Schriftliche Abiturprüfung 2006 Physik 13 k (Leistungskursniveau) 1

Schriftliche Abiturprüfung 2006
Physik 13 k
(Leistungskursniveau)
1
1.1
1.2
Zustandsänderungen idealer Gase
Vergleichen Sie mithilfe des 1. Hauptsatzes der Thermodynamik die isobare mit der isothermen Expansion idealer Gase bezüglich der übertragenen Wärme, der verrichteten mechanischen Arbeit und der inneren Energie.
Eine abgeschlossene Menge eines einatomigen idealen Gases wird ausgehend vom Zustand
1 (p1, V1, T1) nacheinander folgenden Zustandsänderungen unterworfen:
 isobare Kompression in den Zustand 2 (p2, V2, T2)
 isotherme Expansion in den Zustand 3 (p3, V3, T3)
Daten:
p1  1, 5 106 Pa
V1  8, 0 
T1 = 500 K
V2  2,0 
V3 = V1
Stellen Sie beide Zustandsänderungen in einem p(V)-Diagramm dar. Berechnen Sie die
dazu notwendigen Werte.
Berechnen Sie die Stoffmenge und die übertragenen Wärmen.
2
Technische Probleme bei der Lagerung von Gasen
Bei der Lagerung einer Gasflasche soll der Druck aus Sicherheitsgründen 1,2 • 106 Pa nicht
überschreiten. In einer Gasflasche mit dem Volumen V = 50  befinden sich 20 mol
Helium mit einer Temperatur von 1 = 20 °C. Das Helium soll als ideales Gas betrachtet werden.
2.1 Berechnen Sie den Druck p 1 bei der Temperatur 1 und die maximal zulässige Lagertemperatur max.
(Ergebnis zur Kontrolle: max = 88 °C)
2.2 Erklären Sie den Gasdruck mit der Teilchenbewegung und berechnen Sie die mittlere Teilchengeschwindigkeit bei der maximalen Lagertemperatur.
Um den Höchstdruck nicht zu überschreiten, wird
ein Überdruckventil an die Flasche montiert (Bild 1).
Der Kolben mit dem Querschnitt A = 4,0 cm 2 soll
sich reibungsfrei bewegen lassen. Die Feder wirkt
dem Gasdruck entgegen und ist bei dem Druck
p 0  1,5 105 Pa im ungespannten Zustand. Der Weg des Kolbens vom entspannten Zustand bis zum Öffnen des Ventils beträgt x = 5,0 cm.
Berechnen Sie die erforderliche Federkonstante D, wenn das Ventil bei einem Druck
von pmax = 1,2 • 106 Pa öffnen soll. Die Volumenänderung des Gases und die Reibung
können vernachlässigt werden.
Durch eine Havarie erhöht sich die Temperatur des Gases auf  2 = 95 °C. Dabei entweicht ein Teil des Gases durch das Überdruckventil. Berechnen Sie die Masse des
ausgeströmten Gases.
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3
Versuch von Stern
Mit dem Versuch von Stern kann man die Geschwindigkeitsverteilung
von Atomen in einem Dampf aus Silberatomen untersuchen. Dazu verwendet man eine Versuchsanordnung, deren schematischer Aufbau im
Bild 2 zu sehen ist.
Ein versilberter Platindraht D befindet sich auf der Symmetrieachse
zweier konzentrisch angeordneter und starr miteinander verbundener
Kupferzylinder, die drehbar gelagert sind und deren Radien die Differenz a haben. Der innere Zylinder besitzt eine Spaltblende S. Die gesamte Anordnung befindet sich im Vakuum. Wird der Platindraht erhitzt, tritt Dampf des Silbers durch die Spaltöffnung und setzt sich auf der Wand des äußeren
Zylinders als Niederschlag ab. Beschreiben Sie die Beobachtungsergebnisse dieses Versuches
bei ruhender und sich drehender Anordnung. Deuten Sie die Beobachtungen.
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Lösung:
1.
Zustandsänderungen idealer Gase
1.1 1.HS : U  Q  WV
isobare Expansion
p  konst.
VE
Expansion : W    p dV
VA
VE  VA  WV  0
Arbeit wird vom System abgegeben
V
V
mit A  E  TE  TA
TA TE
Temperaturanstieg: U  0
innere Energie des Systems nimmt zu
mit 1. HS: Q  U  WV  0  Q  0
oder : Q  m  c p  T  0
Dem System wird Wärme zugeführt
isotherme Expansion
T  konst.  U  0
 Q   WV
VE
Expansion : W    p dV
VA
VE  VA  WV  0
Arbeit wird vom System abgegeben
mit 1. HS  Q  0
Dem System wird Wärme zugeführt
1.2
Zustand
1
2
3
p in 106 Pa
1,2
1,2
0,3
V in 
8,0
2,0
8,0
T in K
500
125
125
Isobare Kompression:
p  konst.  p1  p 2
V1 V2
T  V 500 K  2,0 

 T2  1 2 
 125 K
T1 T2
V1
8, 0 
Isotherme Expansion:
T  konst.  T2  T3  125 K
p 2  V2 1, 2 106 Pa  2, 0 

 0,3 106 Pa
V3
8, 0 
Berechnung von 3 (mindestens) Zwischenwerten für Isotherme:
p 2  V2  p3  V3  p3 
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V3,1  3   p3,1 
1, 2 106 Pa  2, 0 
 0,80 106 Pa
3,0 
V3,2  4   p3,2 
V3,3  5   p3,3 
V3,4  6   p3,4 
V3,5  7   p3,5 
1, 2 106 Pa  2, 0 
 0, 60 106 Pa
4, 0 
1, 2 106 Pa  2, 0 
 0, 48 106 Pa
5, 0 
1, 2 106 Pa  2, 0 
 0, 40 106 Pa
6, 0 
1, 2 106 Pa  2, 0 
 0,34 106 Pa
7, 0 
Graph:
p in 106 Pa
1.3
1.2
Isobare
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
Isotherme
0.5
0.4
0.3
0.2
V in 
0.1
0
0.250
0.500
0.750
1.000
1.250
1.500
1.750
2.000
2.250
2.500
2.750
3.000
3.250
3.500
3.750
4.000
4.250
4.500
4.750
5.000
5.250
5.500
5.750
6.000
6.250
6.500
6.750
7.000
7.250
7.500
7.750
8.000
8.250
0
Stoffmenge:
p1  V1  n  R  T1
n
p1  V1
R  T1
n
1, 2 106 Pa  8, 0dm 3
 2,31mol
8,314 J  K 1  mol1  500 K
n 
Pa  dm 3
J  K 1  mol1  K
isobar übertragene Wärme Q1,2:
Q1,2  U1,2  WV1,2

N  m 2 103 m 3
 103 mol
1
N  m  mol
W1,2  p1   V2  V1 
W1,2  1, 2 106 Pa   2  8  dm3  7, 2 103 J  7, 20 kJ
 Q1,2
 W1,2   Pa  dm3  N  m 2 103 m3  103 Nm  103 J
3
U1,2   n  R   T2  T1 
2
3
U1,2   2,31mol  8,314 J  K 1  mol 1  125  500  K  10,80 kJ
2
 10,80 kJ  7, 20 kJ  18, 0 kJ
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besser:
Q1,2  U1,2  WV1,2
WV1,2   p1   V2  V1 
Q1,2
Q1,2
3
U   n  R   T2  T1 
mit p1   V2  V1   n  R   T2  T1 
2
3
U   p1   V2  V1 
2
3
5
  p1   V2  V1   p1   V2  V1    p1   V2  V1 
2
2
5
 1, 2 106 Pa   2  8  dm3  18 103 J  18 kJ
2
 W1,2   Pa  dm3  N  m 2 103 m3  103 Nm  103 J
Isotherm übertragene Wärme Q2,3: :
Q2,3   WV2,3
(Gleichung nicht im Tafelwerk  Integral)
VE
W    p dV mit p  V  n  R  T  p 
VA
W  n  R  T 
VE
n R T
V
1
 V dV  n  R  T  ln  V 
VA
Q2,3
2.
2.1
VE
VA
V 
W   n  R  T  ln  E 
 VA 
V 
8
 n  R  T2  ln  3   2,31mol  8,314 J  K 1  mol 1 125 K  ln    3,33kJ
2
 V2 
Technische Probleme bei der Lagerung von Gasen
Druckberechnung:
p1  V1  n  R  T1
p1 
n  R  T1
V1
p1 
20 mol  8,314 J  K 1  mol1  293K
 974, 41kPa
50 dm3
mol  J  K 1  mol 1  K
J
Nm
 3 3  103 3  103 Pa
 p1  
3
dm
10 m
m
Maximale Temperatur:
p max  V1  n  R  Tmax
p max  V1
nR
1, 2 106 Pa  50 dm3

 360,84 K  max  87,84C
20 mol  8, 314 J  K 1  mol 1
Tmax 
Tmax
Tmax  
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Pa  dm3
mol  J  K 1  mol1
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
N  m 2 103 m3
 103 K
1
N mK
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2.2
Erklärung – Gasdruck:
 Teilchen besitzen Masse und Geschwindigkeit, also Impuls p  m  v
 elastische Stöße gegen Gefäßwand: Impulsänderung p  2  m   v
 beim Stoß übertragen Teilchen Impuls auf Gefäßwand
m  v
 Kraftstoß F 
t
 Stoß erfolgt auf Wand der Fläche A
F
 Druck auf Gefäßwand p 
A
Berechnung – mittlere Teilchengeschwindigkeit:
(mit Gleichungen des Tafelwerks)
3  R  Tmax
v
bzw.:
Mr
v
3  8,314 J  K 1  mol1  360,84 K
4 103 kg  mol1
v  3  2, 077 103 J  kg 1  K 1  360,84 K
v  1500, 0 m  s 1
v  1499,5 m  s 1
J  K 1  mol 1  K
v 
 
v  3 RS  T
kg  mol 1

kg  m 2  s 2
 m  s 1
kg
besser: :
(Rahmenplan: Freiheitsgrade und Maxwellverteilung)
2
m
f
E kin  T  v   k  T
mit f  3
2
2
3 k  T
M
M
M k
v  0,921 
mit m T  r  r  r
k
mT
NA
R
R
3 k  T  R
3 R  T
v  0,921
 0,921 
Mr  k
Mr
v  0,921 
3  8,314 J  K 1  mol 1  360,84 K
 1381,5 m  s 1
3
1
4, 0 10 kg  mol
ohne Korrekturfaktor: 1500, 0 m  s 1
v
 
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J  K 1  mol 1  K
kg  mol
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1

kg  m 2  s 2
kg
 m  s 1
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2.3
Federkonstante D:
FFeder  FDruck
D  x  p  A
p  A
D
x
1,1106 Pa  4 104 m 2
D
 8,8 kN  m 1
5 102 m
Pa  m 2 N  m 2  m 2
D


 N  m 1
 
m
m
Masse des ausströmenden Gases:
pV  n R T
pV 
mit n 
m
und V  konst.
Mr
m
R T
Mr
m0 
p0  V  M r
;
R  T0
m 
V  Mr
R
m 
50 dm 3  4 103 kg  mol1  0,974 106 Pa 1, 2 106 Pa 


  0, 00152 kg  1,52 g
8,314 J  K 1  mol1
293K
368 K 

m1 
p max  V  M r
R  Tmax
p p 
  1  max 
 T1 Tmax 
dm3  kg  mol1 Pa 103 m3  kg  N  m 2


 103 kg
 m  
1
1
K
N m
J  K  mol
oder besser: (und logischer)
m  max  V
mit
p0  V0 p max  Vmax

T0
Tmax
p0 
m
0
T0
max 
p max 

m
max
Tmax
mit V 

m

p0
pmax

T0 0 Tmax max
0  T0  p max
Tmax  p0
und
V  Vmax  V1
V 
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mit V 
n R T
p
T
n  R  Tmax n  R  T1
T 

 n  R   max  1 
p max
p1
 pmax p1 
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ergibt sich:
T
T 
  max  1 
 p max p1 
20 mol  8,314 J  K 1  mol1  0,18 kg  m 3  273K 1, 2 106 Pa  368 K
293K

m 



5
6
6
368 K 1, 013 10 Pa
 1, 2 10 Pa 0,975 10 Pa 
m 
n  R 0  T0  p max
Tmax  p0
m  0, 00162 kg  1, 62 g
mol  J  K 1  mol1  kg  m 3  K  Pa K
J  kg  m 3 N  m  kg  m 3



 kg
 m  
Pa
K  Pa
Pa
N  m 2
3.
Experimentelle Bestimmung von Teilchengeschwindigkeiten
Beobachtungsergebnisse:
 ruhende Anordnung
o Silberatome treffen in einem eng begrenzten Gebiet in geradliniger Verlängerung
von D durch die Mitte des Spaltes auf dem äußeren Zylinder auf
 rotierende Anordnung
o kein eng begrenztes Auftreffgebiet
o Ausbildung eines länglichen Streifens als Auftreffgebiet
Deutung:
 Für das Auftreffgebiet in Ruhe ist die Geschwindigkeit der Teilchen irrelevant; alle Teilchen kommen an gleicher Stelle an – früher oder später.
 Rotation der Anordnung: Geschwindigkeit der Silberatome ist nicht konstant
 Teilchen mit hoher Geschwindigkeit kommen früher auf dem äußeren Zylinder an – Auftreffpunkt auf dem „Ruhegebiet“, Teilchen mit geringer Geschwindigkeit später - Auftreffpunkt nach dem „Ruhegebiet“  Ausbildung eines Streifens
 Geschwindigkeit der Silberatome schwankt um einen Mittelwert
 Es gilt die Maxwell-Boltzmann-Verteilung
 Bei der Angabe von Geschwindigkeiten von Gasteilchen wird stets nur eine Mittelwert v
angegeben, um den die Geschwindigkeit der Teilchen streut.
 Da die Geschwindigkeitsverteilung keine Gaußsche Normalverteilung darstellt, wird als
Korrekturfaktor 0,921 verwendet  v  0,921  v 2
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