Aufgabe 1

ZK M A1 (mit CAS)
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Beispielklausur für zentrale Klausuren
Mathematik
Aufgabenstellung
Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = 0,5 ⋅ x 3 − 4,5 ⋅ x 2 + 12 ⋅ x − 9 .
Die Abbildung 1 zeigt den zu f gehörigen Graphen.
Abbildung 1
a) Ermitteln Sie alle Nullstellen von f.
Berechnen Sie die lokalen Extrempunkte des Graphen von f.
(8 Punkte)
b) Zeigen Sie, dass der Graph von f den Wendepunkt W(3|0) besitzt.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Wendetangente an den Graphen von f.
(6 Punkte)
c) Zeichnen Sie in Abbildung 1 den Graphen der Ableitungsfunktion f ' ein.
An der Zeichnung kann man unterschiedliche Zusammenhänge zwischen den Graphen von
f und f ' erkennen.
Geben Sie zwei dieser Zusammenhänge an, die Sie selbst auswählen können.
(6 Punkte)
d) Entscheiden Sie, ob die Aussagen A und B jeweils wahr oder falsch sind, und begründen
Sie Ihre Entscheidungen.
A
Die Steigung der Geraden durch die Punkte A(4|-1) und B(6|f(6)) beträgt 5.
B
Es gibt eine Tangente an den Graphen der Funktion f, die parallel zur Geraden g mit
g( x ) = −2 ⋅ x verläuft.
(5 Punkte)
- nur für den Dienstgebrauch -
ZK M A1 (mit CAS)
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e) Wenn man den Funktionsterm von f verändert, so hat dies Auswirkungen auf den Graphen
der Funktion. Abbildung 2 zeigt z. B. den Graphen der Funktion h1 mit der Funktionsgleichung h1 ( x ) = f ( x ) + 1 .
h1
Abbildung 2
h2
Abbildung 3
(1) Betrachten Sie nun die Abbildung 3. Die zugehörige Funktion bezeichnen wir mit h2 .
Beschreiben Sie mit Worten, wie der Graph von h2 aus dem Graphen von f hervorgeht, und geben Sie die Funktionsgleichung von h2 an.
(2) Betrachten Sie nun Funktionen h3 mit h3 ( x ) = a ⋅ f ( x ) + b . Es gibt Zahlen, die man für
a und b einsetzen kann, so dass der Graph der zugehörigen Funktion den Tiefpunkt
T(2|-0,5) besitzt.
Begründen Sie geometrisch, dass für a = −1 und b = 0,5 der zugehörige Funktionsgraph diesen Tiefpunkt besitzt.
Ermitteln Sie neben a = −1 und b = 0,5 eine weitere konkrete Möglichkeit, so dass
der Graph von h3 den Tiefpunkt T(2|-0,5) besitzt.
(7 Punkte)
- nur für den Dienstgebrauch -
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Beispielklausur für zentrale Klausuren
Mathematik
Unterlagen für die Lehrkraft - Modelllösungen
Nr.
1a
Punkte
Nullstellen von f:
f (x) = 0 ⇔ x = 3 ∨ x = 3 − 3 ∨ x = 3 + 3
≈ 1,27
≈ 4,73
2
Lokale Extrempunkte:
f ' ( x ) = 1,5 ⋅ x 2 − 9 ⋅ x + 12
f ' ' ( x) = 3 ⋅ x − 9
f ' (2) = 0 ∧ f ' ' (2) = −3 < 0, f (2) = 1
6
f ' ( 4 ) = 0 ∧ f ' ' ( 4 ) = 3 > 0, f ( 4 ) = −1
Damit ergibt sich der Hochpunkt H (2 1) und der Tiefpunkt T (4 − 1).
Der gewählte Lösungsansatz und –weg muss nicht identisch mit dem in
der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet.
1b
f ' ' ' (x) = 3
f ' ' (3 ) = 0 ∧ f ' ' ' (3 ) = 3 ≠ 0 , f (3 ) = 0
Damit ergibt sich der Wendepunkt W (3 0 ) .
3
Gleichung der Wendetangente t mit y = m ⋅ x + b :
m = f ' (3) = −1,5
Wegen W ∈ t ergibt sich: 0 = −1,5 ⋅ 3 + b ⇔ b = 4,5
3
und damit die Gleichung der Wendetangente t : y = −1,5 ⋅ x + 4,5 .
Der gewählte Lösungsansatz und –weg muss nicht identisch mit dem in
der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet.
1c
Zwei mögliche Aspekte:
An den beiden Extremstellen des Graphen von f besitzt der Graph von f '
jeweils eine Nullstelle.
Für x < 2 ist der Graph von f streng monoton steigend, dort gilt
f ' (x) > 0 .
- nur für den Dienstgebrauch -
Graph:
2
Zsh.:
4
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f'
Der gewählte Lösungsansatz und –weg muss
nicht identisch mit dem in der Modelllösung
sein. Sachlich richtige Alternativen werden
mit entsprechender Punktzahl bewertet.
f
1d
A: Die Aussage ist wahr, da für die Steigung der Geraden gilt:
m=
2
f (6) − ( −1) 9 + 1
=
=5
6−4
2
B: Die Aussage ist falsch, da z. B. die Gleichung f ' ( x ) = −2 nicht lös-bar
ist.
3
Der gewählte Lösungsansatz und –weg muss nicht identisch mit dem in
der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet.
1e
(1)Der Graph der Abbildung 3 entsteht aus dem Graphen von f durch
Streckung mit dem Faktor 2 in y-Richtung. Daraus ergibt sich die
passende Funktionsgleichung h2 ( x ) = 2 ⋅ f ( x ) .
3
(2)Die Multiplikation mit − 1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an
der x-Achse. Der Hochpunkt H (2 1) des Graphen von f wird da-
durch zu dem Tiefpunkt (2 − 1) . Durch die Addition von 0,5 wird der
Graph und damit auch der Tiefpunkt um 0,5 Einheiten nach oben
verschoben.
Alle Zahlen a und b mit a < 0 und a + b = − 0,5 sind geeignet, eine
mögliche weitere Lösung ist daher z. B.
oder
a = − 0,5 und b = 0
oder
a = −2 und b = 1,5
a = −3 und b = 2,5
4
Der gewählte Lösungsansatz und –weg muss nicht identisch mit dem in
der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet.
Summe:
- nur für den Dienstgebrauch -
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Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung)
Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden:
Note
sehr gut plus
sehr gut
sehr gut minus
gut plus
gut
gut minus
befriedigend plus
befriedigend
befriedigend minus
ausreichend plus
ausreichend
ausreichend minus
mangelhaft plus
mangelhaft
mangelhaft minus
ungenügend
Punkte
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Erreichte Punktzahl
64 - 62
61 - 58
57 - 55
54 - 52
51 - 48
47 - 45
44 - 42
41 - 38
37 - 35
34 - 32
31 - 28
27 - 25
24 - 21
20 - 17
16 - 13
12- 0
- nur für den Dienstgebrauch -