Technische Mechanik Formelsammlung - georgi

Fakultät Maschinenwesen
Technische Mechanik
Formelsammlung
Institut für Festkörpermechanik
Version: Mai 2017
Nachfolgend wird von den Bilanzgleichungen der
Kontinuumsmechanik:




Massenerhaltung
Impulserhaltung
Drehimpulserhaltung
Energieerhaltung
- ohne zusätzlichen Hinweis darauf - Gebrauch gemacht.
Formelsammlung Technische Mechanik
Inhaltsverzeichnis
Statik
Ebene Statik .......................................................................................... 1
Lasten (Kräfte und Momente) ...................................................... 1
Tragwerkselemente ...................................................................... 4
Lagerungen .................................................................................. 5
Gelenke ........................................................................................ 6
Schnittgrößen beim Balken .......................................................... 7
Räumliche Probleme ............................................................................. 8
Lasten (Kräfte und Momente) ...................................................... 8
Lagerungen und Gelenke (Beispiele) ........................................ 10
Schnittgrößen beim Balken ........................................................ 11
Reibung................................................................................................ 12
Festigkeitslehre
Grundlagen .......................................................................................... 13
Spannungen ............................................................................... 13
Verzerrungen .............................................................................. 15
HOOKEsches Gesetz................................................................. 16
Zulässige Spannungen............................................................... 18
Vergleichsspannungen ............................................................... 19
Linientragwerke ................................................................................... 21
Zug (Druck) ................................................................................. 21
Biegung....................................................................................... 21
Reine Torsion ............................................................................. 24
Querkraftschub ........................................................................... 25
Federn ........................................................................................ 26
Satz von CASTIGLIANO ............................................................ 27
Stabilitätsproblem Knicken ......................................................... 27
Flächentragwerke ................................................................................ 28
Rotationsschalen ........................................................................ 28
Kreis- und Kreisringscheiben .................................................... 29
Kreis- und Kreisringplatten ......................................................... 30
i
ii
Formelsammlung Technische Mechanik
Kinematik
Kinematik des Punktes ............................................................... 32
Kinematik des starren Körpers ................................................... 34
Kinetik starrer Körper
Translation .................................................................................. 36
Beliebige Bewegung ................................................................... 37
Bewegung in der x,y-Ebene ....................................................... 39
Gerader zentrischer Stoß ........................................................... 41
LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art ......................................... 42
Schwingungen mit dem Freiheitsgrad 1 .................................... 43
Schwingungen mit einem Freiheitsgrad größer 1 ...................... 47
Geometrie- und masseabhängige Kennwerte
Schwerpunkt ebener Linienstrukturen ....................................... 48
Schwerpunkt ebener Flächen .................................................... 49
Schwerpunkt von Körpern .......................................................... 50
Flächenmomente 2. Ordnung .................................................... 51
Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion ........ 53
Massenmomente 2. Ordnung ..................................................... 54
Ergänzungen ....................................................................................... 58
1
Formelsammlung Technische Mechanik
Statik
Ebene Statik
Lasten (Kräfte und Momente)

(Einzel-)Kraft F
Vektorielle Darstellung
y
 

F  Fx  Fy


 Fx e x  Fy e y
Fy 
Betrag, Richtung

F  F  Fx2  Fy2
tan  
F
y
Fy
ez
Fx
Koordinaten

Fx
z
ex
x
x
Fx  F cos   F sin 
Fy  F sin   F cos 
Moment bezüglich der z-Achse



M z  M z e z   x Fy  y Fx  e z
Resultierende Kraft aus n Kräften
FR  F  F
2
Rx
2
Ry
n
mit:
FRx   Fix
i 1

(Einzel-)Moment M z
Vektorielle Darstellung


M z  M z ez
tan  R 
FRy
FRx
n
FRy   Fiy
i 1
y
Mz
z
x
2
Formelsammlung Technische Mechanik
Resultierendes Moment aus n Kräften und m Einzelmomenten
n
m
n
m
i 1
k 1
i 1
k 1
M Rz   M iz   M kz    xi Fiy  yi Fix    M kz
Gleichung der Wirkungslinie der äquivalenten Kraft
F
M
y  Ry x  Rz
FRx
FRx
Streckenlasten (auch: Linienlasten)
Intensität
in Längsrichtung des Balkens n:
n
Intensität
in Querrichtung des Balkens q:
q
Reduktion der Streckenlasten  äquivalente Einzellasten:
(demonstriert an Streckenlast q)
FR
q(z)
l
FR   q  z  dz
0
A
A
dz
z
l
1
zR 
FR
zR
l
 q  z  z dz
0
FR=q0 l
q0
FR  q0 l
l
l/2
l/2
FR=q0l/2
l
A
2 l/3
l/3
l
2
q0 l
2
2
zR  l
3
FR 
q0
A
zR 
3
Formelsammlung Technische Mechanik
Gleichgewichtsbedingungen
Kräftegleichgewicht
Momentengleichgewicht
 
FR  0
n
 Fix  0
i 1
n
F
i 1
iy
M Rz  0
n
m
i 1
k 1
  xi Fiy  yi Fix    M kz  0
0
mit:
m - Anzahl der Einzelmomente (inklusive der reduzierten)
n - Anzahl der Einzelkräfte (inklusive der reduzierten)
4
Formelsammlung Technische Mechanik
Tragwerkselemente
Linientragwerke
Eine Hauptabmessung dieser Tragwerke ist wesentlich größer als die beiden anderen.
Seil, Kette
oder:
oder:
(Fachwerk-)Stab
Torsionsstab
Knickstab
(Biege-)Balken
Flächentragwerke
Zwei Hauptabmessungen dieser Tragwerke sind wesentlich größer als die dritte.
Scheibe
(Belastung in Mittelfläche)
Platte (nur bei räumlichen Problemen)
(Belastung  Mittelfläche)
Schale (nur bei räumlichen Problemen
3D-Körper (nur bei räumlichen Problemen)
Alle Hauptabmessungen dieser Tragwerke liegen in der gleichen Größenordnung.
Zwischen Stab und Balken bzw. zwischen Scheibe und Platte
unterscheidet nur die Belastung. Die Geometrie kann jeweils gleich sein.
5
Formelsammlung Technische Mechanik
Lagerungen
(Verbindungen von Linien- bzw. Flächentragwerken mit Umgebung)
Bezeichnung
Symbol
Lagerreaktionen
Reduzierter
Freiheitsgrad
FBh
Feste Einspannung
B
Tangential
(zur Balkenlängsachse)
verschiebliche
Einspannung
(Schiebehülse)
FB 
MB
B
FB
Normal
MB
(zur Balkenlängsachse)
verschiebliche
Einspannung
(Parallelführung)
B
Festlager
(gelenkiges Lager)
B
Loslager
(Rollenlager)
0
MB
FBh
FBh
1
(Verschiebung
von B tangential
zur Balkenlängsachse)
1
(Verschiebung
von B normal
zur Balkenlängsachse)
1
(Drehung um B)
FB
2
B
(Verschiebung
von B entlang der
Gleitebene,
Drehung um B)
FB
2
Pendelstütze
(Stützstab, Seil)
FS
C
B
(Verschiebung
von B auf Kreisbogen um C,
Drehung um B)
6
Formelsammlung Technische Mechanik
2
B
Zug-/Druckfeder
(Federkonstante c)
Drehfeder
(Federkonstante ct)

c
B
(horizontale
Verschiebung
von B, Drehung
um B)
F=c
2
M t = ct 
ct
(horizontale und
vertikale
Verschiebung
von B)

Gelenke
(Verbindungen von Linien- und/oder Flächentragwerken miteinander)
Bezeichnung
(Momenten-)
Gelenk
Gelenkaktionen
und -reaktionen
Symbol
FGh
G
FGh

beliebig
Reduzierter
Freiheitsgrad
1
(Drehung um G)
FG
FG
1
Normalkraftgelenk
(Schiebehülse)
G
MG
(relative Verschiebung beider
Balken tangential
zu deren Längsachsen)
MG
FG FG
Querkraftgelenk
(Parallelführung)
G
MG
MG
FG FG
1
(relative Ver.
Schiebung beider
Balken normal zu
deren Längsachsen)
7
Formelsammlung Technische Mechanik
Schnittgrößen beim Balken
Definition
Mb
Mb
FL
FL
FQ
FQ
-
Mb
Mb
+
Auftragerichtung für M b
mit: FL – Längskraft (auch: FN – Normalkraft)
FQ – Querkraft
Mb – Biegemoment
Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Streckenlasten
q
Mb
Mb+dMb
FL
FL +dFL
FQ
z
dM b ( z )
  FQ ( z )
dz
dFQ ( z )
  q( z)
dz
n
dz





FQ+dFQ
d 2 M b ( z)
 q( z )
dz 2
dFL ( z )
  n( z )
dz
Für entgegengesetztes z gelten die unteren Vorzeichen.
8
Formelsammlung Technische Mechanik
Räumliche Probleme
Lasten (Kräfte und Momente)

(Einzel-)Kraft F
z
Fz
Vektorielle Darstellung
 


F  Fx  Fy  Fz



 Fx ex  Fy e y  Fz ez

ez
ex
Betrag

F F 
Fx2  Fy2  Fz2
x
Koordinaten
Fx  F cos 
Fy  F cos 
Fz  F cos 
Moment bezüglich des Punktes O
  



M  r  F  M x ex  M y e y  M z ez
mit:
M x  y Fz  z Fy
M y  z Fx  x Fz
M z  x Fy  y Fx
Resultierende Kraft aus n Kräften
n


FR   Fi
i 1
Fx
r
O
y
ey z
F

Fy

x
y
9
Formelsammlung Technische Mechanik

(Einzel-)Moment M
z
Vektorielle Darstellung




M  Mx  M y  Mz



 M x ex  M y e y  M z ez
Mz

ez
ex
x
O

Mx
r
z
ey
y
M

My
x
y
Resultierendes Moment aus n Kräften und m Einzelmomenten
n

  m 
M R   ri  Fi   M k
i1
k 1
Weitere Streckenlast
Torsionsstreckenlast
mt
Gleichgewichtsbedingungen
Kräftegleichgewicht
Momentengleichgewicht
 
FR  0


MR  0
n
F
0
F
0
i 1
n
i 1
ix
iy
n
F
i 1
iz
n
 y
i
Fzi  zi Fyi    M kx  0
 z
i
Fxi  xi Fzi   M ky  0
i 1
n
i 1
0
m
n
 x
i 1
i

k 1
m
k 1
m
Fyi  yi Fxi    M kz  0
k 1
mit:
m - Anzahl der Einzelmomente (inklusive der reduzierten)
n - Anzahl der Einzelkräfte (inklusive der reduzierten)
Reduzierte Lasten - Integrale von Linien-, Flächen- und Volumenlasten
(analog zu S. 2).
10
Formelsammlung Technische Mechanik
Lagerungen und Gelenke (Beispiele)
Bezeichnun
Symbol
y
(Feste)
Einspannung
x
B
Lagerreaktionen
M Bz
FBz
FBx
FBy
M Bx
z
Reduzierter
Freiheitsgrad
0
MBy
y
Festlager
(gelenkiges
Lager)
B
z
y
Loslager
(Rollenlager)
x
B
3
FBz
FBx
(Drehung um
x-, y-, z-Achse
durch B)
FBy
5
(Drehung um
x-, y-, z-Achse
durch B,
Verschiebung in
x- und zRichtung)
x
z
FBy
5
Pendelstütze
(Stützstab, Seil)
C
B
B
y
Hülse
B
y
(Momenten-)
Gelenk
FBz
x
(ohne axiale
Verschieblichkeit)
x
z
(Verschiebung
von B auf Kugelfläche mit Radius
BC um C,
Drehung um B)
FS
z
M Bx
FBx
FBy
M By
FGx
G
(Drehung um
z-Achse)
FG x
3
FG y
(Drehung um
x-, y-, z-Achse
durch G)
FGz
FG y
1
11
Formelsammlung Technische Mechanik
Schnittgrößen beim Balken
Definition
Mby
FQy
x
y
S
FL
z M
t
Mbx
FQx
FQx
Schnittfläche
S FL
FQy
Mt
Mbx
dz
Mby
oder:
Schnittfläche
Mbx
Mt
FL S
FQy
FQx
Mby
Mbx
dz
Mby
S FQy
FQx FL
Mt
x
z
y
mit: FL
- Längskraft (auch: FN – Normalkraft)
FQx , FQy - Querkräfte
Mbx , Mby - Biegemomente
Mt
- Torsionsmoment
Achsen x, y, z bilden körperfestes Rechtssystem
z- Achse entlang der Schwerpunktachse, zeigt bei
größerem Koordinatenwert aus dem Querschnitt heraus
y- Achse zeigt nach unten
12
Formelsammlung Technische Mechanik
Reibung
Haftreibung
FH   0 FN
Gleitreibung
FGl   FN ,
Rollreibung
FRo 
Seilreibung
FS 2  FS 1 e0 
FS 2  FS 1 e 
mit:
entgegengesetzt zur
Relativgeschwindigkeit
f
F
R N
Haften
Gleiten
FH - Haftreibungskraft
FGl - Gleitreibungskraft
FRo - Rollreibungskraft
FN - Normalkraft (Druckkraft)
FS1, FS2 - Seilkräfte
0 - Haftreibungskoeffizient
 - Gleitreibungskoeffizient
f - Hebelarm der Rollreibung
R - Radius des Rollkörpers
 - Umschlingungswinkel
}
meist:
f

R
13
Formelsammlung Technische Mechanik
Festigkeitslehre
Grundlagen
Spannungen
Fi
A
Spannungsvektor

 dF


t 
n s
dA
dFT
s
dFN
dA
dF
 T
dA
dFN
dA n
mit: Koordinaten:

dF
Mk
Normalspannung
Tangentialspannung
oder Schubspannung

n - Einheitsvektor in Normalenrichtung

s - Einheitsvektor in Tangentenrichtung
Räumlicher Spannungszustand
zz
Spannungstensor
  xx

kl    yx

 zx
 kl  lk
 kl   kl
 xy
 yy
 zy
 xz 

 yz 
 zz 
k , l  x, y , z
zx
xz
z
y
x
xx
zy
xy yx
yz
yy
14
Formelsammlung Technische Mechanik
Hauptspannungen i (i  1, 2, 3) aus:
3i  S1  2i  S 2 i  S3  0
1   2  3
mit: S1   xx   yy   zz
S 2   xx  yy   yy  zz   zz  xx   2xy   2yz   2zx
S3   xx  yy  zz  2  xy  yz  zx   xx  2yz   yy 2zx   zz  2xy

Hauptspannungsrichtungen ni aus:

xx
 i  nix 
xy niy 
xz niz  0
yx nix  yy  i niy 
yz niz  0


zy niy   zz  i  niz  0
zx nix 
mit:




ni  nix ex  niy ey  niz ez
ni2   nik2  1
Einheitsvektor der i-ten
Hauptspannungsrichtung
k = x, y, z
(k )
Ebener Spannungszustand (ESZ)
σyy
Spannungstensor
  xx
kl  
  yx
 kl  lk
 xy 
 yy 
yx
xy
σxx
k , l  x, y
xy
y
 kl   kl
Für gedrehtes Koordinatensystem
   yy  xx   yy
uu  xx

cos 2   xy sin 2
2
2
   yy  xx   yy
   xx

cos 2   xy sin 2
2
2
   yy
sin 2   xy cos 2
u  u   xx
2
σx x
yx
σyy
x
 

u 
xy
σxx
yx
y

u
x
σyy
15
Formelsammlung Technische Mechanik
Hauptspannungen
1,2 
2
2
 xx   yy

2
  xx   yy 
2

   xy
2


Hauptspannungsrichtungen
2  xy
tan 201,02 
 xx   yy
tan 01 
 xy
y
1
2
xy
σ xx
yx

σyy
x
2
1
für eindeutige Hauptspannungsrichtung 1
 xx   2
Verzerrungen
z
uz
Verschiebungsvektor
u




u  ux ex  u y e y  uz ez
ux
ez



 u e x   e y  w ez
ex
Räumlicher Verzerrungszustand
O
P'
P
ey
uy
y
x
Verzerrungstensor

  xx

1
kl    yx
2
1
  zx
2
1
 xy
2
 yy
1
 zy
2
Dehnungen
u x
 ux, x
x
u y
 yy 
 u y, y
y
u
 zz  z  u z , z
z
 xx 
1

 xz 
2

1
 yz 

2

 zz 

 kl  lk
k , l  x, y , z
 kl  2 kl
Gleitungen
u x u y

 u x, y  u y , x
y
x
u y u z
 yz 

 u y ,z  uz , y
z
y
u u
 xz  x  z  u x ,z  u z , x
z
x
 xy 
Ermittlung der Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen
wie beim räumlichen Spannungszustand ( kl   kl ) S. 14
16
Formelsammlung Technische Mechanik
Ebener Verzerrungszustand (EVZ)
Verzerrungstensor

  xx
 kl  
1 

yx
2
1

 xy 
2

 yy 

 kl  lk
k , l  x, y
 kl  2  kl
Für gedrehtes Koordinatensystem

 u
 xx   yy
 xx   yy
1
 sin 2
2
2
2 xy
 xx   yy  xx   yy
1


cos 2   xy sin 2
2
2
2
  u     xx   yy  sin 2   xy cos 2
uu 

cos 2 

2
 xx

y

 u 
2
  xy
u u
yy

u
x
Ermittlung der Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen
wie beim ebenen Spannungszustand  kl   kl  S. 15
HOOKEsches Gesetz
Voraussetzung: isotropes Material
1
  xx     yy   zz     T
E
1
 yy   yy     zz   xx     T
E
1
 zz    zz     xx   yy     T
E
1
 xy   xy
G
1
 yz   yz
G
1
 zx   zx
G
 xx 
 
17
Formelsammlung Technische Mechanik
mit: E  2 1    G
E – Elastizitätsmodul (YOUNGs Modul)
G – Schubmodul
– Querkontraktionszahl ( m 
 – Temperaturdehnzahl
1

- POISSONsche Zahl)
T - Temperaturdifferenz
Sonderfall: Ebener Spannungszustand (ESZ)
1
  xx    yy    T
E
1
 yy    yy    xx    T
E

 zz     xx   yy    T
E
1
 xy   xy
G
 xx 
Sonderfall: Ebener Verzerrungszustand (EVZ)
1 
1     xx    yy   1     T
E 
1 
 yy 
1     yy    xx   1     T
E 
1
 xy   xy
G
 xx 
18
Formelsammlung Technische Mechanik
Zulässige Spannungen
 zul
 F
 S

F

 B
 S B
mit:  F
B
SF
SB
zähes Material
sprödes Material
 Fließfestigkeit ( Re )
 Bruchfestigkeit ( Rm )
 Sicherheitsfaktor gegen Fließen ( S F  1,2...2)
 Sicherheitsfaktor gegen Bruch ( S B  4...9)
Sicherheitsfaktoren aus Regelwerken für jeweilige Anwendung
Bei anisotropem Material zusätzlich  d zul mit analoger
Definition.
Formelsammlung Technische Mechanik
19
Vergleichsspannungen
Festigkeitskriterium
    zul
mit:    Vergleichsspannung
Bei anisotropem Material zusätzlich  d  d zul
Allgemein
Formulierung mit den Hauptspannungen 1   2  3 S. 14
 Normalspannungshypothese
Isotropes Material:
1  3 :
 1  1
1  3 :
 1  3
Anisotropes Material:
1  0 , 3  0 :
 1  1
1  0 , 3  0 :
 1  1 und  1 d  3
1  0 , 3  0 :
 1 d  3
 Schubspannungshypothese
  2  1  3
 Gestaltänderungsenergiehypothese
 3 

1
2
2
2
1  2    2  3    3  1  


2
2
2
1
2
2
2
2












3












xx
yy
yy
zz
zz
xx
xy
yz
zx 

2 
Analog für Zylinderkoordinaten:
3 
2
2
1
2











 3  r2  2 z  2zr 






rr


zz
zz
rr



2
20
Formelsammlung Technische Mechanik
Linientragwerke (Balken, Wellen) S. 21 ff
 Normalspannungshypothese
Formulierung mit den Hauptspannungen 1   2 (ESZ) S. 15
Isotropes Material:
1   2 :
 1  1
1   2 :
 1   2
Anisotropes Material:
1  0 ,  2  0 :
 1  1
1  0 ,  2  0 :
 1  1 und  1 d   2
1  0 ,  2  0 :
 1 d   2
 Schubspannungshypothese
 2 
 2  4 2
 Gestaltänderungsenergiehypothese
3 
2  3 2
Flächentragwerke (Behälter, Scheiben, Platten – ESZ)
 Gestaltänderungsenergiehypothese
Behälter S. 28
 3 
l2  u2  l u
Scheiben, Platten S. 29 ff
 3 
2
2rr  
  rr 
21
Formelsammlung Technische Mechanik
Linientragwerke
Zug (Druck)
 zz ( z ) 
FL ( z )
A( z )
 zz 
duz FL

  T
dz EA
Sonderfall:  zz  konst., T  0
l
l
mit: A - Querschnittsfläche
EA - Dehnsteifigkeit
l - Längenänderung
l - Ursprungslänge
 zz 
Biegung
(Definition der Schnittgrößen S. 11, Definition der Verschiebungskoordinaten S. 15, Definition der Flächenmomente 2. Ordnung S. 51)
Spannung
 Gerade Biegung (Biegung um Hauptträgheitsachse x)
M bx
y
I xx
M bx max

max
Wbx
 zz 
 zz
mit: Wbx 
I xx
Widerstandsmoment gegenüber Biegung
y max
 Schiefe Biegung, x, y – Hauptträgheitsachsen,
einschließlich Längskrafteinfluss
M by
F M
 zz  L  bx y 
x
A
I xx
I yy
22
Formelsammlung Technische Mechanik
Gleichung der Spannungsnulllinie   zz  0 
M by I xx
F I
y
x  L xx
M bx I yy
M bx A
 Schiefe Biegung, x, y – beliebige Schwerpunktachsen,
einschließlich Längskrafteinfluss
 zz 
M I  M by I xx
FL M bx I yy  M by I xy

y  bx xy
x
A
I
I
2
mit: I   I xx I yy  I xy
Gleichung der Spannungsnulllinie   zz  0 
y
M bx I xy  M by I xx
M bx I yy  M by I xy
I xx I yy  I xy2
FL
x
A M bx I yy  M by I xy
Verformung

Gerade Biegung (Biegung um Hauptträgheitsachse x)
Differenzialgleichung 2. Ordnung
M b( x)
´´ 
EI ( xx )
d
Neigung
dz
EI(xx) – Biegesteifigkeit
mit: ´
I(xx) –
x
z
M b (x)
z
M b(x)
y, 
axiales Flächenträgheitsmoment S. 51
Randbedingungen für  bzw. ´
x
y, 
Formelsammlung Technische Mechanik
Differenzialgleichung 4. Ordnung
q( y )
´´´´
EI ( xx )
Randbedingungen für  , ´ , ´´ M b ( x ) , bzw. ´´´ FQ ( y )
 Schiefe Biegung, x, y – Hauptträgheitsachsen
´´ 
u´´
M bx
EI xx
M by
EI yy
 Schiefe Biegung, x, y – beliebige Schwerpunktachsen
´´
1
 M bx I yy  M by I xy 
EI 
u´´
1
 M by I xx  M bx I xy 
EI 
23
24
Formelsammlung Technische Mechanik
Reine Torsion
max
d
M
 z  t
dz GIt
M
 t
Wt
mit: z l  GIt It Wt -
mt = -
mt
Mt
Mt+dMt
z
dz
Verdrehwinkel
Stablänge
Drillung
Torsionssteifigkeit
Torsionsträgheitsmoment
Widerstandsmoment gegenüber Torsion
dM t
- Torsionsstreckenlast
dz
Sonderfall: Kreis(ring)querschnitt
(r ) 
Mt
r
Ip
max 
Mt
Wp
mit: Ip - polares Flächenträgheitsmoment Ip = It = 2 Ixx= 2 Iyy
I
W p  p - polares Widerstandsmoment Wp=Wt =2Wbx=2Wby
r
a
r – (beliebiger) Radius innerhalb des Querschnitts
ra – Außenradius
Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion S. 53
25
Formelsammlung Technische Mechanik
Querkraftschub
Voraussetzung: x, y – Hauptträgheitsachsen
Massive Querschnitte (annähernd rechteckig)
FQy
Schubspannungen
 zy ( y ) 
mit:
FQy S x ( y )
x
I xx bx ( y )
S x ( y) 
y
~
y
yR
 y b ( y ) dy
yR
x
z
~
S
bx(y )
A(y )
dy~
y
y
statisches Moment der (unterlegten)
Restfläche A( y )
bx( ~y)
Analog:
 zx ( x ) 
FQx S y ( x)
I yy by ( x)
Dünnwandige offene Querschnitte
Schubspannungen
FQy S x ( s )
 zs ( s) 
I xx ( s )

FQx S y ( s )
I yy ( s )
mit:
l
s
s
0
l
s
s
0
rt(s)
x
FQx
S x ( s )   y  s  ( s ) ds    y  s  ( s ) ds
S y ( s )   x  s  ( s ) ds    x  s  ( s ) ds
Koordinaten des Schubmittelpunkts M
1
xM 
I xx
l
S
x
 s  rt ( s ) ds
0
1
yM  
I yy
l
S
0
y
 s  rt ( s ) ds
yM
M s
~
FQy
s
z
(s)
(s)
S
ds
~
s=l
xM
y
s=s=0
26
Formelsammlung Technische Mechanik
Federn
Federgesetze
Feder
w
c
Zug-/Druck-Feder
FL

ct
Drehfeder
Potenzielle
Energie
Federgesetz
Mt
F cw
U
1
c w2
2
M t  ct 
U
1
ct 2
2
Ersatzfederkonstanten
Federschaltung
c1
Ersatzfederkonstante
c2
w1
w2
1 1 1
 
c c1 c2
FL
Reihenschaltung
2
1 c t2
c t1
1 1
1


ct ct1 ct 2
Mt
c1
c2
w
c  c1  c2
FL
Parallelschaltung

c t1
c t2
ct  ct1  ct 2
Mt
Federkonstanten elastischer Linientragwerke
Beanspruchungsart
Federkonstanten
EA , l
Zug
c
FL
EI, l
Biegung
FQ
FQ :
Mb
Mb :
3 EI
l3
2 EI
c 2
l
c
GIt, l
Torsion
Mt
EA
l
ct 
GI t
l
2 EI
l2
EI
ct 
l
ct 
27
Formelsammlung Technische Mechanik
Satz von CASTIGLIANO
Voraussetzungen: x, y – Hauptträgheitsachsen, T = 0
n
U
k 

Fk i 1

( li )
 M
M byi M byi
M bxi
M ti M ti
bxi




  EI xx i Fk
 EI yy i Fk  GIt i Fk

k 
FQxi FQxi
FQyi FQyi 
FLi FLi
  xi
  yi
 dsi
 EAi Fk
 GAi Fk
 GA i Fk 
U
 ... analog
M k
mit: U
- linearelastische Verzerrungsenergie
x, y - Schubfaktoren des jeweiligen Querschnitts
Stabilitätsproblem Knicken
Kritische Kraft für EULERsche Knickfälle
FK  2
FK
EI
lk2
(für    p  
FK
1
0,7
FK
E
)
P
lK
:
l
2
mit:
lK
Schlankheitsgrad
i
i Trägheitsradius S. 52

P -
FK
Proportionalitätsgrenze
0,5
28
Formelsammlung Technische Mechanik
Flächentragwerke
Voraussetzung:
Belastung, Geometrie, Materialverhalten sind rotationssymmetrisch:
 Spannungs- und Verzerrungszustand ist rotationssymmetrisch
Rotationsschalen (Behälter - Membrantheorie)
LängsUmfangsspannung spannung
Behälter
l
u
p
allgemein
u
h
R2
R1
l
p
u
Kugelschale
l u p


R1 R2 h
: (Rotationsachse)
u
R
h
u
Zylinderschale
R
p
2h
u
R
p
2h
p
R
h
R
p
h
l
h
Kegelschale
u
p
u

l
Ø2R
l
R
R
p
p
2 h sin 
h sin 
29
Formelsammlung Technische Mechanik
Kreis- und Kreisringscheiben

rr+drr
2r

d
rr
r
dr 
Differenzialgleichung
ur ´ u r  1
1  2

ur ´´
 2    r ur ´´ 
 2 r  1      T ´
r r
E
r

mit:
ur ( r )
- Verschiebung in radialer Richtung

- Massendichte
  2  n Winkelgeschwindigkeit (n – Drehzahl)
 ´


r
Allgemeine Lösung
1 1  2

 2 r 3  1   
ur  C1 r  C2 
r 8E
r
mit:
 0
a 
r
 r T (r ) dr
a
( Vollscheibe)
 Innenradius (Ringscheibe)
C1 , C2  Integrationskonstanten aus Randbedingungen
Randbedingungen (je 1 pro Rand) für ur bzw. rr
Spannungen
 ur



u
´

1




T


r
 r



E  ur

´
1
 


u





T


r

1  2  r
rr 
E
1  2
30
Formelsammlung Technische Mechanik
Vergleichsspannung nach Gestaltänderungsenergiehypothese S. 20
Dehnungen
rr  ur ´
 
ur
r
zz  

 rr    T
E
Alternative Lösung (günstig bei Spannungs-Randbedingungen)

1 
1 
1 1 2
ur 
K1 r 
K2 
 2 r 3  1   
E
E
r 8E
r
 rr  K1 

mit:
1
3
E
2 2
K



r

2
r2
8
r2
a
Dehnungen wie oben
Kreis- und Kreisringplatten
mr +dmr
d
h
mr
r
z,w
qr+dqr
qr

mn
dr
a
 r T (r ) dr
K1, K2 – Integrationskonstanten
p(r)
 r T (r ) dr
r

1
1 3 
1
 K1  2 K 2 
 2 r 2  E   T  2
r
8
r

mn
r
r

a

r T (r ) dr 

31
Formelsammlung Technische Mechanik
Differenzialgleichung
w  w´´´´2
w´´´ w´´ w´ 1   1
  p(r )
 2  3  r   r w´´´´
r
r
r
r  r
K

mit: w(r) – Verschiebung der Plattenmittelfläche in z-Richtung
E h3
K
12 1   2 
 ´
Plattensteifigkeit
d 
dr
Allgemeine Lösung für p(r )  p0  konst.
r
r p0 r 4
2
2
w  C1  C2 ln  C3 r  C4 r ln 
r0
r0 64 K
mit: r0
- beliebiger Bezugsradius
C1, …, C4 - Integrationskonstanten aus Randbedingungen
Randbedingungen (je 2 pro Rand) für w oder qr bzw. w´ oder mr
Schnittgrößen
w´ 

mr   K  w´´ 
r 

w´´ w´ 

qr   K  w´´´
 2
r r 

w´ 

m   K   w´´ 
r 

Spannungen
12 mr
z
h3
h
h
mit:   z 
2
2
rr 
 
12 m
h3
z
Vergleichsspannung nach Gestaltänderungsenergiehypothese S. 20
Dehnungen
rr   z w´´
   z
w´
r
 zz  0
32
Formelsammlung Technische Mechanik
KinematikKinematik des Punktes
Bewegung auf gerader Bahn
Weg
s  s (t )
Geschwindigkeit
  s
Beschleunigung
a    
s
Bahn
s(t)
P

a
d  d 


dt
ds
P - Punkt auf Bahn

mit: ( ) 
Bewegung auf Kreisbahn
(Dreh-)Winkel
  (t)
2
2n
T
 

Winkelbeschleunigung   
Winkelgeschwindigkeit    
r=konst.
P
(t)
d  d 


dt
d
T - Kreisfrequenz (Umlaufzeit)
n - Drehzahl
O

mit: ( ) 
Bewegung auf beliebiger Bahn, verschieden beschrieben
z
 Kartesische Koordinaten




r (t ) 
x (t ) e x  y (t ) e y  z (t ) e z





 ( t )  r 
x ( t ) e x  y ( t ) e y  z ( t ) e z

 



a ( t )    
r  
x ( t ) e x  
y ( t ) e y  
z (t ) e z
P
ez
O
ex
x
r (t )
z(t)
ey
y(t)
y
x(t)
33
Formelsammlung Technische Mechanik
 Natürliche Koordinaten
s  s t 



 (t )  s(t ) et (t )   (t ) et (t )


 2 (t ) 

a (t )   (t ) et (t ) 
e (t )
ρ(t ) n
s(t) P
et

en

mit:  - Krümmungsradius
O
 Polarkoordinaten (ebene Bewegung)


r  r (t ) er



 (t )  r er  r  e


a (t )   r  r  2  er  (
2
r 
e

 ) e
r 
CORIOLISBeschleunigung

P
r(t)
 (t )
O
er
34
Formelsammlung Technische Mechanik
Kinematik des starren Körpers
Translation
Ein Körperpunkt ( A bzw. B ) ist
repräsentativ für alle Körperpunkte;
Kinematik des Punktes anwendbar
A´´
A´
A
B´
t  t1
B
B´´
t  t2
t  t0
Rotation um raum- und körperfesten Punkt O
     
  r        r
      
a    
 r   r 

r
P
O
Allgemeine Bewegung

 
r
rA  rAP
    
  r  rA    rAP
    
  
a  r  rA  
 rAP       rAP 
rAP
A
rA
P
r
O
Ebene Bewegung

r
 
  r 
 
a  r 
 
rA  rAP

 
rA   e z  rAP


 
rA   ez  rAP  2 rAP
Momentanpol
  ez   A
rM  rA 

 


mit: e z   A  x A e y  y A e x
e
A
rA
er rAP
e
ey
ez
O
ex

r
P
35
Formelsammlung Technische Mechanik
Bewegung des Punktes P relativ zu bewegtem Bezugssystem
P
r
rB P
B
(körperfestes
Bezugssystem)
rB
O

r
 
rB  rBP
    

  r  rB    rBP   rel
     
  
 

a  
r  rB    rBP       rBP   2
   rel  arel



Führungsbeschleunigung

CORIOLISBeschleunigung
mit:  - absolute Winkelgeschwindigkeit des bewegten
Bezugssystems
36
Formelsammlung Technische Mechanik
Kinetik starrer KörperTranslation
NEWTONs
Bewegungsgleichung
statische Interpretation
(D´ ALEMBERT)
 geradlinige Translation infolge der Kraft F
s
s
F
F
m
O
O
S
m
S
ms
F  m s
:
F  m s  0
mit: m s - Hilfskraft
(Trägheitskraft)

 beliebige Translation ( M R  0 )




FR  m rS  0
FR  m rS
Mathematische Folgerungen für beliebige Translation
t1



 
FR (t ) dt  m 1   0 
t0
mit: 0, 1 - Indizes für Weganfang bzw. Wegende


Für FR  0 (Impulserhaltung) :   konst.

Mechanischer Arbeitssatz (Translation)
t
1
 
 1 

1
1
2
2
F
(
r
)

d
r

F
(
t
)


(
t
)
dt

m


m

 T1  T0
R
R
1
0

t
2
2
0
0
 
mit: P  FR   Leistung (bei Translation)
T
1
m 2 kinetische Energie (der Translation)
2
37
Formelsammlung Technische Mechanik

Mechanischer Energiesatz (Translation)
1
 

1
1
2
F
(
r
)

d
r

U

U

m


m  02  T1  T0
0
1
1
 R
2
2
0
U 0  T0  U1  T1  konst .

F
mit: R - Potenzialkraft
U - potenzielle Energie (der Translation)
Beispiele: Gewicht: U  m g h
mit : h - Höhe
Federenergie S. 26

Mechanischer Leistungssatz (Translation)
n




FR (t )   (t )   Fi (t )   i (t )  T
i 1
Beliebige Bewegung
Schwerpunktdefinition
 1
rS 
m
folglich:

1
rS 
m

m

r dm
rS
(m)


r dm
dm
S
Schwerpunktsatz
r
O
(m)
Definition von Impuls und Drehimpuls
 Impuls

p

(m )


r dm  m rS
Mk
m
rSP dm
S
P
rS
r
 Drehimpuls bezüglich des Punktes O

L

(m)
 
r  r dm
O
ri
Fi
38
Formelsammlung Technische Mechanik
EULERs Grundgesetze der Kinetik
 Impulsbilanz
 Drehimpulsbilanz



FR  p  m rS


MR  L
Formulierung im x,y,z-Koordinatensystem
 Impulsbilanz
n
FRx   Fix  m 
xS
i 1
n
FRy   Fiy  m 
yS
i 1
n
FRz   Fiz  m 
zS
i 1
 Drehimpulsbilanz
bezüglich körperfester Hauptträgheitsachsen i  1, 2, 3 durch
den Schwerpunkt S (EULERsche Gleichungen)
 1   J 2  J 3  2 3
M R1  J 1 
 2   J 3  J1  3 1
M R2  J2 
 3   J1  J 2  1 2
M R3  J 3 
mit: M Ri  Koordinaten des resultierenden Moments
J i  (Massen-)Hauptträgheitsmomente S. 54
i
 Koordinaten der absoluten Winkelgeschwindigkeit
39
Formelsammlung Technische Mechanik
Bewegung in der x,y-Ebene
Statische Interpretation von Impuls- und Drehimpulsbilanz für
verschiedene Bezugspunkte
y
y
m, J zz
F iy
Mk
yi
..
Jzz
yS
x
z
mx S
yB

S
..
F ix
..
my S
B
mit:
O
xB
xS
 - Hilfsmoment
J zz 
x
xi
(Moment der Trägheit)
Kräftegleichgewicht (für alle Bezugspunkte gleich)
:
n
F
ix
i 1
 m 
xs  0
n
F
:
i 1
iy
 m 
yS  0
Momentengleichgewichte
O:
n
m
i 1
k 1
  Fiy xi  Fix yi    Mk  m yS xS  m xS yS  Jzz   0
bzw.
B:
n
m
 F  x  x   F  y  y    M
i 1
iy
i
B
ix
i
B
k 1
k
  0
 m 
yS  xS  xB   m 
xS  yS  yB   J zz 
k
  0
 J zz 
bzw.
n
S:
m
 F  x  x   F  y  y    M
i 1
iy
i
S
ix
i
S
k 1
40
Formelsammlung Technische Mechanik
Mechanischer Energiesatz
1
1
1
1
m  xS21  y S21   J zz  12  m  xS20  y S2 0   J zz  02  T1  T0
2
2
2
2
U 0  T0  U1  T1  konst .
U 0  U1 
Sonderfall: Rotation um raumfeste Achse durch den Punkt A
Bewegungsgleichung (analog zur Translation)
M R z  J zz


n
m
i1
k 1
mit M R z    Fiy xi  Fix yi    M k S. 2 :

n
i 1
y
y

yi
m, J zz
m
  0
Fiy xi  Fix yi   M k  J zz 
yS
k 1
2
mit: J zz  Jzz  rs m
Satz von STEINER
S. 54
FAh
O=A
F iy
Mk
F ix
S
z
rS

xS
z
FA
x
xi
rS2  xS2  yS2
Mathematische Folgerungen aus der Bewegungsgleichung

t1
t M
Rz
(t ) dt  J zz  1  J zz  0
0
Für M R z  0 (Drehimpulserhaltung) : J zz   konst. bzw.   konst.

Mechanischer Arbeitssatz (Rotation)
1

0
t1
M R z (  ) d    M R z (t )  (t ) dt 
mit:
t0
1
1
J zz  12  J zz  20  T1  T0
2
2
P  M Rz  Leistung (bei Rotation)
1
T  J 2 kinetische Energie (der Rotation)
2
x
41
Formelsammlung Technische Mechanik

Mechanischer Energiesatz (Rotation)

1
1
2

M
(

)
d


U

U

J


J zz  02
zz 1
0
1
 Rz
2
2

1
0
U 0  T0  U1  T1  konst.
mit:

M R z aus Potenzial ableitbar
U - potenzielle Energie (der Rotation)
Mechanischer Leistungssatz (Rotation)
n




M R (t )  (t )   Mi (t )  i (t )  T
i 1
Gerader zentrischer Stoß
Geschwindigkeiten nach dem Stoß

1 
m 1  1  m 2  2  k m 2  1   2 
m1  m 2
m   m 2  2  k m1  1   2 
2  1 1
m1  m 2


mit: k  
  
S2
m2
Stoßzahl ( k  1: elastischer Stoß
k  0 : plastischer Stoß )
Geschwindigkeiten vor dem Stoß
Verlust an kinetischer Energie
1  k 2 m1 m2
2
T T 
1  2 
2 m1  m2

m1
  

1   2
1  2
1 , 2 
S1
42
Formelsammlung Technische Mechanik
LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art

 T 
T
 Ql

 


q

q
 l
l
mit: T ql Ql 
l  1, ..., f
kinetische Energie des Gesamtsystems
verallgemeinerte Koordinate
f
verallgemeinerte Last aus W   Ql ql
l 1
W - Arbeitszuwachs der eingeprägten Lasten
 ql - virtuelle Verschiebung für konstant gehaltene Zeit
freduzierter Freiheitsgrad
Sonderfall: Existenz einer potenziellen Energie U für alle verallgemeinerten Lasten

 L  L
0
   
 ql  ql
mit : L  T  U
43
Formelsammlung Technische Mechanik
Schwingungen mit dem Freiheitsgrad 1
Anm.: Aufgeführt sind jeweils die Beziehungen für Schwingungen
mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung.
Ist die Schwingung ungedämpft, dann gilt:
( Formelzeichen s. u. )
b0
0
D0
 Freie gedämpfte Schwingungen
m
Bewegungsgleichung
m 
s  b s  c s  0
O
andere Formulierung:
c

s  2 δ s   s  0
2
0
mit: b δ=
b
s
Dämpfung
b
Abklingkonstante
2m
02 
c
Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
m
s im raumfesten Koordinatensystem (analog für Winkel)
Lösung für schwache Dämpfung (

 D  1)
0
s(t )  eδt  C1 cos  t  C2 sin  t 
andere Formulierung:
s(t )  e δt C cos   t  α 
mit: C1, C2 - Integrationskonstanten aus Anfangsbedingungen:
t  0:
C
s  s0 , s  0
C12  C22
α  arctan
C2
C1
Phasenwinkel
44
Formelsammlung Technische Mechanik
Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung

02  δ2  0
1  D2
LEHRsches Dämpfungsmaß (Dämpfungsgrad)
s(t)

b
D

 0 2 m 0
e  t
Schwingungsdauer
T
2

t
 e  t
Logarithmisches Dekrement
  ln
s  tk 
2πD

 T
2
s  tk  T 
1 D
tk
T
 Erzwungene gedämpfte Schwingungen
Voraussetzung: Harmonische Erregung
Lasterregung
Unwuchterregung
F(t) =F0 sin t
mu
m
Bewegungserregung
m
m
ru
t
O
c
b
s
c
O
O
b
s
c
b
s
B
u=u 0 sin t
s r =s-u
45
Formelsammlung Technische Mechanik
Erregungsart
Lasterregung
Erregungsfunktion
F (t )  F0 sin t
F0 - konstante Lastamplitude
Bewegungsgleichung
ms  b s  c s  F0 sin t
Homogene Lösung
s  e δt C cos   t  α 
Anfangsbedingungen
t  0:
s  s0 , s  0
F
s p  0 VI sin  t   
c
Partikuläre (stationäre) Lösung
1
VI 
1  η 
2 2
VI max 
 4 D 2 η2
1
2 D 1  D2
VI
Vergrößerungsfunktion
D=0
D = 0,2



Phasenwinkel
  arctan
Frequenzverhältnis

Eigenkreisfrequenz (gedämpft)
  0
LEHRsches Dämpfungsmaß
D
2Dη
1  η2

0
1 D2
b
b

2 m 0 2

m

c
0
46
Formelsammlung Technische Mechanik
Unwuchterregung
Bewegungserregung
F (t )  mu ru 2 sin t
mu ru 2 - konstante Kraftamplitude
u (t )  u0 sin t
u0 - konstante Wegamplitude
 m  mu  s  b s  c s  mu ru 2 sin  t
m sr  b sr  c sr  m u0  2 sin t
s  e  δt C cos   t   
sr  e  δt C cos   t  α 
sp 
mu
ru VII sin  t   
m  mu
sr p  u0 VIII sin  t   
2
VII 
1   
2
VII max 
2
4 D 
2
1  4 D 2 2
VIII 
2
1
2D
sr  sr 0 , sr  r 0
t  0:
s  s0 , s  0
t  0:
1  2 
VIII max 
1  D2
VII
1
2D
2
 4 D 2 2
für D 1
VIII
D=0
D=0
D = 0,2
D = 0,2



  arctan


2Dη
1  η2
  arctan

  0
D

b

2  m  mu  0 0
2 D η3
1  1  4 D 2  η2

0
1 D2
D
b

b


2 m 0 0 2 m c

47
Formelsammlung Technische Mechanik
Schwingungen mit einem Freiheitsgrad größer 1
Bewegungsgleichung
      
M q  B q  C q  F

mit: q  Vektor der verallgemeinerten Koordinaten

M  Massenmatrix
Komponenten:

B  Dämpfungsmatrix

C  Steifigkeitsmatrix

F  Vektor der Erregerlasten
k , l  1, ..., f
qk
mkl  mlk
bkl  blk
ckl  clk
Fk
Spezialfall: Freiheitsgrad f = 2, Erregerlast F1(t) = F0 sint,
keine Dämpfung
m11 q1  m12 q2  c11 q1  c12 q 2  F0 sin  t
m 21 q1  m 22 q2  c 21 q1  c 22 q 2  0
Anfangsbedingungen für t = 0 :
q1  q10
q1  10
q2  q20
q2  20
Lösungsanteil der freien Schwingung
qh1  qˆ1  C11 cos  t  C12 sin  t 
qh 2  qˆ 2  C 21 cos  t  C 22 sin  t 
Eigenfrequenzen i (i = 1, 2) und dazugehörige -moden (qˆ1 / qˆ2 )i
aus:
 c11  m11 2  qˆ1   c12  m12 2  qˆ2  0
c
21
 m21 2  qˆ1   c22  m22  2  qˆ 2  0
Lösungsanteil der erzwungenen Schwingung
q p1  C p1 q1 sin t
q p 2  C p 2 q2 sin t
Amplituden q1 , q2 aus:
11
 m11  2  q1   c12  m12  2  q2  F0
21
 m21  2  q1   c22  m22  2  q 2  0
c
c
48
Formelsammlung Technische Mechanik
Geometrie- und masseabhängige Kennwerte
Schwerpunkt ebener Linienstrukturen
Allgemein
xS L 
1
x ds
l (l )
yS L 
1
y ds
l (l )
l
y
y
S
yS L
y s
 ds
(l )
s=l
x
ds
x
xS L
x
Spezielle Linien
Linie
Schwerpunktskoordinaten
y
y
c
b
S
yS L
x

xS L
a c
 cos 
2 2
b c
  sin 
2 2
xS L 
a
x
yS L
y
y
S
yS L
x
R
xS L
xS L  yS L 
2
R

x
Bei bekannten Werten für n Teillinien
1 n
xS L   xS Li li
l i 1
1 n
yS L   yS Li li
l i 1
y
y
li
yS Li
yS L
SLi
x
S
n
l   li
i 1
xS L
xS Li
x
49
Formelsammlung Technische Mechanik
Schwerpunkt ebener Flächen
Allgemein
1
x dA
A ( A)
xS A 
A
A
dA
y
1
y dA
A ( A)
yS A 
y
y
yS A
x
S
 dA
x
xS A x
( A)
Spezielle Flächen
Fläche
Schwerpunktskoordinaten
y
y
b
S
yS A
2
a
3
1
 b
3
xS A 
xS A
a
x
x
yS A
y
y
S
yS A
x
R
xS A  y S A 
4
R
3
x
xS A
Bei bekannten Werten für n Teilflächen
1
 xS Ai Ai
A i 1
1 n
  y S Ai Ai
A i 1
xS A 
yS A
y
n
_
yS A
y yi
Si
i
_
yS A
S
Ai
xi
x
n
A   Ai
i 1
_
xS A
x S Ai
x
50
Formelsammlung Technische Mechanik
Schwerpunkt von Körpern
Allgemein
xS m 
1
m

m
(V )
yS m 
1
y dm
m (V)
zS m 
1
m
m
z
z
x dm

dm
S
x
z dm
(V )
x
(V )
z
zS m
yS m
 dm
y
xS m
y
x
y
Spezielle Körper
Körper
z
Keil(stumpf)
Pyramide(-nstumpf)
Quader
z
a2
b2
y
b1
x
zS m
zS m 
h
y
z
Kegel(stumpf)
Pyramide(-nstumpf)
A2
h
z
S2
r2
S
zS m
x
S1
y
y
r1
A1
Bei bekannten Werten für n Teilkörper
1 n
xS m   xS mi mi
m i1
1 n
yS m   yS mi mi
m i1
1 n
zS m   z S mi mi
m i1
n
m   mi
i 1
h a1b1  a1b2  a2b1  3a2b2
2 2a1b1  a1b2  a2b1  2a2b2
a1
x
x
Schwerpunktskoordinaten
h r12  2r1r2  3r22
zS m 
4 r12  r1r2  r22

h A1  2 A1 A2  3 A2
4 A1  A1 A2  A2
51
Formelsammlung Technische Mechanik
Flächenmomente 2. Ordnung
Trägheitstensor
 I xx
I kl  
 I yx
I xy 
I yy 
dA 

( A)
 Axiale Flächenträgheitsmomente
2
I yy   x dA 

( A)
I xx 
mit :
y
2
I xy    x y dA
Zentrifugal- oder Deviationsmoment ( I xy  I yx )
( A)
Satz von STEINER
I xx  I xx  yS2 A
I yy  I yy  xS2 A
I xy  I xy  xS yS A
Spezielle Flächen
Flächenmomente 2. Ordnung
x , y -Koordinatensystem
x,y- Koordinatensystem
Fläche
y
h
y
x
S
b
x
y y
h
x
S
b
x
b h3
I xx 
12
h b3
I yy 
12
I xy  0
b h3
I xx 
3
h b3
I yy 
3
b2 h2
I xy  
4
b h3
I xx 
36
h b3
I yy 
36
b2 h2
I xy 
72
b h3
I xx 
12
h b3
I yy 
12
b2 h2
I xy  
24
52
Formelsammlung Technische Mechanik
y
y
R
S
x
x

4  4
I xx  I yy   
R
 16 9  
I xx  I yy 
 4 1 4
 R
I xy  
9  8
1
I xy   R 4
8
y
 4
R
16
 4
R
4
 4
D

64
 0,5 I p
I xx  I yy 
x
S
D=2R
Bei bekannten Werten für n Teilflächen
n

I xx   I xi xi  yS2i Ai
i 1
n

I yy   I yi yi  xS2i Ai
i 1
n

_
yS


I1,2 
2
S

_
xS
tan 01 
 I xx  I yy 
2

  I xy
 2 
2
I kk
A
xSi
02
S
1
I xx  I yy
I xy
I xx  I 2
1
1
01
x
2
2 I xy
2
für eindeutige Hauptträgheitsrichtung 1
Trägheitsradius
ik 
x
y
Hauptträgheitsrichtungen
tan 201,02 
x
2

xi
i
Hauptträgheitsmomente I1  I 2
I xx  I yy
Ai,Ixi xi ,Iyi yi ,Ixi yi
Si
_
yS
I xy   I xi yi  xSi ySi Ai
i 1
y yi
y
k  x, y
53
Formelsammlung Technische Mechanik
Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber
Torsion
It
Wt
 4
Ra  Ri4  

2

Da4  Di4 

32
 Ra4  Ri4

2 Ra
Querschnitt
Kreis (Ri=0),
Kreisring
Di=2Ri
 Da4  Di4
Da
16
Da=2Ra
It
1 n
li i3

3 i 1
( s
)
dünnwandig
offen
s
dünnwandig
geschlossen

i max
4 Am2
1
ds
( s )
2 Am min
Am
c1 h b3
h
Rechteck
(h>b)
b
h/b
1
c2 h b 2
1,5
2
3
4
c1
0,141 0,196 0,229 0,263 0,281
c2
0,208 0,231 0,246 0,267 0,282
54
Formelsammlung Technische Mechanik
Massenmomente 2. Ordnung
Trägheitstensor
 J xx

J kl   J yx
J
 zx
mit: J xx 
J xy
J yy
J zy
 y
(m)
J yy 

( m)
J zz 

(m)
m
J xz 

J yz 
J zz 
_
z
dm
S
_
_
x
_
yS
_
zS
_
xS
 z 2  dm 


2
2
 z  x  dm  Axiale Massenträgheitsmomente

2
2
 x  y  dm 

2
J xy    x y dm 

( m)

J xz    x z dm 
( m)

J yz    y z dm 

( m)
Zentrifugal- oder Deviationsmomente
( J kl  J lk
k , l  x, y , z )
Satz von STEINER
J xx  J xx   y S2  z S2  m
J xy  J xy  xS y S m
J yy  J yy   zS2  xS2  m
J xz  J xz  xS z S m
J zz  J zz   xS2  y S2  m
Trägheitsradius
jk 
J kk
m
y
k  x, y , z
J yz  J yz  y S z S m
55
Formelsammlung Technische Mechanik
Spezielle Körper (Masse m)
Körper
Massenmomente 2. Ordnung
l
y
Kreiszylinder
J xx  J yy 
S
zR x
z
y
x
S
y
R
y
Kreisring
(dünner
Kreiszylinder)
m 2
R
2
R
S
J zz  m R2
x
z
Kugel
z
y R
x
2
J xx  J yy  J zz  m R2
5
J xx 
y
S
b
Quader
Jzz 
S x
z
m 2
R
2
m 2
l
12
m
Jxx  J yy  l 2
3
x
Kreisscheibe
J zz 
Jxx  J yy 
l
y
Stab
m
3 R2  l 2 

12
z

x
c
a
m 2 2
b  c 
12
m 2 2
J yy 
a c
12
m
J zz   a2  b2 
12

56
Formelsammlung Technische Mechanik
Bei bekannten Werten für n Teilkörper
n
J xx    J xi xi   y  z
i 1
2
Si
n
2
Si
J yy    J yi yi   z  x
i 1
2
Si
n
J zz    J zi zi   x  y
i 1
2
Si
2
Si
2
Si
n
 m 






J xy   J xi yi  xSi ySi mi
i
i 1
n
 m 
J xz   J xi zi  xSi zSi mi
i
i 1
n
 m 
J yz   J yi zi  ySi zSi mi
i
i 1
Hauptträgheitsmomente Ji (i =1,2,3) aus (vgl. Hauptspannungen
S. 14):
J1  J 2  J 3
J i3  S1 J i2  S 2 J i  S3  0
mit: S1  J xx  J yy  J zz
S 2  J xx J yy  J yy J zz  J zz J xx  J xy2  J yz2  J zx2
S3  J xx J yy J zz  2 J xy J yz J zx  J xx J yz2  J yy J zx2  J zz J xy2

Hauptträgheitsrichtungen ei aus (vgl. Hauptspannungen S. 14):
J
xx
 J i  cix 
J xy ciy 
J xz ciz  0
J yx cix  J yy  J i ciy 
J yz ciz  0


J zx cix 
J zy ciy   J zz  J i  ciz  0




mit: ei  cix ex  ciy ey  ciz ez
ei2   cik2  1
(k )
Einheitsvektor der i-ten
Hauptträgheitsrichtung
k = x, y, z
57
Formelsammlung Technische Mechanik
Sonderfall: Zur x,y-Ebene symmetrischer Körper
(vgl. Flächenmomente 2. Ordnung S. 52)
Hauptträgheitsmomente
J 1,2 
J xx  J yy
2
2

 J xx  J yy 
2

  J xy
2


J1  J 2
J 3  J zz
v
Hauptträgheitsrichtungen
tan 201,02 
tan 01 
2 J xy
2
S
J xx  J yy
J xy
J xx  J 2
y y
1
1
01
x
2
1
2
für eindeutige Hauptträgheitsrichtung 1
58
Ergänzungen:
Formelsammlung Technische Mechanik
Formelzeichen
O
Koordinatenursprung im raumfesten Koordinatensystem
Z, z alphanumerisches Zeichen zur Symbolisierung einer
physikalischen oder mathematischen Größe

z
z´
z,x
z
z
Z

ez
Vektor bzw. Matrix z
(Orts-)Ableitung der Größe z
partielle (Orts-)Ableitung der Größe z nach x
Zeitableitung der Größe z
parallele Achse zur (durch den Schwerpunkt
gehenden) Achse z
bewegter Punkt Z im raumfesten Koordinatensystem

z-Komponente des Einheitsvektors e
Kombinationen von Symbolen sind möglich.
Die „doppelte“ Symbolik für Vektoren und Matrizen wird benutzt, weil
die ausschließlich „fette“ Darstellung in handschriftlichen Aufzeichnungen nicht eindeutig ist.
Farbsymbolik im Text
S. Z
Verweis auf Seite Z (in gedruckter Version)
Hyperlink zu Seite Z (in elektronischer Version)
Farbsymbolik in den Skizzen
Einheitsvektoren
Lasten, Schnittgrößen, Spannungen, Drücke
Koordinaten, Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen
Stoffauswahl, didaktisch-methodische Aufbereitung, Layout, Satz und Druck:
apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi
e-Mail: [email protected]
Vorschläge für Berichtungen und Ergänzungen an obige e-Mail-Adresse werden gern entgegengenommen.
Der Autor ist Mitarbeiter an der Professur Elastizitätstheorie/Bruchmechanik:
Inhaber: Prof. Dr.-Ing. habil. H. Balke
Technische Universität Dresden
Fakultät Maschinenwesen
Institut für Festkörpermechanik
01062 Dresden
George-Bähr-Straße 3c
[email protected]
[email protected]