie des x-Schnittes, wie er in Abbildung 6.29 c) dargestellt ist, handelt es sich aber nicht um einen einzigen multimodigen Laserstrahl einer Frequenz, sondern um ein Gemisch mehrerer Strahlen. Dies verdeutlicht auch eine
Frequenzanalyse des ausgekoppelten Laserstrahls. Abbildung 6.30 zeigt eine
0
0
−2
−2
−4
−4
−6
−6
−4
−2
0
2
Ort x [mm]
4
6
0.5
Intensität I(x,y)/I
1
max
(a)
Intensität I(x,y)/Imax
−6
0
(b)
1
0.5
0
−6
−4
−2
0
2
Ort x [mm]
4
6
(c)
Abbildung 6.29: Strahlprofil eines Laserstrahls 350 mm nach Auskopplung durch
das Gitter; „instabile“ Resonatorkonfiguration; L = 480 mm,
tot = 495 mm, out = 465|disk mm (Gitter: 10r18_nb)
Instabile Resonatorkonfigurationen des negativen Asts
{
{
6.5
119
gleichzeitiger
Laserbetrieb
Abbildung 6.30: Photographie der kalibrierten Skala des 10 R-Bandes eines analogen
Monochromators [93]; der Laser oszilliert gleichzeitig auf den CO2 Übergängen 10R16 bis 10R24
Photographie der Messskala eines Monochromators [93]. Auf der Skala ist der
Vibrationsübergang (000 1) → (100 0) im Bereich des 10 R - Bandes zu erkennen. Das in Abbildung 6.29 dargestellte Strahlprofil enthält fünf unterschiedliche CO2 -Laserübergänge im Bereich von 10.22 µm bis 10.28 µm gleichzeitig.
Ein einzelner CO2 -Laserübergang ist überwiegend homogen druckverbreitert
[3] [15] [96]. Es ist innerhalb eines Vibrations-Rotations-Überganges somit
nicht möglich, dass der Laser in einem multifrequenten Betrieb oszilliert,
d. h., dass mehrere G AUSS -H ERMITE-Moden gleichzeitig anschwingen. Unterschiedliche Vibrations-Rotations-Übergänge unterliegen aber keiner solchen
Zwangsbedingung. Ein gleichzeitiger Laserbetrieb ist somit möglich, wenn
die jeweiligen CO2 -Übergänge genügend verstärkt werden. Wegen der auf
Seite 12 beschriebenen sehr schnellen Thermalisierung der unterschiedlichen
Rotationsniveaus desselben Vibrationsniveaus wird die Besetzung der Rotationsniveaus durch die stimulierten Übergänge zwischen den beiden beteiligten Vibrations-Rotations-Niveaus nicht beeinflusst. Verstärkung zweier unterschiedlicher Laser-Übergänge gleichzeitig ist z. B. möglich, wenn die beiden
Laser-Übergänge an unterschiedlichen Orten im Entladungsplasma stattfinden. Eine bekannte Möglichkeit ist räumliches Lochbrennen [3]. Stellt sich für
einen Laser-Übergang die aus Gleichung (3.3) bekannte Resonanz-Bedingung
120
6
Messergebnisse
ein, so gibt es entlang der Resonatorlänge ausgeprägte Wellenbäuche und knoten, d. h. Feldstärkemaxima und -minima. In den Maxima wird die Besetzungsinversion durch den Laser-Übergang stark abgebaut. In den Knoten bleibt
sie dagegen erhalten. Auf diese Weise wird ein anderer Laser-Übergang bevorzugt oder auch nur eine andere transversale oder longitudinale Ordnung eines
G AUSS -H ERMITE-Modes, bei welchem ein Teil der Wellenbäuche in die Wellenknoten des ersten fallen. Dieser kann dann ebenfalls anschwingen. Auf die
gleiche Weise können unterschiedliche Laser-Übergänge anschwingen, wenn
ihre Feldverteilung im Resonator transversal unterschiedlich ist. Dies kann auftreten, wenn innerhalb des Resonators an unterschiedlichen Orten unterschiedliche Verluste für die unterschiedlichen Laser-Übergänge vorhanden sind, wie
dies bei einem Gitter mit räumlich variabler Gitterperiode Λ der Fall ist.
Die Abbildungen 6.31 bis 6.33 zeigen schematisch den auftretenden Effekt,
der zum Multi-Wellenlängen-Betrieb des Lasers führt.
Abbildung 6.31 skizziert die geplante Funktionsweise des Gitters mit variabler
Gitterperiode Λ in drei Teilen. In Abbildung 6.31 a) ist der hier aufgebaute Laserresonator dargestellt, der aus einem Totalreflektorspiegel mit Krümmungsradius 1 > L und einem Gitter gebildet wird. Abbildung 6.31 b) zeigt die
instabile Resonatorkonfiguration, die sich mit Hilfe des planen Gitters mit fokussierenden Eigenschaften ergeben sollte. Das Gitter sollte einem sphärischen
Krümmungsradius 2 < L entsprechen. Dies ist identisch mit dem Fall einer
kontinuierlichen Gitterperiodenvariation. Abbildung 6.31 c) zeigt den äquivalenten Fall, der sich bei einem Gitter ergibt, das eine diskretisierte Gitterperiodenvariation aufweist. Anstatt eines sphärischen Spiegels mit runder Krümmung erhält man eine segmentierte Struktur. Die Länge der Segmente entspricht einem Diskretisierungsschritt ddisk . Dadurch sind aber auf dem Resonatorspiegel mit der Krümmung 2d < L Planspiegel vorhanden.
Jedes Segment des segmentierten Spiegels ist selbst ein Planspiegel mit kleiner
Apertur. Da der Krümmungsradius des anderen Resonatorspiegels 1 > L ist,
kann somit auch ein stabiler G AUSS -H ERMITE-Mode anschwingen.
6.5
Instabile Resonatorkonfigurationen des negativen Asts
1
121
Gitter
a)
L
1
2
b)
L
1
2d
c)
ddisk
L
Abbildung 6.31: Resonatorkonfiguration des gitterabstimmbaren Lasers; (a) realer
Aufbau, (b) geplante Konfiguration, (c) Konfiguration mit segmentiertem Resonatorspiegel
122
6
Messergebnisse
2d
1
a)
L
1
Gitter
ddisk
ddisk
b)
ddisk
L
Abbildung 6.32: Stabile Resonatorkonfiguration mit (a) segmentiertem Resonatorspiegel und (b) diskretisierter Gitterperiode
Dieses Verhalten ist in Abbildung 6.32 dargestellt. Abbildung 6.32 a) zeigt eine
sich ausbreitende stabile Feldverteilung für den segmentierten Resonatorspiegel mit dem Krümmungsradius 2d an. Abbildung 6.32 b) stellt die äquivalente
Feldverteilung für den real vorhandenen Fall des Gitters mit der diskretisierten
Gitterperiodenvariation dar.
Es konkurriert somit eine instabile Resonatorkonfiguration, wie sie in Abbildung 6.31 c) dargestellt ist, mit einer stabilen Resonatorkonfiguration, wie sie
in Abbildung 6.32 a) zu sehen ist.
Bei einer stabilen Resonatorkonfiguration ergeben sich wieder die Strahlradien,
wie sie in Abbildung 6.12 dargestellt sind. Bei einem Diskretisierungsschritt
des Gitters von ddisk ≈ 2 mm ergibt sich mit Gleichung (3.8) eine maximale ausbreitungsfähige transversale Modenordnung m eines G AUSS -H ERMITEModes von:
√
wm (z) = w0 (z) 2m + 1 ,
(3.8)
√
∅max Apertur
2m + 1 ≈
2 w0m
ddisk sin αLitt
≈
2 w0m
=⇒
m ≈ 1.5
.
,
(6.4)
,
(6.5)
(6.6)
6.5
Instabile Resonatorkonfigurationen des negativen Asts
123
Es ist somit mit einer Diskretisierung ddisk ≈ 2 mm eine stabile transversale Feldverteilung bis zu einem TEM10 in x-Richtung immer ausbreitungsfähig.
Nahe der optischen Achse sind auch höhere transversale Modenordnungen von
G AUSS -H ERMITE-Moden ausbreitungsfähig, da die Fokuswinkel γ dort sehr
klein sind.
Abbildung 6.33 erweitert dieses Modell um weitere stabile Feldverteilungen,
die sich wegen benachbarter und daher anders diskretisierter Segmente ausbreiten können. Um eine Übersichtlichkeit zu gewährleisten, sind nur drei Feldverteilungen dargestellt und mit (a), (b) und (c) gekennzeichnet. Unterschiedliche
stabile Feldverteilungen, die sich in diesem Resonator ausbreiten können, unterscheiden sich somit durch
• ihre Resonatorlänge La = Lb = Lc und
• die Neigung ihrer optischen Achse zur mittigen Achse des Resonators
und damit
• ihrer Emissionsfrequenz fa = fb = fc und
• ihrer Ausbreitungsrichtung.
Die unterschiedlichen Ausbreitungsrichtungen der verschiedenen Emissionsfrequenzen des Lasers erschweren eine Anwendung diese Phänomens. Der
Laserstrahl dieses Gemisches hat dadurch eine höhere Strahldivergenz, die
bei Strahlführungssystemen beachtet werden muss. Nur bei Applikationen in
der Materialbearbeitung oder anderen Anwendungen, bei denen die Strahlung
nur absorbiert werden muss, kann das Wellenlängengemisch mit seinen unterschiedlichen Ausbreitungsrichtungen direkt angewendet werden. Will man die
unterschiedlichen Frequenzen des Lasers aber Mischen, wie z. B. bei der Differenzfrequenzerzeugung, um THz-Strahlung zu generieren [97], müssen sich
die unterschiedlichen Frequenzen zur Erhöhung der Konversion kollinear ausbreiten [54]. Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, wäre das Einkoppeln der zu
mischenden Frequenzen in einen Wellenleiter. Hohlleiterbauelemente sind bei
diesen Wellenlängen aber kaum noch zu fertigen [98] und die Fasertechnologie
für CO2 -Laserfrequenzen ist noch nicht ausgereift [99].
Im Folgenden wird analysiert, welche Wellenlängen bei dem verwendeten Gitter 10r18_nb anschwingen können.
124
Gitter
Messergebnisse
1
Lc
Lb
La
ddisk
ddisk
(a) (b) (c)
ddisk
6
Abbildung 6.33: Drei stabile Feldverteilungen bei einer Resonatorkonfiguration mit
Totalreflektor und einem Gitter mit diskretisierter variabler Gitterperiode
6.5
Instabile Resonatorkonfigurationen des negativen Asts
125
Abbildung 6.34 zeigt graphisch den Zusammenhang zwischen den auf dem
Gitter 10r18_nb vorhandenen Gitterperioden Λ, den Wellenlängen λ des
10 R - Bandes mit der größten Kleinsignalverstärkung 10R8 bis 10R36 und
den gemäß Gleichung (2.47) korrespondierenden L ITTROW-Winkeln αLitt :
Λ=
λ
2 sin αLitt
⇐⇒
αLitt = arcsin
λ
2Λ
.
(2.47)
Man erhält einen Bereich an L ITTROW-Winkeln zwischen 43° und 47°. Wegen
der feinen Rasterung der Gitterperioden und Wellenlängen ergibt sich eine flächige Topographie. Der Verlauf der Fläche ist plausibel, wenn man ihn jeweils
für eine feste Gitterperiode Λ bzw. eine feste Wellenlänge λ betrachtet. Für eine
feste Gitterperiode Λ muss die Wellenlänge λ und der L ITTROW-Winkel αLitt
gemäß Gleichung (2.47) in erster Näherung direkt proportional sein. Es ergibt sich daher ein ansteigender L ITTROW-Winkel für ansteigende Wellenlängen. Analog ergibt sich gemäß Gleichung (2.47) für eine feste Wellenlänge in
erster Näherung eine umgekehrte Proportionalität zwischen der Gitterperiode
und dem L ITTROW-Winkel.
Unterschiedliche Diskretisierungsbereiche ddisk ergeben etwa eine Winkeländerung von dα ≈ arctan(ddisk /L) ≈ 0.15° . Betrachtet man daher in Abbildung 6.34 nur einen schmalen Bereich an L ITTROW-Winkeln um
ges. Spek.
L ITTROW-Winkel αLitt [°]
Zentrum
46
45
44
43
7.2
7.3
7.4
Gitterperiode Λ [µm]
10.3
10.25
10.2
10.15
Wellenlänge λ [µm]
Abbildung 6.34: L ITTROW-Winkel für die unterschiedlichen Wellenlängen λ des 10 RBandes für unterschiedliche Gitterperioden Λ, die auf dem Gitter
10r18_nb vorhanden sind
126
6
Messergebnisse
α = 45 ± 0.15°, die durch die Justierung des Lasers auch bevorzugt anschwingen werden, so können noch immer alle 15 betrachteten Laserlinien im
10 R - Band oszillieren, wie in Abbildung 6.34 mit den Symbolen (×) und
(+) gekennzeichnet. Beschränkt man sich auf den zentralen Bereich des Gitters 10r18_nb mit seinen Gitterperioden Λ = 7.26 µm ± 40 nm und auf
die fünf stärksten Laserübergänge, die auch in Abbildung 6.30 zu erkennen
sind, so können diese fünf Laserübergänge 10R16 bis 10R24 mit der größten
Kleinsignalverstärkung noch immer bei jeweils zwei benachbarten Diskretisierungsbereichen ddisk anschwingen. Dies ist in Abbildung 6.34 mit (+) gekennzeichnet.
Wegen der geringen Strahlquerschnitte stabiler Feldverteilungen, wie sie in
Abbildung 6.12 dargestellt sind und für instabile Resonatorkonfigurationen des
negativen Asts notwendig sind, müssen diese Effekte auch bei Gittern auftreten, die eine sich kontinuierlich ändernde Gitterperiode Λ aufweisen. Dasselbe
gilt für reell gekrümmte Gitter mit konstanter Gitterperiode. Hier trifft ein einfallender Laserstrahl zwar über das ganze Gitter auf dieselbe Gitterperiode,
aber unter einem anderen Winkel α. Gemäß Gleichung (2.47) kann dies aber
wiederum ein L ITTROW-Winkel für eine andere Wellenlänge λ sein. Die hier
vorgestellte Methode, eine linienselektive konfokale instabile Resonatorkonfiguration aufzubauen, bei der das dispersive Element ein Gitter mit variabler
Gitterperiode ist, das fokussierende Eigenschaften aufweist, kann nur bei Lasern verwendet werden, die einen größeren Wellenlängenabstand der einzelnen
strahlenden Übergänge haben.
Eine andere Möglichkeit, die zu untersuchen lohnenswert erscheint, ist, die
Krümmungsradien 1 und 2 der beiden Resonatorspiegel zu tauschen. Wenn
der totalreflektierende Spiegel einen Krümmungsradius tot < L hat, kann
kein G AUSS -H ERMITE-Mode als stabile Lösung der Wellengleichung (2.33)
anschwingen, auch wenn der zweite Resonatorspiegel plane Segmente aufweisen würde. Ein Gitter mit einer diskretisierten variablen Gitterperiode Λdisk
wäre somit zwangsweise über einen weiten transversalen Bereich ausgeleuchtet. Da dann keine räumlich Trennung möglicher anschwingender Laserübergänge mehr vorhanden wäre, wie auf Seite 12 bzw. Seite 119 diskutiert wurde,
sollte sich die Emission des Lasers auf einen Vibrations-Rotations-Übergang
einschränken, und der Laser sollte in der angedachten Art und Weise seinen
Dienst tun, wie in Abbildung 6.31 dargestellt.
Kapitel 7
Zusammenfassung
Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein linienselektives CO2 -Lasersystem aufgebaut, an dem verschiedene Resonatorkonfigurationen getestet werden konnten.
Der Laser wurde dabei in einer Flachkanalbauweise realisiert, bei der sich zwei
Elektroden planparallel ähnlich einem Plattenkondensator gegenüberstehen. In
dem Volumen dazwischen wird das Lasergas mittels einer HF-Gasentladung
angeregt. Dieses Konzept hat den Vorteil, dass die Laserleistung nicht mehr nur
proportional zur Länge der Entladungsstruktur, wie bei einem klassischen rohrförmigen Gasentladungslaser, ist, sondern proportional zur Entladungsfläche.
Dadurch lassen sich höhere Laserleistungen auch mit kurzen Resonatorlängen
realisieren. Dies hat den Vorteil eines geringeren Platzbedarfs, aber vor allem
ist es so möglich, einen größeren Bereich modensprungfrei abzustimmen. Dies
ist bei einfachen Absorptionsmessungen nützlich oder auch für das Pumpen
von Ferninfrarot-Lasern nötig, um auf die Absorptionslinien abzustimmen.
Als linienselektive Elemente wurden Reflexionsgitter eingesetzt. Die Gitter
wurden hierbei zur Linienselektion, zur Auskopplung des Strahls und, durch
eine ortsabhängige Reflektivität, zur Strahlformung verwendet. Hierfür wurden verschiedene Formen von Gitteroberflächen bzgl. ihrer Beugungseffizienzen analysiert. Unter Einbeziehung der möglichen Herstellungsverfahren und
auftretenden Fertigungstoleranzen wurde entschieden, Silizium als Substrat zu
verwenden. Auf diese Weise konnten V-Grubengitter mittels anisotropen Ätzens und anschließender Metallisierung hergestellt werden. Die besten Ergebnisse konnten mit Silizium mit einer {100}-Kristallorientierung der Oberfläche
und einer Gold-Beschichtung erzielt werden.
Die Gitter wurden in unterschiedlichen Resonatorkonfigurationen eingesetzt.
Es konnte experimentell gezeigt werden, dass mit stabilen Resonatorkonfigurationen keinerlei brauchbare Strahlformung möglich ist, da die Feldverteilung
hier durch die Spiegelkrümmungsradien und die Resonatorlänge bestimmt ist.
Bei instabilen Resonatorkonfigurationen des positiven Asts konnte hingegen
128
7
Zusammenfassung
durch den Einsatz eines G AUSSförmigen Reflexionsprofils des Gitters ein nahezu beugungsbegrenzter Laserstrahl mit einer Beugungsmaßzahl M 2 = 1.68
ausgekoppelt werden. Es konnte mit entsprechenden Gittern ein Abstimmbereich von 19 Linien zwischen 10.13 µm und 10.37 µm mit bis zu 28 W im
10 R-Band und von 18 Linien zwischen 9.46 µm und 9.75 µm mit bis zu 34 W
im 9 P-Band erreicht werden. Die erzielte Laserleistung wurde in beiden Fällen
nicht durch das Lasersystem, sondern durch die eingeschränkte Beugungseffizienz der Gitter von ca. 92% begrenzt. Bei der für Ferninfrarot-Laser mit Methanol als aktivem Medium interessanten Laserlinie 9P36 konnte eine Leistung
von P9P36 = 19.8 W erzielt werden. Dies ist eine Pumpleistung, die für die
meisten Experimente ausreicht.
Darüber hinaus wurden Untersuchungen zu instabilen Resonatorkonfigurationen des negativen Asts unternommen. Um hierbei kollimierte Konfigurationen
aufzubauen, ist es notwendig, dass beide Resonatorspiegel gekrümmt sind. Es
wurde daher analysiert, inwieweit es möglich ist, plane Reflexionsgitter mit fokussierenden Eigenschaften herzustellen. Solche Strukturen haben eine deutliche Wellenlängenabhängigkeit, so dass sie sinnvoll nur für linienselektive Laser mit einer festen Wellenlänge eingesetzt werden können. Für andere Wellenlängen als die optimierte treten Änderungen der Brennweite und transversale
Verschiebungen auf. Dies erhöht die Resonatorverluste und das System hätte einen geringeren Wirkungsgrad. Erste Messungen mit hergestellten Gittern,
bei denen die Gitterperiode in Schritten von 20 nm geändert wurde, bestätigten resonatorextern diese fokussierenden Eigenschaften. Beim resonatorinternen Einsatz traten hingegen Probleme auf. Das Gitter wurde mit einem Krümmungsradius kleiner als die Resonatorlänge realisiert, während der zweite Resonatorspiegel einen realen Krümmungsradius größer als die Resonatorlänge
aufwies. Dadurch konnten gleichzeitig mehrere stabile Feldverteilungen unterschiedlicher Frequenz anschwingen. Diese experimentellen Ergebnisse wurden
ausgewertet und Möglichkeiten vorgestellt, wie dieser Multi-WellenlängenBetrieb zu vermeiden oder zu nutzen ist. Unter Berücksichtigung dieser Auswertung sollte es möglich sein, eine kollimierte instabile Resonatorkonfiguration des negativen Asts bei einem linienselektiven CO2 -Laser aufzubauen.
Kapitel 8
Summary
Within this work a lineselective CO2 laser for testing purposes of different resonator configurations has been built up. The laser is realised as a slab laser
with two coplanar electrodes. In between the laser gas is activated with an rfexcitation. In slab lasers, output power scales with the discharge area, rather
than with the discharge length as it is the case in usual pipe structures. Herewith it is possible to maintain higher output powers at small resonator lengths.
Thus, the laser requires less space and shows a wider mode-hop-free tuning
range. In absorption measurements or for pumping far-infrared lasers it is essential to adjust the laser to the correct absorption line.
As lineselective elements reflection gratings proved to be most effective. The
gratings are used for lineselectivity, as well as outcoupling of the laser beam and for beam forming. Therefore, different grating surfaces were analysed
according to their diffraction efficiency. Taking fabrication methods and tolerances into account, silicon was chosen as substrate material. By anisotropic
etching and metallising diffraction grating with a V-shape of the grooves could
be fabricated. Best results were obtained with {100}-silicon with a gold coating.
The gratings were used at different resonator configurations. At stable configurations the resonator modes are solely given by the curvatures of the mirrors and the length of the resonator. Therefore, no useful beam forming was
possible. At positive branch unstable resonators a nearly diffraction limited
beam could be achieved by using a variable reflectivity grating with a Gaussian reflectivity profile. A beam quality factor M 2 = 1.68 was measured. By
using adequate gratings, lasing was possible at 19 lines between 10.13 µm and
10.37 µm with up to 28 W in the 10 R-band, and at 18 lines between 9.46 µm
and 9.75 µm with up to 34 W in the 9 P-band. The output power was limited by
the finite efficiency of the grating of just 92 %, rather than by the laser system
in general. At the CO2 laser transition 9P36 which is interesting for far-infrared
130
8 Summary
lasers on a methanol basis a output power of P9P36 = 19.8 W was achieved.
This is sufficient for most experiments.
Furthermore, experiments on lineselective negative branch unstable resonators
were carried out. In order to obtain collimated configurations is is necessary
that both resonator mirrors are curved. Therefore, we developed plane gratings
with focussing properties. Such structures have a strong wavelength dependency. These are only reasonably applied at lineselective lasers with a fixed
wavelength. At different wavelengths they show a different focal length and a
different transversal position which increases resonator losses. First externalcavity measurements approve this behaviour. The grating period has been varied in steps of 20 nm. At internal-cavity experiments this discretisation leads
to problems. Because the total reflecting mirror had a curvature larger than the
resonator length, stable resonator modes of different frequencies were able to
oscillate.
The results were analysed and methods were presented to avoid the multi wavelength operation. Under consideration of the examination, it should be possible
to build up a lineselective CO2 laser with a negative branch unstable resonator.
Anhang A
CO2 –Laser–Wellenlängen und
Kleinsignalverstärkungen
Zur Konstruktion des Lasers und für die spätere Dimensionierung der verschiedenen Resonatorkonfigurationen für die unterschiedlichen Wellenlängen wurden Simulationen durchgeführt. Diese berechneten die Feldverteilung mit Hilfe
des C OLLINS-Integrals unter Einbeziehung des Sättigungsverhaltens des aktiven Mediums bei der gewünschten Wellenlänge [37]. Dazu ist es aber notwendig, die Kleinsignalverstärkung bei allen CO2 -Laserlinien zu kennen. Diese
Werte konnten in der Literatur nicht gefunden werden, weshalb sie aus bekannten Daten berechnet wurden [36].
Im Folgenden wird der gewählte Weg kurz skizziert, mit dem die in Tabelle A.1
aufgelisteten Werte für die Kleinsignalverstärkung ηKS berechnet wurden. Es
sei dabei auch auf Kapitel 2.1.1 verwiesen, in dem das aktive Medium und der
Laserprozess beschrieben werden.
• Aus einer Datenbank [6] wurden die Wellenlängen der Übergänge und die
Matrixelemente der Dipolwechselwirkung [14] herausgelesen.
• Für die Harmonischen Oszillatoren der drei Vibrationsschwingungen und für
die B OLTZMANN-Verteilung der Rotationen kann ein Temperaturen-Modell
aufgestellt werden [15]. Die Temperaturen waren aus eigenen Messungen
bekannt [7]. Es wurden folgende Temperaturen verwendet:
– TRot = Ttrans = 500 K
– Tv1 = 500 K, unteres Laserniveau 10 µm-Band
– Tv2 = 500 K, unteres Laserniveau 9 µm-Band
– Tv3 = 1700 K, oberes Laserniveau
• Anhand des Temperaturen-Modells konnte mit den Matrixelementen der
Dipolwechselwirkung die Zustandssumme aufgestellt werden. Damit ist
132
A CO2 –Laser–Wellenlängen und Kleinsignalverstärkungen
es möglich, die relativen Besetzungsdichten der einzelnen VibrationsRotations-Niveaus zu bestimmen.
• Bei gegebenem Gasdruck und gegebener Temperatur kann die Dichte der
CO2 -Moleküle bestimmt werden und damit die absoluten Besetzungsdichten der Energieniveaus.
• Aus diesen Größen wurde die Kleinsignalverstärkung aller CO2 -Laserlinien
berechnet (→ Tabelle A.1).
Bei bekanntem Arbeitsdruck des Lasers und der oben aufgelisteten Temperaturen ist es möglich, den Frequenzverlauf der Kleinsignalverstärkung zu bestimmen und somit auch Abschätzungen der Verstärkung abseits der atomaren Mittenfrequenz fA zu treffen. Das Linienprofil ist in diesem Fall ein Voigt-Profil,
das aus Faltung des thermischen Doppler-Profils und des Lorentz-Profils der
Druckverbreiterung gebildet wird [15].
Eine Anwendung dieses Lasers ist das Pumpen eines FIR-Lasers auf Methanolbasis. Für die am Lehrstuhl interessante CO2 -Pumplinie 9P36, die zur Methanolemission bei fMethanol = 2.523 THz führt, ist, für ein effizientes Pumpen des FIR-Lasers, eine CO2 -Emission 27 MHz unterhalb der atomaren Mittenfrequenz fA des Übergangs 9P36 notwendig [9]. Der hier aufgebaute Laser wird bei Arbeitsdrücken zwischen 100 mbar und 130 mbar betrieben. Die
Druckverbreiterung ist bei dieser Linie bereits deutlich vorhanden. Es ist bei
der Linie 9P36 27 MHz neben der atomaren Mittenfrequenz und einem Druck
von p = 100 mbar noch eine Kleinsignalverstärkung von ηKS100 = 0.68 m−1
vorhanden. Bei dem bisher eingesetzten kommerziellen CO2 -Laser mit einem
Arbeitsdruck von p = 20 mbar liegt die Kleinsignalverstärkung 27 MHz neben
der atomaren Mittenfrequenz fA nur bei ηKS20 = 0.43 m−1 [36]. Aus diesem
Grund ist der hier aufgebaute Laser zum Pumpen von FIR-Lasern sehr gut geeignet, da bei dieser Anwendung immer ein Betrieb des Lasers abseits seiner
atomaren Mittenfrequenz notwendig ist.
Abbildung A.1 zeigt graphisch die berechneten Kleinsignalverstärkungen ηKS
und die mit ihnen erreichbaren Laserleistungen mit dem aufgebauten Laser
[37]. Die Messergebnisse aus den Abbildungen 6.16 und 6.19 aus Kapitel 6
bestätigen dieses Verhalten.
A CO2 –Laser–Wellenlängen und Kleinsignalverstärkungen
133
Laserleistung PL [W]
120
100
Laserleistung PL
9.5
Kleinsignalverstärkung KS
2
80
40
1
60
20
0
9
10
10.5
Wellenlänge [m]
11
0
11.5
KS [m ]
-1
Abbildung A.1: Auskoppelbare Laserleistung PL bei entsprechender Kleinsignalverstärkung ηKS ; Simulation: L = 480 mm, wF = 15 mm, h = 2 mm
[36]
134
A CO2 –Laser–Wellenlängen und Kleinsignalverstärkungen
Tabelle A.1: CO2 -Übergang, Vakuumwellenlänge, Frequenz und Kleinsignalverstärkung, bei einem Druck p0 = 100 mbar, wie sie berechnet und für Simulationen verwendet wurden [36] [37]
Übergang
9R78
9R76
9R74
9R72
9R70
9R68
9R66
9R64
9R62
9R60
9R58
9R56
9R54
9R52
9R50
9R48
9R46
9R44
9R42
9R40
9R38
9R36
9R34
9R32
9R30
9R28
9R26
9R24
9R22
9R20
9R18
Vakuumwellenlänge
λ0 [µm]
9.0551
9.0601
9.0651
9.0704
9.0759
9.0816
9.0874
9.0935
9.0998
9.1062
9.1129
9.1198
9.1269
9.1342
9.1417
9.1495
9.1575
9.1656
9.1741
9.1827
9.1916
9.2007
9.2101
9.2197
9.2295
9.2396
9.2500
9.2605
9.2714
9.2824
9.2938
Frequenz
f
[THz]
33.1303
33.1124
33.0938
33.0745
33.0546
33.0339
33.0126
32.9906
32.9679
32.9445
32.9203
32.8955
32.8699
32.8436
32.8165
32.7887
32.7602
32.7309
32.7009
32.6700
32.6385
32.6061
32.5730
32.5391
32.5044
32.4689
32.4326
32.3956
32.3577
32.3191
32.2796
Kleinsignalverstärkung
[m−1 ]
0.0098
0.0133
0.0177
0.0235
0.0308
0.0400
0.0515
0.0656
0.0828
0.1036
0.1282
0.1573
0.1908
0.2293
0.2729
0.3212
0.3742
0.4312
0.4917
0.5544
0.6185
0.6814
0.7420
0.7978
0.8475
0.8880
0.9171
0.9329
0.9339
0.9184
0.8854
A CO2 –Laser–Wellenlängen und Kleinsignalverstärkungen
135
9R16
9R14
9R12
9R10
9R8
9R6
9R4
9R2
Vakuumwellenlänge
λ0 [µm]
9.3054
9.3172
9.3294
9.3418
9.3544
9.3673
9.3805
9.3940
Frequenz
f
[THz]
32.2394
32.1983
32.1565
32.1139
32.0704
32.0262
31.9811
31.9353
Kleinsignalverstärkung
[m−1 ]
0.8344
0.7657
0.6801
0.5791
0.4647
0.3394
0.2064
0.0693
9P2
9P4
9P6
9P8
9P10
9P12
9P14
9P16
9P18
9P20
9P22
9P24
9P26
9P28
9P30
9P32
9P34
9P36
9P38
9P40
9P42
9P44
9P46
9P48
9P50
9P52
9P54
9.4147
9.4289
9.4433
9.4581
9.4731
9.4884
9.5039
9.5198
9.5360
9.5524
9.5692
9.5862
9.6036
9.6212
9.6392
9.6574
9.6760
9.6948
9.7140
9.7335
9.7533
9.7734
9.7938
9.8145
9.8355
9.8569
9.8786
31.8650
31.8171
31.7685
31.7190
31.6688
31.6177
31.5659
31.5132
31.4598
31.4056
31.3506
31.2949
31.2384
31.1811
31.1230
31.0642
31.0046
30.9443
30.8833
30.8215
30.7589
30.6957
30.6317
30.5670
30.5016
30.4355
30.3688
0.1391
0.2763
0.4081
0.5311
0.6422
0.7391
0.8198
0.8833
0.9286
0.9557
0.9654
0.9586
0.9372
0.9029
0.8582
0.8048
0.7452
0.6818
0.6165
0.5511
0.4872
0.4259
0.3684
0.3153
0.2671
0.2239
0.1858
Übergang
136
A CO2 –Laser–Wellenlängen und Kleinsignalverstärkungen
9P56
9P58
9P60
9P62
9P64
9P66
9P64
9P62
9P64
9P66
9P68
Vakuumwellenlänge
λ0 [µm]
9.9006
9.9229
9.9455
9.9685
9.9918
10.0154
10.0393
10.0636
10.0882
10.1131
10.1383
Frequenz
f
[THz]
30.3013
30.2331
30.1643
30.0949
30.0247
29.9539
29.8826
29.8104
29.7377
29.6645
29.5908
Kleinsignalverstärkung
[m−1 ]
0.1527
0.1242
0.1000
0.0798
0.0630
0.0493
0.0382
0.0293
0.0223
0.0168
0.0125
10R76
10R74
10R72
10R70
10R68
10R66
10R64
10R62
10R60
10R58
10R56
10R54
10R52
10R50
10R48
10R46
10R44
10R42
10R40
10R38
10R36
10R34
10R32
10R30
9.9870
9.9927
9.9987
10.0051
10.0117
10.0187
10.0259
10.0335
10.0413
10.0495
10.0579
10.0667
10.0757
10.0851
10.0947
10.1046
10.1148
10.1253
10.1362
10.1473
10.1586
10.1703
10.1823
10.1946
30.0391
30.0219
30.0038
29.9847
29.9649
29.9440
29.9225
29.8998
29.8766
29.8522
29.8273
29.8012
29.7746
29.7469
29.7186
29.6894
29.6595
29.6288
29.5969
29.5645
29.5316
29.4977
29.4629
29.4273
0.0102
0.0138
0.0186
0.0249
0.0329
0.0430
0.0557
0.0714
0.0906
0.1138
0.1415
0.1742
0.2121
0.2556
0.3046
0.3592
0.4188
0.4829
0.5504
0.6202
0.6903
0.7590
0.8242
0.8824 1
Übergang
A CO2 –Laser–Wellenlängen und Kleinsignalverstärkungen
137
10R28
10R26
10R24
10R22
10R20
10R18
10R16
10R14
10R12
10R10
10R8
10R6
10R4
10R2
Vakuumwellenlänge
λ0 [µm]
10.2071
10.2200
10.2332
10.2466
10.2604
10.2744
10.2888
10.3035
10.3184
10.3337
10.3493
10.3652
10.3814
10.3979
Frequenz
f
[THz]
29.3913
29.3542
29.3163
29.2780
29.2386
29.1988
29.1579
29.1163
29.0743
29.0312
28.9875
28.9430
28.8978
28.8520
Kleinsignalverstärkung
[m−1 ]
0.9327 1
0.9709
0.9953
1.0035
0.9937
0.9640
0.9141
0.8434
0.7530
0.6441
0.5191
0.3807
0.2325
0.0783
10P2
10P4
10P6
10P8
10P10
10P12
10P14
10P16
10P18
10P20
10P22
10P24
10P26
10P28
10P30
10P32
10P34
10P36
10P38
10P40
10P42
10.4233
10.4406
10.4582
10.4762
10.4945
10.5131
10.5321
10.5514
10.5710
10.5910
10.6114
10.6321
10.6532
10.6746
10.6964
10.7186
10.7411
10.7641
10.7874
10.8111
10.8352
28.7817
28.7340
28.6856
28.6363
28.5864
28.5358
28.4843
28.4322
28.3795
28.3259
28.2715
28.2164
28.1606
28.1041
28.0468
27.9887
27.9301
27.8704
27.8102
27.7493
27.6875
0.1578
0.3142
0.4647
0.6056
0.7332
0.8446
0.9373
1.0097
1.0611
1.0911
1.1007
1.0916
1.0651
1.0237
0.9699
0.9070
0.8371
0.7629
0.6869
0.6112
0.5377
Übergang
138
A CO2 –Laser–Wellenlängen und Kleinsignalverstärkungen
Übergang
10P44
10P46
10P48
10P50
10P52
10P54
10P56
10P58
10P60
10P62
10P64
10P66
10P68
10P70
10P72
10P74
Vakuumwellenlänge
λ0 [µm]
10.8598
10.8847
10.9101
10.9359
10.9621
10.9888
11.0160
11.0435
11.0716
11.1001
11.1292
11.1587
11.1887
11.2192
11.2503
11.2819
Frequenz
f
[THz]
27.6248
27.5616
27.4975
27.4326
27.3670
27.3005
27.2331
27.1653
27.0964
27.0268
26.9561
26.8849
26.8128
26.7399
26.6660
26.5913
Kleinsignalverstärkung
[m−1 ]
0.4675
0.4020
0.3420
0.2879
0.2397
0.1975
0.1610
0.1300
0.1038
0.0821
0.0643
0.0498
0.0382
0.0290
0.0219
0.0163
Anhang B
Siliziumparameter
Tabelle B.1: Ausgewählte Parameter des Siliziums [64][65]
Name
chemische Abkürzung
Gitterkonstante
therm.
Ausdehnungskoeffizient
Dichte
Schmelzpunkt
spezifischer
Widerstand
Bandabstand (300K)
rel. Permittivität
rel. Permeabilität
thermische
Leitfähigkeit (300K)
Brechungsindex
Elastizitätsmodul
[111]
Variable
γL
ϑSchmelz.
Ω
Egap
εr
µr
σtherm.
n600 nm
EY oung
Ätzrate$
100
Ätzrate$
110
Ätzrate$
111
Winkel
∠{(100),(100)}
Einheit
pm
K−1
kg
m3
°C
Ohm
cm
eV
W
m· K
GPa
Wert
Si
543
2.54 · 10−6
2329
1450
2.3 · 105
1.12
11.9
11.8
156
4.1
190
µm
h
µm
64
h
µm
h
0.16
°
99
0
90
140
Name
$
B Siliziumparameter
Variable
Einheit
Winkel
∠{(100),(110)}
°
Winkel
∠{(100),(111)}
°
Winkel
∠{(110),(110)}
°
Winkel
∠{(110),(111)}
°
Winkel
∠{(111),(111)}
°
Ätzrate in 40%iger KOH-Lauge bei 80°C
Wert
45
90
54.74
0
60
90
35.36
90
0
70.53
109.47
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Reisen heißt leben lernen
Sprichwort der Tuareg
Danksagung
Die hier vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl für Hochfrequenztechnik der FriedrichAlexander-Universität Erlangen-Nürnberg.
Ich möchte daher dem Vorstand unseres Lehrstuhls Herrn Prof. Dr.Ing. Lorenz-Peter Schmidt für die Möglichkeit der Promotion an seinem Lehrstuhl danken.
Großer Dank gilt meinem Doktorvater Herrn Prof. em. Dr.-Ing. habil. Hans
Brand für sein Interesse und seine Diskussionsbereitschaft an allen neuen Ergebnissen aus dem CO2 -Laser-Labor.
Herrn Prof. Dr.-Ing. Reinhard Lerch danke ich für die Übernahme des Koreferats. Für die Teilnahme an der mündlichen Prüfung danke ich Herrn
PD Dr. Norbert Lindlein und Herrn Prof. Dr.-Ing. Manfred Albach.
Ohne die fachliche wie moralische Unterstützung von Herrn Dr. Martin
Collischon mit seinem Grenzen überschreitenden Enthusiasmus an diffraktiver Optik wären entscheidende Teile dieser Arbeit nicht möglich gewesen.
Ebenso sei hierbei Herr Dr.-Ing. Rainer Engelbrecht nicht vergessen, der mich
geduldig bei meinen ersten Schritten in der mir so fremden Ingenieurswissenschaft unterstützte und allzeit meine Fragen beantwortete.
Meinem Laserkollegen Dipl.-Ing. Johannes Hagen danke ich für seine tatkräftige Unterstützung in der Hardware-Konstruktion und vor allem auch dafür,
meinen fränkischen Horizont erweitert zu haben.
Frau Roswitha Völkner bin ich für ihre kulinarische und koffeinhaltige Erhaltung meiner Lebensfunktionen und die zahllosen Diskussionen über dies und
das und das Leben an sich zu großem Dank verpflichtet.
Ohne die Unterstützung unserer „nicht wissenschaftlichen“ Kollegen wäre eine Realisierung des praktischen Teils dieser Arbeit undenkbar gewesen. Unvergessen sind daher der Einsatz unseres „Strippenziehers“ Ottmar Wick und
unserer „drei Jungs aus der Werkstatt“ Günter Bauer, Lothar Höpfel und Jürgen Popp, die auch für die Umsetzung meiner wüstesten Ideen offen waren.
Nicht vergessen ist auch der Einsatz der Zentralwerkstatt der Technischen Fakultät um Herrn Christian Pfeifer bei der Fertigung des Lasers. Herrn Hel-
152
mut Frisch danke ich für seine „goldigen Arbeiten“ und unsere fruchtbaren
Silizium-Diskussionen.
Dipl.-Ing. Sven Berberich, Dipl.-Ing. Gudrun Rattmann und all den anderen
helping hands vom Fraunhofer-Institut für Integrierte Systeme und Bauelementetechnologie bin ich für ihr Engagement bei der Prozessierung der SiliziumWafer zu tiefen Dank verpflichtet.
Bewunderung gilt dem großen Dr.-Ing. Christof Ziegler für seine immer
währende Geduld, mir die Funktionsweise eines Network-Analyser aus seiner Sicht der Dinge zu erklären. Darüber hinaus bewundere ich Herrn
Dr.-Ing. Klaus Huber für seine optimistische Lebenseinstellung und seinen tiefen Glauben an den Siegeszug der 2,5 THz Technik. Herrn Dr.-Ing. Guenther
Rehm danke ich für die unzähligen Diskussionen, bei denen ich u.a. auch ein
tieferes Verständnis der allgemeinen Relativitätstheorie gewinnen konnte.
Herr Dipl.-Ing. Martin Nisznansky danke ich für all seine aufmunternden Worte und für die internationalen Veranstaltungen mit den Freunden aus seinem
Heimatland. Herrn Dipl.-Ing. Jan Schür danke ich für seine Ausdauer, meinen
Rechner am Leben zu halten und für seine - falls erforderlich - schonungslose
Konfrontation mit der Realität. Herrn Dipl.-Ing. Arne G. Striegler danke ich
für seine Bemühungen, mir die optische Datenübertragung näher zu bringen,
und seine dezenten Hinweise, Wann-Wo-Welche Studenten-Feten stattfanden.
Herr Dipl.-Ing. Jürgen Richter sei nicht nur wegen seines Eifers unvergessen,
mir den Smith-Chart zu erklären, sondern auch dafür, mein Niveau auf über
3000 m erhöht zu haben.
Dank gebührt auch Herrn Dr.-Ing. Jochen Weinzierl, dem Meister der Titel und
Töpfe, für seine Organisation des Lehrstuhls. Obgleich er in den ersten Monaten mein HF-Wegbegleiter war, verlor er nie seinen Humor, sondern er blieb
eine stetige Quelle von Optimismus.
Meine ehemaligen MIKOS / MOVE / ODEM-Kollegen vom Lehrstuhl für Optik sind auch unvergessen. Konnte ich doch auch nach meinem Weggang noch
auf ihre Unterstützung bauen, wenn dies auch etliche Besprechungen und Projekttreffen erforderlich machte. Allen voran seien hier Dr. Roland Schreiner,
Dipl.-Phys. Frank Simon und Dipl.-Phys. Irina Harder genannt.
Großer Dank gilt auch all meinen Studenten, auch wenn der Wissensgradient
nicht immer in die richtige Richtung zeigte – sorry, Martin. Ohne ihren Fleiß
wären viele Messungen, Ergebnisse und Erkenntnisse nicht möglich gewesen.
Allen nicht namentlich genannten Mitgliedern unseres Lehrstuhls danke ich für
die angenehme Arbeitsatmosphäre.
153
Ein kaum in Worte zu fassender Dank gilt meinen außeruniversitären Freunden
aus dem echten Leben und meiner Familie für ihre seelische Unterstützung und
all die Ablenkungen, die sie mir boten, um wieder auf den Boden der Tatsachen
zurückzukommen.
Last not least möchte ich an dieser Stelle ganz besonders meinen Eltern dafür
danken, dass sie mir diesen bisherigen Lebensweg so ermöglicht haben.
Nürnberg, im November 2004
Roland Schulz
Lebenslauf
Name
Geburtsdatum
Geburtsort
Staatsangehörigkeit
Familienstand
Roland Günter Schulz
28. März 1973
Fürth (Deutschland)
deutsch
ledig
Schulausbildung
1979 – 1983
1983 – 1992
Grundschule Nürnberg Großgründlach
Peter-Vischer-Schule Nürnberg
Abschluss mit Abitur
Wehrdienst
1992 – 1993
Grundwehrdienst
Studium
1993 – 1999
1995 – 1996
Studium der Physik an der
Universität Erlangen-Nürnberg
Abschluss mit Diplom
Diplomarbeit bei Prof. Dr. Schwider am Lehrstuhl
für Optik - Prof. Dr. Leuchs - mit dem Thema:
Automatisierte λ-Einstellung eines
abstimmbaren Halbleiterlasers
Studium der Physik an der
University of York, UK
Berufliche Tätigkeiten
2000 – 2001
seit 2001
Erlangen, September 2004
Wissenschaftlicher Angestellter am Lehrstuhl
für Hochfrequenztechnik (LHFT) der
Universität Erlangen-Nürnberg
Wissenschaftlicher Mitarbeiter am LHFT
Roland Schulz
