8. TAYLORPOLYNOME

8. TAYLORPOLYNOME
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Ein Beispiel.
Die Sinusfunktion besitzt die uns schon bekannte Darstellung als
Reihe:
∞
X
x3
x5
x2n+1
n
sin x = x −
+
∓ ··· =
(−1)
3!
5!
(2n + 1)!
n=0
Bricht man diese Reihe nach endlich vielen Schritten ab, so erhält
man die Taylorpolynome
t1(x) = x
x3
t3(x) = x −
6
x3
x5
t5(x) = x −
+
6
120
x5
x7
x3
t7(x) = x −
+
−
6
120 5040
2
Sie approximieren sin x in der Nähe von 0 mit wachsender Güte:
t1(x)
t5(x)
t9(x)
t3(x) t7(x)
3
33
t33(x) = x33! ∓ · · ·
35
t35(x) = − x35! ± · · ·
t69(x)
t71(x)
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Diesen Sachverhalt wollen wir nun allgemein formulieren.
Eine Funktion f : R → R von der Gestalt
f (x) = a0 + a1x + · · · + an−1xn−1 + anxn
mit reellen Zahlen a0, . . . , an und an 6= 0 heißt ein (reellwertiges)
Polynom vom Grade n.
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Die Ableitungen eines Polynoms:
Sei f (k)(x) die k-te Ableitung des Polynoms
f (x) = a0 + a1x + · · · + an−1xn−1 + anxn ,
also f (0) = f , f (1) = f 0, d.h.
f (1)(x) = f 0(x) = a1 + · · · + (n − 1)an−1xn−2 + nanxn−1
f (2) = f 00 usw. Durch mehrfaches Ableiten fallen niedere Potenzen heraus. Insbesondere
f (n)(x) = n!an ,
f (n+1)(x) = 0
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Allgemeiner gilt, mit geeigneten Konstanten ck+1, . . . , cn (deren
genaue Gestalt hier nicht wichtig ist),
f (k)(x) = k!ak + ck+1x + · · · + cnxn−k
Wenn man noch x = 0 einsetzt, bleibt ein einziger Term erhalten:
f (k)(0) = k!ak
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Bestimmung der Koeffizienten durch Differentiation:
Umgekehrt ausgedrückt, die Koeffizienten des Polynoms bestimmen sich als
f (k)(0)
ak =
k!
Wir halten fest:
n
X
f (k)(0) k
f (x) =
x
k!
k=0
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Taylorpolynome.
Diese Formel macht plausibel, dass man auch anderen Funktionen f (wie oben dem Sinus) an der Stelle 0 das Polynom
n
X
f (k)(0) k
x
tn(x) =
k!
k=0
zuordnet. Also
t0(x) = f (0)
t1(x) = f (0) + f 0(0)x
1
t2(x) = f (0) + f 0(0)x + f 00(0)x2
2
.
..
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Insbesondere ist t1(x) = f (0) + f 0(0)x die Tangente von f an der
Stelle 0.
Die Taylorpolynome verallgemeinern und verfeinern also die Tangente, wie oben beim Sinus. Sie approximieren die Funktion f (x)
besonders gut an der Stelle 0.
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Voraussetzung ist, dass f ausreichend häufig differenzierbar ist.
Dann stimmen in 0 die Ableitungen von f und tn überein, bis hin
zur n-ten Ableitung:
(k)
f (k)(0) = tn (0)
für k = 0, . . . , n
und dann gilt für x → 0
f (x) = tn(x) + o(|x|n)
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Beispiel: e-Funktion.
f (x) = ex, f (k)(x) = ex, f (k)(0) = 1, also
1 2
1 n
tn(x) = 1 + x + x + · · · + x
2
n!
P∞
1 xn .
Dies ist das Anfangsstück der Reihenentwicklung n=0 n!
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Beispiel: Sinus-Funktion.
Für f (x) = sin x gilt f 0 = cos, f 00 = − sin, f 000 = − cos, f 0000 = sin,
und da geht es von vorne los. Also durchläuft f (0), f 0(0), f 00(0) . . .
periodisch die Zahlen 0, 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, . . ., und die Taylorpolynome sind wie oben
t1(x) = x
x3
t3(x) = x −
6
x5
x3
+
t5(x) = x −
6
120
x3
x5
x7
t7(x) = x −
+
−
6
120 5040
.
.
.
Cosinus analog.
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Die aus den Taylorpolynomen entstehende unendliche Reihe heißt
Taylorreihe.
Entsteht so wie in den bisherigen Beispielen immer eine überall
gültige Reihendarstellung einer Funktion?
Nein!
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Beispiel: Geometrische Reihe.
1 = (1 − x)−1 mit x 6= 1 gilt
Für f (x) = 1−x
f (k)(x) = k!(1 − x)−(k+1)
und
f (k)(0) = k!
und die Taylorpolynome sind
tn(x) = 1 + x + · · · + xn
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Also
1 − xn
tn(x) =
1−x
Nur für −1 < x < 1 verschwindet in dieser Formel für n → ∞ der
Term xn. Also gilt die unendliche Reihenarstellung
∞
X
1
2
= 1 + x + x + ··· =
xn
1−x
n=0
für |x| < 1
Das ist die geometrische Reihe“.
”
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Beispiel: Logarithmus.
f (x) = ln(1 + x)
Also f 0(x) = (1 + x)−1, f 00(x) = −(1 + x)−2, f 000(x) = 2(1 + x)−3,
. . . , f (k)(x) = ±(k − 1)!(1 + x)−k und f (k)(0) = ±(k − 1)!.
Die Taylorpolynome sind
1
1
1
tn(x) = x − x2 + x3 − · · · ± xn
2
3
n
Die Taylorreihe stellt für −1 < x ≤ 1 den Logarithmus dar,
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insbesondere ergibt sich für x = 1 die bemerkenswerte Formel
∞
X
1
1
1
n+1
ln 2 = 1 − + − · · · =
(−1)
2
3
n
n=1
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Man kann die Stelle 0 durch eine andere Stelle x0 ersetzen. Dann
haben die Taylorpolynome die Gestalt
f (n)(x0)
0
tn(x) = f (x0) + f (x0)(x − x0) + · · · +
(x − x0)n
n!
=
n
X
f (k)(x0)
k=0
k!
(x − x0)k
Es wird also 0 durch x0 und die Variable x durch x − x0 ersetzt.
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