Blatt 0 - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik
Prof. Dr. Christian Kanzow
Dipl.–Math. Anna von Heusinger
WS 2006/07
Übungen zur Veranstaltung
Optimierungsmethoden I
Blatt 0
Aufgabe A:
Gegeben sei ein (nicht entartetes) Dreieck mit den Ecken A, B und C. Gesucht ist
ein Punkt E auf der Seite BC des Dreiecks derart, dass das hierdurch entstehende
Parallelogramm ADEF mit den Eckpunkten D bzw. F auf den Seiten AB bzw. AC
maximalen Flächeninhalt besitzt. Wie hat man E zu wählen?
C
F
E
A
D
B
Aufgabe B:
Gegeben sei die quadratische Funktion
1
f (x) := xT Qx + cT x + γ
2
mit Q ∈ Rn×n , c ∈ Rn und γ ∈ R.
(a) Berechnen Sie den Gradienten von f im Punkte x. Beachten Sie hierbei, dass
die Matrix Q nicht notwendig symmetrisch zu sein braucht.
(b) Warum kann man bei der Minimierung von f ohne Beschränkung der Allgemeinheit davon ausgehen, dass die Matrix Q symmetrisch ist?
(c) Spielt der konstante Term γ bei der Minimierung von f eine Rolle?
Aufgabe C:
Sei f : Rn → R eine gegebene Funktion. Dann bezeichnet man die Menge
Hf (c) := x ∈ Rn f (x) = c
als Höhenlinie von f zum Level c ∈ R. Versuchen Sie, einige Höhenlinien der so
genannten Rosenbrock–Funktion
f (x) := 100(x2 − x21 )2 + (1 − x1 )2
zu skizzieren. (Die Rosenbrock–Funktion ist eine beliebte Testfunktion in der unrestringierten Optimierung.)
Bemerkung: Wer ein wenig am Computer herumspielen möchte, kann beispielsweise
mit dem folgenden MATLAB–Programm
[x1,x2]=meshgrid(-1:0.01:1.2,-0.2:0.01:1.3);
f=100*(x2-x1.^ 2).^ 2+(1-x1).^ 2;
contour(x1,x2,f,200);
einige (insgesamt 200) Höhenlinien von f auf dem Rechteck [−1, 1.2] × [−0.2, 1.3]
zeichnen. Mehr Informationen hierzu liefert MATLAB mit dem Befehl help
contour.
Aufgabe D:
Sei f : Rn → R stetig. Dann heißt
Lf (c) := x ∈ Rn f (x) ≤ c
die Levelmenge (oder auch Niveaumenge) von f zum Level c ∈ R.
Zeigen Sie: Existiert ein c ∈ R derart, dass die Levelmenge Lf (c) (nichtleer und)
beschränkt ist, so besitzt f ein globales Minimum.