Negative Dimensionen - walser-h-m.ch

Hans Walser, [20150608]
Negative Dimensionen
1 Die Frage
Anlässlich eines Workshops über höherdimensionale Hyperwürfel stellte ein Schüler
die Frage, ob es auch Würfel der Dimension –1 gebe.
Wir denken zunächst über Hyperwürfel mit positiven ganzzahligen Dimensionen nach
und versuchen dann Verallgemeinerungen.
2 Hyperwürfel mit positiven Dimensionen
2.1 Anzahl der Bauteile
Die Tabelle 1 ist die Bauteiltabelle für Hyperwürfel.
Die Dimension des Hyperwürfels wird mit n bezeichnet. Für n = 0, n = 1 und n = 2 sind
die Sonderbezeichnungen Punkt, Strecke und Quadrat geläufig.
Mit k bezeichnen wir die Bauteildimension.
n\k
0
1
2
3
4
0
1
1
2
1
2
4
4
1
3
8
12
6
1
4
16
32
24
8
1
5
32
80
80
40
10
5
1
Tab. 1: Bauteile
Lesebeispiel: Der gewöhnliche Würfel ist dreidimensional, also ist n = 3. Er hat 8 Ecken
(Dimension k = 0), 12 Kanten (Dimension k = 1), 6 Seitenquadrate (Dimension k = 2)
und schließlich einmal sich selber (Dimension k = 3).
2.2 Bezeichnungen
Mit bn,k bezeichnen wir im n-dimensionalen Hyperwürfel die Anzahl der Bauteile der
Dimension k. Die bn,k sind also die Einträge der Tabelle 1.
Die nach unten offene Dreiecksmatrix der bn,k bezeichnen wir mit B.
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2.3 Rekursion
Es gilt die Rekursion:
bn,k = bn−1,k−1 + 2bn−1,k
Herleitung durch eine geometrische Überlegung: Kopieren und Verschieben in eine
weitere freie Richtung, die zu den bisherigen Richtungen orthogonal ist.
2.4 Link zu den Binomialkoeffizienten
Weglassen des Faktors 2 in der Rekursion gibt die Rekursion der Binomialkoeffizienten.
Wenn wir mit P die nach unten offene Dreiecksmatrix der Binomialkoeffizienten verstehen (Pascal-Dreieck), gilt:
B = P2
2.5 Explizite Formel
Es gilt:
()
bn,k = 2 n−k nk
Hier zeigt sich erneut ein Link zu den Binomialkoeffizienten.
2.6 Zeilensummen
Es ist:
n
∑ bn,k = 3n
k=0
Vergleiche dazu:
∑ ( nk ) = 2n
n
k=0
2.7 Alternierende Zeilensummen
Es ist:
n
∑ ( −1)k bn,k = 1
k=0
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Wir haben eine Invariante. Im Prinzip ist das die Euler-Charakteristik.
2.8 Link zur binomischen Formel
Es ist:
( 2 + x )0 = 1
( 2 + x )1 = 2 + x
( 2 + x )2 = 4 + 4x + x 2
( 2 + x )3 = 8 + 12x + 6x 2 + x 3
( 2 + x )4 = 16 + 32x + 24x 2 + 8x 3 + x 4
( 2 + x )5 = 32 + 80x + 80x 2 + 40x 3 + 10x 4 + x 5
Wir sehen, wie der Hase läuft. Die Koeffizienten sind die Einträge aus unserer Bauteiltabelle. Die Potenzen der x entsprechen den Dimensionen der Bauteile.
Allgemein ist:
n
( 2 + x )n = ∑ bn,k x k
k=0
Die Abbildung 1 zeigt die Grafen y = ( 2 + x )n =
n
∑ bn,k x k
k=0
für n = 0, ... , 10 .
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Abb. 1: Grafen
3 Ganze Dimension
Nun sei n eine ganze Zahl. Sie kann also auch negativ sein.
3.1 Bauteiltabelle
()
Die explizite Formel bn,k = 2 n−k nk funktioniert auch in diesem Fall.
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Wir erhalten damit:
n\k
0
1
2
3
4
5
−6
1
64
6
− 128
21
256
56
− 512
126
1024
252
− 2048
−5
1
32
5
− 64
15
128
35
− 256
70
512
126
− 1024
−4
1
16
4
− 32
10
64
20
− 128
35
256
56
− 512
−3
1
8
3
− 16
6
32
− 10
64
15
128
21
− 256
−2
1
4
− 28
3
16
4
− 32
5
64
6
− 128
−1
1
2
− 14
1
8
1
− 16
1
32
1
− 64
0
1
1
2
1
2
4
4
1
3
8
12
6
1
4
16
32
24
8
1
5
32
80
80
40
10
1
Tab. 2: Bauteile
3.2 Warum funktioniert das?
Der kritische Punkt sind die Binomialkoeffizienten. Wir können diese wie folgt definieren und berechnen:
( nk ) = n(n−1)!k!(n−k+1)
Diese Formel funktioniert für beliebiges n ∈! , insbesondere also auch für negative
ganze Zahlen n. Allerdings haben wir in diesem Fall keinen Faktor null im Zähler, die
Formel funktioniert daher für beliebig große k. Daher ergibt sich im oberen Teil der
Tabelle 2 keine Dreiecksmatrix. Es wird der ganze Quadrant ausgefüllt.
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3.3 Rekursion
In der Tabelle 2 der Bauteile gilt die Rekursion bn,k = bn−1,k−1 + 2bn−1,k auch im oberen Teil und insbesondere beim Übergang vom oberen Teil zum unteren Teil. Der Autor
gesteht, dass er zunächst mit dieser Rekursion und Rückwärtsrechnen den oberen Teil
der Tabelle 2 bestimmt hat.
3.4 Zeilensummen
Aus der Tabelle 2 erhalten wir für n = −1 die Zeilensumme (nun eine Reihe):
1
2
1 ±! = 1
− 14 + 18 − 16
3
Das passt zur Zeilensumme 3n .
Für n = −2 wird die Zeilensumme spannend:
1
4
−
2
8
3
+ 16
−
4
32
+
5
64
6
− 128
±! =
1
4
∞
∑ k ( − 12 )
k−1
k=1
CAS gibt den Wert 19 , aber das wollen wir nun selber berechnen. Dazu arbeiten wir mit
der formalen Potenzreihe:
f (t ) =
∞
∑ t k = t 0 + t1 + t 2 + t 3 +! = 1−t1
k=0
Wir leiten links und rechts ab:
d
dt
∞
∑ tk =
k=0
d 1
dt 1−t
( )=
∞
∑ k t k−1
k=0
1
(1−t )2
Vergleich ergibt:
∞
∑ k t k−1 = (1−t1 )2
k=0
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Einsetzen von t = − 12 liefert:
1
4
∞
∑ k ( − 12 )
k−1
k=1
= 14
1
(1−( ))
− 12
2
= 14 1 2 = 19
3
(2)
Die Rechnerei hätten wir uns allerdibgs sparen können: Wegen der Rekursionsformel ist
eine Zeilensumme jeweils das Dreifache der Zeilensumme der darüber liegenden Zeile.
3.5 Alternierende Zeilensumme
Aus der Tabelle 2 ergibt sich für n = −1 die alternierende Zeilensumme:
1
2
1 +! = 1
+ 14 + 18 + 16
Die Euler-Charakteristik stimmt also auch hier.
Für n = −2 wird die Sache trickier. Wir verwenden wieder die Formel:
∞
∑ k t k−1 = (1−t1 )2
k=0
und erhalten für t = 12 :
1
4
3 + 4 + 5 +! = 1
+ 28 + 16
32 64
4
∞
∑ k ( 12 )
k=0
k−1
= 14
1
( )
1− 12
2
=1
Wer Lust hat, kann die Euler-Charakteristik für n = −3 oder gar allgemein nachrechnen.
3.6 Schrägzeilensummen
Wir rechnen im oberen Teil der Tabelle 2 von links oben nach rechts unten mit der
Steigung –1. Da haben wir ja schon längst die Binomialkoeffizienten entdeckt.
Für die Schrägzeilensumme erhalten wir (mit der Ausnahme der untersten Schrägzeile)
den Wert null.
Für die alternierende Schrägzeilensumme erhalten wir durchgehend den Wert 12 .
3.7 Taylor
Die Einträge in der Bauteiltabelle treten auch als Koeffizienten in TaylorEntwicklungen auf. Die Beziehung
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n
( 2 + x )n = ∑ bn,k x k
k=0
kann auf negative n übertragen werden. Es gilt für negative ganze Zahlen n:
(2 + x)
n
=
∞
∑ bn,k x k
k=0
Wir müssen mit Taylor-Entwicklungen arbeiten.
Beispiele:
Für n = –1 erhalten wir:
1 x 3 + 1 x 4 − 1 x 5 + 1 x 6 + O(x 7 )
(2 + x)−1 = 12 − 14 x + 18 x 2 − 16
32
64
128
Für n = –2 erhalten wir:
3 x 2 − 4 x 3 + 5 x 4 − 6 x 5 + 7 x 6 + O(x 7 )
(2 + x)−2 = 14 − 28 x + 16
32
64
128
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Die Abbildung 2 zeigt die Grafen für n = −10, ... , 10 .
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Abb. 2: Grafen auch für negative Exponenten
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4 Link mit den Binomialkoeffizienten
Die Tabelle 3 zeigt die Binomialkoeffizienten auch für negative Werte von n.
n\k
0
1
2
3
4
5
−6
1
−6
21
−56
126
−252
−5
1
−5
15
−35
70
−126
−4
1
−4
10
−20
35
−56
−3
1
−3
6
−10
15
−21
−2
1
−2
3
−4
5
−6
−1
1
−1
1
−1
1
−1
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
Tab. 3: Binomialkoeffizienten
Die übliche Rekursion der Binomialkoeffizienten gilt auch im oberen Teil und insbesondere beim Übergang vom oberen Teil zum unteren Teil.
Wir erkennen im oberen Teil ein „schräges“ und alternierend mit Minuszeichen versehenes Pascaldreieck.
Für die Zeilensumme gilt ja im Pascaldreieck die Formel 2 n . Da haben wir im negativen Teil etwas Mühe. Für n = −1 ergibt sich die Zeilensumme:
1− 1+ 1− 1+ 1− 1 ±!
Das führt zum berühmten Dialog zwischen Silvia und Silvio:
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Hans Walser: Negative Dimensionen
Silvia fasst in Zweiergruppen zusammen und erhält null:
1−
!1 + 1−
!1 + 1−
!1 ±" = 0
0
0
0
Silvio macht dasselbe, lässt aber die vorderste 1 stehen:
1−1+
!1 −1+
!1 −1+
!1 ∓# = 1
0
0
0
Wer hat Recht? In einer Konkordanzdemokratie würde man den salomonischen Mittelwert 12 aushandeln. Das ist erst noch der erwartete Wert 2 −1 .
Wir können auch die Formel für geometrische Reihen anwenden:
1− 1+ 1− 1+ 1− 1 ±! =
∞
∑ ( −1)k = 1−(1−1) = 12
k=0
Das gibt zwar auch den erwarteten Wert 2 −1 , ist aber etwas abenteuerlich. Wir reiten
auf dem Konvergenzradius.
Interessant ist, dass wir bei der Bauteiltabelle (Tabelle 2) keine derartigen Probleme mit
der Konvergenz haben.
5 Hyperwürfel mit Dimension –1
Gemäß der Tabelle 2 besteht der Hyperwürfel der Dimension –1 aus folgenden Bauteilen:
1
2
1 Würfel + 1 4d-Hyperwürfel ∓"
Eckpunkt − 14 Strecke + 18 Quadrat − 16
32
Also:
−1d-Hyperwürfel = 12
∞
∑ ( − 12 )
k
kd-Hyperwürfel
k=0
Voilà.
Der Autor gesteht, dass er sich das auch nicht vorstellen kann.
6 Ausblick: Gebrochene Dimensionen
Die Taylor-Entwicklung können wir natürlich auch für gebrochene Exponenten vornehmen. Im Folgenden zwei Beispiele.
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6.1 Dimension ½
Für n = 12 ergibt sich:
⎛⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1 ⎞ 1 4 ⎛ 12 ⎞ 1 5
2 ⎜ ⎜ 02 ⎟ 1+ ⎜ 12 ⎟ 12 x + ⎜ 22 ⎟ 14 x 2 + ⎜ 32 ⎟ 18 x 3 + ⎜ 42 ⎟ 16
x + ⎜ 5 ⎟ 32 x +!⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎠
1
(2 + x)2 =
Dabei definieren wir:
⎛ 12 ⎞
⎜⎝ 0 ⎟⎠ = 1
⎛ 12 ⎞
⎜⎝ k ⎟⎠ =
( )(
1 1 −1 1 −2
2 2
2
)!( 12 −k+1) ,
k!
k = 1,2, 3,…
In Zahlen:
(
1
(2 + x)2 =
)
1 x 2 + 1 x 3 − 5 x 4 + 7 x 5 − 21 x 6 ±!
2 1+ 14 x − 32
128
2048
8192
65536
Am Anfang ist das alternierende Vorzeichen gestört. Das ist aber korrekt so.
6.2 Dimension –1/2
Für n = − 12 ergibt sich:
( 2 + x )− 2 =
1
1
1
1
1 ⎛ ⎛ − 2 ⎞ 1− ⎛ − 2 ⎞ 1 x + ⎛ − 2 ⎞ 1 x 2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
0
1
2
2 ⎝⎝
⎠ ⎝ ⎠2
⎝ ⎟⎠ 4
⎞
⎛ −1 ⎞
⎛ −1 ⎞ 1 4
− ⎜ 3 2 ⎟ 18 x 3 + ⎜ 4 2 ⎟ 16
x ∓"⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎠
In Zahlen:
( 2 + x )− 2 =
1
1
2
35 x 4 − 63 x 5 + 231 x 6 ∓"
(1− 14 x + 323 x2 − 1285 x 3 + 2048
)
8192
65536
Der Vergleich mit der Dimension ½ ist interessant.