Materialanleitung Wurzelbrett Groß oder klein

Materialanleitung
Wurzelbrett
Groß oder klein- das ist hier die 1. Frage
1. Ein Unterschied besteht erstmal in der Größe der Zahlenwerte,
die mit den Brettern bearbeitet werden können. Das kleine
Wurzelbrett ist mit seinen 15 x 15 Mulden geeignet, um Zahlen
mit 3 -4 Stellen zu bearbeiten. Das heißt Zahlen in Quadrate zu
zerlegen und darzustellen, um dann dessen Wurzel abzulesen.
Die im Folgenden, beschriebenen Übungen 1-3 als Vorbereitung
aufs Bruchrechnen und Wurzelziehen, sind mit dem kleinen
Wurzelbrett nur bedingt umsetzbar.
Um das grundsätzliche mathematische Prinzip und die
dahintersteckende Systematik zu verdeutlichen, ist es jedoch
ausreichend.
Mit dem großen Wurzelbrett mit 30 x 30 Stecklöchern, kann man
Übungen auch im Millionenbereich oder mit mehrstelligen
Kommazahlen umsetzen.
2. Ein weiterer Unterschied liegt in der Handhabung. Das kleine
Wurzelbrett ist mit Kugeln bestückt, die in Vertiefungen gelegt
werden.
Am großen Wurzelbrett arbeitet man mit Steckern, die fest ins
Brett gesteckt werden.
Die Entscheidung, welches Brett Sie sich anschaffen und nutzen
wollen, ist abhängig von der Größe des Zahlenraumes, in dem Sie
und die Kinder arbeiten möchten.
Darüber hinaus sollten Sie die feinmotorischen Möglichkeiten
der Kinder, (rollende Kugeln oder festsitzende Stecker) ebenfalls
bei der Entscheidung mit bedenken.
Was kann man mit dem Wurzelbrettern berechnen und
darstellen?
Erstmal vermutet man, bezugnehmend auf den Namen des
Materials, das man damit nur aus einer Zahl die Wurzel ziehen
kann. Das heißt, herausfinden welche Zahl mit sich selbst
multipliziert ein Quadrat ergibt.
Aber das Brett kann, wie viele andere Materialien auch
vielfältiger eingesetzt werden.
Die folgenden Anwendungsmöglichkeiten 1-3, sind:
- festigend für die Kenntnisse des 1x1 und dessen Systematik
- vorbereitend für die Bruchrechnung (kürzen/erweitern)
- vorbereitend aufs Wurzelziehen
1. Das kleinste gemeinsame Vielfache (k.g.V.)
Das k.g.V. gibt an, wenn mehrere Zahlen immer wieder
vervielfacht werden, wann sie sich zum ersten Mal begegnen,
also gleich groß sind. Diese Kenntnisse über das k.g.V.
erleichtern das Bruchrechnen beim Kürzen und Erweitern
erheblich.
Die Zahlen, die ich überprüfen möchte, lege ich als Ziffern an
den oberen Rand des Brettes. Nun vervielfache ich so lange
jede Zahl, bis alle Zahlenreihen gleich lang sind. Dazwischen
markiere ich jedes Vielfache, z.B. mit Papierstreifen,
Strohhalmstückchen oder Holzstäbchen.
Das k.g.V. von 2-3-4 ist also 12.
Das heißt: Die Zahlen 2-3-4 sind alle als Multiplikationsfaktoren in der
12 enthalten.
Die beiden nächsten Übungen sind vorbereitend auf das Gegenteil
vom k.g.V., auf den größten, gemeinsamen Teiler (g.g.T.)
2. Zerlegen einer Zahl – Zerlegungsfaktor/en bestimmen
am Beispiel der Zahl 18:
18 Kugeln oder Stecker werden abgezählt und dann in Gruppen
zerlegt auf dem Wurzelbrett dargestellt. Die Ergebnisse werden
jeweils auf Papier notiert.
Die Kinder können mit dieser Übung herausfinden, dass die Zahl
18 in 2-3-6 -9 er Gruppen zerlegt werden kann, nicht aber in
4-5-7-8-er Gruppen.
usw…..
Man sagt: Die Zahlen 2-3-6-9 sind die Faktoren der Zahl 18. In
der Übung mit anderen Zahlen werden die Kinder sehr schnell
entdecken, das es Zahlen gibt die man nicht zerlegen kann. Diese
Zahlen nennt man Primzahlen (z.B. 3, 11,23 …)
3. Primfaktorenzerlegung
Bei der Primfaktorenzerlegung möchte man herausfinden, ob
eine Zahl durch eine bestimmte Primzahl teilbar ist. Dabei geht
man gewöhnlich die Primzahlen von unten (d.h. 2, 3, 5, 7...)
durch und prüft, ob die zu zerlegende Zahl durch sie ohne Rest
glatt teilbar ist.

Im ersten Schritt der Übung schreibt
man die Zahlen auf, die man bearbeiten
möchte um herauszufinden, was ist
ihr größter gemeinsamer Teiler (g.g.T)
und legt sie aus.

Nun teilt man die Zahlen durch die erste mögliche Primzahl,
die 6 und 12 durch 2 und die 15 durch
die 3, da sie nicht durch 2 teilbar ist.
Das Ergebnis (den Quotienten) legt
man, sichtbar abgetrennt durch
ein Stäbchen, darunter aus.
Die Primzahl durch die man geteilt hat,
legt man als Merkstütze dazu.

Nun teilt man das Ergebnis wieder durch die kleinstmöglichste
Primzahl.
Bei der 6 lässt sich die 3 nur durch 3 teilen und es bleibt kein
Rest. Die 6 ist nun fertig zerlegt. Es kann abgelesen werden, dass
die 6 aus den Primfaktoren 2 und 3 besteht. (2 x 3 = 6)
Die 15 ist ebenfalls fertig zerlegt, da
das Ergebnis 5 eine Primzahl ist.
Es kann ablesen werden, dass 15 die
Primfaktoren 3 und 5 enthält (3 x 5=15)
Die 12 hat als Ergebnis eine 6 und kann
deshalb nochmal zerlegt werden.
6 ist teilbar durch die kleinste Primzahl 2
und das Ergebnis ist dann 3.

Jede Zahl wird solange geteilt,
bis komplett zerlegt ist und am
Schluss eine Primzahl übrig bleibt.
Bei der 12 erkennt man, dass diese in
drei Primfaktoren zerlegt werden kann.
In die 2-2-3 (2 x 2 x 3 = 12)
Nun lässt sich leicht ablesen, alle 3 Zahlen sind durch 3 teilbar
3 ist der g.g.T. von 6 - 12 -15
Es ist empfehlenswert die Primzahlen bis 20 auswendig zu
lernen, um z.B. in der Bruchrechnung schnell rechnen zu können
Primzahlen bis 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
4. Das Wurzel- oder Quadratwurzelziehen
Wenn aus einer Zahl (z.B. 9) die Wurzel gezogen wird, errechnet
man, welche Zahl mit sich selber mal genommen 9 ergibt.
3 x 3 = 9, das heißt die Wurzel von 9 ist 3
(mathematisch geschrieben √9 = 3)
Das Wurzelbrett macht optisch deutlich, dass man mit
Quadraten rechnen muss, um die Wurzel ziehen zu können.
Eine Zahl zum Wurzelziehen muss erstmal in Zweiergruppen
aufgeteilt werden, da nicht jeder Stellenwert in Quadratzahlen
zu zerlegen ist.
Die Einteilung in Zweiergruppen beginnt hinten bei der 1. Stelle,
in unserem Falle der Einer:
1. Stelle: Einer =1 = 1 x 1, 1 ist eine Quadratzahl
2. Stelle: Zehner =10 = 1 x 10, 10 ist keine Quadratzahl.
3. Stelle: Hunderter = 100 = 10 x 10, 100 ist eine Quadratzahl
4. Stelle: Tausender =1000 = 10 x 100, 1000 ist keine Quadratzahl
5. Stelle: Zehntausender = 10.000 = 100 x 100, 10.000 ist eine
Quadratzahl usw….
1. Praktisches Beispiel: √196 =???
Die Zahl 196 unter dem Wurzelzeichen
bezeichnet man mathematisch als Radikand.
Nach der Beschreibung oben kann man die
196 in 2 Gruppen einteilen, 1 / 96.
Das heißt, das Ergebnis wird zweistellig.

Zuerst wird die Zahl irgendwo am unteren
rechten Rand auf dem Wurzelbrett dargestellt.

Begonnen wird, wie bei der
Division, mit der größten Stelle,
in diesem Fall mit dem Hunderter.
Der eine Hunderter wird an den
oberen linken Rand gesteckt.
Er kann alleine als Quadrat stehen.

Nun kommt die Zehnerstelle an
die Reihe. Zehner für Zehner
werden abwechselnd in eine
Reihe waage- und senkrecht
seitlich neben und unter dem
Hunderter gleichmäßig aufgeteilt.
1 Zehner ist zu viel und bleibt übrig.

Dieser Zehner lässt sich nun nicht mehr verteilen, weil sonst eine
Reihe 5 Zehner hätte und die andere Reihe
nur 4 Zehner
Deshalb muss man den einen Zehner
nun gegen 10 Einer eintauschen.

Nun haben wir nicht mehr
6 Einer, sondern 16 Einer

Die Einer werden nun Reihe für
Reihe in das entstandene
Quadrat zwischen den Zehnern
gesteckt, bis es vollständig
ausgefüllt ist.
Es bleibt kein Einer übrig.
Das heißt, die Wurzel aus 196 hat eine glatte Zahl als Ergebnis
(mathematische Bezeichnung des Ergebnisses beim
Wurzelziehen: Radix)

Das Ergebnis ist ablesbar am
unteren oder am rechten
seitlichen Rand : 14
Also: √196 =14 und 14 x 14 ist 196
2. Praktisches Beispiel √59049 = ???
Wie schon bekannt teilen wir die Zahl in Zweiergruppen auf: 5/90/49
und wissen somit, das
Ergebnis wird 3 stellig.

Zahl darstellen. Nicht vergessen
eine Lücke für die Hunderterstelle
zu lassen. Sie hat zwar keinen Wert,
braucht aber einen Platz

Der Verteilprozess mit Bildung
der Quadrate beginnt mit der
größten Stelle: Zehntausend.
Die 5 enthält die Quadratzahl 4
Mit 4 Steckern wird ein Quadrat
gesteckt- einer bleibt übrig

Umtausch des Zehntausenders in
10 Tausender.

Statt 9 Tausender sind es nun
19 Tausender zum Verteilen.

Diese werden nun gleichmäßig in
Reihen rechts oben und links
unten verteilt, damit die Form eines
neuen Quadrates entstehen kann.
3 bleiben übrig

Die 3 Tausender müssen in
30 Hunderter getauscht werden.

Nun sind es statt Null Hunderter,
30 Hunderter
die verteilt werden können.

Der entstandene quadratische Raum
wird zunächst mit 16 Hundertern
ausgefüllt.
Die übrigen 14 Hunderter werden
nun gleichmäßig an den Seiten verteilt
und angelegt, damit das Quadrat
weiter wachsen kann.
2 bleiben übrig

Die 2 Hunderter müssen in
20 Zehner getauscht werden.
und statt 4 Zehnern sind nun
24 Zehner zu verteilen.
Diese werden gleichmäßig zu beiden Seiten
des Hunderterquadrates verteilt.
Es bleibt keiner übrig.

Im letzten Schritt werden nun die 9 Einer in den freien quadratischen
Raum zwischen den Zehnern verteilt. Es bleibt keiner übrig.
Das Ergebnis ist wieder unten und links an der Seite abzulesen
Also: √59.049 = 243 und 243 x 243 = 59.049
Viel Spaß und Erfolg beim Lernen und Üben mit dem Wurzelbrett im
Namen der Montessori Lernwelten wünscht
Annemarie Petry-Fandel