Charakterisierung und Simulation optischer

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Charakterisierung und Simulation optischer
Eigenschaften von mikromechanisch
abstimmbaren Filterbauelementen
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Friedhard Römer
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kassel
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Die vorliegende Arbeit wurde vom Fachbereich Elektrotechnik / Informatik der Universität Kassel als Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der
Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.) angenommen.
Erster Gutachter: Prof. Dr. Hartmut Hillmer
Zweiter Gutachter: Prof. Dr. Bernd Witzigmann
Beisitzer:
Prof. Dr.-Ing. Bernd Weidemann
Prof. Dr. Wolf-Jürgen Becker
Tag der mündlichen Prüfung
11. November 2005
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in
der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
http://dnb.ddb.de abrufbar
Zugl.: Kassel, Univ., Diss. 2005
ISBN-10: 3-89958-196-2
ISBN-13: 978-3-89958-196-6
URN: urn:nbn:de:0002-1965
© 2006, kassel university press GmbH, Kassel
www.upress.uni-kassel.de
Umschlaggestaltung: 5 Büro für Gestaltung, Kassel
Druck und Verarbeitung: Unidruckerei der Universität Kassel
Printed in Germany
i
Abstract
Electromechanically tunable microoptic filter devices are attractive components for several applications like telecommunication and spectroscopy for
analytics and gas sensing. In particular the development of WDM (Wavelength Division Multiplex) systems for optical communication in the past 15
years has led to a high demand for optical filter components. As standard
WDM components are fixed in wavelength the need for more flexibility and
dynamic routing has led to the development of wavelength tunable filters
and lasers for the telecommunication range. Several implementations are yet
known; one very promising is the air-gap technology for vertical tunable filters which employs several membranes of semiconductor material separated
by air gaps to form highly reflective DBR’s (Distributed Bragg Reflectors)
which enable a short cavity with a length of λ/2 or λ. Wavelength tuning is
achieved by applying a voltage to the membranes adjacent to the cavity and
thus changing the cavity length by electrostatic attraction of the membranes. As the technological processes are subject to variations it is necessary
to verify the yield by device characterization and to improve the optical design in order to make it more tolerant against geometric variations by model
calculations, which is the aim of this work.
The optical characterization of the fabricated filters covers measuring the
reflection and transmission by direct fiber coupling, which is supposed to be
the most advantageous set up for the technical application, and the lateral
mode stimulation, which has been developed in particular to obtain some
information on the influence of the suspensions on the optical performance
of the filters. Electromechanical measurements have been performed in order
to determine the tuning curve and the dynamic properties of the filters such
as the mechanical resonance frequency and the settling time. For the model
calculations, a quasi three dimension BOR (Body of Revolution) model has
been adopted and a method has been worked out in order to determine the
filter transfer functions in transmission and reflection from the eigenmodes.
In contrast to a stationary harmonic analysis this method is about 25 times
faster and allows to compute the influence of source field variations without
recomputing the Finite Element Model.
ii
The simulation results show that in particular the optical performance
of large diameter filters suffers from membrane deformations which might
even obstruct the filter whereas the side mode suppression can be improved
by choosing a longer cavity though the cavity length is limited by the free
spectral range which might reach the tuning range for a long cavity. However,
the measurements show that the suspensions do have a significant influence
on the optical performance which holds in particular for small membranes
with four suspensions. The agreement is good for those filters with a large
membrane diameter or membranes which are supported by a single cantilever which is confirmed by the reflection/transmission measurement as well
as the mode stimulation measurement. The dynamic characterization shows
multiple resonances for filters which are due to the mechanical coupling of
the membranes by the enclosed air. This is confirmed by the measurement
of single membranes which show a simple resonant low pass characteristic.
Part of this work has been published in the following articles and conferences:
ˆ F. Römer, C. Prott, J. Daleiden, S. Irmer, M. Strassner, A. Tarraf, and
H. Hillmer, “Micromechanically tunable air gap resonators for long wavelength VCSEL’s.” Procedings of the IEEE LEOS International Semiconductor Laser Conference, pp. 13-14, Garmisch, Germany, Sept.
29-Oct.3,2002.
ˆ F. Römer, C. Prott, S. Irmer, J. Daleiden, and H. Hillmer, “Tuning
efficiency and linewidth of electrostatically actuated multiple air-gap
filters”, Appl. Phys. Lett., vol. 82, pp. 176-178, 2003.
ˆ F. Römer, M. Streiff, C. Prott, S. Irmer, A. Witzig, B. Witzigmann,
and H. Hillmer, “Transfer function simulation of all-air-gap filters based
on eigenmodes.” Proceedings of the 4th International Conference on
Numerical Simulation of Optoelectronic Devices (NUSOD ’04), pp. 105106, August 24-26, 2004, Santa Barbara, CA/USA.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Charakterisierung der Filter
2.1 Reflexion, Transmission und Abstimmung
2.1.1 Reflexion . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Transmission . . . . . . . . . . .
2.1.3 Abstimmung . . . . . . . . . . .
2.1.4 Diodenkennlinie . . . . . . . . . .
2.2 Modenanregung . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Messung . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Auswertung . . . . . . . . . . . .
2.3 Abstimmdynamik . . . . . . . . . . . . .
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30
3 Optische Simulation der Filter
3.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . .
3.1.1 Wellengleichung . . . . . . . . . .
3.1.2 Ebene Wellen . . . . . . . . . . .
3.1.3 Grenzflächen . . . . . . . . . . .
3.1.4 Fabry-Pérot-Filter . . . . . . . .
3.1.5 Moden . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Simulationsverfahren . . . . . . . . . . .
3.3 Transfermatrixmethode . . . . . . . . . .
3.3.1 Transferfunktionen . . . . . . . .
3.3.2 Elektrisches Feld . . . . . . . . .
3.3.3 Eigenmoden . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Gruppenlaufzeit . . . . . . . . . .
3.4 FEM-Modelle . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 BOR-Modell . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Randbedingungen . . . . . . . . .
3.4.3 Quellenfelder . . . . . . . . . . .
3.4.4 Eigenmoden und Transferfunktion
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iii
iv
INHALTSVERZEICHNIS
3.4.5
Vergleich zu stationärer harmonischer Analyse . . . . . 72
4 Filterentwurf
4.1 Mechanische Eigenschaften . . . . . . .
4.1.1 Elektromechanische Aktuation .
4.1.2 Thermische Aktuation . . . . .
4.2 Anforderungen optischer
Übertragungssysteme . . . . . . . . . .
4.3 Anforderungen an Mikrospektrometer .
4.4 Entwurf . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Abstimmbereich . . . . . . . . .
4.4.2 Linienbreite . . . . . . . . . . .
4.4.3 Einfügedämpfung . . . . . . . .
4.4.4 Entwurf eines InP/Luft-Filters .
5 Simulations- und Messergebnisse
5.1 Strukturbeschreibung . . . . . . . . .
5.1.1 InP-Luftspalt-Filter . . . . . .
5.1.2 SiNx -Luftspalt-Filter . . . . .
5.2 Analyse der optischen
Filtereigenschaften . . . . . . . . . .
5.2.1 Membrankrümmung . . . . .
5.2.2 Kavitätslänge . . . . . . . . .
5.2.3 Abstimmverhalten . . . . . .
5.2.4 Dielektrische Filter . . . . . .
5.2.5 Einfluss der lateralen Struktur
5.3 Elektromechanische
Charakterisierung . . . . . . . . . . .
5.3.1 Abstimmung . . . . . . . . .
5.3.2 Dynamik . . . . . . . . . . . .
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auf die Modenanregung
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. . . . . . . . . . . . . . 134
. . . . . . . . . . . . . . 137
6 Zusammenfassung
143
6.1 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A Implementierung des BOR-Modells in FEMLAB
149
B spectrafit
151
B.1 Dialog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
B.2 Strukturbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
B.3 Batchbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
INHALTSVERZEICHNIS
C zero
v
159
Kapitel 1
Einleitung
1
2
KAPITEL 1. EINLEITUNG
Die wirtschaftliche und technologische Bedeutung, die die Photonik in
den letzten 20 Jahren gewonnen hat, ist nicht nur allein auf die Nachfrage zurückzuführen, sondern auch darauf, dass es große technologische Fortschritte bei dem Entwurf und der Herstellung mikrooptischer Systeme gegeben hat, wobei diese Entwicklung immer noch anhält. Gleichzeitig sind
damit die Marktpreise für mikrooptische Komponenten stark gefallen, und
es konnte deren Zuverlässigkeit gesteigert werden. In diesem Kontext gewinnen die MOEMS (Micro-Optical-Electromechnical-Systems) immer stärker
an Bedeutung, vor allem auf dem Gebiet der Displaytechnologie, der Telekommunikation und der Sensorik [1, 2]. Die in dieser Arbeit untersuchten
mikromechanisch aktuierten Fabry-Pérot-Filter sollen in Zukunft vor allen
Dingen in den Bereichen der optischen Telekommunikation und für die Analytik und Sensorik in Form von Mikrospektrometern Anwendung finden, wobei die Entwicklung hier noch am Anfang steht [3]. Die Miniaturisierung der
optischen Baulemente bringt nicht nur Vorteile in der Fertigungstechnologie mit sich, da eine Vielzahl von Bauelementen in einem Schritt prozessiert
werden kann (Batch-Processing). Auch die Zuverlässigkeit und Lebensdauer
wird gegenüber makrooptischen Bauelementen mit mechanischer Aktuation
gesteigert, da sich bei der Miniaturisierung grundlegend andere Verhältnisse
der auf die funktionalen Komponenten wirkenden Kräfte ergeben [4].
Neue Technologien und Dienste im Bereich der Nachrichtentechnik wie
zum Beispiel Video On Demand, Bildtelefonie, IN (Intelligent Network) und
Multimediadienste für die mobile Kommunikation, sowie neuere Applikationen des Internet erfordern eine immer größere Bandbreite der Nachrichtenübertragung. Die bisherige Entwicklung wurde schon entscheidend von
optischen Telekommunikationssystemen beeinflusst, deren Übertragungsmedium die Glasfaser ist. Als Transmitter werden dabei Halbleiterlaser und
als Empfängerbauelemente Photodetektoren verwendet. Für die Übertragung
über lange Strecken (Wide Area Network, WAN) werden dabei heutzutage
nur noch Single Mode Fasern (SMF) eingesetzt, die sich dadurch auszeichnen,
dass sie insbesondere im C-Band bei 1550nm eine sehr geringe Absorption
von 0.19dB/km [5] haben. Multi-Mode-Fasern finden dennoch zunehmend
Einsatz in der Rechnervernetzung (Local Area Network, LAN) und für digitale Audio/Video-Anwendungen.
Eine SMF mit 8.3µm Kerndurchmesser ist zumindest theoretisch in einem
Wellenlängenbereich von 1285-1625nm nutzbar [5]. Diese enorme Bandbreite
kann aber nicht in einem Übertragungskanal genutzt werden, da zum einen
die als Transmitter verwendeten Halbleiterlaser eine Modulationsbandbreite von maximal 30GHz aufweisen [6, 7], und zum anderen die chromatische
Dispersion und die Polarisationsdispersion [8] die Kanalbandbreite je nach
Länge der Übertragungsstrecke begrenzen. Zur Erhöhung der Übertragungs-
3
bandbreite wird daher in den heute verwendeten System ein Wellenlängenmultiplexverfahren (Wavelength Division Multiplex, WDM) verwendet, bei
dem eine Reihe von Kanälen bei verschiedenen Wellenlängen definiert werden. Dabei erhöht sich natürlich der Aufwand an Komponenten für das
System: auf der Transmitterseite werden Laser mit einer genau definierten
Emissionswellenlänge für jeden Kanal und ein Multiplexer benötigt, um die
einzelnen Signale auf einer Glasfaser zu vereinen. Auf der Empfängerseite
wird ein Demultiplexer benötigt, um die Kanäle wieder zu trennen, wobei es
auch möglich ist, die Kanäle einzeln mit optischen Add-Drop-Multiplexern
(OADM) herauszufiltern. Gegenwärtig sind kommerzielle DWDM-Systeme
(Dense Wavelength Division Multiplex) mit einer Übertragungskapazität von
ca. 1.2Tb/s erhältlich [8], wobei aber schon Systeme mit 10Tb/s demonstriert
wurden [9].
Die Vorteile der WDM-Systeme liegen auf der Hand: neben der besseren
Ausnutzung der Bandbreite einer Glasfaser können auch die schon verlegten Glasfaserstrecken weiter verwendet werden, sofern es sich um SMF handelt. Die Nachteile sind ein höherer technischer und logistischer Aufwand, da
die Netzbetreiber Ersatzkomponenten für alle 128 Wellenlängenkanäle eines
DWDM-Systems auf Vorrat halten müssen, und die fehlende Möglichkeit für
eine dynamische Weiterleitung (Routing) der Kanäle. Diese Nachteile lassen
sich durch die Verwendung von Komponenten vermeiden, deren Trägerwellenlänge abstimmbar ist, weswegen seit einigen Jahren auf diesem Gebiet intensiv Forschung betrieben wird. Dabei eignen sich diese in der Wellenlänge
abstimmbaren Komponenten auch für den weiten Bereich der spektralen Charakterisierung in analytischen und messtechnischen Anwendungen.
Für abstimmbare Halbleiterlaser als Transmitter existieren im Wesentlichen zwei Ansätze. Es gibt zum einen abstimmbare, kantenemittierende
Halbleiterlaser, die über eine rein elektronische Abstimmung verfügen. Bei
diesen Bauelementen wird die Wellenlängenabstimmung dadurch erzielt, dass
in verschiedene funktionale Sektionen des Lasers bis zu 13 unterschiedliche
Ströme eingeprägt werden [10–12]. Diese Kantenemitter zeichnen sich durch
eine hohe Ausgangsleistung und eine lateral einmodige Emission aus, wobei aber zur Ansteuerung auf jeden Fall ein Mikrocontroller notwendig ist,
der abhängig von der Wellenlänge die Steuerströme bestimmt. Zum anderen
existieren VCSEL (Vertical Cavity Surface Emitting Laser), bei denen einer
der Reflektoren mikromechanisch aktuierbar ist und so durch die Änderung
der Kavitätslänge eine Wellenlängenabstimmung ermöglicht. Dabei wird der
Reflektor zumeist elektrostatisch aktuiert [13–16]. Es sind aber auch Ansätze
mit einer thermischen Aktuierung bekannt [17,18]. Die mikromechanisch aktuierten VCSEL haben zwar eine eher geringe Ausgangsleistung, bieten aber
dafür die Möglichkeit der direkten Faserkopplung und der Wellenlängenab-
4
KAPITEL 1. EINLEITUNG
Abbildung 1.1: Vertikal gedehnte Darstellung eines Luftspalt-Filters mit den
wesentlichen funktionalen Elementen.
stimmung über einen einzelnen Parameter.
Mikromechanisch abstimmbare Filter basieren in der überwiegenden
Mehrzahl auf dem Prinzip einer Faby-Pérot-Kavität [19, Kap. 9.6.1], wobei aber die Kavitätslänge in der Größenordnung der Wellenlänge liegt. Das
hat zur Folge, dass hoch reflektierende Spiegel verwendet werden müssen,
um die erforderlichen Linienbreiten realisieren zu können. Da sich mit einer
einzelnen Materialgrenzfläche keine Reflektivität in dieser Größenordnung erzielen lässt, werden verteilte Reflektoren (Distributed Bragg Reflector, DBR)
verwendet. Diese sind aus alternierenden Schichten von zwei Materialen mit
unterschiedlichen Brechungsindizes aufgebaut, wobei die Schichtdicke im Idealfall ein Viertel der Materialwellenlänge beträgt. Dabei gilt, dass je höher
der Brechungsindexkontrast ist, umso weniger Perioden (Schichtpaare) nötig
sind um eine vorgegebene Reflektivität zu erzielen, was Systeme mit hohem
Kontrast besonders attraktiv in der Anwendung macht.
Die Mehrzahl der Konzepte für abstimmbare Filter basiert auf einer vertikal angeordneten Kavität, die einen oder zwei mikromechanisch aktuierbare
Reflektoren hat. Dabei existieren wie bei den vertikalen, abstimmbaren Halbleiterlasern zwei Möglichkeiten die Reflektoren zu aktuieren. Für der thermischen Aktuation werden dazu Heizelemente auf die Membranen aufgebracht
und so durch die thermische Expansion eine Veränderung der Kavitätslänge
erreicht [20–23].
5
Die elektrostatische Aktuierung von Filtern ist allerdings grundsätzlich
weniger problematisch, da eine kleinere Einstellzeit erzielt werden kann, und
die Filter thermisch nicht belastet werden. Bei einem Konzept wird die elektrostatische Aktuierung durch eine Metallisierung der Aufhängungen an der
der Kavität zugewandten Seite ermöglicht, was aber eine Mikromontage erfordert [25]. Das Konzept, das auch für die in dieser Arbeit untersuchten
Filter verfolgt wird, basiert auf Membranen aus dotiertem Halbleitermaterial
(InP), die zum einen elektrisch leitfähig und zum anderen für den gewählten
Wellenlängenbereich optisch transparent sind [24, 26–30].
Monolithische Braggspiegel aus alternierenden Schichten von InP und gitterangepasstem quaternären Material benötigen aufgrund des geringen Brechungsindexkontrasts sehr viele Perioden um eine genügend hohe Reflektivität zu ermöglichen [31]. Daher werden Braggspiegel aus Halbleitermembranen verwendet, wobei die Zwischenräume mit Luft gefüllt sind [32] und somit
ein besonders hoher Kontrast entsteht. Diese InP-Luft-Spiegel benötigen nur
2.5 Perioden um eine genügend hohe Reflektivität zu erzielen [33]. Aufgrund
des geringeren epitaktischen Aufwands und der kleineren Absorption werden diese InP-Luft-Spiegel inzwischen auch für nicht abstimmbare VCSEL
verwendet [34].
Die technologische Herstellung läuft im Wesentlichen in 4 Schritten ab
[30]:
1. zunächst wird das Schichtsystem aus den InP-Membranen und den Opferschichten (GaInAs) epitaktisch hergestellt,
2. in einem Trockenätzschritt wird die laterale Form der Aufhängungen
und Membranen definiert,
3. danach wird das Opfermaterial durch eine nasschemische Ätzung entfernt und
4. durch einen Kritisch-Punkt-Trockenschritt die Flüssigkeit aus dem Filter entfernt.
Im Ergebnis sehen die Filter wie in Abb. 1.2 dargestellt aus, wobei die einzelnen Membranen wie in Abb. 1.1 dargestellt mit bis zu vier Aufhängungen an
den Haltepfosten befestigt sind. Die Breite des Luftspalts, der die Kaviät ausmacht, entspricht dabei entweder etwa der Hälfte der Filterwellenlänge oder
etwa der Filterwellenlänge selbst. In der folgenden Darstellung werden diese
Kavitäten daher entweder als λ/2-Kavität oder λ-Kavität in Bezug auf die
zu filternde Wellenlänge λ bezeichnet. Um die Haltepfosten vor einer starken
Unterätzung zu schützen ist eine in Abb. 1.2 grün dargestellte Schutzmaske
6
KAPITEL 1. EINLEITUNG
Abbildung 1.2: Maßstäbliche Darstellung eines InP-Luft-Filters mit 40µm
Membrandurchmesser und. Die Aufhängungen haben eine Länge von 20µm.
aufgebracht. In der Mitte der Haltepfosten sind in Abb. 1.2 die Kontakte zu
erkennen. Die technologischen Schritte, auch zur Herstellung von Kontakten
und der Definition von Schutzmasken, sind im Detail in [35] beschrieben.
Neben diesem auf Halbleitermaterial basierenden Filter ist noch ein weiteres Filterkonzept auf der Basis von dielektrischen Schichten mit Luftspalten
entwickelt worden [36], das sich durch eine kostengünstigere Herstellung und
teilweise verbesserte Membraneigenschaften auszeichnet. Da dieser Filtertyp
relativ neu ist, ist eine Wellenlängenabstimmung zwar projektiert aber bisher
noch nicht realisiert worden.
Für den Einsatz der Filter in DWDM-Systemen und Mikrospektrometern werden hohe Anforderungen an bestimmte optische Eigenschaften wie
die Toleranz der Linienbreite, die Seitenmodenunterdrückung und die Einfügedämpfung gestellt. Gleichzeitig besteht auch ein Interesse an den elektromechanischen Eigenschaften, wie dem Abstimmbereich und der Abstimmdynamik. Da die technologischen Prozesse immer gewissen Schwankungen
unterworfen sind, und es auch Probleme technologischer Art wie z.B. eine Verbiegung der Filtermembranen gibt, die sich nicht gänzlich vermeiden
lassen [30], ist es notwendig die vorgenannten Eigenschaften durch die messtechnische Charakterisierung zu ermitteln und zu verifizieren. Andererseits
können durch geeignete Modellrechungen der Einfluss der Filtergeometrie auf
die optischen Eigenschaften bestimmen werden und damit Konzepte erarbeitet werden, wie die Filter durch eine entsprechende Strukturierung einerseits
leistungsfähiger und andererseits unempfindlicher gegenüber technologischen
Artefakten gemacht werden können. Damit eng verknüpft ist der Filterentwurf, d.h. die Definition der Geometrie für die gewünschten Filtereigenschaften, wobei die vertikale Struktur von besonderer Bedeutung ist.
7
Im Rahmen dieser Arbeit werden die auf der Luftspalttechnologie basierenden Filter mit Membranen aus InP und dielektrischen Membranen messtechnisch und simulationstechnisch mit dem Ziel einer Entwurfsoptimierung
untersucht, wobei die jeweiligen Ergebnisse im Vergleich diskutiert werden.
Die Arbeit ist wie folgt aufgebaut:
ˆ Kapitel 1 gibt einen Überblick über den technischen Stand von mikrooptischen, wellenlängenabstimmbaren Filtern und Lasern und deren
Anwendungsgebiete. Darüber hinaus werden die untersuchten Filterbauelemente eingeführt und die Zielsetzung der Charakterisierung und
Modellrechnungen erläutert.
ˆ Kapitel 2 stellt die Methoden vor, die zur Charakterisierung der Filter
verwendet wurden, wobei auch auf die Datenauswertung und die Kalibrierung eingegangen wird. Im Detail sind dies die Messung der Transmission und Reflexion, der Modenanregung, der Abstimmung und der
Abstimmdynamik.
ˆ Kapitel 3 geht auf die verwendeten Simulationsmethoden und -modelle ein und gibt einen Überblick über die physikalischen Grundlagen. Neben der Implementierung der etablierten Transfermatrixmethode wird
das quasi dreidimensionale rotationssymmetrische Modell zur Bestimmung der Eigenmoden und die Bestimmung der Transferfunktionen der
Filter in Reflexion und Transmission aus den Eigenmoden dargestellt.
ˆ Kapitel 4 erläutert die Anforderungen an die Filter, die sich aus dem
Einsatz in DWDM-Systemen und Mikrospektrometern ergeben. Weiterhin werden die elektromechanischen Eigenschaften erläutert, und es
wird dargestellt, wie sich die Eigenschaften abstimmbarer Filter gezielt
durch die Geometrie beeinflussen lassen.
ˆ Kapitel 5 befasst sich nach einer Zusammenfassung der geometrischen
Daten und Eigenschaften der Filter mit den Simulationen auf Basis des
rotationssymmetrischen Modells. Insbesondere der Einfluss von Membrandeformationen und -durchmesser sowie der Kavitätslänge auf die
Transferfunktionen wird untersucht. Neben einem Vergleich der Simulationen mit den Charakterisierungsergebnissen werden die Messungen
und Auswertungen zu den elektromechanischen Eigenschaften der Filter dargestellt.
ˆ Kapitel 6 gibt eine zusammenfassende Bewertung und einen Ausblick
auf die weitere Entwicklung.
8
KAPITEL 1. EINLEITUNG
ˆ Anhang: enthält die Implementierung des BOR-Modells in Femlab
und Erläuterungen zu dem Transfermatrixprogramm und dem Programm zur Bestimmung der Transferfunktion aus den Eigemoden.
Kapitel 2
Charakterisierung der Filter
9
10
KAPITEL 2. CHARAKTERISIERUNG DER FILTER
Die im folgenden Kapitel erläuterten Charakterisierungsmethoden dienen
dazu, die Filter nach der technologischen Herstellung zu qualifizieren und die
Simulationsmethoden zu verifizieren. Die wesentlichen Eigenschaften der Filter für die technische Anwendung sind deren Reflexions- und Transmissionscharakteristik, weshalb sich auch alle Methoden zur Bauelementecharakterisierung auf diese Eigenschaften zurückführen lassen. Der neben der Filtercharakteristik wichtigste Aspekt ist die Abstimmcharakteristik der Filter. Diese
basiert auf der Messung der Reflektionskurven, lässt sich aber grundsätzlich
auch mit der Messung der Transmission kombinieren. Charakterisierung von
Transmission, Reflexion und Abstimmung werden daher gemeinsam in Kap.
2.1 beschrieben. Zur Beurteilung der Epitaxie und der Kontakte wird vor
der Messung der Abstimmcharakteristik die Diodenkennlinie gemessen, was
in Kap. 2.1.4 erläutert wird.
Ein weiterer wichtiger Aspekt ist, dass die Transmissions- und Reflexionsfunktionen der Filter entscheidend von der Art und Anordnung der Lichtquelle abhängen, was in Kap. 3.4 näher erläutert wird. Der Einfluss der Positionierung der Quelle auf die Reflexionsfunktionen der technologisch hergestellten Filter wird wie in Kap. 2.2 dargestellt ermittelt. Um einen Vergleich
der experimentell ermittelten Daten mit den Ergebnissen der theoretischen
Modellrechnung zu ermöglichen, ist es notwendig, die einzelnen Moden der
Reflexionsfunktionen zu trennen, und diese in Bezug auf die räumliche Anregungseffizienz mittles der Datenauswertung darzustellen.
Für systemtechnische Anwendungen ist es insbesondere von Interesse,
wie schnell die Abstimmung der Filterwellenlänge möglich ist. Daher wurde
ein Messplatz konstruiert, mit dessen Hilfe sowohl von einzelnen Membranen als auch von ganzen Filtern die mechanische Transferfunktion, also die
Abhängigkeit der Kavitätslängenänderung von Modulationsfrequenz bei harmonischer Kleinsignalanregung, ermittelt werden kann. Dieser Messplatz ist
in Kap. 2.3 beschrieben.
2.1
Reflexion, Transmission und Abstimmung
Die nach außen hin zugänglichen Eigenschaften der Filter sind analog zur
Darstellung von Zweitoren in der Mikrowellentechnik die Streuparameter,
wobei insbesondere deren Abhängigkeit von der Wellenlänge von Interesse ist.
Dabei stellt der Streuparameter s11 ein Maß für die Reflexion dar, während
der Streuparameter s21 die Transmission des Bauelements beschreibt [55,
Kap. 3.2]. Auf die Ermittlung der übrigen beiden Streuparameter wird in der
Regel verzichtet, da diese für den praktischen Betrieb uninteressant sind, und
die Anregung des Filters durch das Substrat hindurch schwer zu justieren und
2.1. REFLEXION, TRANSMISSION UND ABSTIMMUNG
11
EELED-Quelle
3dB-Koppler
OSA
Kontaktspitze
Probe
TEC
3.4V
=
ϑ
Spannungsquelle Temp.Regelung
Abbildung 2.1: Schematische Darstellung des Aufbaus zur Messung der Reflexion eines Filters.
wegen der Beugungsverluste und der Absorption uneffektiv ist. Im Gegensatz
zur Mikrowellentechnik verzichtet man bei der Charakterisierung optischer
Bauelemente häufig darauf die komplexen Streuparameter zu bestimmen,
sondern nur deren Betragsquadrat1 . Dies hängt vor allen Dingen mit der
Verfügbarkeit spektral weit abstimmbarer Laser mit einer hohen Kohärenz
zusammen, die für den Wellenlängenbereich, in dem die optische Kommunikation stattfindet, seit etwa 12 Jahren kommerziell verfügbar sind [37]. Erst
seit kurzer Zeit sind vektorielle optische Netzwerkanalysatoren kommerziell
verfügbar [38], die eine direkte Bestimmung der komplexen Streuparameter
ermöglichen.
2.1.1
Reflexion
Der in Abb. 2.1 dargestellte Aufbau zur Messung der Reflexion basiert auf
einem skalaren optischen Spektrumanalysator (OSA) mit einem mechanisch
angetrieben Gittermonochromator [39]. Dies ist bei Geräten, die für den Wellenlängenbereich der optische Kommunikation auf der Basis von Glasfasern2
konstruiert sind, noch üblich. Integrierte Geräte im sichtbaren Spektralbereich arbeiten heutzutage nur noch selten mit Monochromatoren, es wird
häufig eine Anordnung aus einem Beugungsgitter und einer Silizium-CCDZeilenkamera verwendet [41], die über keine beweglichen mechanischen Teile
verfügt. Diese Geräte sind allerdings für das O-, E-, S-, C-, L- und U-Band,
1
Das sind dann die Werte, die sich auf die optische Leitung beziehen.
Im 1. Fenster bei 850nm und im O-, E-, S-, C-, L- und U-Band bzw. 2. und 3. Fenster
von 1270nm -1650nm [40, Kap. 6.1]
2
12
KAPITEL 2. CHARAKTERISIERUNG DER FILTER
Monochromator
Detektor
Videofilter
IIR
Auflösung
Rauschpegel Videobandbreite
Abbildung 2.2: Schematischer Aufbau eines optischen Spektrumanalysators
mit einem Monochromator nach [39].
Abbildung 2.3: Maßstäbliche Darstellung eines Filters im Messaufbau. Der
Abstand der Glasfaser in der Mitte zu der Oberfläche des Filters beträgt
in der Darstellung ca. 3µm. In der Mitte unterhalb des Glasfaser sind die
drei untersten Membranen des Filters zu erkennen (Durchmesser: 20µm,
Aufhängungen: 10µm). An der Seite rechts ist die Kontaktspitze angedeutet.
in dem die hier vorgestellten Filter arbeiten, unbrauchbar, da die Si-Sensoren
in diesem Spektralbereich keine Empfindlichkeit aufweisen3 .
Die mit den herkömmlichen Spektrumanalysatoren erreichbare Wellenlängenauflösung liegt bei ca. 50pm, was für die Charakterisierung der Filter
völlig ausreichend ist. Für eine noch genauere Wellenlängenauflösung werden
Fouriertransformationsspektrometer [42] verwendet, die auf einem Autoheterodynverfahren4 aufbauen, was sich optisch leicht mit einem Michelsonoder Mach-Zehnder-Interferometer realisieren lässt. Daher ist dieser Aufbau
eher mit herkömmlichen Mikrowellenspektrumanalysatoren zu vergleichen,
3
4
Die Photonenenergie liegt unterhalb des Bandabstands von Silizium.
Das Signal wird zeitverzögert mit sich selbst gemischt
2.1. REFLEXION, TRANSMISSION UND ABSTIMMUNG
13
die meist mit mehreren Oszillatoren und Mischerstufen arbeiten und somit
auch ein Heterodynverfahren anwenden. Die Funktionsweise des verwendeten
Spektrumanalysators ist in Abb. 2.2 schematisch dargestellt. Das kontinuierliche Durchfahren des Wellenlängenbereichs des Monochromators erzeugt am
Ausgang des Detektors ein Signal im Zeitbereich, von dem ein Rauschpegel
subtrahiert wird, und das danach ein Videofilter passiert. Die Stärke dieses
zur optischen Leitung proportionalen Signals, und damit die Empfindlichkeit, ist umgekehrt proportional zu der Auflösung des Monochromators (siehe Kap. 4.3). Um die Empfindlichkeit zu erhöhen muss entsprechend auch
die Bandbreite des Videofilters verkleinert werden, was zur Folge hat, dass
die Zeit zum Durchfahren des Wellenlängenbereichs (Sweep Time) vergrößert
werden muss, weil ansonsten das Videofilter gleichzeitig auch das Spektrum
glättet und die Wellenlängenauflösung effektiv reduziert. Daher ist es meist
nicht möglich, die Auflösung und die Empfindlichkeit gleichzeitig zu erhöhen.
Es macht wenig Sinn, die Auflösung höher als notwendig einzustellen, da
damit kein besseres Ergebnis erzielt wird, sondern nur die Empfindlichkeit
reduziert wird. Zudem ist eine Lichtquelle, die eine hohe spektrale Leistungsdichte aufweist, von Vorteil, wenn die Messzeit reduziert werden soll.
Abb. 2.1 zeigt den schematischen Aufbau des Messplatzes für die Reflexion und die Abstimmung. Als Lichtquelle dient eine Edge-Emitting-LED
(EELED, für kürzere Wellenlängen auch auch Resonant Cavity LEDs), die im
Grunde genommen wie ein kantenemittierender Fabry-Pérot-Laser aufgebaut
ist, wobei aber eine Facette sehr sorgfältig entspiegelt ist [43, 44]. Dadurch
wird eine optische Rückkopplung verhindert und so die Fabry-Pérot-Moden
unterdrückt. Bedingt durch die lange Kavität werden die spontanen Emissionen stimuliert verstärkt, so dass der Wirkungsgrad der Quelle effektiv
gesteigert wird. Das sich ergebende Spektrum wird auch als ASE-Spektrum
(Amplified Spontaneous Emission) bezeichnet. Die spektrale Leistungsdichte
ist insbesondere dort hoch, wo der optische Gewinn in dem verstärkenden
Medium hoch ist. EELEDs oder auch RCLEDs sind dadurch gekennzeichnet, dass der größte Teil ihrer Ausgangsleistung von stimulierten Emissionen
verursacht wird [45], was sie von gewöhnlichen LEDs unterscheidet. In Bezug
auf die Ausgangsleistung liegen EELEDs zwischen normalen LEDs und Halbleiterlasern. Die EELED ist insbesondere für messtechnische Anwendungen
interessant, da sie neben einem breiten Emissionsspektrum lateral einmodig
ist, was bedeutet, dass ihre Ausgangsleistung mit einem geeigneten Strahltransformator vollständig in eine Single-Mode Glasfaser (SMF) eingekoppelt
werden kann.
Zur Wellenführung wird eine Standard-SMF eingesetzt [5], die für optische Telekommunikationssysteme gebräuchlich ist. Um das an dem Filter
reflektierte Signal messen zu können wird wie in Abb. 2.1 dargestellt ein 3dB-
14
KAPITEL 2. CHARAKTERISIERUNG DER FILTER
Koppler verwendet, der die an einem Tor eingespeiste Leistung im Verhältnis
50:50 jeweils auf die beiden gegenüberliegenden Tore aufteilt. Damit beträgt
die maximale spektrale Leistungsdichte am OSA ein Viertel der spektralen
Leistungsdichte der Quelle, da sowohl auf dem Hin- als auch auf dem Rückpfad jeweils die Hälfte der Leistung am Koppler verloren geht. Da dieser
Wert schon das Optimum darstellt, könnte eine weitere Verbesserung der
spektralen Leistungsdichte am OSA nur durch die Verwendung eines optischen Zirkulators erzielt werden, wobei allerdings die spektrale Bandbreite
stark eingeschränkt würde5 , so dass diese Lösung nicht praktikabel ist. Der
Anteil der reflektierten Leistung, der in Richtung der EELED-Quelle zurück
propagiert, wird in dem integrierten optischen Isolator absorbiert. Dieses
Bauelement ist von großer Bedeutung für diese Quelle, denn anderenfalls
würde durch die optische Rückkopplung ein Resonator entstehen, der das
ASE-Spektrum stark beeinträchtigt.
Die Kopplung der SMF mit dem Filter erfolgt direkt, d.h. das präparierte
(senkrecht zur Faserachse gebrochene) Faserende wird in unmittelbarer Nähe
direkt über dem Filter platziert und ausgerichtet, was schematisch in Abb. 2.3
dargestellt ist. Der Abstand zwischen Filter und Faserende ist dabei kleiner
als 5µm, was bedeutet, dass die Anregung im Nahfeldbereich stattfindet. Die
Ausrichtung der Faser erfolgt manuell nach drei Kriterien:
1. Maximale Reflektvität des Stopbands, wodurch sichergestellt wird, dass
sich die Fasermitte über der obersten Filtermembran befindet und nicht
seitlich davon,
2. Maximale Filtereffizienz, d.h. minimale Reflektivität bei der Filterwellenläge und
3. größtmögliche Seitenmodenunterdrückung, d.h. es wird ein Spektrum
angestrebt, das nur eine einzige, möglichst stark ausgeprägte Filterlinie
aufweist.
Die direkte Ankopplung wurde vor allen Dingen deshalb gewählt, weil sie
eine visuelle Ausrichtung von Faser und Filter ermöglicht. Eine Alternative
hierzu ist die indirekte Kopplung von Faser und Filter mit einem geeigneten
Strahltransformator6 , wodurch sich ein deutlich größerer Abstand zwischen
der SMF und dem Filter deutlich ergibt. Der Vorteil dieser Anordnung wäre,
dass durch die Fernfeldanregung keine Beeinflussung der Filtereigenschaften
5
Während 3dB-Koppler mit einer Bandbreite von ca. 1250nm bis ca. 1650nm verfügbar
sind, ist die Bandbreite von optischen Zirkulatoren in diesem Bereich auf ca. 30nm beschränkt.
6
Zum Beispiel ein Kollimator oder eine Faserlinse.
2.1. REFLEXION, TRANSMISSION UND ABSTIMMUNG
15
Abbildung 2.4: Mechanischer Aufbau zur Kopplung von Faser und Filter.
Die Probe mit den Filterbauelementen (ca. 200/cm2 ) liegt auf der transparenten Kunstoffplatte über dem Detektor für die Transmission, der in die
Aufbauplatte für die Kontaktspitzen eingebaut ist. Die freistehende Glasfaser beginnt etwa an der Spitze des trapezförmigen Faserhalters. Rechts oben
ist der Mantel der Glasfaser zu erkennen.
durch das gebrochene Faserende mehr möglich ist. Allerdings ist es einerseits
möglich durch die Einstellung des vertikalen Abstands zwischen Filter und
Faserende die Eigenschaften zu verbessern (siehe Kap. 4.4), andererseits ist
die direkte Kopplung auch für eine industrielle Applikation wegen des geringeren Aufwands attraktiver. Eine leichte Winkelabweichung der Faserachse
von der optischen Achse des Filters zeigt dabei nur wenig Auswirkung auf
die Filterfunktion.
Abb. 2.4 zeigt den Aufbau zur Herstellung der Filter-Faser-Kopplung.
Die Glasfaser wird senkrecht von oben an das Filter herangeführt, während
die Probe mit den Filterbauelementen auf einer transparenten Abdeckung
liegt. Oberhalb dieses Aufbaus ist ein Makroskop zum Ausrichten der Filter
angebracht. Dieser vertikale Aufbau hat zum einen den Vorteil, dass es nicht
notwendig ist die Filterproben, die unterschiedlich in Form und Größe ausfallen können, mechanisch zu fixieren, zum anderen wird die visuelle Justierung
mit dem Makroskop weder durch eine Strahlumlenkung noch durch Halterungen für die Filterprobe behindert. Die Einstellung der Kontaktspitzen für
die Abstimmspannung und die Translationseinheit für die Ausrichtung von
Filter und Faser sind mechanisch voneinander getrennt, so dass es möglich
16
KAPITEL 2. CHARAKTERISIERUNG DER FILTER
Begriff
Reflektivität
Reflexionsfaktor
Reflexion
Größe
2
R=
√ |r| jθ
r= Re
nur Eigenschaft
Tabelle 2.1: Gegenübersstellung der Begriffe für die Reflexion. Der erste bezeichnet die Reflexion der Leistung R. Der Reflexionsfaktor r bezieht sich
auf das Feld oder die Leistungswelle und ist komplex. Der letzte Begriff wird
nur als Eigenschaft, nicht als Größe verwendet.
ist das Filter zuerst zu kontaktieren und danach die Ausrichtung von Filter
und Faser zu optimieren. Für die Feinjustierung sind in dem Aufbau elektrostriktive Aktuatoren vorgesehen.
Um eine Messung der Reflexion7 des Filters zu ermöglichen muss der Einfluss des Spektrums der Quelle und der optischen Komponenten eliminiert
werden, wozu eine Kalibrierung des Messaufbaus notwendig ist. Dazu wird jeweils eine Messung mit einer Reflexionsreferenz, die eine möglichst hohe und
gleichmäßige Reflexion hat, und einer Isolationsreferenz, die eine möglichst
geringe Reflexion aufweist, durchgeführt. Als Reflexionsreferenz bietet sich
ein einfacher metallischer Spiegel aus Gold an, der von 1270nm bis 1650nm
eine Reflektivität7 RAu > 98% hat8 [46]. Da das Faserende in der Nahfeldanregung einen nicht zu vernachlässigenden Einfluss auf das Filter hat, sollte
die Isolationsreferenz möglichst die Reflexion am Faserende eliminieren. Dies
erfordert jedoch einen hohen Aufwand, weswegen die Kalibrierung der Isolation mit dem Übergang Faserende-Luft durchgeführt wird, und ansonsten
nur darauf geachtet wird, dass keine Reflexion an den Teilen des Aufbaus
die Isolationsmessung stört, was durch ein stark absorbierendes Material auf
dem Probenhalter garantiert werden kann. Die Reflektivität des Übergangs
Glas-Luft am Faserende beträgt RGl = 3.6% und ist im Messbereich relativ
konstant. Mit den Referenzmessungen (Leistungsdichtespektren) SR,Au für
Gold und SR,Gl mit dem offenen Faserende erhält man zwei Stützstellen für
eine lineare Interpolation und damit die Reflektivität
RAu − RGl
(S − SR,Gl )
SR,Au − SR,Gl
!
SR,Gl
RAu − RGl
S
=
−
,
1 − SR,Gl /SR,Au SR,Au SR,Au
R = RGl +
7
(2.1)
Für die diesem Zusammenhang verwendeten Begriffe siehe Tab. 2.1.
Die Grenzfläche von Luft zu Gold hat bei 1535nm eine Reflektivität von 98.7%, für
den Übergang Glas-Gold erhält man 98.1%.
8
2.1. REFLEXION, TRANSMISSION UND ABSTIMMUNG
17
Abbildung 2.5: Aufbau zur Messung des Temperaturkoeffizienten. Das Peltierelement befindet sich unter der leicht angehobenen Abdeckplatte. Oben
im Bild ist das angehobene Plexiglasgehäuse der Flowbox mit dem Schlauch
zur Zuführung des Stickstoff zu erkennen. Zur Steigerung der Effizienz ist
das Peltierelement wassergekühlt. Von der Wasserkühlung sind die Schlauchklemmen im Hintergrund zu sehen.
wobei S das gemessene Leistungsdichtespektrum ist. Generell können alle
Parameter mit der Wellenlänge variieren. Mit der integrierten Funktion des
Spektrumanalysators die Messung relativ zu einer Referenz darzustellen, was
insbesondere die Ausrichtung von Faser und Filter erleichtert, kommt man
zu der zweiten Darstellung. Die interne Referenzbildung erfolgt in diesem
Fall mit dem Goldspiegel, und auch die Isolation wird relativ zu dieser Referenz bestimmt. Gl. 2.1 wird falls erforderlich bei der Auswertung der Daten
berücksichtigt.
Der Aufbau zur Reflexionsmessung kann durch eine Aufbauplatte mit
einem integrierten Peltierelement und einem Temperatursensor ergänzt werden (siehe Abb. 2.5), wodurch es möglich ist den Temperaturkoeffizienten
der Filter zu bestimmen. Für Messungen bei niedrigen Temperaturen muss
die Filterprobe durch eine kleine Flowbox, die mit Stickstoff gespült wird,
geschützt werden, da ansonsten die Luftfeuchtigkeit kondensieren könnte
und in der Folge die Filterprobe durch Adhäsion der Membranen zerstört
würde [36]. Eine Messung der Transmission ist parallel zur Bestimmung des
Temperturkoeffizienten nicht möglich, da sich der Detektor mechanisch nicht
18
KAPITEL 2. CHARAKTERISIERUNG DER FILTER
Abdeckung
Faser
Probe
Detektor
Abbildung 2.6: Anordnung von Faser, Probe und Detektor für die Messung
der Transmission. Der Detektor darf wegen der Strahlaufweitung eine bestimmte Fläche nicht unterschreiten.
mit dem Peltierelement integrieren lässt.
2.1.2
Transmission
Die Messung der Transmission erfolgt mit einem großflächigen Detektor9 , der
unterhalb der Probe in den Aufbau integriert ist, was grundsätzlich eine andere Messmethode erfordert. Diese Anordnung, die in Abb. 2.6 dargestellt
ist, hat den Vorteil, dass der Aufwand für das Ausrichten des Filters gering bleibt, und kein komplizierter mechanischer Aufbau zum unabhängigen
Ausrichten von zwei Fasern an der Vorderseite und der Rückseite der Probe notwendig ist, zumal der Wirkungsgrad dieser Anordnung eher schlecht
wäre, da auf der Rückseite der Filterprobe das Substrat die Einkopplung
wegen der Strahlaufweitung negativ beeinflusst. Die Anordung mit dem Detektor ist zudem gegenüber einer Rauhigkeit des Substrats an der Rückseite
einigermaßen tolerant10 .
Die numerische Apertur der Faser11 beträgt ca. 0.14 [5], was bedeutet,
dass bei einem Durchmesser von ca. 2mm der aktiven Fläche des Photodetektors die optische Weglänge zu der aktiven Fläche ca. 7mm (in Luft)
betragen darf. Der tatsächliche physikalische Abstand beträgt ca. 3mm, so
dass mit einem ca. 350µm starken InP-Substrat die optische Weglänge immer
noch dem Kriterium genügt. Wie in Abb. 2.6 dargestellt wird die Probe gemeinsam mit dem Detektor bewegt, so dass ein gewisser lateraler Spielraum
zum Ausrichten der Faser nötig ist. Versuche haben gezeigt, dass es ohne
9
Durchmesser: 2mm
Poliergeätzte Substrate, die noch eine gewisse makroskopische Rauhigkeit an der Rückseite haben, sind problemlos.
11
In Bezug auf ein Prozent der maximalen Leistungsdichte.
10
2.1. REFLEXION, TRANSMISSION UND ABSTIMMUNG
TLS
19
Transientenrekorder
1550nm
3dB Koppler
EELED-Quelle
OSA
Referenz
3dB Koppler
Opt. Schalter
3.4V
=
Probe
Detektor
Spannungsquelle
Abbildung 2.7: Schematische Darstellung des Aufbaus zur Messung der
Transmission eines Filters. Die Reflexion kann parallel dazu gemessen werden.
nennenswerte Verluste möglich ist, die Faser um ca. 0.5mm aus der Mitte
des Detektors hinaus zu bewegen.
Die Anregung des Filters für die Transmission erfolgt nicht mit der
EELED-Quelle, sondern mit einem Halbleiterlaser, der sich in der Wellenlänge abstimmen lässt (Tunable Laser Source, TLS). Das verwendete Gerät12
besteht im wesentlichen aus einem Fabry-Pérot-Laser als Verstärker, der ähnlich wie bei einer EELED-Quelle auf einer Seite sehr sorgfältig entspiegelt
ist [37]. Mit Hilfe von Kollimatoren und einem Beugungsgitter wird eine
externe Kavität gebildet, wobei eine grobe Modenauswahl schon durch das
Gitter gewährleistet wird, dessen Anstellwinkel verstellbar ist. Die gezielte
Auswahl einzelner Kavitätsmoden erfolgt durch ein Fabry-Pérot-Etalon, das
unter einem gewissen Anstellwinkel in den Strahlengang eingebracht wird.
Sowohl Gitter als auch Etalon sind motorisch verstellbar. Die gezielte Einstellung einer vorgegebenen Laserwellenlänge wird von einem integrierten
Mikrocomputer gesteuert.
Der Aufbau zur Messung der Transmission ist wie in Abb. 2.7 in den
Aufbau zur Reflexionsmessung integriert, wobei mit einem optischen Schalter zwischen der TLS und dem Reflexionsaufbau umgeschaltet werden kann.
Dies hat vor allen Dingen zwei Gründe: zum einen wird die Transmission
ohnehin immer parallel zur Reflexion gemessen, und zum anderen wird zum
Durchfahren des Wellenlängenbereichs bei der Transmission deutlich mehr
12
Hewlett-Packard HP8168A
20
KAPITEL 2. CHARAKTERISIERUNG DER FILTER
Messung d. Transmission: Start
Wellenlänge einstellen
Signal und Referenz aufnehmen
nein
FFT
Ampl. Grundfreq.
Bereichsende?
ja
Ende
Abbildung 2.8: Ablauf der Transmissionsmessung. Datenerfassung und Datenauswertung arbeiten in zwei parallelen Prozessen um die Messzeit zu
verkürzen.
Zeit benötigt13 , was eine Ausrichtung der Faser in einem reinen Transmissionsaufbau nahezu unmöglich macht. Daher wird zunächst die Ausrichtung
der Probe in Reflexion durchgeführt, und danach auf den optischen Pfad der
TLS umgeschaltet und eine Transmissionsmessung durchgeführt. Zusätzlich
zu dem Detektor, der die Transmission des Filters misst, ist noch ein Referenzdetektor in dem Aufbau vorgesehen, der gleichzeitig die Ausgangsleistung
der TLS misst, wodurch sich die Messzeit erheblich verkürzen lässt, da die
Stabilisierung der Ausgangsleistung der TLS mehrere Sekunden in Anspruch
nimmt.
Aufgrund der geringen numerischen Apertur der Glasfaser ist der Reflexionsaufbau unempfindlich gegenüber Streulicht, weswegen hier keine zusätzlichen Vorkehrungen getroffen werden müssen. Dies trifft auf den Transmissionsaufbau nicht zu, da der integrierte großflächige Detektor das Umgebungslicht nahezu isotrop detektiert. Daher ist eine Lock-In-Technik notwendig,
um den Streulichtanteil von dem Nutzsignal zu trennen. Die hier verwendete Methode entspricht nicht dem klassischen Verfahren der phasensensitiven
Detektion [47], sondern basiert auf einer numerischen Fouriertransformation (FFT). Zu diesem Zweck wird die TLS moduliert, und die Signale des
Detektors und der Referenz von einem Transientenrekorder14 synchron auf13
Bei vergleichbarer Auflösung von 0.5nm und einem Wellenlängenbereich von 60nm
benötigt eine Transmissionsmessung ca. 4 Min. aber die Reflexionsmessung nur ca. 7s.
14
Perkin Elmer EG 7220
2.1. REFLEXION, TRANSMISSION UND ABSTIMMUNG
21
genommen und an den Steuerungsrechner weitergeleitet. Dieser führt sowohl
mit der Referenz, als auch mit dem Signal eine Fouriertransformation durch
und bestimmt das Verhältnis der Amplituden bei der Grundfrequenz der
Rechteckmodulation, so dass sich der parallele Programmablauf gemäß Abb.
2.8 ergibt. Dadurch ergibt sich im Vergleich mit der herkömmlichen LockIn-Technik ein großer Zeitvorteil, da der Einschwingvorgang des Lock-InVerstärkers nicht mehr abgewartet werden muss, bevor eine Messung möglich
ist. Darüber hinaus ist mit modernen Rechnern ist die Durchführung einer
FFT kein zeitintensiver Vorgang mehr. Mit numerischer Verarbeitung und
der externen Referenz beträgt die Messzeit pro Wellenlängenschritt ca. 2
Sekunden, während ein Schritt bei der Verwendung herkömmlicher Lock-InTechnik ca. 30 Sekunden benötigt.
Für die Kalibrierung der Transmission gelten ähnliche Regeln wie für die
Reflexion. Allerdings sind hier die Referenzen etwas einfacher zu definieren.
So kann als Isolationsreferenz ein beliebiges Material genommen werden, das
die aus der Faser austretende Leistung vollständig absorbiert oder reflektiert.
Für die Transmissionsreferenz wird demzufolge einfach die Probe entfernt, so
dass sich nur Luft in Strahlengang zwischen Faserende und Detektor befindet.
Da aber die Grenzfläche der Glasfaser wie bei der Reflexionsmessung einen
Einfluss auf das Filter hat, muss hier der entsprechende Referenzwert berücksichtigt werden. Analog zu Kap. 2.1.1 ergibt sich TGl = 1 − RGl = 96.4%.
Die Behandlung des Substrats der Filterprobe hängt dabei von der jeweiligen Anwendung ab. Für den Vergleich mit Simulationen ist es sinnvoll die
gemessene Transmission um den Betrag der Absorption des Substrats zu korrigieren, da das Substrat nicht als Ganzes im Simulationsraum enthalten ist
(siehe auch Kap. 3.4.2). Bei der Betrachtung der Filter als Bauelement beeinflusst das Substrat die Eigenschaften des Filters, so dass die Messungen
ohne Korrektur des Absorption des Substrats dargestellt werden.
2.1.3
Abstimmung
Zur Messung der Abstimmkurve eines Filters ist eine rechnergesteuerte Spannungsquelle15 im Aufbau vorgesehen, mit deren Hilfe sich die Abstimmspannung des Filters einstellen lässt. Die Abstimmkurve wird nicht direkt gemessen, sondern es werden die Reflexionskurven des Filters bei den einzelnen
Abstimmspannungen aufgenommen, und danach in der Datenverarbeitung
durch Suchen der absoluten Minima der Kurven und gegebenenfalls Anpassen einer Lorentzfunktion die Funktion bestimmt. Die Bestimmung der Abstimmfunktion mit Hilfe der Reflexionskurven ist deutlich schneller als mit
15
Keithley 230.
22
KAPITEL 2. CHARAKTERISIERUNG DER FILTER
einer Transmissionsmessung, aber es muss dafür gesorgt werden, dass der
Spektrumanalysator mit der Abstimmspannung synchronisiert und eine gewisse mechanische Einschwingzeit abgewartet wird, da ansonsten Artefakte
in den Kurven auftreten können.
Die maximale Abstimmspannung ist ein kritischer Faktor, da beim Überschreiten das Filter unwiderruflich zerstört wird. Zwei Faktoren beeinflussen
diesen Wert: die Durchbruchspannung der pin-Diode in den InP-LuftspaltFiltern und der Pull-In16 . Die Duchbruchspannung ist nur bei Filtern mit
längeren Kavitäten (λ, 3/2λ-Kavität) von Bedeutung. Darüber hinaus kann
der Durchbruch der Diode effektiv durch eine Strombegrenzung verhindert
werden. Der Pull-In ist viel problematischer, da es kaum Anzeichen gibt wann
dieser Punkt erreicht ist, und zudem wie in Kap. 4.1 dargestellt die Art der
Ansteuerung eine Rolle spielt. In der Praxis lässt sich die Pull-In Spannung17
nicht erreichen; es ist nur möglich manuell durch vorsichtiges Erhöhen der
Spannung noch einen stabilen Punkt zu erreichen. Eine Orientierungshilfe
ist dabei die Modellanpassung18 , die zumindest Auskunft über den maximal
möglichen Abstimmbereich geben. Erfahrungsgemäß ist ab ca. der Hälfte der
theoretischen Werts höchste Vorsicht beim Erhöhen der Abstimmspannung
geboten. Zudem lässt sich häufig feststellen, dass die Filterwellenlänge in der
Nähe des Pull-In nicht stabil bleibt, sondern sich langsam verschiebt (“Kriechen”), was zum Teil auf die hochgradig nichtlineare Dynamik in der Nähe
des Pull-In-Punkts zurückzuführen ist.
2.1.4
Diodenkennlinie
Die Messung der Diodencharakteristik ist das notwendige Kriterium um eine
Abstimmung des Filters vornehmen zu können. Zum einen gibt sie Aufschluss
darüber, ob bei der Herstellung ein Fehler in Form eines Kurzschlusses aufgetreten ist, der die Abstimmung verhindert. Zum anderen ist es möglich die
Durchbruchspannung zu extrapolieren und mit der differentiellen Kennlinie
Informationen über den Kontaktwiderstand zu gewinnen, der sich insbesondere auf die dynamischen Eigenschaften auswirkt. Der Aufbau lässt sich mit
der Reflexions- und Transmissionsmessung integrieren und ist in Abb. 2.9
dargestellt. Die Diode wird über einen Impendanzwandler von einer gesteuerten Spannungsquelle versorgt. Gleichzeitig wird der Diodenstrom über einen
I/U-Wandler mit einem Voltmeter gemessen. Bei der programmgesteuerten
Erfassung der Daten werden diese Spannungswerte in den entsprechenden
16
Eine Art irreversibler Kollaps der Filtermembranen, siehe auch Kap. 4.1
Die Spannung, bei welcher der Kollaps der Filtermembranen eintritt.
18
siehe Kap. 5.3
17
2.2. MODENANREGUNG
23
Spannungsquelle
3.4V
=
Impedanzwandler
DVM
Probe
0.5V
I/U-Wandler
Abbildung 2.9: Aufbau zur Messung der Diodenkennlinie.
Strom konvertiert. Die Spannung wird jeweils von 0 in positiver und negativer Richtung erhöht bis der vorgegebene Grenzwert des Stroms erreicht
wird. Die Diodenkennlinie wird exemplarisch an einem Filterbauelement auf
der jeweiligen Probe bestimmt. Da die elektronischen Eigenschaften der Filter auf einer Probe wesentlich von der Epitaxie bestimmt werden, ist die
Diodenkennlinie auf alle Bauelemente übertragbar.
2.2
Modenanregung
Durch die laterale Verschiebung der Quelle, d.h. des Faserendes, ist es möglich
verschiedene Filtermoden anzuregen und so die Modenstruktur des Filters zu
analysieren, was insbesondere beim Vergleich mit den Simulationen hilfreich
ist. Die Messung erfolgt als einfache Reflexionsmessung, wobei die Quelle lateral verschoben wird. Dadurch ergeben sich je nach Position auf der Probe
unterschiedliche Reflexionskurven, die dann in der nachfolgenden Auswertung bezüglich der Moden analysiert werden. Grundsätzlich ist es möglich
und für die nachfolgende Auswertung einfacher die Modenanregung in Transmission zu analysieren. Allerdings benötigt eine einzelne Transmissionsmessung schon deutlich mehr Zeit als eine Reflexionsmessung, so dass eine hohe
laterale Auflösung praktisch nicht möglich wäre, und außerdem fällt bei der
Reflexionsmessung gleichzeitig auch die örtliche Verteilung der Reflektivität
des Filters ab, die die laterale Struktur wiedergibt. Dadurch ist es möglich,
die Moden nicht nur in ihrer lateralen Position relativ zueinander, sondern
24
KAPITEL 2. CHARAKTERISIERUNG DER FILTER
Abbildung 2.10: Aufbau zur Messung der Modenanregung.
auch in Bezug auf die geometrischen Abmessungen der Filter zu qualifizieren.
2.2.1
Messung
Der in Abb. 2.10 dargestellte Aufbau entspricht in wesentlichen Teilen den
Aufbau zur Reflexionsmessung, wobei hier aber die elektrostriktiven Aktuatoren programmatisch gesteuert werden. Als anregende Quelle (und auch als
Sensor) wird hier ebenfalls die Facette einer SMF verwendet, so dass das anregende Feld einen relativ großen effektiven Radius von etwa 5.2µm [5] hat.
Dennoch lässt sich mit diesem Feld eine gute Auflösung erzielen, da die laterale Strukturierung des Grundmode und der nächst höheren Moden ebenfalls
in dieser Größenordnung liegt. Die Anregung von lateral stark variierenden,
höheren Moden ist mit diesem breiten Feld allerdings kaum möglich19 . Eine
Verbessung der Auflösung kann durch ein optisches System erreicht werden,
das die numerische Apertur erhöht, wobei sich hier insbesondere eine Faserlinse anbietet. Darüber hinaus kann die Auflösung nur mit Hilfe eines SNOM
(Scanning Nearfield Optical Microscope) weiter erhöht werden, was sich aber
eher nachteilig auswirkt, da mit der Erhöhung der Auflösung auch die Empfindlichkeit des Systems geringer wird, und insbesondere in Reflexion ein
schlechter Wirkungsgrad zu erwarten ist.
Die Ansteuerung der Aktuatoren erfolgt über eine rechnergesteuerte
19
siehe Kap. 3.4.4
2.2. MODENANREGUNG
25
Abbildung 2.11: Kalibrierung der elektrostriktiven Aktuatoren. Im Vordergrund sind das Gehäuse des Aktuators, die Klemmvorrichtung und der Stempel zu sehen, im Hintergrund ist die Faser mit einem Magneten an dem Halter
befestigt. Das Faserende befindet sich gegenüber von einem Si-Plättchen, das
zur Erhöhung der Reflektivität an dem Aufbau angebracht wurde.
Spannungsquelle20 . Die Längenänderung der elektrostriktiven Aktuatoren21
ist nicht proportional zu der Spannung und weist zudem noch eine leichte
Hysterese auf [48], so dass eine Korrektur der Kennlinie erforderlich ist um
eine verzerrungsfreie Darstellung der Moden zu erhalten. Aufgrund der Hysterese ist es zudem notwendig, die lateralen Messpunkte immer von einer
Richtung aus anzusteuern. Die Programmsteuerung sorgt dafür, dass für die
entsprechenden Messpunkte mit Hilfe der tabellierten Kennlinie die entsprechende Aktuatorspannung ermittelt wird. Zur Vermeidung von Artefakten
wird das Durchfahren des Wellenlängenbereichs mit der lateralen Verschiebung synchronisiert. Die maximal abtastbare Fläche beträgt mit den verwendeten Aktuatoren ca. 30µm x 30µm, was zumindest für die Filter mit
einem Membrandurchmesser von 20µm ausreichend ist. Auch für die spätere
Auswertung ist es wichtig, dass das Filter vor der Messung manuell so ausgerichtet wird, dass sich ein möglichst einmodiges Reflexionsspektrum ergibt.
Um den maximal möglichen Weg der Aktuatoren für die spätere Messung
nutzen zu können wurde auf eine automatisierte Ausrichtung verzichtet.
Praktische Versuche haben gezeigt, dass sich die Charakteristik der Piezoaktuatoren im Laufe der Zeit geändert hat, was eine neue Kalibrierung
20
21
Newport ESA-C
Piezoaktuatoren in Abb. 2.10
KAPITEL 2. CHARAKTERISIERUNG DER FILTER
30
30
25
25
20
20
∆y/µm
∆x/µm
26
15
15
10
10
5
5
0
0
40
80
120
160
0
0
Uact/V
40
80
120
160
Uact/V
Abbildung 2.12: Darstellung der gemessenen (schwarz) und mit einem Polynom 5. Ordnung nach Gl. 2.2 angepassten Kurven (grau).
erforderte. Die Wegmessung wurde dabei interferometrisch mit dem vorhandenen Aufbau durchgeführt. Wie in Abb. 2.11 wird dazu ein Fabry-Pérot
Interferometer zwischen dem gebrochen Ende der Glasfaser und der Translationseinheit aufgebaut, wobei der Abstand ca. 80-100µm bei spannungslosem Aktuator beträgt. Obwohl die Reflexion der geschliffenen Stahloberfläche
ausreicht um Fabry-Perot-Oszillationen sichtbar zu machen, wurde um die
Reflektivität zu erhöhen ein Siliziumplättchen an dem Aufbau befestigt, wodurch die Oszillationen noch ausgeprägter werden. Die entstehenden FabryPerot-Moden lassen sich mit Gl. 3.59 beschreiben. Daraus folgt, dass die
Variation der Reflexion des Fabry-Pérot-Interferometers im Frequenzbereich
periodisch ist, wobei die Periode ωc = kc c der fundamentalen Resonanz des
Interferometers entspricht. Damit kann durch eine Fouriertransformation die
Breite des Luftspalts und der Weg des Aktuators ermittelt werden. Wegen
der Friktion in der Translationseinheit ist die so generierte Kurve allerdings
leicht stufig, wodurch eine direkte Verwendung als Interpolationskurve ausgeschlossen ist. Daher wird in Anschluss an die Messung ein Polynom an die
Kurve angepasst, wobei der Startpunkt (Ua , xa ) und der Endpunkt (Ue , xe )
der Kurve festgelegt sind. Eine Darstellung, die diesem Fixpunktkriterium
genügt ist
x=
n
X
k=0
!
ak U k (U − Ua ) (U − Ue ) + xa
Ua − U
U − Ue
+ xe
,
Ua − Ue
Ua − Ue
(2.2)
wobei U die Aktuatorspannung, x der Weg und die ak die Polynomkoeffizienten sind. Die Anpassung als solche wird nach dem Kriterium des kleinsten Fehlerquadrats durchgeführt, wobei hier ein direktes Verfahren [49, Kap.
15.4] zum Einsatz kommt, da die Funktion linear von den ak abhängt.
Das Ergebnis der Anpassung ist in Abb. 2.12 dargestellt. Die roten und die
blauen Kurven stellen die jeweils angepassten Funktionen für die Vorwärts-
2.2. MODENANREGUNG
27
Reflexionsspektren
messen
Moden suchen
von Mitte aus nächsten
stärksten Mode wählen
Stopband Fit
gefunden?
ja
nein
Berechnung von
-Linienbreite λFWHM
-Anregung ηI
Tracking über
gesamte Fläche
Abbildung 2.13: Ablaufdiagramm der Auswertung der Reflexionskurven.
bzw. Rückwärtsbewegung dar, wobei sich jeweils ein Polynom 5. Ordnung
bezüglich der ak als Optimum erwiesen hat. Die Hysterese ist bei beiden
Aktuatoren (für die Verschiebung in x- bzw. y-Richtung) deutlich zu erkennen. Die gemessenen Kurven weisen zumindest zum Teil Stufen auf. Anhand
der Tatsache, dass diese Stufen sehr ungleichmäßig ausgeprägt sind, ist aber
zu erkennen, dass es sich hier offensichtlich um ein mechanisches Problem
handelt, und keine Messungenauigkeit.
2.2.2
Auswertung
Das eigentliche Problem der messtechnischen Bestimmung der Modenanregung ist die Auswertung, da von der Messung selbst nur die ortsaufgelösten
Reflexionskurven generiert werden. Ideal wäre eine Kurvenanpassung nach
Gl. 3.65. Praktisch ist dies aber nicht durchführbar, da zu viele Parameter nicht genau genug bekannt sind, und die Gleichung außerdem noch eine
nichtlineare Abhängigkeit von den Parametern aufweist, wodurch ein iterativer Algorithmus notwendig wird [49, Kap. 15.5]. Bei nur 5 Moden ergeben
sich mindestens 18 unabhängige Variablen, wenn das Stopband mit berücksichtigt wird, was zum einen die Kurvenanpassung sehr langsam, und zum
anderen sehr fehleranfällig macht. Dabei kommt noch hinzu, dass erhebliche
Mengen an Daten anfallen22 , und es leider nicht möglich ist irgendwelche pauschalen Annahmen über die Existenz und Anregung von bestimmten Moden
zu treffen. Daher wird zur Auswertung ein eher heuristisches, mehrstufiges
22
ca. 1000 Messpunkte sind üblich
28
KAPITEL 2. CHARAKTERISIERUNG DER FILTER
Reflexionskurve
Dips ausblenden
Stopband anpassen
λFWHM
RS
R
Schwellwert:
Median-Rauschen
Parabel im Dip
anpassen
λ0
Eigenschaften
des Mode
Abbildung 2.14: Verfahren zur Extraktion der Moden aus den einzelnen Reflexionskurven und zur Anpassung des Stopbands.
Verfahren angewandt, dessen Ablauf in Abb. 2.13 dargestellt wird.
Zunächst werden die ortsabhängigen Reflexionskurven einzeln bezüglich
der Moden untersucht und unter Vernachlässigung der Moden eine Parabel an
das das Stopband der Reflexionskurve angepasst, die später zur Bestimmung
der Anregungseffizienz ηI verwendet wird. Dabei sind die Moden räumlich
noch völlig unsortiert, was eine recht aufwändige Sortierung der Moden erfordert. Es hat sich leider gezeigt, dass es bei der Analyse kaum möglich ist
irgendwelche Verallgemeinerungen zu treffen. So ist beispielsweise der Grundmode als Orientierung längst nicht über die ganze Fläche sichtbar, und es
treten bisweilen örtlich einige Moden auf, die in anderen Regionen nicht vorhanden sind. Es lässt sich auch häufig eine leichte Frequenzverschiebung der
Moden über die Fläche feststellen, die zwar deutlich kleiner als die Linienbreite ist, aber dennoch das Sortieren stört. Daher wird zum Sortieren der
Moden ein Trackingverfahren verwendet, das einen bestimmten Mode über
die gesamte Fläche verfolgt, wobei immer von der Mitte aus sukzessive nach
außen weiter gesucht wird, und immer auch zunächst die stärksten Moden
berücksichtigt werden. Abschließend wird aus den Daten die Anregungseffizienz ηI , die Filterwellenlänge λ0 und die Linienbreite λF W HM bestimmt.
In Abb. 2.14 ist das Verfahren zur Untersuchung der Moden einer einzelnen Reflexionskurve dargestellt. Das Verfahren zur Bestimmung der Moden
basiert auf der sukzessiven Anpassung eines Parabelbogens an die Reflexionskurve, wobei die Breite des anzupassenden Bereichs von der geschätzten
Linienbreite abhängt. Das leichte Rauschen, das der Kurve überlagert ist,
wirkt sich dabei störend aus, da dadurch auch Täler der Kurve gefunden
2.2. MODENANREGUNG
29
Tracking: Iteration
Messpunkte
1..k:
∆
y
∆ ∆
∆
Σ∆
min
∆ λ0
λFWHM
∆ ηΙ
x
k Moden
Abbildung 2.15: Tracking der Moden über die abgetastete Fläche. Rechts
sind die Messpunkte mit der Trajektorie für das Tracking dargestellt, links
das Kriterium zur Bestimmung des zu den Nachbarn passenden Mode.
werden, die keine Moden darstellen. Deswegen wird vorab der Schwellwert
S(λ) für die Moden mit einem Medianfilter ermittelt, wobei
1
S(λ) = Ravg (λ) − |R(λ) − Ravg (λ)| mit Ravg (λ0 ) =
w
λ0Z
+w/2
Rλ dλ (2.3)
λ0 −w/2
gilt. Nur Täler, die unterhalb dieser Kurve liegen werden als Moden berücksichtigt. Für die nachfolgende Auswertung der Anregung und der Linienbreite
wird das Stopband der Reflexionskurve mit einer Parabel angepasst. Dazu
werden zunächst die identifizierten Moden ausgeblendet, indem in einem Bereich von zweimal der Linienbreite um die Moden die Standardabweichung
für die Anpassung auf einen sehr hohen Wert gesetzt wird. Die Anpassung
erfolgt dann nach dem Kriterium des kleinsten Fehlerquadrats [49, Kap. 15.4].
Anschließend werden die Moden durch das Verfolgen einzelner Moden
räumlich sortiert, was in Abb. 2.15 schematisch dargestellt ist. Es hat sich
als günstig erwiesen, eine von der Mitte ausgehende, spiralförmige Trajektorie für die Verfolgung (Tracking) und Klassifizierung eines Mode zu wählen.
Als Startwert wird zunächst von der Mitte ausgehend der stärkste noch nicht
klassifizierte Mode gewählt, wodurch der erste Mode in der Regel der Grundmode ist. Danach wird für alle Moden eines noch nicht erfassten Messpunkts
in der Trajektorie ein Vergleich mit den benachbarten Messpunkten gebildet, deren Moden in der Trajektorie schon in Bezug auf den aktuellen Mode
klassifiziert worden sind, wobei als Kriterium sowohl die Abweichung der Filterwellenlänge, als auch die Abweichung in der Anregungseffizienz mit eingehen. Derjenige Mode, der die kleinste Abweichung in beiden Kriterien hat,
30
KAPITEL 2. CHARAKTERISIERUNG DER FILTER
wird für diesen Messpunkt festgehalten, und danach die Moden des nächsten
Messpunkts in der Trajektorie klassifiziert.
Anregungseffizienz, Linienbreite und Filterwellenlänge werden aus dem
Vergleich mit der angepassten Parabel ermittelt, die durch ihren Scheitelpunkt und die Krümmung im Scheitelpunkt definiert ist. Weiterhin geht noch
die Reflektivität des Stopbands mit in die Berechnung ein. Im Allgemeinen
stellt man im Verlauf der Messung fest, dass das tatsächliche Stopband mehr
oder weniger von dem theoretischen Verlauf abweicht, wofür einerseits die
vertikale Position der Faserendfläche bezüglich der Filteroberfläche verantwortlich ist. Dadurch weist das Stopband Fabry-Pérot-Oszillationen auf, die
aber nicht stark ausgeprägt sind, da die Reflektivität der Filterspiegel relativ
hoch ist. Andererseits wirkt sich die laterale Position der Faser auf die gemessene Reflektivität aus, da zum Rand der Membrane hin zunehmend die
aus der Faser austretenden Leistung gestreut wird, und nicht mehr in die
Faser eingekoppelt wird. Der Anteil der gestreuten Leistung ist dann auch
direkt anhand der verminderten Reflektivität des Stopbands erkennbar. Daher wird die Modenanregung relativ zu der Reflektivität des Stopbands RS
(siehe Abb. 2.14) bei der entsprechenden Modenwellenlänge dargestellt und
ist damit
ηI = 1 − R/RS ,
(2.4)
wobei die Reflektivität R den Wert im Filterdip darstellt. Die Linienbreite
lässt sich mit Hilfe der Krümmung der Parabel im Scheitelpunkt R00 darstellen. Ein Vergleich mit der 2. Ableitung der Lorentzfunktion ergibt
λF W HM =
2.3
q
8 (RS − R) /R00 .
(2.5)
Abstimmdynamik
Um eine Aussage über die Abstimmgeschwindigkeit eines Filters zu erhalten wird der in Abb. 2.16 dargestellte Aufbau zur Messung der mechanischen Transferfunktion verwendet. Dabei wird zur Anregung des Filters
die Abstimmspannung mit einem Wechselspannungsanteil aus einem HFGenerator23 überlagert, so dass die Filtermembranen in Schwingungen versetzt werden. Die Messung der Auslenkung der Membranen erfolgt optisch
in Reflexion, wobei die Verschiebung der Filterwellenlänge durch die Auslenkung der Membranen ausgenutzt wird. Das Filter wird dafür mit monochromatischem Licht aus der TLS angeregt, die aber im Gegensatz zu der
Transmissionsmessung nicht moduliert wird. Um einen möglichst guten Modulationswirkungsgrad zu erhalten muss dabei der Arbeitspunkt wie in Abb.
23
Stanford Research Systems DS340
2.3. ABSTIMMDYNAMIK
DSO
31
Detektor
3dB Koppler
HF Generator
52kHz
~
~
Probe
1550nm
3.4V
TLS
=
Spannungsquelle
Abbildung 2.16: Aufbau zur Messung der Abstimmdynamik eines Filters oder
der mechanischen Grenzfrequenz von einzelnen Membranen.
2.17 dargestellt auf den steilsten Punkt der Filterflanke gelegt werden, so
dass sich eine große Änderung der Reflektivität durch die Schwingung der
Membranen ergibt. Hierfür wird nach der Einstellung der Abstimmspannung
die Wellenlänge der TLS programmgesteuert oder manuell so lange variiert
bis sich für einen festen Wechselanteil der Abstimmspannung ein möglichst
großer Wechselanteil des Signals am Detektor ergibt. Das Signal wird mit Hilfe eines Digitalspeicheroszilloskops24 (DSO) aufgenommen und dargestellt.
Die Signalamplitude wird dabei durch die Reflektivität des Stopbands und
des Filterdips begrenzt, weswegen bei der Modulation darauf geachtet werden
muss, dass der Wechselanteil der Ansteuerspannung nicht zu groß gewählt
wird, so dass die Aussteuerung im linearen Bereich bleibt.
Aufgrund der hohen Kohärenz der Emission der TLS, die eine Linienbreite von ca. 150kHz hat25 [50], ergibt sich zusätzlich das Problem, dass
kleinste parasitäre Reflexionen in dem optischen Aufbau das Signal stören26 .
So entstehen durch die Reflexion am unbenutzten Faserende des Kopplers
und am Detektor parasitäre Interferenzen, die sich störend auf die Messung
auswirken können. Diese können weitgehend durch technische Maßnahmen,
wie die Verwendung eines Detektors mit geringer Rückstreuung und das direkte Spleißen von Faserverbindungen, wodurch die Stoßkopplung von Fasersteckern vermieden werden kann, verhindert werden. Für das freie Faserende des Kopplers hat sich das Aufwickeln auf einen dünnen Stab27 als
24
Tektronix TDS460A
Das entspricht einer Kohärenzlänge von ca. 2km in Luft
26
Moderne Geräte bieten die Möglichkeit die Linienbreite zu erhöhen um damit die
Kohärenzlänge zu verkleinern
27
Eine M4-Schraube ist aufgrund des Gewindes sehr vorteilhaft.
25
32
KAPITEL 2. CHARAKTERISIERUNG DER FILTER
∆R
~
AP
λTLS
Generator
Membranschwingung
Reflexion und
Arbeitspunkt
Abbildung 2.17: Funktionsweise der Messung: die Membranschwingungen
werden in eine entsprechende Verschiebung der Filterwellenlänge konvertiert.
Bei geeigneter Wahl des Arbeitspunkts, d.h. der Wellenlänge der TLS kann
die Bewegung mit einer Reflexionsmessung sichtbar gemacht werden.
wirkungsvolles Mittel erwiesen um Reflexionen am Faserende weitgehend zu
unterdrücken, da durch die starke Krümmung der Faser die geführte Welle
stark gedämpft wird [51, Kap. 2.6.7]. Eine noch stärkere Unterdrückung der
parasitären Interferenzen kann durch Isolatoren erzielt werden, die aber einerseits einen nicht unerheblichen Kostenfaktor darstellen, und andererseits
die Bandbreite des Aufbaus einschränken.
Die Transferfunktion der Membranen wird rechnergesteuert erfasst, wobei das Steuerprogramm die Generatorfrequenz in einer geometrischen Folge
verstellt, so dass die Daten nachfolgend in einem Bodediagramm dargestellt
werden können. Das Programm ermittelt über eine Fouriertransformation
des Signals vom DSO die Amplitude der Grundfrequenz der Modulation, was
zwar aufwändiger als das Filtern des Signals ist, aber den Vorteil hat, das
alle Störanteile bei anderen Frequenzen automatisch ausgeblendet werden.
Dies ist insbesondere von Vorteil, wenn die Signalamplitude sehr schwach
ist, und sich Störungen aufgrund der parasitären Interferenzen umso stärker
auswirken, was insbesondere bei der Messung einzelner Membranen der Fall
ist, da hier die Flankensteilheit nicht so hoch ist, wie bei einem Filter.
Um systematische Messfehler auszuschließen wird der Aufbau vor einer
Messung kalibriert. Dabei wird zum einen mit einem schnell modulierbaren
Kommunikationslaser, dessen Transferfunktion bekannt ist, die Transferfunktion des Detektors gemessen. Zum anderen wird die Transferfunktion des
passiven Netzwerks zwischen HF-Generator und Spannungsquelle, das den
Zweck hat die Eingänge des HF-Generators und der Gleichspannungsquelle
zu entkoppeln, unter kapazitiver Belastung bestimmt. Die kapazitive Belastung ist dabei in etwa an die Sperrschichtkapazität der Filter angepasst, die
2.3. ABSTIMMDYNAMIK
= ~
33
Rcontact
Cj
Utun
Filter
Abbildung 2.18: Elektrisches Ersatzschaltbild eines Filters. Für die Aussteuerung ist nur die Spannung Utun an der Sperrschichtkapazität Cj wirksam,
weswegen der Kontaktwiderstand einen Tiefpass verursacht.
für die Bauelemente mit λ-Kavität (siehe Kap. 5.1) ca. 6pF beträgt28 . Ein
weiteres systematisches Problem ist der Kontaktwiderstand der Filter, wobei
sich insbesondere hohe Werte störend auswirken. Wie in Abb. 2.18 dargestellt, kann das elektrische Ersatzschaltbild eines Filters für die Abstimmung
vereinfacht als Sperrschichtkapazität in Serie mit dem Kontaktwiderstand
dargestellt werden. Dadurch entsteht ein Tiefpass, dessen Übertragungsfunktion
1
(2.6)
ge (ω) =
1 + jωRcont Cj
bei harmonischer Ansteuerung des Filters die Aussteuerung der Membranen beeinflusst. Da der Kontaktwiderstand nicht genau bekannt ist, kann
das Tiefpassverhalten auch bei der Kalibrierung nicht berücksichtigt werden.
Allerdings ist es möglich das Tiefpassverhalten in der gemessenen Kurve anzupassen und damit die mechanische Transferfunktion zu rekonstruieren, was
in Kap. 5.3.2 dargestellt wird.
28
Wegen der pin-Struktur variiert die Kapazität kaum mit der Sperrspannung.
Kapitel 3
Optische Simulation der Filter
35
36
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
Dieses Kapitel stellt die Verfahren dar, die zur numerischen Simulation der der optischen Eigenschaften der hier behandelten abstimmbaren Filterbauelemente angewandt werden. Allen hier dargestellten Verfahren liegt
die Wellengleichung (Gl. 3.9) oder in vereinfachter Form die HelmholtzGleichung (Gl. 3.10) zugrunde. Die Lösung der Wellengleichung für optische
Filter stellt ein Randwertproblem dar, für das es aufgrund seiner Komplexität keine allgemein gültigen analytischen Lösungen gibt, sondern höchstens
Näherungen wie z.B. die Gauss’schen Moden, deren Einsatz aber durchaus
zur Lösung der Probleme beitragen kann. Schon das einfache eindimensionale Transfermatrixmodell ist im eigentlichen Sinne eine numerische Methode.
Zunächst werden die physikalischen Grundlagen für die Simulation der Filter in Kap. 3.1 erläutert und die für die Simulation relevanten Eigenschaften
der Filter und die daraus folgenden Anforderungen an die optischen Simulationsmodelle in Kap. 3.2 dargestellt. Die angewandten Simulationsmodelle
und deren Implementierung werden in den Kapiteln 3.3 und 3.4 beschrieben.
3.1
Physikalische Grundlagen
Die in diesem Abschnitt erläuterten Grundlagen bilden die unmittelbare Basis für die optische Simulation der Filter. Die Transfermatrixmethode in Kap.
3.3 basiert auf dem Modell einer ebenen Welle, das in Kap. 3.1.2 erläutert
wird. Die FEM-Modelle stellen dagegen ein Randwertproblem der Wellengleichung 3.9 dar.
3.1.1
Wellengleichung
Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen lässt sich mit Hilfe der MaxwellGleichungen beschreiben, deren allgemeine Darstellung mit dem Vektor der
elektrischen Feldstärke Ẽ und dem der magnetischen Feldstärke H̃
∂µr µ0 H̃
,
∂t
(3.1)
∂r 0 Ẽ
,
∂t
(3.2)
∇ · r 0 Ẽ = ρ̃ und
(3.3)
∇ × Ẽ = −
∇ × H̃ = j̃ +
∇ · µr µ0 H̃ = 0
(3.4)
ist [52]. In dieser Darstellung im Zeitbereich sind alle Größen reell. Für die
betrachteten Filter gilt allgemein Quellenfreiheit, so dass die Ladungsdichte
3.1. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
37
ρ̃ in der 3. Gleichung verschwindet. Der Stromdichtevektor j̃ muss jedoch mit
berücksichtigt werden, da über diesen die ohmschen Verluste (Absorption)
modelliert werden. Für den Übergang in den Frequenzbereich sind nur zeitharmonische Vorgänge von Interesse, weswegen die explizite Zeitabhängigkeit der Gleichungen durch den Faktor exp(jωt) ersetzt wird. Damit ergeben sich automatisch komplexe Vektoren der elektrischen und magnetischen
Feldstärke E bzw. H, die sowohl die Amplituden- als auch die Phaseninformation beinhalten. Dabei gilt für die reelle Darstellung des elektrischen
Feldvektors Ẽ = 2Re{E exp(jωt)}; der magnetische Feldvektor folgt analog.
Mit dem ohmschen Gesetz j = σE erhält man damit die Darstellung der
Maxwell-Gleichungen im Frequenzbereich
∇ × E = −jωµr µ0 H,
∇ × H = j + jωr 0 E = jω0 r − j
(3.5)
σ
E,
ω0
(3.6)
∇ · (r 0 E) = 0 und
(3.7)
∇ · (µr µ0 H) = 0.
(3.8)
Normalerweise wird für die Darstellung im Frequenzbereich eine komplexe
relative Dielektrizitätskonstante = r − jσ/(ω0 ) definiert. Auch wenn die
Größen r , σ und µr in homogenen Medien skalar sind, werden sie allgemein
als Tensoren dargestellt, so dass sich auch anisotrope oder doppelbrechende
Medien modellieren lassen. Dieser Tensorcharakter wird für die Simulation
zur Formulierung einer nicht reflektierenden Randbedingung genutzt (siehe
Kap. 3.4.2). Für die in den Filtern verwendeten Materialien kann die relative Permeabiltät µr = 1 gesetzt werden, obwohl auch Materialien mit einer
relativen Permeabiltät µr > 1 für nichtreziproke optische Bauelemente (Isolatoren, Zirkulatoren) Anwendung finden [53, Kap. 12]. Die Wellengleichung
ergibt sich, wenn Gl. 3.5 und Gl. 3.6 zusammengeführt werden:
∇ × (∇ × E) = 0 µ0 ω
2
σ
E.
r − j
ω0
(3.9)
Diese Gleichung bildet in leicht abgewandelter Form die Basis für die optischen Simulationen. Über die Relation ∇ × (∇ × E) = ∇(∇E) − ∇2 E [54]
kommt man zu der Helmholtz-Gleichung
∇ 2 E + 0 µ0 ω 2 r − j
σ
E = 0,
ω0
(3.10)
die unter der Voraussetzung gilt, dass das Medium quellenfrei, homogen und
isotrop ist, so dass nach Gl. 3.7 der Term ∇E verschwindet. Zu beachten ist
38
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
dabei aber, dass selbst unter den genannten Voraussetzungen die Helmholtzgleichung nicht für die Zylinderkoordinatendarstellung anwendbar ist.
Die Energiebilanz in einem elektromagnetischen Feld wird durch das sogenannte Poynting-Theorem beschrieben, das im Frequenzbereich
∇ (E × H∗ ) = jω (0 r EE∗ − µ0 µr HH∗ ) − Ej∗
(3.11)
ist [52], wobei der Realteil der linken Seite die ohmschen Verluste (= Ej∗ auf
der rechten Seite) darstellt. Mit dem Übergang vom Divergenzoperator ∇
zu der Oberfläche eines endlichen Volumens wird deutlich, dass der Realteil
von E × H∗ ein Maß für den Energiefluss durch ein Flächenelement ist. Man
erhält für den Energieflussvektor oder auch Poyntingvektor
S = 2Re{E × H∗ }.
(3.12)
Das Energieflusstheorem wird bei der Ermittlung der Übertragungsfunktionen eines Filters häufig angewandt.
3.1.2
Ebene Wellen
Ausgehend von der Helmholtzgleichung lässt sich die Ausbreitung einer ebenen Welle im Raum beschreiben. Unter Annahme einer in x- und y-Richtung
unendlich ausgedehnten ebenen Welle verschwinden die Ableitungen ∂ 2 /∂x2
und ∂ 2 /∂y 2 des Laplaceoperators und man erhält
∂2E
+ 0 µ0 ω 2 E = 0.
∂z 2
(3.13)
Man findet hier schnell eine Lösung der Art
E = E0 e±jβz , mit β =
√
0 µ0 =
√ ω
,
c
(3.14)
wobei c die Lichtgeschwindigkeit
im Vakuum ist. Für den komplexen Bre√
chungsindex gilt n = . Die gebräuchliche Darstellung der Ausbreitungskonstante β mit der Wellenlänge λ ist damit
β=
2πn
.
λ
(3.15)
Das magnetische Feld lässt sich mit Hilfe von Gl. 3.5 ermitteln. Für die
Lösung ∝ exp(−jβz) (eine in +z-Richtung laufende Welle) erhält man
s
s
0
0
Hy = n
Ex und Hx = −n
Ey .
µ0
µ0
(3.16)
3.1. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
39
Für eine in -z-Richtung laufende Welle sind ergeben sich umgekehrte Vorzeichen des H-Felds. Die z-Komponenten sind bei beiden Feldvektoren 0, da
das Felds weder in x- noch in y-Richtung variiert.
Die Darstellung der Wellenausbreitung mit dem elektrischen Feld erweist
sich als etwas unpraktisch, wenn die transportierte Leistung der Welle berechnet werden soll, da diese nicht nur von dem elektrischen Feld, sondern auch
von dem Brechungsindex des Materials abhängt. In Anlehnung an die Mikrowellentechnik werden daher sogenannte Leistungswellen definiert [55], die
die Eigenschaft haben, dass das Betragsquadrat der Amplitude der Leistung
entspricht (P = |a|2 ). Die Amplitude der Leistungswellen a ist proportional
zur komplexen Amplitude des elektrischen Feldes, wobei
|E|
1
mit Z =
|a| = √
n
2Z
s
µ0
.
0
(3.17)
gilt. Z ist der Wellenwiderstand des Materials. Die Leistungswelle ist ein
komplexer Wert, d.h. mit einem Phasenfaktor behaftet, der die Änderung der
Phase des elektrischen Felds bei der Ausbreitung in einem Medium erfasst.
3.1.3
Grenzflächen
Für die Funktion der Braggspiegel sind die Übergänge von Materialen verschiedener Brechungsindizes, also die Grenzflächen, von großer Bedeutung.
Die Grenzflächenbedingungen für das elektrische und da magnetische Feld
lassen sich aus den Maxwell-Gleichungen konstruieren. Mit Hilfe des Stokesschen Satzes folgt aus den Maxwell-Gleichungen 3.5 und 3.6, dass die Tangentialkomponenten des elektrischen Felds Etan und magnetischen Felds Htan
an der Grenzfläche stetig sein müssen [52]. Daher gilt für die Grenzfläche von
einem Material 1 und einem Material 2
E1tan = E2tan und H1tan = H2tan .
(3.18)
Die entsprechende Randbedingung für die Normalkomponenten des elektrischen und magnetischen Felds Enorm bzw. Hnorm folgt mit Hilfe des Gaussschen Satzes aus den Maxwell-Gleichungen 3.7 und 3.8:
1r E1norm = 2r E2norm und µ1r H1norm = µ2r H2norm .
(3.19)
Wenn eine ebene Welle senkrecht auf eine Grenzfläche von einem Medium 1 zu einem Medium 2 auftrifft, müssen die Tangentialkomponenten des
elektrischen und des magnetischen Felds stetig ein. Damit ergibt sich aus Gl.
3.18 die Bedingung Ei + Er = Et für das elektrische Feld, wobei Ei das elektrische Feld der einfallenden Welle, Er den reflektierten Anteil und Et den
40
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
Kavität
Reflektor
Reflektor
lcav
Abbildung 3.1: Funktionale Komponenten eines Fabry-Pérot-Filters. In der
Mitte sind die ersten 3 Kavitätsmoden angedeutet.
transmittierten Anteil des elektrischen Felds darstellt. Aus der Stetigkeitsbedingung für das magnetische Feld und Gl. 3.16 folgt n1 Ei + n1 Er = n2 Et .
Damit erhält man den komplexen Reflexionsfaktor
r=
ar
Er
n1 − n2
=
=
,
Ei
ai
n1 + n2
(3.20)
der in dieser Form auch für das Verhältnis der reflektierten Leistungswelle
ar zur einfallenden ai gilt. Der komplexe Transmissionsfaktor t ist für das
elektrische und das magnetische Feld unterschiedlich, da sich die Wellen in
jeweils unterschiedlichen Medien ausbreiten. Die Normierung auf Leistungswellen mit Gl. 3.17 ergibt
√
at
2 n1 n2
t=
=
.
(3.21)
ai
n1 + n2
3.1.4
Fabry-Pérot-Filter
Ein Fabry-Pérot-Filter besteht wie in Abb. 3.1 dargestellt im Wesentlichen
aus zwei Reflektoren und einer Kavität. Diese Anordnung hat in Transmission und Reflexion eine Wellenlängenselektivität, die sich durch die Interferenz der hin- und herlaufenden Welle in der Kavität ergibt. Es lässt sich
leicht erkennen, dass die konstruktive Interferenz einer einfallenden und einer reflektierten Welle genau dann gegeben ist, wenn sich die Phase nach
einem Umlauf, der eine Länge von 2lcav hat, reproduziert. Dies bedeutet
mit anderen Worten, dass konstruktive Interferenz und damit Transmission
nur für solche Wellen möglich ist, bei denen ein ganzes Vielfaches der Wellenlänge der doppelten Kavitätslänge entspricht, und somit das Kriterium
mλ0 = 2lcav 1 erfüllt. Es ergeben sich dann stehende Wellen in der Kavität,
wobei die Amplitudenverteilung der ersten drei Moden (m = 1..3) wie in
Abb. 3.1 dargestellt aussieht.
1
Diese Gleichung gilt für eine Luftkavität.
3.1. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
s(ω)
t1
+
41
gcav
t2
t(ω)
r2
r1
gcav
Abbildung 3.2: Systemdiagramm eines Fabry-Pérot-Filters in Transmission.
Systemtechnisch lässt sich das Fabry-Pérot-Filter in Transmission mit
dem Blockdiagramm in Abb. 3.2 darstellen. Anhand der Rückkopplung lässt
sich erkennen, dass ein Fabry-Pérot-Filter ein IIR-Filter (Infinite Impulse
Response Filter) ist. Die Transferfunktion der Kavität lässt sich nach Gl.
3.14 als gcav = ejωlcav /c für eine verlustlose Kavität darstellen, so dass die
Übertragungsfunktion des Fabry-Pérot-Filters in Transmission
t(ω) =
t1 t2 ejωlcav /c
1 − r1 r2 ejωlcav /c
(3.22)
ist. Eine genauere Analyse zeigt, dass die Linienbreite des Filters bei gegebener Filterwellenlänge umgekehrt proportional zum Modenindex m und in etwa proportional zur Transmission der Spiegel ist (siehe Kap. 4.4.2), weswegen
bei Kavitäten, die lang im Vergleich zu der Filterwellenlänge sind, keine hochreflektierenden Spiegel notwendig sind um schmale Linienbreiten zu erzielen.
Umgekehrt muss die Reflektivität der Spiegel für vertikale, abstimmbare Filter mit einer Kavitätslänge, die in der Größenordnung der Wellenlänge liegt,
so hoch sein, dass eine einzelne Materialgrenzfläche nicht mehr ausreicht. Daher werden hier verteilte Reflektoren2 eingesetzt [19, Kap. 9.6.1], die wie in
Abb. 3.3a) dargestellt aus alternierenden Schichten von zwei unterschiedlichen Materialien bestehen, wobei die Schichtdicken im Idealfall ein ungerades
Vielfaches einer Viertelwellenlänge in dem jeweiligen Material sind. Dadurch
lässt sich eine konstruktive Interferenz der reflektierten Teilwellen erzielen.
Betrachtet man den Umlauf einer Welle in einer Schicht eines Braggspiegels wie in Abb. 3.3b) dargestellt, dann ergibt sich bei der Entwurfswellenlänge immer ein Vielfaches der halben Wellenlänge, also einen Phasenänderung der komplexen Feldamplitude von π. Andererseits wird eine
Teilwelle an einem Übergang von niedrigem zu hohem Brechungsindex reflektiert und erfährt dadurch einen Phasensprung von π, während die andere
Teilwelle an einem Übergang von hohem zu niedrigem Brechungsindex reflektiert wird und dadurch keiner zusätzlichen Phasenänderung unterworfen
2
DBR (Distributed Bragg Reflector) oder auch Braggspiegel
42
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
a)
...
b)
nl nh
1 Periode
Grenzfläche: ∆ φ=
π 0 π 0 π 0 π
...
Schicht: ∆ φ=π
Abbildung 3.3: Schematische Darstellung eines Braggspiegels aus Schichten
mit hohem (nh ) und niedrigem (nl ) Brechungsindex und der Reflexion der
Teilwellen an einer Schicht. Der Hin- und Rücklauf der Welle in einer λ/4Schicht verursacht eine Phasenänderung der komplexen Feldamplitude von
π.
ist. Nimmt man den Umlauf und die Reflexion beider Teilwellen zusammen,
erhält man einen Phasenunterschied von 2π oder 0 und damit eine konstruktive Interferenz in Reflexion. Die Reflexion eines DBRs lässt sich durch die
Anzahl der Perioden (Schichtpaare) nahezu beliebig erhöhen.
3.1.5
Moden
Jedes wellenführende System erzwingt in der Ebene der Wellenführung bestimmte Resonanzen, die sich aus den Randbedingungen ergeben, was dazu
führt, dass die Zustände in diesem Raum abzählbar werden und kein Kontinuum mehr bilden. Das kann man sich leicht anhand der Resonanzen in einer
Fabry-Pérot-Kavität verdeutlichen: Es entstehen stehende Wellen dadurch,
dass sich die hin- und die rücklaufende Welle überlagern, wobei der Abstand
zwischen den Knoten der stehenden Wellen nur feste Werte annehmen kann,
denen die Wellenlänge der Welle entsprechen muss. Würde man eine Welle mit einer anderen Wellenlänge in die Kavität einschleusen, die zwischen
den beiden Reflektoren hin- und herpendelt, werden sich die komplexen Wellenamplituden nach einer gewissen Anzahl von Umläufen an jedem Ort der
Kavität gegenseitig auslöschen, womit dann keine stehende Welle zustande
kommt. Damit sind nur abzählbare, diskrete Werte der Wellenlänge in der
Kavität erlaubt. Diese Erwägungen gelten auch für Wellenleiter, wobei sich
hier die Moden nicht in der Ausbreitungsrichtung der Welle, sondern senkrecht dazu in der Ebene der Wellenführung ergeben. Diese Moden werden
daher auch als laterale Moden im Gegensatz zu longitudinalen Moden in
einer Kavität bezeichnet.
Eine wichtige Eigenschaft der Moden, die aber nicht zwingend erfüllt ist,
ist die Orthogonalität. Dies bedeutet mathematisch, dass die Kreuzleistung
3.2. SIMULATIONSVERFAHREN
43
von zwei unterschiedlichen Moden den Wert 0 ergibt, was dann zur Folge hat,
dass jeder Mode die in ihn eingebrachte Leistung unabhängig von den anderen transportiert. Einen Spezialfall stellen die Moden des freien Raums dar,
die gewissermaßen ohne Wellenführung auskommen, und durch die GaussLaguerre-Funktionen [56] beschrieben werden. Diese Moden sind eng mit
dem Begriff der räumlichen Kohärenz verknüpft, die ein Maß dafür ist, unter
welchem betrachteten Raumwinkel eine Welle noch als kohärent angesehen
werden kann, d.h. das Feld räumlich gesehen eine definierte Phase besitzt.
Für optische Systeme wird daher häufig eine so genannte numerische Apertur
definiert, die ein Maß dafür ist, unter welchem Winkel das optische System
noch einfallende Strahlen akzeptiert. Eine große numerische Apertur bedeutet daher auch viele räumliche Moden, und damit eine hohe Bildauflösung
abbildender Systeme3 .
Je nach Randbedingungen kann es in einem Wellenleiter nur einen Mode
oder mehrere geführte Moden geben [51]. Berücksichtigt man das Orthogonalitätstheorem, dann wird klar, dass es zwar mit einem geeigneten Strahltransformator möglich ist, die Leistung eines Mode vollständig in einen Wellenleiter, der viele Moden führt, einzukoppeln. Umgekehrt ist es aber nicht
möglich die gesamte in einem vielmodigen Wellenleiter geführte Leistung in
einen einmodigen Wellenleiter einzukoppeln. Ähnliche Erwägungen gelten
auch bei der Einkopplung von Lichtquellen. Da gewöhnliche Leuchtmittel
(wie Halogenlampen oder auch LEDs, wenn auch nicht ganz so extrem) eine
nahezu isotrope Abstrahlung haben, und damit sehr viele räumliche Moden,
ist die Kopplungseffizienz dieser Quellen mit einer Einmodenfaser (SMF) sehr
gering. Man ist daher bestrebt zur Einkopplung von Licht in eine SMF auch
lateral einmodige Lichtquellen wie Laser oder SLEDs zu verwenden.
3.2
Simulationsverfahren
Aus systemtechnischer Sicht stellen die Filter lineare und zeitinvariante Bauelemente dar, die durch die gegebene Geometrie und die Materialdaten vollständig beschrieben werden, wobei die Geometrie in diesem Fall auch die
Feldverteilung des Quellenfeldes mit einschließt. Bei Betrachtung der Geometrie fällt auf, dass die Bauelemente bedingt durch ihre vertikale Schichtstruktur eine sehr große Ausdehnung senkrecht zur optische Achse, d.h zur
Ausbreitungsrichtung des Lichts, haben, während die Ausdehnung parallel
zur optischen Achse eher gering ist. Ein typisches Beispiel ist in Abbildung
3
Da die Feldverteilung eines einzelnen Mode durch die Wellenführung bzw. durch einen
Gauss-Laguerre-Mode vorgegeben ist, ist damit keine Abbildung im Sinne der geometrischen Optik möglich.
44
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
Abbildung 3.4: Maßstäbliche Darstellung der geometrische Eigenschaften der
untersuchten Filter. Die vertikale Ausdehnung beträgt nur ca. 1/3 der lateralen. Die Länge der Luftkavität ist dabei noch deutlich kleiner als die gesamte
vertikale Ausdehnung.
3.4 dargestellt: die laterale Ausdehnung beträgt (ohne Berücksichtigung der
Aufhängungen) ca. 20µm, während die vertikale Ausdehnung nur ca. 5.9µm
beträgt. Die Kavität selbst ist noch deutlich kürzer. Die Filtermembranen haben grundsätzlich eine zylindrische Form, was generell die Anwendung von rotationssymmetrischen Simulationsmodellen ermöglicht. Allerdings wird diese
Rotationssymmetrie durch die Aufhängungen der Membranen (siehe Abbildung 3.4) gestört. Als weiterer Punkt kommt noch hinzu, dass die freistehenden Membranen der Filter aufgrund des epitaktischen Prozesses (siehe auch
Kap. 5.1.1) eine individuelle Verkrümmung aufweisen können, so dass stabile
oder instabile Kavitäten möglich sind. Die Theorie der Gauss-Laguerre Moden [56, Kap. 16] bietet zwar eine elegante Methode um stabile und instabile
Fabry-Pérot-Resonatoren zu beschreiben, gilt aber nur in paraxialer Näherung, d.h. wenn vorausgesetzt werden kann, dass die Propagationskonstante
des Feldes in Richtung der optischen Achse viel größer als der Wert senkrecht
dazu ist.
Die Wellenführung wird in diesem Bauelementen durch den Brechungsindexkontrast von dem Halbleitermaterial zur Luft ermöglicht, was analog
auch für Bauelemente auf der Basis von dielektrischen Materialien gilt. Das
Charakteristische an dieser Indexführung ist, dass sie im Vergleich zu Halbleiterlasern [57, Kap. 5.4-5.5] oder Glasfasern [5, 58] keine schwache, sondern
bedingt durch den hohen Brechungsindexkontrast4 eine starke Indexführung
ist. Der Indexkontrast ist dennoch nicht so hoch, dass von einem metallischen Verhalten, d.h. von einer nahezu vollständigen Reflexion einer auf eine
Grenzfläche treffenden Welle, ausgegangen werden kann. Analytische Lösungen der Wellengleichung für eine zylindrische oder quaderförmige Geometrie
4
Der Indexkontrast ist bei InP/Luft-Filtern ca. 3.16:1, und bei dielektrischen Filtern
ca. 1.96:1.44 bzw. 1.96:1.
3.2. SIMULATIONSVERFAHREN
45
existieren sowohl für die schwache Indexführung [58, Kap. 3.3], als auch für
rein metallische Grenzflächen5 [54]. Während eine metallische Grenzfläche
~ = 0 impliziert, und damit bei einfachen Geometrien
die Randbedingung E
eine analytische Berechnung ermöglicht, erlaubt die schwache Indexführung
eine paraxiale Näherung. Dies lässt sich anhand einer isolierten Grenzfläche
deutlich machen: die Totalreflexion einer Welle an dieser Grenzfläche findet
nur statt, wenn der Winkel flach genug ist (streifender Einfall). Umgekehrt
lässt sich damit eine paraxiale Näherung nur bei starker Indexführung nur
dann anwenden, wenn die Abmessungen des führenden Wellenleiters klein gegenüber der Ausdehnung in Richtung der optischen Achse sind. Daher scheiden Methoden, die eine paraxiale Näherung implizieren für die Simulation
der Filter aus.
Im Zuge der Entwicklung von VCSELn, die häufig eine mit den Filtern vergleichbare Geometrie aufweisen, sind einige Simulationsansätze entwickelt worden, die nicht mehr auf einer paraxialen Näherung basieren, wie
sie für Kantenemitter, Gas- und Festkörperlaser durchaus praktikabel ist.
Die “Weighted Index Method” [59] ist speziell auf monolithische VCSEL
und rotationssymmetrische Kavitäten zugeschnitten und basiert auf einem
elementweisen Separationsansatz für die Wellengleichung wobei die vektorielle Lösung für die Kavität dann mittels des Transfermatrixverfahrens in
axialer und radialer Richtung ermittelt wird. Diese Methode setzt zumindest
in einer Richtung (axial oder radial) eine schwache Kopplung voraus, was
für die abstimmbaren Filter nicht als gegeben vorausgesetzt werden kann,
und lässt sich zudem nur schwer für in axialer Richtung verbogene Membranen anwenden. Ähnliches gilt auch für die “Method of Lines” [60], die
wie die ”Weighted Index Method” auf einem Separationsansatz basiert und
neben der Berechnung von rotationssymmetrischen Kavitäten auch für eine
elliptische Aperturen geeignet ist, die in letzter Zeit insbesondere für polarisationsstabilisierte VCSEL interessant geworden sind [61].
Neben diesen Methoden, die teilweise auf analytischen Lösungen und
Näherungen beruhen, sind in letzter Zeit aufgrund der sich laufend verbessernden Rechenleistung und dem größeren Speicherausbau von Workstations
auch zunehmend reine Finite Elemente Methoden (FEM) für die Lösung der
Wellengleichung unter Randbedingungen attraktiv geworden. Grundsätzlich
existiert mit der Methode der Finiten Differenzen im Zeitbereich (Finite Difference Time Domain, FDTD) [62] ein Werkzeug mit dem sich zumindest
theoretisch alle Probleme der elektromagnetischen Wellenausbreitung lösen
lassen. In der Praxis scheitert dies aber oft an den zu hohen Speicheranfor5
Die praktische Anwendung ist hier die Berechnung von Hohlraumresonatoren für die
Mikrowellentechnik.
46
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
derungen und der zu hohen Rechenzeit. Ein weiterer Nachteil der FDTDMethode ist die langsame Konvergenz, da der Einschwingvorgang des Systems mit simuliert wird. An dieser Eigenschaft besteht in Bezug auf die abstimmbaren Filter nur wenig Interesse. Für die Ermittlung der Transferfunktionen genügt der stationäre Anteil der Systemantwort auf eine harmonische
Anregung6 . Durch einen harmonischen Ansatz lässt sich die Wellengleichung
immerhin so modifizieren, dass sich mit Hilfe der Finiten Elemente Methode
die stationäre Lösung für harmonische Anregung auch direkt ermitteln lässt.
Dies ist in Kap. 3.4 beschrieben.
Speziell für die Simulation von VCSELn sind auch Finite Elemente Methoden entwickelt worden, die auf einer rotationssymmetrischen Geometrie
aufbauen. Das hat den Vorteil, dass sich die Lösung des FEM-Problems auf
zwei Dimensionen, d.h. auf die Ebene, die durch den Vektor in axialer und
radialer Richtung aufgespannt wird, beschränkt. Die in [64, 65] dargestellte
Methode implementiert speziell für VCSEL einen vollständig vektoriellen Eigenmodensolver unter Verwendung des Body-Of-Revolution (BOR)-Modells.
Auf diesem Solver baut auch die Simulation der Filter auf, da die Eigenmoden auch für die Analyse von passiven, linearen Bauelementen wie den
abstimmbaren Filtern von großer Bedeutung sind. Es lässt sich leicht nachweisen (siehe auch Kap. 3.3.3), dass die Eigenwerte den Polen des linearen
Systems entsprechen. In Kap. 3.4.4 wird beschrieben, wie die Eigenmoden
ausgewertet werden um zu einer vollständigen Beschreibung des linearen Systems mit den Nullstellen zu kommen.
Die geometrischen Verhältnisse legen natürlich nahe, dass auch eindimensionale Verfahren für die Filter anwendbar sind. Dies ist insbesondere wegen
der deutlich kürzeren Rechenzeit attraktiv und wird beim Entwurf der Filter
angewandt (siehe auch Kap. 4.4). Allerdings basieren alle diese Verfahren auf
einer unendlichen lateralen Ausdehnung und ebenen Wellen und lassen somit
prinzipiell keine Analyse der lateralen Moden oder der Kopplungseffizienz mit
einem anregenden Feld zu, was die Analyse einiger wichtiger Eigenschaften
der Filter unmöglich macht. Das Verfahren, was hierbei im Wesentlichen zur
Anwendung kommt, ist die Transfermatrixmethode, auf die in Kap. 3.3 näher
eingegangen wird. Speziell für Kantenemitter (DFB-Laser) existiert ein analytisches Verfahren, das sich gut für die Analyse der schwachen Modenkopplung in einem DFB-Gitter eignet [52, Kap. 5]. Da der starke Indexkontrast
der verwendeten Filtermaterialien auch eine starke Modenkopplung nach sich
zieht, ist dieses Verfahren hier nicht anwendbar.
6
Die Systemantwort eines linearen Systems auf die Anregung mit einem periodischen
Signals ab t ≥ 0 lässt sich in einen Einschwingvorgang und einen stationären Anteil zerlegen [63]. Der stationäre Anteil ist selbst periodisch mit derselben Periodendauer.
3.3. TRANSFERMATRIXMETHODE
47
TI
T=TI(m+1)TMmTIm·...·TM1TI1
a3
a1
n1
n2
a3 a2
a1
a4
TM
a2
a4 a1
1...m
z
a3
n
a2
a4
Abbildung 3.5: Darstellung der Transfermatrixmethode: Die Transfermatrix
des gesamten Systems ergibt sich aus der Multiplikation der einzelnen Transfermatrizen miteinander. Die einzelnen Elemente werden durch die Propagationsmatrizen TM und die Grenzflächenmatrizen TI beschrieben.
3.3
Transfermatrixmethode
Die Implementierung der Transfermatrixmethode orientiert sich stark an der
Darstellung in [55, Kap. 3], wobei die Berechnungen mit Hilfe eines selbst
entwickelten Programms erfolgten, dessen Bedienung in Anhang B näher
beschrieben wird. Dieses eindimensionale Berechnungsverfahren basiert auf
der Annahme, dass die optisch wirksamen Elemente lateral7 eine unendliche
Ausdehnung haben und alle anregenden Felder generell durch ebene Wellen
beschrieben werden. Dadurch wird jegliche Ableitung der Wellengleichung
3.10 in x- und y-Richtung eliminiert und die Lösung der Wellengleichung
beschränkt sich auf die z-Abhängigkeit. Für die zeitliche Abhängigkeit wird
jωt
~ t) = E(z)e
~
grundsätzlich ein harmonischer Ansatz gewählt, so dass E(z,
gilt. Analog zur Mikrowellentechnik werden Leistungswellen definiert (siehe
Kap. 3.1.2) und somit der vektorielle Charakter des Feldes eliminiert, der für
senkrechten Einfall ohnehin keine Bedeutung hat.
3.3.1
Transferfunktionen
Löst man die Wellengleichung unter diesen Voraussetzungen, dann erhält
man als Lösung zwei Wellen, die in unterschiedliche Richtungen propagieren.
Eine Welle breitet sich in Richtung der optischen Achse (+z) aus, während die
7
senkrecht zur optischen Ausbreitungsrichtung
48
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
andere Welle sich gegen die Richtung der optischen Achse (−z) ausbreitet.
Dies sind die beiden möglichen Eigenmoden, die in einem Medium immer
gemäß a(z) = a0 e±jβz propagieren. An den Grenzflächen zwischen Medien
werden wegen der Reflexion die hin- und die rücklaufende Welle miteinander
gekoppelt. Damit gibt es zwei Arten von Transfermatrizen: eine Transfermatrix für die Ausbreitung in einem Medium und eine für Grenzflächen zwischen
zwei Medien. Eine Transfermatrix hat die Eigenschaft, dass sie immer die hinund rücklaufende Welle auf einer Seite der Grenzfläche oder des Mediums als
Funktion der hin- und rücklaufenden Welle auf der anderen Seite darstellt,
so dass nach Abb. 3.5
a3
a4
!
=
t11 t12
t21 t22
!
a1
a2
!
(3.23)
gilt. Dadurch lässt sich ein komplexer Aufbau wie in Abb. 3.5 durch die
Multiplikation von Transfermatrizen darstellen. Eine wichtige Eigenschaft
der Transfermatrix ist, dass die Determinante für reziproke Elemente, zu
denen sowohl die Grenzflächen als auch die Ausbreitung zählen, det T = 1
ist. Für die Propagationsmatrix TM erhält man
TM =
e−jβL 0
0
ejβL
!
(3.24)
2πn
,
(3.25)
λ
wobei L die Länge des Mediums in Richtung der optischen Achse ist, und n =
nr +jni den komplexen Brechungsindex darstellt. Hier wurde die Konvention
angewandt, dass sich Wellen in Richtung der optischen Achse (+z) gemäß
e−jβL ausbreiten. Mit dieser Konvention wird die Welle bei ni < 0 gedämpft
und bei ni > 0 verstärkt. Die Grenzflächenmatrix TI ist
mit β = nk =
1
TI = √
2 n1 n2
n2 + n1 n2 − n1
n2 − n1 n2 + n1
!
,
(3.26)
wobei n1 den komplexen Brechungsindex des Materials links von der Grenzfläche und n2 den rechts von der Grenzfläche darstellt (siehe auch Abb. 3.5).
Damit lässt sich die Transfermatrix des gesamten Systems als
T = TI(m+1)
1
Y
TM k TIk
(3.27)
k=m
darstellen. Zur Ermittlung der Transferfunktionen für die Transmission und
die Reflexion, wird die rechte Seite, d.h. (a3 , a4 )T , als Eingang gewählt. Die
3.3. TRANSFERMATRIXMETHODE
a1k
49
a3k
-jβ∆z
a1ke
jβ∆z
a2ke
a2k
zk ∆z
a4k
z
Abbildung 3.6: Entwicklung der Leistungswellen an einem beliebigen Punkt
innerhalb einer Schicht.
Leistungsreflexion R ist dann das Betragsquadrat des Verhältnisses von a3
zu a4 unter der Voraussetzung, dass a1 = 0 gilt:
2
a3 R = |r| = 2
a4
a1 =0
t12 2
= t22
(3.28)
wobei r der Reflexionsfaktor und t12 und t22 die entsprechenden Elemente
der Transfermatrix sind. Die Leistungstransmission kann auf ähnliche Weise
ermittelt werden:
2
a2 1 2
2
.
T = |t| = =
(3.29)
a4 a1 =0 t22 Dabei sind allerdings die Materialien auf der linken und der rechten Seite zu beachten. Nach der Konvention entspricht zwar das Betragsquadrat
einer Leistungswelle der transportierten Leistung, aber das Verhältnis des
elektrischen zum magnetischen Feld wird nicht berücksichtigt. Dies wird insbesondere dort problematisch, wo die Transmission von einem Material mit
einem kleinen Imaginärteil des Brechungsindex (z.B. Luft) zu einem Material mit einem großen Imaginärteil (z.B. Metall) stattfindet. Hier muss dann
bei der Berechnung der Transmission die Phasenverschiebung zwischen elektrischem und magnetischem Feld berücksichtigt werden, die stark von dem
Imaginärteil abhängt [52].
3.3.2
Elektrisches Feld
Zur Beurteilung eines Filters oder VCSELs ist es manchmal sinnvoll die Verteilung der elektrischen Feldstärke in der Kavität darzustellen. Die lokale
elektrische Feldstärke steht in direktem Zusammenhang mit der Feldenergie
und damit auch mit der lokalen Photonendichte. Letztere ist insbesondere
für die Positionierung der verstärkenden Quantenfilme in der Kavität eines VCSELs von Bedeutung. Grundsätzlich setzt sich die lokale elektrische
50
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
Feldstärke aus der Summe der Feldstärken aller Moden zusammen. Dabei ist
wichtig, dass die Addition komplex erfolgt, so dass die Phasenterme mit eingehen. Erst dadurch ergeben sich die Interferenzmuster bei der Überlagerung
von Wellen. Im Transfermatrixmodell existieren zwei Moden: eine hinlaufende und eine rücklaufende Welle. Von einer Grenzfläche aus lassen sich damit
die komplexen Amplituden für die hin- und die rücklaufende Welle mit e−jβz
bzw. ejβz wie in Abb. 3.6 entwickeln. Ausgehend von den komplexen Amplituden der Leistungswellen erhält man damit für die Amplitude des lokalen
elektrische Felds
s
Z 0
−jβk (z−zk )
jβk (z−zk ) für zk ≤ z < zk+1
a1k e
+ a2k e
|E(z)| = nk
(3.30)
wobei sich zk auf die Position der Grenzflächen, und a1k bzw. a2k auf die
Leistungswellen am Eingang der k-ten Schicht bezieht.
3.3.3
Eigenmoden
Im Gegensatz zu der Transmission und der Reflexion, die eine Lösung des
Systems unter Berücksichtigung einer Quelle, die auf das System einwirkt,
darstellen, ist es auch möglich Eigenmoden zu bestimmen, die eine Lösung
des Systems ohne Quellenterme darstellen. Für die Berechnung der Transmission und Reflexion wird immer implizit eine externe Signalquelle, die ein
zeitharmonisches Signal liefert, für die Leistungswelle a4 angesetzt. Interne
Signalquellen (z.B. Quellen spontaner Emission) sind bei den betrachteten
passiven Bauelementen nicht vorhanden. Für die Eigenmoden folgt dann,
dass eine oder mehrere nichttriviale harmonische Lösungen für die Wellenzahl k oder die Wellenlänge λ = 2π/k gefunden werden müssen, für die a1 = 0
und a4 = 0 gilt, und die somit die homogene Lösung der Wellengleichung darstellen. Im Allgemeinen ist dies für eine reelle Wellenzahl k oder ein reelles λ
nicht möglich, so dass die resultierenden Werte komplex sind. Setzt man in
Gl. 3.23 a1 = 0 und a4 = 0 dann ist die charakteristische Gleichung
a3 = t12 a2 und 0 = t22 a2 ⇒ t22 = 0.
(3.31)
Die bestimmende Gleichung t22 = 0 ist die einzig zulässige nichttriviale
Lösung, und damit sind die Eigenwerte mit den Polen der Transferfunktionen
3.28 und 3.29 identisch. Da die t22 eine nichtlineare Funktion von k bzw. λ
ist, wird die Lösung der Eigenwerte k0 = k0r + jk0i bzw. λ0 = λ0r + jλ0i mit
einem Newton-Raphson Verfahren [49, Kap. 9.6] für zwei unabhängige Variablen (Real- und Imaginärteil) ermittelt. Unter der Voraussetzung, dass t22
eine analytische Funktion von k ist [66, Kap. 3.4.5], ließe sich das NewtonVerfahren insofern vereinfachen, dass nur noch eine unabhängige Variable
3.4. FEM-MODELLE
51
notwendig wäre. Dies ist aber nicht gegeben, da die Dispersionsfunktionen
der Materialen nur vom Realteil von k oder λ abhängen. Für die Lösung
muss ein Startwert angegeben werden, von dem aus die Nullstelle ermittelt
wird. Eine Eingrenzung des Zielbereichs ist auch notwendig, weil ein Filter
je nach Anzahl der Schichten sehr viele Pole aufweisen kann, von denen die
meisten uninteressant sind. Für die Pole der Transferfunktionen erhält man
die Identität
R, T ∝
1
1
1
.
2 = 2
2
k0i 1 + 1/k0i
|k − k0 |
(k − kr )2
(3.32)
Das Filter hat die Form einer Lorentzfunktion mit der Linienbreite kF W HM =
2k0i . Bei Darstellung in Einheiten der Wellenlänge ergibt sich analog dazu
die Mittenwellenlänge λc = λ0r und die Linienbreite λF W HM = −2λ0i . Daraus folgt, dass wesentliche Eigenschaften eines Filters aus den Eigenwerten
bestimmt werden können. Während der Realteil des Eigenwerts mit der Resonanzwellenlänge übereinstimmt, ist der Imaginärteil ein Maß für die Linienbreite.
3.3.4
Gruppenlaufzeit
Die Gruppenlaufzeit ist eine Eigenschaft, die insbesondere für nachrichtentechnische Anwendungen interessant ist. Hier kommt es vor allen Dingen auf
die Gruppenlaufzeitdispersion, d.h. die Änderung der Gruppenlaufzeit mit
der Wellenlänge oder Frequenz an. Diese Eigenschaft führt zu einer Verzerrung des Signals, da die Frequenzanteile unterschiedlich schnell propagieren.
Mit der Definition aus [63, Kap. 5.1.2] erhält man für die Gruppenlaufzeit in
Transmisson
(
dIm {ln t22 }
1 dt22
d arg {t}
=
= −Im
τT = −
dω
dω
t22 dλ
)
λ2
.
2πc
(3.33)
Die Gruppenlaufzeit in Reflexion ist z.B. für Add-Drop-Multiplexer (siehe
auch Kap. 4.2) ein relevanter Faktor. Analog zu Gl. 3.33 ergibt sich
(
1 dt22
1 dt12
τR = −Im
−
t22 dλ
t12 dλ
)
λ2
.
2πc
(3.34)
Eine analytische Ableitung der Transfermatrixelemente t12 und t22 wäre zwar
theoretisch möglich, ist aber aufgrund der Komplexität der Funktion praktisch nicht durchführbar. Daher wird die Ableitung mit einem numerischen
Verfahren für die gesamte Transfermatrix ermittelt.
52
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
z
ϕ
r
r-z plane
Ez
Eϕ
Er
Abbildung 3.7: Koordinatensystem des “Body Of Revolution” (BOR) Modells. Durch die azimuthale Expansion beschränkt sich die Lösung der Wellengleichung auf die Ebene, die in radialer und axialer Richtung aufgespannt
wird.
3.4
FEM-Modelle
In diesem Abschnitt werden die Simulationsmodelle vorgestellt, die auf einer
Finiten Elemente Methode basieren und speziell auch den Einfluss der lateralen Strukturierung der Filter und des anregenden Felds erfassen, was mit
die Transfermatrixmethode nicht möglich ist. Da die Filter mit Ausnahme
der Aufhängungen rotationssymmetrisch aufgebaut sind, wird zur Vereinfachung der Darstellung der FEM das sogenannte “Body Of Revolution”
(BOR) Modell angwandt, das am Institut für Integrierte Systeme (IIS) der
ETH Zürich für die Simulation von VCSELn [64,67] entwickelt wurde. Neben
der Geometrie ist die Definition der äußeren Randbedingungen essentiell um
exakte und aussagekräftige Simulationsergebnisse zu erhalten. Die Transferfunktionen können damit entweder unter direkter Einbeziehung der Quelle
bestimmt werden (stationär harmonisch), wobei eine inhomogene Lösung der
Wellengleichung für eine unabhängige Wellenzahl k ermittelt wird, oder es
können die homogenen Lösungen der Wellengleichung, die Eigenmoden, berechnet werden, und daraus in einem weiteren Schritt die Transferfunktionen
unter Einbeziehung der Quelle bestimmt werden. Obwohl beide Methoden
sich grundsätzlich unterscheiden gibt es doch einige gemeinsame Elemente,
wie das geometrische Modell und die äußeren Randbedingungen, so dass die
Beschreibung gemeinsam erfolgt. In Kooperation mit dem IIS wurde die Berechnung der Eigenmoden mit dem Modesolver LUMI [68] durchgeführt, der
ein Modul des Bauelementesimulators DESSIS ist [69]. Zur Simulation der
Filter kam eine eigenständige Version von LUMI zum Einsatz, die über die
Skriptsprache Tcl/Tk [70] gesteuert wird. Die stationäre harmonische Ana-
3.4. FEM-MODELLE
53
lyse unter direkter Einbeziehung der Quelle wurde mit dem Softwarepaket
FEMLAB [71] durchgeführt. Obwohl in FEMLAB schon einige Modelle für
spezielle Probleme der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen implementiert sind, musste das BOR-Modell mit einer verallgemeinerten partiellen
Differentialgleichung selbst implementiert werden.
3.4.1
BOR-Modell
Die Lösung der Wellengleichung mit der finiten Elemente Methode lässt sich
durch die Ausnutzung von Symmetrien stark vereinfachen. Eine besonders
effektive Methode stellt dabei das BOR-Modell dar, weil es dadurch für eine
rotationssymmetrische Geometrie möglich ist, die Lösung des Problems auf
zwei anstelle von drei Dimensionen zu beschränken, wodurch sich die Anzahl der Elemente erheblich reduziert, und die Lösung der Wellengleichung
weniger Speicherplatz und Rechenzeit beansprucht. Ausgangspunkt ist die
Wellengleichung
∇ × Λ−1 · (∇ × E (r)) − k 2 n2 Λ · E (r) = F (r)
(3.35)
mit der Wellenzahl k, dem komplexen Brechungsindex n2 und dem Ortsvektor r. Der diagonale 3x3-Tensor Λ wird für die Modellierung von nichtreflektierenden Schichtgrenzen (Perfectly Matched Layer, PML) eingeführt,
die in Kap. 3.4.2 genauer beschrieben werden. Da nur harmonische Vorgänge
von Interesse sind, ist die explizite Zeitabhängigkeit von Gl. 3.35 durch dem
harmonischen Ansatz E(r, t) = E(r) exp(jωt) beseitigt worden. Der Quellenterm F(r) auf der rechten Seite der Gleichung wird nur für die stationäre
harmonische Analyse benötigt. In diesem Fall ist die Wellenzahl k eine unabhängige Variable und reell. Für die Bestimmung der Eigenmoden entfällt
der Quellenterm (F(r) = 0) und k ist eine abhängige, komplexe Variable, die
den Eigenwert darstellt. Die Darstellung von Gl. 3.35 in Zylinderkoordinaten
r = (r cos ϕ, r sin ϕ, z)T [66, Kap. 4.2.2.2] (siehe Abb. 3.7), wie sie von dem
BOR-Modell vorausgesetzt werden, wirkt sich primär auf die Darstellung des
Differentialoperators ∇× aus.
Der Übergang von der dreidimensionalen zur zweidimensionalen Darstellung der Wellengleichung erfolgt durch eine harmonische azimuthale Expansion, wodurch die explizite Abhängigkeit von dem Winkel ϕ entfällt:
E(r, z, φ) =
X
EνT (r, z) + Eφν (r, z)eφ ejνφ .
(3.36)
ν
Der azimuthale Expansionsfaktor ν entspricht dem azimuthaler Modenindex zylindrischer Wellenleiter [72]. Bei der Darstellung in Gl. 3.36 wird das
54
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
y
x ν=0
ν=1
ν=2
Abbildung 3.8: Räumliche Änderung des lateralen Feldvektors bei unterschiedlichen azimuthalen Modenindizes. Nur bei ν = 1 ist das Feld transversal linear polarisiert.
elektrische Feld E in eine transversale und eine azimuthale Komponente aufgespaltet. Nach wie vor wird eine voll vektorielle Lösung der Wellengleichung
unter Einbeziehung der azimuthalen Komponente des elektrischen Felds angestrebt. Die Darstellung des Operators ∇× als 3x3-Tensor ist demnach [54,
Anhang]


0
−∂/∂z
jν/r
0
−∂/∂r 
∇× = 
(3.37)
 ∂/∂z

−jν/r 1/r + ∂/∂r
0
wobei die explizite partielle Ableitung ∂/∂ϕ durch jν ersetzt wurde. Demzufolge verbleibt eine partielle Differentialgleichung von den beiden Ortskoordinaten r und z bestehen, wobei der azimuthale Modenindex als Parameter
mit in die Gleichung eingeht. Die Formulierung der Wellengleichung für die
allgemeine Form einer partiellen Differentialgleichung, wie es in FEMLAB
notwendig ist, wird in Anhang A dargestellt. Die Lösungen dieser Differentialgleichung können aufgrund der komplexen Randbedingungen nur numerisch mit der FEM ermittelt werden.
Die azimuthale Entwicklung des elektrischen Feldvektors wird maßgeblich
von dem Modenindex ν bestimmt. Ausgehend von dem komplexen Vektor des
elektrischen Feldes E(r0 , z0 ) = E0 er + jE0 eϕ für die festen Koordinaten r0
und z0 , sowie ein reelles E0 ergibt sich bei azimuthaler Expansion für den
reellen Feldvektor
n
Re {E(r, z, ϕ)} = Re E(r, z)ejνϕ
o
(3.38)
= E0 cos ((1 − ν)ϕ) ex + E0 sin ((1 − ν)ϕ) ey ,
wodurch sich dann wie in Abb. 3.8 dargestellt die räumliche Polarisation je
nach dem Wert von ν ändert. Die Komponente des elektrischen Felds in Rich-
3.4. FEM-MODELLE
55
tung der optischen Achse spielt bei der Betrachtung keine Rolle. Entscheidend ist, dass nach Gl. 3.38 eine räumlich lineare Polarisation des Feldvektors
nur für ν = 1 möglich ist, was zur Konsequenz hat, dass nur Lösungen der
Wellengleichung mit ν = 1 eine laterale Komponente des Feldvektors auf der
optischen Achse bei r = 0 haben. Für alle anderen Werte von ν muss die
laterale Komponente des Feldvektors auf der Achse verschwinden.
Bei der Betrachtung von Wellenleitern werden gewöhnlich Moden, die
annähernd identische Propagationskonstanten8 haben, zu sogenannten LPνµ Moden (linear polarisierten Moden) zusammengefasst, die sich in Nomenklatur und Form an den Moden eines rechteckigen Wellenleiters orientieren. Auch wenn sich Gruppen von Eigenmoden in den untersuchten Filterkavitäten bilden, ist es nicht sinnvoll diese zusammenzufassen, da ihre
Resonanzfrequenz nach wie vor unterschiedlich ist, und damit die zeitliche
Mittelung der Kreuzleistungsdichte verschwindet. Bei Wellenleitern führt der
leichte Unterschied in der Ausbreitungskonstante der Bestandteile eines LPMode nur dazu, dass sich der Polarisationszustand entlang der optischen
Achse langsam ändert [51, Kap. 2.6.1]. Die Benennung der Moden orientiert
sich daher an den HEνµ und EHνµ Nomenklatur, wie sie für Hohlleiter verwendet wird. Dabei ist ν fest vorgegeben wohingegen der radiale Modenindex
µ eher auf heuristische Weise anhand der Intensitätsverteilung vergeben wird.
Der fundamentale Mode ist aber in der Regel eindeutig.
3.4.2
Randbedingungen
Die Lösung der Wellengleichung mit einer Finiten Elemente Methode setzt
einen begrenzten Raum voraus, so dass der Definition der äußeren Randbedingungen dieses Raums eine besondere Bedeutung zukommt. Für einen
Hohlraumresonator mit metallischen Wänden ist es möglich den Raum auf
die inneren Abmessungen des Resonators zu begenzen, und als äußere Randbedingung die tangentialen Komponenten des elektrischen Felds auf Null zu
setzen, was dem Verhalten einer ideal reflektierenden, metallischen Grenzfläche entspricht. Dies ist bei den untersuchten Filtern nicht so einfach möglich. Zwar wird durch die starke Indexführung ein großer Teil der Feldenergie
auf den Innenraum des Filters konzentriert, der von den äußeren Grenzflächen der Membranen definiert wird, aber dennoch kann im Gegensatz zu
einer metallischen Grenzfläche ein wesentlicher Teil diese Grenzflächen penetrieren, was natürlich auch für die Funktion wichtig ist. Daher macht es
wenig Sinn, den Simulationsraum exakt auf die äußeren Abmessungen des Fil8
Dies ist bei schwacher Führung, wie sie in einer Glasfaser vorliegt, möglich. Die untersuchten Filterbauelemente haben dagegen eine starke Führung.
56
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
n
k
kt
kn
Abbildung 3.9: Der Wellenvektor ~k kann in eine Komponente normal zur
Grenzfläche ~kn und in eine Komponente tangential zur Grenzfläche ~kt zerlegt
werden. Für die Propagationskonstante normal zur Grenzfläche gilt dann
βn = |~kn |.
ters zu begrenzen, zumal diese Grenzflächen mit starkem Indexkontrast eine
wichtige funktionale Komponenten des Filters sind. Dahingegen können sich
Wellen außerhalb des Filters ungehindert ausbreiten. Da die äußeren Randbedingungen die eigentliche Filterkavität so wenig wie möglich beeinflussen
sollten, sind Randbedingungen wie der perfekte elektrische Leiter, die einen
bestimmten Wert für das Feld festlegen, ungeeignet. Durch diese Randbedingungen wird selbst eine Kavität generiert, die das Simulationsergebnis stark
verfälscht. Geeignet ist hier eine nicht reflektierende oder schwach reflektierende äußere Randbedingung, die an den Grenzen eine Freiraumausbreitung
nachbildet und somit die Kavität nur gering beeinflusst.
Eine solche Randbedingung lässt sich unter der Annahme formulieren,
dass die Komponenten des Felds lokal durch eine ebene Welle bestimmt werden, die unter einem bestimmten Winkel die Grenzfläche passiert [73, 74].
Für die Darstellung in der finiten Elemente Methode lässt sich daraus eine Neumann-Randbedingung generieren [75]. Diese Randbedingung funktioniert sehr gut, wenn der Winkel, unter dem die Welle die äußere Grenzfläche
passiert, und damit die Propagationskonstante senkrecht zur Grenzfläche bekannt sind (siehe Abb. 3.9. Anderenfalls ergibt sich das Problem, dass die
Grenzflächen mehr oder weniger stark reflektieren, was dann auch das Ergebnis der Simulation beeinflusst. Ein weiterer Vorteil dieses Typs von Randbedingung ist, dass sich relativ einfach Quellenterme auf der Grenzfläche
definieren lassen. Der Vorteil liegt auf der Hand: auf diese Art lassen sich
3.4. FEM-MODELLE
zTPML+dTPML
zTPML
57
sz=1+jsz''
sz=1
sr=1
zBPML
zBPML-dBPML
sr=1+jsr''
sz=1+jsz''
0
rRPML rRPML+dRPML
Abbildung 3.10: Darstellung des Simulationsraums mit der PML in den
schraffierten Bereichen. Die Koordinatentransformation mit sr und sz wird
nur in den Bereichen der PML angewandt. In den Ecken überlappen sich
diese Bereiche.
externe Quellen für die stationäre harmonische Simulation generieren.
Die Untersuchung dieser Art von Randbedingung für die stationäre harmonische Analyse zeigte jedoch trotz einer Verringerung der Reflexionen,
dass die Beeinflussung der Simulation durch die Grenzflächen des Simulationsraums immer noch groß war. Dies ist vor allen Dingen darauf zurückzuführen, dass a priori die lokale Propagationskonstante senkrecht zur Grenzfläche nicht bekannt ist, und somit bei der Festlegung eine Fehlanpassung
inhärent ist. Eine Abhilfe würde hier nur eine deutliche Vergrößerung des Simulationsraums bringen, da sich in Fernfeldnäherung eine annähernd sphärische Wellenfront [51, Kap. 2.1.2] ausbildet, deren lokaler Winkel zur Grenzfläche genau bekannt ist. Dies ist aber eher unerwünscht, da sich damit auch
die Anzahl der Elemente stark vergrößert.
Dieses Problem lässt sich mit einer außen liegenden Schicht eines absorbierenden Materials lösen, wobei aber gewährleistet sein muss, dass die
Grenzfläche dieser Schicht zu dem Raum, der das Filter umgibt, nicht reflektierend ist. Durch diese Maßnahme können die Grenzflächen des Simulationsraums von dem Filter entkoppelt werden, und beeinflussen die Eigenmoden im Idealfall nicht mehr. Die Realisierung einer solchen Schicht (auch
Perfectly Matched Layer (PML) genannt) mit einem anisotropen Material
wurde zunächst in [76] für kartesische Koordinaten vorgestellt. In der verallgemeinerten Darstellung in [77] wird diese PML als komplexe Koordinatentransformation interpretiert. Die Definition einer PML in zylindrischen
Koordinaten ist in [78] dargestellt. Diese Koordinatentransformation mani-
58
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
festiert sich dann in dem Tensor Λ. Die Transformation setzt voraus, dass
die PML uniaxial ist, d.h. dass eine Welle nur in der jeweiligen Richtung
des Koordinatenvektors gedämpft wird. Dies setzt wiederum voraus, dass
die Grenzflächen der PML senkrecht zu den jeweiligen Koordinatenvektoren
sind, was aber im Allgemeinen keine große Einschränkung darstellt. Damit
lassen sich die Transformationsvariablen sz und sr für die jeweiligen Achsen
definieren. Die Transformationsvariable sϕ für die azimuthale Komponente
lässt sich in der BOR-Darstellung aus sr bestimmen. Durch die Einführung
einer PML wird der Simulationsraum wie in Abb. 3.10 in mehrere Bereich
aufgeteilt. Im Innenraum wird keine Transformation angewandt, in den Bereichen der PML wird die Transformation für die jeweilige Achse angewandt.
In den Eckbereichen werden alle betroffenen Achsen unabhängig voneinander transformiert. Die Implementierung der PML in FEMLAB basiert auf
der Darstellung in [68] mit einem Parabelprofil, so dass für die Transformationsvariablen nach [78]
sz
=
sr
sϕ =
1
r

z−zb 2


1
+
js

0
db

1
; zb − db < z < zb
; zb ≤ z ≤ zt
,

2


 1 + js z−zt
; zt < z < zt + dt
0
dt

 1
; 0 ≤ r ≤ rr
2
=
 1 + js0 r−rr
; rr < r < rr + dr
dr

 1
; 0 ≤ r ≤ rr
Rr
3
s
dr
=
r
0
 1 + js0 r−rr
; rr < r < rr + dr
3r
d
und
(3.39)
r
gilt, wobei zb , zt und rr die untere, obere und rechte Grenze der PML darstellen und db , dt und dr die entsprechenden Breiten der PML sind. Der Wert
s0 bestimmt die Absorption der PML. Die Diagonalelemente des Tensors Λ
sind damit
sϕ sz
Λrr =
sr
sr sz
Λϕϕ =
(3.40)
sϕ
sr sϕ
Λzz =
sz
s0 ist ein kritischer Wert, denn zum einen führt eine zu niedrige Absorption zu einer Beeinflussung der Eigenmoden durch die äußeren Grenzen, zum
anderen führt ein zu hoher Wert von s0 dazu, dass die Eigenmoden aus der eigentlichen Kavität “auswandern”, d.h. dass sich die Feldenergie in der Umgebung der PML konzentriert. Dieser Effekt ist in [68] beschrieben, und konnte
3.4. FEM-MODELLE
59
auch mit FEMLAB nachgewiesen werden. Ursache ist vermutlich, dass die
spezielle Anisotropie der PML zwar Wellen, die sich in der entsprechenden
Achsenrichtung ausbreiten, dämpft, aber Wellen, die sich in der PML senkrecht dazu ausbreiten, verstärkt. Ein brauchbarer Wert ist s0 = 5, was auch
den Ergebnissen in [68] entspricht.
Im Vergleich mit der nichtreflektierenden Randbedingung ist die Anwendung der PML zwar deutlich komplizierter, da anisotrope Medien eingeführt
werden müssen, aber stellt bei sorgfältiger Dimensionierung eine zuverlässige Methode dar, um den Simulationsraum reflexionsfrei zu begrenzen. Durch
die Einführung der PML haben die äußeren Randbedingungen nahezu keinen
~ =0
Einfluss mehr, weshalb es auch möglich ist, die Randbedingung ~n × E
zu verwenden. Durch die Kombination mit einer nichtreflektierenden Randbedingung kann eine schwächere PML verwendet werden.
3.4.3
Quellenfelder
Die Filter als passive Bauelemente benötigen Quellen zur Anregung. Dies gilt
insbesondere für die stationäre harmonische Analyse, aber auch die Transferfunktionen lassen sich auf Basis der Eigenmoden nur dann entwickeln,
wenn Informationen über das anregende Feld vorliegen. Typische Quellen
sind räumlich annähernd linear polarisiert9 , was bedeutet, dass sich die Richtung der Feldvektoren über einen Querschnitt senkrecht zur optischen Ausbreitungsrichtung kaum ändert. Zwei Fälle werden hier betrachtet: zum einen
der HE11 -Mode10 einer Single Mode Glasfaser (SMF) bei direkter Kopplung
des Filters mit einer Glasfaser und zum anderen der TEM00 -Mode11 bei indirekter Kopplung mit einem abbildenden System. In beiden Fällen ist eine
voll vektorielle Darstellung der Feldkomponenten notwendig, da die FEMAnalyse ebenfalls auf einer vollständig vektoriellen Darstellung beruht. Die
Glasfaser wird durch den Brechungsindex im Mantel n1 , den Brechungsindex
n2 im Kern und die entsprechenden Wellenzahlen k1,2 = 2πn1,2 /λ, sowie den
Kernradius a charakterisiert. Allerdings wird im den Datenblättern [5] der
Brechungsindex im Kern über die relative Brechzahldifferenz ∆ = n2 /n1 − 1
spezifiziert. Die vektorielle Darstellung des Grundmodes einer Glasfaser mit
schwacher Führung folgt aus der Herleitung in [58, Kap. 3.3]. In einem Querschnitt senkrecht zur optischen Achse erhält man damit die Komponenten
9
Das sind auch im Allgemeinen die Grundmoden der Wellenleiter.
Wird auch als LP01 bezeichnet.
11
Der TEM00 -Mode wird auch Gauss’scher Grundmode bezeichnet.
10
60
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
für den Grundmode:


Er (r, ϕ) = 
2β J1 (kk r)
β J0 (kk r)
ejϕ
2 r J (k a) + k J (k a)
k
1
k
k 1 k
1
K0 (km r)
K1 (km r)
+ kβm K
E0 k2β
ejϕ
2
1 (km a)
2 r K1 (km a)
E0


(kk r) jϕ
jE0 kβk JJ10(k
e
;r ≤ a
k a)
Eϕ (r, ϕ) =
K
(k
r)
β
0 m
 jE0
ejϕ ; r > a
km K1 (km a)
Ez (r, ϕ) =

 E0 J1 (kk r) ejϕ
J (k a)
1

k
K1 (km r) jϕ
E0 K
e
1 (km a)
;r ≤ a
;r > a
(3.41)
;r ≤ a
;r > a
Die transversalen Propagationskonstanten in Kern und Mantel, kk und km ,
ergeben sich aus der Forderung, dass die tangentialen Feldkomponenten an
der Kern-Mantel Grenze stetig sein müssen. Damit erhält man auch die Ausbreitungskonstante β. E0 ist ein beliebiger komplexer Wert. Die charakteristische Gleichung für kk bzw. km basiert auf den Besselfunktionen Jn (x) und
den modifizierten Besselfunktionen Kn (x) [66, Kap. 3.3.1] und ist daher nicht
analytisch lösbar:
K0 (km a)
J0 (kk a)
=
(3.42)
kk aJ1 (kk a)
km aK1 (km a)
2
mit kk2 + km
= k22 − k12 ≈ 2∆k12
(3.43)
Die Feldkomponenten einer typische SMF mit a = 4.1µm, ∆ = 0.0036 und
n1 = 1.468 sind für λ = 1550nm in Abb. 3.11 dargestellt. Bemerkenswert ist,
dass die Beträge der radialen Komponente Er und der azimuthalen Komponente Eϕ nicht identisch sind, was nach Kap. 3.4.1 zur Folge hat, dass das
Feld in einem transversalen Querschnitt nicht exakt linear polarisiert ist.
Die Entwicklung des TEM00 -Modes folgt aus dem Huygens’schen Integral
und stellt damit eine Art Eigenmode des freien Raums dar. Neben diesem
Grundmode existieren auch höhere Gauss-Laguerre Moden, die sich insbesondere in Kavitäten von Gas- und Festkörperlasern ausbilden, die keine eigene Indexführung aufweisen. Durch die fehlende Wellenführung gibt es keine
bevorzugte Polarisation, so dass in der Literatur immer eine skalare Feldverteilung für den Mode angegeben wird. Charakteristisch für den TEM00 -Mode
ist, dass alle Eigenschaften des Modes aus dem geringsten Strahlquerschnitt
(der Strahltaille) w0 , der Wellenlänge λ und dem Abstand von der Strahltaille z − z0 bestimmt werden können [58, Kap. 2.3.1]. Eine ausführliche
Herleitung mit Hilfe des Huygens’schen Integrals ist in [56, Kap. 16.3] dargestellt. In der Strahltaille selbst ist die Phasenfront des Gauss-Mode eben,
während sich weit davon entfernt sphärische Phasenfronten ergeben, deren
Radius proportional zum Abstand zur Strahltaille ist. Analog zu Gl. 3.38 ist
3.4. FEM-MODELLE
61
30
|Er|
|Eϕ|
25
|Ez|
|E| (a.u.)
20
15
10
5
0
0
core
2
cladding
4
6
8
10
Radius/µm
Abbildung 3.11: Beträge der Feldkomponenten einer typischen SMF mit a =
4.1µm, ∆ = 0.0036 und n1 = 1.468 als Funktion des Radius r bei λ =
1550nm.
die vektorielle Darstellung des Felds in der Strahltaille:
2
Er (r, ϕ) = E0 e−(r/w0 ) ejϕ
2
Eϕ (r, ϕ) = jE0 e−(r/w0 ) ejϕ
Ez
= 0.
(3.44)
Ez = 0 ergibt sich für die ebene Phasenfront in der Strahltaille. Bei gekrümmten Phasenfronten ist Ez nicht identisch mit 0, aber in Achsennähe betragsmäßig sehr klein gegenüber Er oder Eϕ . Da die Darstellung des TEM00 Mode auf skalaren Feldern basiert, wäre für eine exakte Bestimmung von
Ez eine vektorielle Lösung der Wellengleichung nötig. Die Beschreibung des
TEM00 -Mode mit einem skalaren Feld in paraxialer Näherung ist jedoch in
der Regel ausreichend.
3.4.4
Eigenmoden und Transferfunktion
Die Transferfunktionen eines linearen, zeitinvarianten Systems kann allgemein als gebrochen rationale Funktion dargestellt werden, die bis auf einen
Proportionalitätsfaktor durch ihre Pole und Nullstellen bestimmt wird [63,
Kap. 5.2]. Die Eigenmoden stellen hingegen die Eigenwerte dieses Systems
dar, so dass sich natürlich die Frage stellt, in wie weit sich die Transferfunktionen eines optischen Filters durch die Eigenmoden bestimmen lassen.
Wie schon in Kap. 3.3.3 erläutert sind die Eigenwerte kνµ mit den Polen
der Transferfunktion identisch, wobei allerdings zu beachten ist, dass für die
62
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
auf die Leistung bezogenen Transferfunktionen jeweils auch der konjugiert
komplexe Wert kµ∗ einen Pol darstellt, da T = tt∗ gilt. Da die Eigenmoden
ein vollständig orthogonales System bilden, ist die Kreuzleistung von zwei
Eigenmoden identisch mit 0, d.h. jeder Eigenmode überträgt die in ihn eingekoppelte Energie unabhängig von den anderen Moden. Daher lässt sich
einerseits für jeden Eigenmode unabhängig von den anderen eine Transferfunktion ermitteln. Andererseits erhält man die Transferfunktion des Filters
damit unter Berücksichtigung der Transferfunktionen von allen relevanten
Eigenmoden und deren Anregung durch die Quelle. Die Verfahren zur Berechnung der Stimulation durch eine externe Quelle und der Ermittlung der
Transferfunktion eines Eigenmode und die werden im Folgenden beschrieben.
Externe Anregung
Zur Ermittlung der Kopplung einer externen Quelle mit einem bestimmten
Eigenmode kommt ein Methode zum Einsatz, die eigentlich zur Bestimmung
der Kopplungskoeffizienten von Wellenleitern mit verschiedenen Querschnitten dient12 . Diese werden mit einem Kopplungsintegral (oder auch Überlappintegral) in einem Wellenleiterquerschnitt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung bestimmt, wobei Modenorthogonalität in diesem Querschnitt vorausgesetzt wird. Die verallgemeinerte Darstellung der Kreuzleistung nach [52, Kap.
4.4] ist
s
Pνµ
=
Z
Eνµ × Hs∗ + Es∗ × Hνµ dA
(3.45)
A
wobei Es und Hs das elektrische und magnetische Feld der Quelle und Eνµ
und Hνµ das des Eigenmode mit dem Index νµ darstellt und A der betrachtete Querschnitt ist. Da nur ein Querschnitt senkrecht zur z-Achse betrachtet
wird, ist auch nur die z-Komponente von E × H von Bedeutung. Die Darstellung des Integrals in Zylinderkoordinaten wird damit
s
Pνµ
=
Z r0Z
0
0
2π
Erνµ Hϕs∗ − Eϕνµ Hrs∗ + Ers∗ Hϕνµ − Eϕs∗ Hrνµ dϕ rdr
(3.46)
Dabei gilt unter Berücksichtigung der azimuthalen Expansion 3.36 Eνµ =
Eνµ (r, z) exp(jνϕ). Da die Wellengleichung 3.35 nur für das elektrische Feld
gelöst wird, wird unter Anwendung des Induktionsgesetzes H = j/(ωµ0 )∇ ×
E das magnetische Feld ersetzt. Die Darstellung des Operators ∇× erfolgt
dabei in Zylinderkoordinaten (siehe 3.37) unter Berücksichtigung der azi12
Eine Anwendung ist die Kopplung von einem kantenemittierenden Laser und einer
Glasfaser
3.4. FEM-MODELLE
63
muthalen Expansion in Gl. 3.36. Damit erhält man für das magnetische Feld
j jνϕ jνEzνµ (r, z) ∂Eϕνµ (r, z)
=
e
−
und
kZ0
r
∂z
!
j jνϕ ∂Erνµ (r, z) ∂Ezνµ (r, z)
e
−
.
=
kZ0
∂z
∂r
!
Hrνµ
Hϕνµ
(3.47)
Die Darstellung des H-Felds der Quelle erfolgt analog zu Gl. 3.47 auch
in Zylinderkoordinaten mit dem azimuthalen Expansionsindex νs für das
elektrische sowie das magnetische Feld. Zusätzlich werden das laterale elektrische Feld EL = (Er , Eφ , 0) und der laterale Differentialoperator ∇L =
(∂/∂r, jν/r, 0) eingeführt. Damit wird die Kreuzleistung
νµ
R s∗ ∂EL
2πj Rr0 2π
EL
− ∇L Ezνµ ej(ν−νs )ϕ
=
kZ0 0 0
∂z
!
s
Pνµ
−
Eνµ
L
∂EsL
− ∇L Ezs
∂z
!∗
ej(νs −ν)ϕ dϕ rdr
(3.48)
Das Integral über den Winkel dϕ kann dabei zwei Werte annehmen. Wenn ν
identisch mit νs ist, dann ist der Wert des Integrals 2π und anderenfalls 0.
Daraus folgt, dass bei gegebenem Quellenfeld nur solche Moden des Filters
angeregt werden können, die denselben azimuthalen Modenindex ν haben.
In Bezug auf die in Kap. 3.4.3 dargestellten Quellenfelder bedeutet dies,
dass ebenfalls nur Moden mit ν = 1 angeregt werden, die zumindest in
der azimuthalen Expansion linear polarisiert sind. Es ist also möglich, die
Berechnung der Eigenmoden der Filter auf den Wert ν = 1 zu beschränken.
Als Ergebnis für die Kreuzleistung ergibt sich
s ν=νs2πj
Pνµ
=
kZ0
Zr0
0
∂Eνµ
∂EsL
L
− ∇L Ezνµ − Eνµ
− ∇L Ezs
L
∂z
∂z
!
Es∗
L
s ν6=νs
Pνµ
=0
!∗
rdr
(3.49)
s
Der auf das Feld bezogene Wert Pνµ
ist im Allgemeinen komplex und
zudem noch nicht auf den Energiefluss durch den gewählten Querschnitt A
normiert. Demnach sind die leistungsbezogenen Kopplungskoeffizienten κνµ
das Verhältnis des Betragsquadrats von der Kreuzleistung zu dem Energiefluss des Eigenmode Pνµ und der Quelle Ps
κνµ =
s 2
Pνµ Ps Pνµ
(3.50)
64
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
Abbildung 3.12: Fundamentaler Mode eines Filters (HE11). Dargestellt ist
die Energiedichte des elektrischen Felds im logarithmischen Maßstab.
Der Energiefluss lässt sich ebenfalls mit Hilfe von Gl. 3.45 berechnen, wenn
Eνµ = Es gesetzt wird13 . Gl. 3.49 lässt sich dann zu
(
!∗ )
∂EL
4π Z r0
Im EL
− ∇L Ez
rdr.
P =
kZ0 0
∂z
(3.51)
vereinfachen.
Die Berechnung der Kopplungseffizienz impliziert, dass die Eigenmoden
in der Kopplungsebene orthogonal sind, was bedeutet, dass die Kreuzleistung
zweier beliebiger Moden nach Gl. 3.49 den Wert 0 hat. Dies kann aber nicht
allgemein angenommen werden, da die Orthogonalität der Eigenmoden sich
auf die gesamte r−z-Ebene bezieht, und somit eine räumliche Orthogonalität
darstellt14 . Tatsächlich lässt sich feststellen, dass die Orthogonalität der Eigenmoden in der Kopplungsebene mehr oder weniger gut ist, aber es nie zwei
vollständig orthogonale Moden gibt. Um zu beurteilen in wie weit dies das
Ergebnis verfälscht, sind neben den physikalisch nicht sinnvollen Lösungen
noch solche Lösungen zu unterscheiden, die vorwiegend Energie in vertikaler Richtung15 abstrahlen (siehe Abb. 3.12), und damit vertikal orientierte
13
Daraus resultiert das Integral des Poyntingvektors S = 2Re{E × H} über eine Fläche
über eine Fläche A.
14
Eigentlich sind die Eigenmoden räumlich auch nur quasi-orthogonal. Die Ursache
hierfür sind die künstliche Begrenzung des Simulationsraums durch die PML und die
Verluste [65, Kap. 3.4.2].
15
In Richtung der optischen Achse (z-Achse).
3.4. FEM-MODELLE
65
Abbildung 3.13: Ein lateral orientierter Mode eines Filters. Dargestellt ist
die Energiedichte des elektrischen Felds im logarithmischen Maßstab. Anhand der Energiedichte ist zu erkennen, dass die Abstrahlung vorwiegend in
radialer Richtung erfolgt.
Moden darstellen, und solche, die hauptsächlich lateral Energie abgeben16
(siehe Abb. 3.13). Da sich das Feld der Quelle in Richtung der optischen
Achse ausbreitet, und auch die Extraktion vertikal stattfindet, werden die
lateral orientierten Moden nicht effektiv angeregt. Der Vergleich der norνm 2
mierten Kreuzleistung ψµm = |Pνµ
| /(Pνm Pνµ ) mit den Kopplungskoeffizienten in Tab. 3.1 zeigt daher auch, dass mit steigender Kopplungseffizienz die
Kreuzleistung ab und damit die Orthogonalität zunimmt. Für das spezielle
Filter in Tab. 3.1 beträgt das Maximum der normierten Kreuzleistung, und
damit der relative Fehler, etwa 5 Prozent. Der absolute Fehler ist allerdings
noch geringer, da die betroffenen Moden nur eine geringe Kopplung mit der
SMF aufweisen.
Transferfunktionen
Um mit der Kopplung die Transferfunktion des Filters zu bestimmen müssen
zunächst die Transferfunktionen der einzelnen Moden ermittelt werden. Die
wichtigste Information sind hier die Eigenwerte selbst, die die Pole der Transferfunktion darstellen. Die Transferfunktion eines Eigenmode hat demzufolge einen Pol, der vom Eigenwert bestimmt wird. Allerdings genügt diese
Information noch nicht vollständig, da der Absolutwert der Transmission
16
In radialer Richtung.
66
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
µ
κµ
HE11
EH11
HE12
EH12
HE13
HE11
EH11
HE12
EH12
HE13
0.440
0.156
0.048
0.076
0.018
1
0.00006
0.00233
0.00114
0.00303
0.00006
1
0.00549
0.00363
0.01351
0.00233
0.00549
1
0.00810
0.05132
0.00114
0.00363
0.00810
1
0.01940
0.00303
0.01351
0.05132
0.01940
1
Tabelle 3.1: Vergleich der normierten Kreuzleistung und der Kopplungskoeffizienten für ein Filter mit λ/2-Kavität und 20µm Durchmesser. Geometrische
Details sind in Kap. 5.1 zusammengefasst; die ersten 5 Moden sind in Abb.
5.6 dargestellt. Die Kooplungskoeffizienten gelten für eine SMF.
des Filters auch entscheidend von den Beugungsverlusten (siehe Abb. 3.14)
und der Absorption des verwendeten Materials abhängt. Daher wird für eine vollständige Darstellung der Transferfunktion das Modell einer einfachen
Fabry-Pérot Kavität herangezogen, deren Parameter aus dem Eigenmode extrahiert werden, was im folgenden Abschnitt erläutert wird. Nach [55, Kap.
3.3.3] ist die Transmission eines Fabry-Pérot Filters bezogen auf die Feldamplitude
t1 t2 gcav
(3.52)
t=
2
1 − r1 r2 gcav
und analog die Reflexion
r=
2
t21 r2 gcav
− r1 .
2
1 − r1 r2 gcav
(3.53)
Die Transferfunktionen hängen von der Transferfunktion der Kavität gcav sowie den Reflexions- und Transmissionskoeffizienten der Spiegel r1,2 bzw. t1,2
ab17 . Da insbesondere die auf die Leistung bezogenen Übertragungsfunktionen T = |t|2 und R = |r|2 von Interesse sind, werden die Gleichungen 3.52
und 3.53 durch die Beschränkung auf skalare Reflexions- und Transmissionskoeffizienten vereinfacht, so dass r12 +t21 = 1 und r22 +t22 = 1 gilt. Ein eventuell
vorhandener statischer Phasenfaktor von r1 und r2 , der sich im Nenner von
Gl. 3.52 und Gl. 3.53 auswirkt, wird einfach der Kavitätstransferfunktion gcav
zugeordnet. Für die Betrachtung ist es günstig eine lineare Phase vorauszusetzen, so dass φ = (∂φ/∂k)k gilt, wobei k die Wellenzahl ist und ∂φ/∂k
konstant. Die geringe Änderung der Phase hat wenig Auswirkung auf die
Transferfunktion zumal vorausgesetzt wird, dass die Linienbreite (FWHM)
17
Der Index 1 steht für den oberen, also den quellenseitigen Spiegel, und Index 2 für
den unteren Spiegel.
3.4. FEM-MODELLE
67
deutlich kleiner als die Filterwellenlänge ist. Betrachtet man nun einen Umlauf der Welle in der Kavität mit der Länge L, dann gilt
gcav = e−jβL ejϕ = e−j(nL+∂φ/∂k)k .
(3.54)
Der Realteil des Faktors nL + ∂φ/∂k ist das Resonanzkriterium, während
der Imaginärteil ein Maß für die Verluste der Kavität ist. Betrachtet man
2
die Phase von gcav
, so ist diese eine periodische Funktion von k, wobei die
Periode in Einheiten der Wellenzahl kc = π/(L + ∂φ/∂k) ist. Es gilt also
2
2
(k + kc )). Damit lässt sich die Transferfunktion der
(k)) = arg(gcav
arg(gcav
Kavität als
!!
jmπ k
j
gcav = exp
− kc +
(3.55)
kc
m
2τml c
darstellen, wobei hier vorausgesetzt wird, dass sich ähnlich wie bei der Phase
die Verluste in der unmittelbaren Umgebung der Filterfunktion nur unwesentlich ändern. Der Wert m entspricht dem longitudinalen Modenindex, so dass
für eine λ/2-Kavität m = 1 gilt. Die Zeitkonstante τml wurde hier zunächst
phänomenologisch eingeführt und beschreibt wie in Abb. 3.14 dargestellt die
Beugungs- und Materialverluste. Betrachtet man einen Umlauf einer Welle
in der Kavität, so ist diese während der Umlaufzeit τc = 2mπ/(kc c) einem
Verlustfaktor von r1 r2 durch die Spiegel unterworfen. Damit lassen sich die
Reflexionskoeffizienten r1,2 durch die Spiegelzeitkonstanten τ1,2 darstellen, für
die
!
!
πn
τc
= exp −
(3.56)
r1,2 = exp −
2τ1,2
kc cτ1,2
gilt. Die Zeitkonstanten τ1 , τ2 und τm l umfassen sämtliche Verluste der Kavität, so dass damit die Photonenlebensdauer
1
1
1
1
=
+ +
τph
τ1 τ2 τml
(3.57)
definiert werden kann. Diese Beziehung wird zusammen mit der Gl. 3.55 und
Gl. 3.56 in die Transferfunktionen Gl. 3.52 und Gl. 3.53 eingesetzt, wodurch
sich eine Darstellung dieser Funktionen in Abhängigkeit von den Zeitkonstanten ergibt, so dass für die auf die Leistung bezogenen Transferfunktionen
T = |t|2 =
2 sinh (π/ (kc cτ1 )) sinh (π/ (kc cτ2 ))
und
cosh (π/ (kc cτph )) − cos (2π (k/kc − m))
R = |r|2 = 1 −
2 sinh (π/ (kc cτ1 )) sinh (π/kc c (1/τph − 1/τ1 ))
cosh (π/ (kc cτph )) − cos (2π (k − mkc ) /kc )
(3.58)
(3.59)
68
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
gilt. Diese Darstellung der Transferfunktionen ist zwar möglich, aber unpraktisch, da es keine gebrochenen rationalen Funktionen sind. Diese erhält man,
wenn die transzendenten Funktionen cos, sinh und cosh durch die ersten
Glieder ihrer Taylorreihe ersetzt werden, was möglich ist, da die Argumente
in der der Umgebung der Filterlinie hinreichend klein sind. Die gebrochene
rationale Darstellung der Transferfunktionen für einen Eigenmode ist
T =
R=1−
2
4τph
1
und
τ1 τ2 1 + (2τph c (k − mkc ))2
(3.60)
4τph (τ1 − τph )
1
.
2
τ1
1 + (2τph c (k − mkc ))2
(3.61)
Da der Eigenwert dem Pol dieser Funktionen entspricht, ergibt sich über den
Koeffizientenvergleich sofort, dass
νµ
= (2c Im{kνµ })−1
mkc = k0νµ = Re{kνµ } und τph
(3.62)
ist. Zur Bestimmung der Spiegelzeitkonstanten τ1 und τ2 ist die Auswertung
des Eigenmode notwendig. Betrachtet man einen isolierten Verlustmechanismus, so verringert sich die Energie W0 die zum Zeitpunkt t = 0 in der Kavität
gespeichert ist nach dem Zerfallsgesetz ∂W/∂t = W/τ , wobei τ die entsprechende Zerfallskonstante ist. Die Ableitung ∂W/∂t entspricht der Leistung
P , die zu einem bestimmten Zeitpunkt t abgegeben wird. Damit lässt sich
die Zerfallskonstante τ bestimmen: es gilt τ = W/P . Bezogen auf die Eigenmoden bedeutet dies, dass sich die Spiegelzeitkonstanten τ1,2 aus dem dem
Verhältnis der in der Kavität gespeicherten Energie zu der Leistung, die nach
oben, bzw. nach unten abgestrahlt wird, ermitteln lassen. Sinnvollerweise ist
dies jeweils die Leistung, die durch die Grenze zu der oberen PML (PT P M L )
bzw. der unteren PML (PBP M L ) hindurch tritt. Diese lässt sich numerisch
mit Gl. 3.51 ermitteln, und man erhält für die Zeitkonstanten
τ1νµ =
W
PTνµP M L
und τ2νµ =
W
.
νµ
PBP
ML
(3.63)
Mit den Kopplungskoeffizienten κνµ aus Gl. 3.50 lassen sich so die Transferfunktionen des Filters darstellen:
T =
X
νµ
νµ 2
4τph
1
κνµ νµ νµ
und
νµ
τ1 τ2 1 − 2cτ (k − k νµ ) 2
R=1−
X
νµ
κνµ
νµ
νµ
4τph
τ1νµ − τph
τ1νµ 2
1
1−
(3.64)
0
ph
νµ
2cτph
2 .
(k − k0νµ )
(3.65)
3.4. FEM-MODELLE
69
Top mirror loss: τ1
Diffraction and
intrinsic loss: τml
Bottom mirror loss: τ2
Abbildung 3.14: Verluste einer Fabry-Pérot Kavität. Die Verluste des oberen
und unteren Spiegels werden durch die Zeitkonstanten τ1 bzw. τ2 beschrieben.
Die Zeitkonstante τml stellt die Material- und Beugungsverluste dar.
Für linear polarisierte Quellen gilt bei zentrischer Anregung, dass alle Kopplungskoeffizienten mit ν 6= 1 gleich 0 sind. Beide Gleichungen lassen sich
durch Umformen in eine gebrochene rationale Funktion, d.h. in den Quotienten aus zwei Polynomen, umwandeln. Die Pole sind bekannt, die Nullstellen
der Funktion werden numerisch ermittelt.
Implementierung
Die Ermittlung der Transferfunktion erfolgt in zwei Schritten: zunächst werden die Eigenmoden bestimmt und selektiert, danach werden aus den Eigenmoden und den zugehörigen Eigenwerten die Transferfunktionen ermittelt.
Die Eigenmoden werden mit einer finiten Elemente Methode bestimmt, was
ebenfalls zwei Schritte erfordert: die Erzeugung eines FEM-Gitters mit einem
Meshgenerator, und einen Modesolver, der für das spezielle Randwertproblem
auf Basis des Gitters die homogenen Lösungen der Wellengleichung ermittelt.
Dafür wurde zum einen aus dem kommerziellen Softwarepaket ISE Technology CAD [69] der Meshgenerator und Geometrieeditor mdraw und der Modesolver lumi verwendet. Der Modesolver lumi basiert auf einem iterativen
Algorithmus zur Lösung des Eigenwertproblems [65, Kap. 4.5]. Zunächst wird
für einen vorgegebenen Eigenwert (Target) ein Preconditioner bestimmt, der
dann als Startwert für die iterative Lösung des Gleichungssystems dient.
Diese Methode wurde deswegen gewählt, weil sie im Gegensatz zu direkten
Verfahren (LU-Dekomposition) weniger Speicherplatz benötigt. Des weiteren wurde das FEM-Paket “FEMLAB” [71] verwendet, das Geometrieeditor,
70
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
ez(gxv1)>0
v1
g
v2
y
z
x
ez(gxv2)<0
Abbildung 3.15: Verfahren zur Projektion der Gitterpunkte auf eine Schnittgerade. Die Beurteilung, ob eine bestimmte Gitterlinie die Gerade schneidet
erfolgt anhand der Ortsvektoren der Endpunkte zu einem beliebigen Punkt
auf der Geraden.
Mesh-Generator, Solver und Auswertung unter einer graphischen Oberfläche
integriert. Grundsätzlich stehen hier mehrere Solver zur Auswahl, iterative
und direkte, wobei bisher die direkten Solver die besten Ergebnisse geliefert
haben.
Für die vorgegebene Filtergeometrie und -wellenlänge liefert der Modesolver ca. 10-20 unterschiedliche Eigenmoden in einem Wellenlängenbereich von
etwa 40nm, von denen alledings der größte Teil lateral orientiert ist. Diese
werden manuell anhand der Energieverteilung des elektrischen Felds (siehe
Abb. 3.12 und 3.13) selektiert, so dass nur noch mutmaßlich vertikal orientierte übrigbleiben. Eine automatisierte Selektion anhand der Kopplungskoeffizienten, Kreuzleistung und lateralen Verluste ist zwar möglich, nur bleibt
das Verfahren ebenso wie die manuelle Selektion heuristisch, da es kein eindeutiges mathematisches Kriterium gibt um laterale von vertikalen Moden
zu unterscheiden. Der Übergang ist hier eher unscharf.
Die Nachbearbeitung der selektierten Eigenmoden lässt sich im Grunde
genommen auf die Evaluierung des Kreuzleistungsintegrals 3.49 zurückführen. Das Leitungsintegral 3.51 stellt nur eine Spezialform des letzteren dar.
Dazu müssen die Vektorkomponenten des elektrischen Felds und deren Ableitung in axialer und radialer Richtung bekannt sein. Zur Verfügung stehen die
geometrischen Daten, die der Mesh-Generator erzeugt hat, sowie die komponentenweise Darstellung des elektrischen Felds des Eigenmode an den Gitterpunkten und der Eigenwert, die von dem Modesolver generiert worden sind.
Diese Daten werden von einem eigens dafür entwickelten Postprozessor (zero:
siehe auch Anhang C) zur Darstellung der Transferfunktionen ausgewertet.
Da die Integrale auf einer definierten Ebene18 zu evaluieren sind, und
18
Die Ebene senkrecht zur optischen Achse, die z.B. die obere PML ausmacht, ist im
BOR Modell mathematisch gesehen eine Gerade.
3.4. FEM-MODELLE
Raster definieren
71
Gitterprojektion
Axiale Spline-Interpol.
Num. Integration
Radiale Spline-Interpol.
z
ϕ
r
T
k
Eval. Transferfunktionen
Abbildung 3.16: Schematische Darstellung der Schritte zur Auswertung der
Eigenmoden um die Transferfunktionen zu evaluieren.
nicht vorausgesetzt werden kann, dass die Gitterpunkte immer exakt auf dieser Ebene liegen, ist es zunächst notwendig, die Gitterpunkte auf diese Ebene
zu projizieren und die Feldkomponenten für diese projizierten Punkte zu interpolieren. Dazu werden zunächst diejenigen Gitterlinien ermittelt, die die
Gerade schneiden, oder deren Endpunkte auf der Gerade liegen. Ausgehendend von einem beliebigen Punkt auf der Geraden werden die Ortsvektoren
der Endpunkte der Linie ermittelt. Haben wie in Abb. 3.15 dargestellt die
Vektorprodukte der Ortsvektoren mit dem Geradenvektor ein unterschiedliches Vorzeichen, dann schneidet die Linie die Gerade. Ist mindestens ein
Wert gleich 0, dann liegt mindestens ein Endpunkt auf der Geraden. Der
Schnittpunkt ist dann auch der Projektionspunkt für die Feldkomponenten,
die ausgehend von den beiden Endpunkten linear interpoliert werden. Die
Gitterweite ist mit λ/16 so klein, dass durch die lineare Interpolation kein
großer Fehler zu erwarten ist.
Die Evaluierung der Ableitung stellt insofern ein Problem dar, dass eine
Ableitung, die auf der linearen Interpolation basiert, an den Gitterpunkten
unstetig ist, was insbesondere in der Nähe der Achse zu Artefakten führt.
Daher werden die Feldkomponenten durch kubische Splines [49, Kap. 3.3]
interpoliert, wodurch die Ableitung in den Gitterpunkten stetig wird. Ein
weiterer Punkt, der für die Verwendung von Splines spricht, ist die freie
Festlegung des Werts der Ableitung an den Rändern. Dies ist vor allem für
die radiale Ableitung von Bedeutung, deren Wert auf der Achse für die radiale
und die azimuthale Feldkomponente 0 beträgt.
Um die Ableitung sowohl in radialer als auch axialer Richtung zu be-
72
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
stimmen wird eine bikubische Splineinterpolation verwendet, die eigentlich
eine Verschachtelung von zwei Splineinterpolationen in axialer und radialer Richtung darstellt [49, Kap. 3.6]. Es wird ein Raster für die Integration
definiert, dessen Punkte in der Schnittebene19 wie in Abb. 3.16 radial äquidistant sind, und danach durch die so festgelegten Radien jeweils ein Schnitt
in axialer Richtung durch das Gitter gelegt (siehe Abb. 3.16) und eine Splineinterpolation durchgeführt. An den Rasterpunkten wird dann der Wert der
Feldkomponenten und deren Ableitung ∂/∂z in ermittelt. In einem zweiten Schritt wird dann eine Splineinterpolation der Feldkomponenten an den
Rasterpunkten durchgeführt, wodurch sich dann die radiale Ableitung ∂/∂r
ergibt. Mit den Werten der Feldkomponenten an den Rasterpunkten, sowie
deren Ableitung erfolgt dann die Evaluierung der Integrale 3.49 und 3.51
numerisch nach der Trapezmethode. Da der Modesolver die in der Kavität
gespeicherte Energie berechnet, ist es damit möglich die Parameter κνµ , τ1νµ
und τ2νµ zu bestimmen. Die Transferfunktionen nach Gl. 3.64 und Gl. 3.65
können damit direkt evaluiert werden.
Zur Ermittlung der Nullstellen müssen die Transferfunktionen in die gebrochene rationale Darstellung überführt werden, was durch die Erweiterung
der einzelnen Terme der Summe möglich ist. Die Nullstellen des Nennerpolynoms sind dann schon bekannt, während die Nullstellen des Zählerpolynoms numerisch ermittelt werden müssen. Dafür wird eine leicht modifizierte Laguerre-Methode [49, Kap. 9.5] verwendet, die einerseits berücksichtigt,
dass sowohl die Pole, als auch die Nullstellen immer als konjugiert komplexe Paare auftreten, und zum anderen die numerische Probleme, die durch
das teilweise extreme Verhältnis von Real- zu Imaginärteil einer Nullstelle
auftreten, durch eine geeignete Variablentransformation umgeht.
3.4.5
Vergleich zu stationärer harmonischer Analyse
Die stationäre harmonische Simulation wurde vor allen Dingen durchgeführt,
um einen Vergleich für die auf den Eigenmoden basierende Methode zur Ermittlung der Transferfunktionen zu haben. Nicht zuletzt sind für letztere
einige Näherungen notwendig, wie der Übergang von räumlicher Orthogonalität zur Orthogonalität in einem Querschnitt, und die Näherung der Transferfunktionen durch ein Fabry-Pérot-Modell. Für den Vergleich wurden beide
Modelle mit FEMLAB implementiert und für dieselbe Geometrie berechnet.
Im Fall der stationären harmonischen Simulation besteht das Problem, die
Quelle zu platzieren. Physikalisch einwandfrei wäre eine nicht reflektierende
Randbedingung (siehe Kap. 3.4.2), die durch einen zusätzlichen Quellenterm
19
d.h. für einen festen axialen Wert z = z0
3.4. FEM-MODELLE
73
Abbildung 3.17: Anordung der Quelle (rot) für die stationäre harmonische
Simulation und die entsprechende Feldverteilung. Die schwarz schraffierten
Bereiche zeigen die Anordnung der PML. Dargestellt ist die stationäre harmonische Lösung für λ = 1612nm.
ergänzt wird. Diese Randbedingung lässt sich einerseits aber nicht mit einer
PML kombinieren (das externe Quellenfeld wird absorbiert), andererseits ist
die Wirkungsweise der nicht reflektierenden Randbedingung nicht so gut wie
die einer PML, so dass diese Möglichkeit entfällt. Daher wird wie in Abb.
3.17 schematisch dargestellt eine verteilte Quelle an der Grenzen der oberen
PML definiert, die durch gezielte Modifizierung der Grenzbedingungen ein
sich in axialer Richtung ausbreitendes Feld einer SMF darstellt. Mit Hilfe
dieser Quelle lässt sich die Transmission des Filters simulieren, aber es ist
keine Simulation der Reflexion möglich, da aufgrund der Platzierung und Definition der Quelle, die Darstellung des Felds im der PML physikalisch nicht
sinnvoll ist20 .
Auf dieser Basis wurde die Transferfunktion ermittelt, wobei die transmittierte Leistung mit dem Leistungsintegral Gl. 3.51 an der Grenze zu der
unteren PML bestimmt wurde. Die Modellgeometrie ist im Detail in Kap.
5.1 beschrieben. Für die stationäre harmonische Analyse ist die Wellenlänge
eine unabhängige Variable und gleichzeitig der Laufparameter, wobei der
20
Das bedeutet nicht, dass die PML für die von der Kavität reflektierte Welle wirkungslos
geworden ist, sondern, dass die Quelle auch einen nichtphysikalischen Feldanteil in der
PML additiv beisteuert, der allerdings ebenfalls absorbiert wird.
74
KAPITEL 3. OPTISCHE SIMULATION DER FILTER
0.5
Result of eigemode analysis
Result of FDSH analysis
Transmission
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1590
1595
1600
1605
Wavelength/nm
1610
1615
Abbildung 3.18: Vergleich des Ergebnisses der stationären harmonischen Simulation mit dem Resultat der Eigenmodenmethode.
Wellenlängenbereich und die Diskretisierung spezifiziert werden müssen. Für
die in Abb. 3.18 dargestellte Simulation wurde auf der Auswertung der Eigenmoden basierend der Wellenlängenbereich von 1590nm bis 1615nm bei einer
Diskretisierung von 0.1nm gewählt, und die Wellengleichung für jeden dieser Werte gelöst. Die Wahl der Diskretisierung ist gewöhnlich ein kritischer
Punkt, da bei zu feinen Wellenlängenabständen unötige Rechenzeit anfällt,
bei zu grober Diskretisierung aber die Gefahr besteht, dass die Filterlinien
nicht mehr aufgelöst werden.
Zum Vergleich wurden auf derselben Geometrie und demselben Gitter
basierend die Eigenmoden bestimmt und die Transferfunktion ermittelt, die
ebenfalls in Abb. 3.18 dargestellt ist. Bei insgesamt guter Übereinstimmung
ist zu erkennen, dass offensichtlich die Kopplungskoeffizienten mit der auf den
Eigenmoden basierenden Methode etwas größer ausfallen, was sich durch die
Näherung in Bezug auf die Orthogonaltät der Moden in einer Schnittfläche
erklären lässt. Ein wesentlicher Vorteil der Eigenmodenmethode ist, dass es
keine Unsicherheit bei der Diskretisierung der Wellenlänge gibt, und dass
mit relativ wenigen Solverschritten21 im Vergleich zu der stationären harmonischen Methode ein relativ genaues Ergebnis erzielt werden kann. Während
die Rechenzeit22 für dieses Problem mit der auf den Eigenmoden basierenden
Methode 396 Sekunden beträgt, dauert die stationäre harmonische Analyse
167 Minuten, womit erstere um den Faktor 25 schneller ist. Nicht zuletzt
21
22
3.1.
In etwa Anzahl der Eigenmoden in dem gewählten Wellenlängenbereich
Auf einem Apple Power Macintosh G5 Dual 2 GHz mit 3,5 GB RAM und FEMLAB
3.4. FEM-MODELLE
75
ergibt sich mit Hilfe der Eigenmodenmethode eine analytische Darstellung
der Transferfunktion, was insbesondere für die Systemsimulation von Vorteil
ist.
Kapitel 4
Filterentwurf
77
78
KAPITEL 4. FILTERENTWURF
Dieses Kapitel gibt einen Überblick über die systemtechnischen Anforderungen und Aspekte beim Entwurf durchstimmbarer Filter, welche sowohl für
den Einsatz der Filter in optischen Übertragungssystemen, als auch für die
Anwendung als Mikrospektrometer wichtig sind. Die mechanischen Eigenschaften der Filter bei elektrostatischer und thermischer Aktuation werden
in Kap. 4.1 diskutiert sowie der zu erwartenden Abstimmbereichs und die
Geschwindigkeit abgeschätzt. In den Abschitten 4.2 bzw. 4.3 werden eine
mögliche Systemkonfigurationen für ein optisches Übertragungssystem und
ein optisches Mikrospektrometer erläutert und die sich daraus ergebenden
Anforderungen an die Filter dargelegt. In Kapitel 4.4 wird dann mit Hilfe des
Transfermatrixmodells erklärt, wie diese Eigenschaften durch den vertikalen
Aufbau der Filter auf Basis von dielektrischen Materialien und HalbleiterLuft-Spiegeln gezielt beeinflusst werden können.
4.1
Mechanische Eigenschaften
4.1.1
Elektromechanische Aktuation
Das Grundprinzip der elektromechanischen Aktuation ist die anziehende
elektrostatische Kraft, die zwischen zwei Ladungen mit unterschiedlichem
Vorzeichen wirkt. In durchstimmbaren Filtern mit Luftkavität lässt sich dies
ausnutzen, indem eine Potentialdifferenz zwischen den beiden an die Kavität
angrenzenden Membranen oder Spiegeln durch Anlegen einer Spannung erzeugt wird. Dies setzt natürlich voraus, dass zumindest Teile der Membranen
oder Spiegel aus elektrisch leitfähigem Material bestehen. Zum einen kann
dies ein dotierter Halbleiter oder ein Material wie Indium-Zinn-Oxid (ITO)
sein, die zwar bei niederen Frequenzen elektrisch leitfähig aber im gewählten optischen Frequenzbereich hinreichend transparent ist [15, 27, 28]. Zum
anderen können insbesondere an dielektrischen Membranen Metallkontakte
angebracht werden, was zwar ingesamt einen höheren technologischen Aufwand nach sich zieht, aber mittlerweile auch erfolgreich praktiziert worden
ist [16, 17].
Die hier behandelten Filter mit InP-Luft Spiegel haben einen n-dotierten
oberen und einen p-dotierten unteren Spiegel, während das Halbleitermaterial, das die Länge der Kavität definiert, undotiert ist. Durch das Anlegen einer
Sperrspannung an die resultierende pin-Diode lässt sich dann das elektrische
Feld zur Aktuation der Membranen erzeugen. Da sämtliche Membranen des
oberen bzw. des unteren Spiegels jeweils dasselbe elektrische Potential haben, werden wegen der resultierenden Abschirmung der äußeren Membranen
nur die unmittelbar an die Kavität angrenzenden Membranen aktuiert, was
4.1. MECHANISCHE EIGENSCHAFTEN
79
k, M, d
k/2
M/2
d/2
Abbildung 4.1: Einfaches Modell für die elektrostatische Aktuation mit einer
beweglichen Kondensatorplatte. Da in dem realen Modell beide Membranen
ausgelenkt werden, müssen die Parameter im Modell skaliert werden.
natürlich die optische Abstimmeffizienz beeinflusst (siehe auch Kap. 4.4.1).
Wie in Abb. 4.1 dargestellt ist das einfachste Modell der elektromechanischen Abstimmung ein Plattenkondensator auf dessen Platten die Rückstellkraft einer Feder mit der Federkonstante k durch die Aufhängungen und
zusätzlich eine Dämpfung d, die durch das nicht ideal elastische Verhalten
der Membranen und das umgebende Medium (Luft) hervorgerufen wird, einwirken. Für dieses Modell lässt sich eine Kraftgleichung aufstellen, die sich
für den rein statischen Fall, wenn die Membranmasse M und die Dämpfung
d vernachlässigt werden, auch analytisch lösen lässt:
ε0 AU 2
∂x
∂2x
1
−
kx
−
d
−
M
=0
2(x − lcav )2
∂t
∂t2
(4.1)
Damit erhält man für die Spannung U , die notwendig ist um die Membran
um die Wegstrecke x auszulenken [79]:
s
U=
2kx
(lcav − x)
ε0 A
(4.2)
Die Membranauslenkung x entzieht sich messtechnisch dem direkten Zugriff,
weswegen eine Darstellung mit der Wellenlängenabstimmung ∆λ0 eines Filters angebracht ist. Wellenlängenabstimmung und Auslenkung x sind über
die optische Abstimmeffizienz ηopt verknüpft (siehe Kap. 4.4.1), wobei diese
Relation mit guter Näherung als linear betrachtet werden kann. Allerdings
kann das Modell insbesondere an den Grenzen der Stopbänder stark davon
abweichen. Darüber hinaus kann das Federmodell eine Nichtlinearität aufweisen, die durch den Kennlinienexponenten a dargestellt wird. Damit erhält
man die Darstellung
s
U=
2k
ε0 A
∆λ0
ηopt
!a/2
!
∆λ0
lcav −
.
ηopt
(4.3)
80
KAPITEL 4. FILTERENTWURF
Da die elektrostatische Kraft bei x = lcav einen Pol hat, während die
Rückstellkraft der Feder nur linear anwächst, gibt es eine kritische Spannung
U , bei der die Rückstellkraft die elektrostatische Kraft nicht mehr kompensieren kann und die Membranen zusammenfallen. Diese sogenannte Pull-In
Spannung [79] hängt von der Fläche der Membran A, dem Abstand lcav und
von der Federkonstante ab. Die daraus resultiernde maximale Aktuation xmax
der Membran beträgt xmax = lcav /3 [79] für ein lineares Federmodell F = kx.
In der Praxis stellt man allerdings häufig fest, dass das Federmodell einer
Membrane nicht exakt linear ist, sondern einen Exponenten größer als 1
hat, so dass F = kxa gilt1 . Dies hat auch eine größere maximale Aktuation
xmax = alcav /(2 + a) zur Folge. Die Tatsache, dass die maximale Aktuation ausschließlich von der Kavitätslänge lcav und dem Federexponenten a
abhängt schränkt den maximalen Abstimmbereich eines Filters ein, da auch
die optische Abstimmeffizienz umso kleiner wird je größer die Kavitätslänge
ist.
Dieser Wert der maximalen Aktuation lässt sich allerdings praktisch nicht
ausnutzen, da einerseits ein Zusammenfallen der Membranen wegen der Adhäsion nicht reversibel ist und damit das Filter zerstört, und andererseits die
dynamischen Eigenschaften des Filters, insbesondere die kinetische Energie
der Membran, mit berücksichtigt werden müssen. Abb. 4.2 zeigt die Simulation einer Sprungantwort für ein Filter mit 900nm Kavitätslänge, 40µm
Membrandurchmesser und 357nm Membrandicke und einer Federkonstante
k = 10N/m, die aus gemessenen Kurven extrahiert wurde (siehe Kap. 5.3.1 ).
Die Dämpfungskonstante wurde dabei so gewählt, dass sich die Membranen
für kleine Aussteuerungen nach ca. 15µs eingeschwungen haben. Das durch
die Massenträgheit der Membranen verursachte Überschwingen führt dabei
schon ab einer Auslenkung von 214nm zu einem Pull-In, was deutlich unter
dem statischen Wert von 300nm liegt.
Eine Verbesserung bringt die Ansteuerung des Filters mit einer Spannungsrampe, wie in Abb. 4.3 dargestellt. Der maximale stationäre Endwert
liegt hier für eine Rampe von 10µs Dauer bei 263nm. Bei einer unendlich
langsamen Erhöhung der Spannung ließe sich auf diese Art auch der statische Endwert erreichen.
Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Einstellzeit des Filters, die nicht nur
von den dynamischen Eigenschaften abhängt, sondern auch von der Art der
Ansteuerung. Wie in Abb. 4.2 und 4.3 dargestellt erhöht die Ansteuerung
mit einer Spannungsrampe die Einstellzeit in etwa um die Dauer der Rampe.
Gleichzeitig hat die Dämpfung d einen starken Einfluss auf die Einstellzeit,
wobei sich dieser Wert allerdings kaum beeinflussen lässt. Zudem ist die Op1
Die Einheit von k ist dann nicht mehr N/m.
4.1. MECHANISCHE EIGENSCHAFTEN
81
1
step response, U=8.434V, endpoint at 0.214 µm
step response, U=8.435V, pull-in
deflection/µm
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
time/µs
Abbildung 4.2: Sprungantwort eines elektrostatisch aktuierten Filters mit
900nm Kavitätslänge. Der größtmögliche stationäre Endwert der Auslenkung
liegt bei 214nm.
1
deflection/µm
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
ramp t=10µs, U=8.682V, endpoint at 0.263 µm
ramp t=10µs, U=8.684V, pull-in
10
20
30
40
50
time/µs
Abbildung 4.3: Ansteuerung desselben Filters mit einer Spannungsrampe von
10µs Dauer. Hier wird ein maximaler stationärer Endwert von 263nm erreicht.
82
KAPITEL 4. FILTERENTWURF
1 2 3
4 5 6
Rückstellkraft
Trägheit
Dämpfung
Kopplung mit 2
Kopplung mit 4
elektrost. Kraft
~
u(t)
k3x3
2
w Mx3
jwdx3
k23(x2-x3)
k34(x4-x3)
a u(t)
x
Abbildung 4.4: Darstellung der Kräfte, die in einem Multimembransystem
auf eine Membran wirken.
timierung der Dämpfung für eine möglichst schnelle Einschwingzeit (aperiodischer Grenzfall) wegen der nichtlinearen Differentialgleichung 4.1 nur für
eine bestimmte Auslenkung möglich. Insbesondere in Datennetzen ist eine
schnelle Einstellzeit von großem Vorteil, weshalb hier die Sprungansteuerung
trotz eines effektiv geringeren Abstimmbereichs sinnvoller ist.
Zur Ermittlung der mechanischen Übertragungsfunktion ist eine lineare
Darstellung von Gl. 4.1 nötig. Bei einen Arbeitspunkt (U0 , x0 ) erhält man
√
∂x
∂2x
2kεAxa0
a−1 lcav − (2/a + 1)x0
x+d
+M 2 =
u(t),
(4.4)
kax0
lcav − x0
∂t
∂t
x0 − lcav
wobei hier schon die explizite Abhängigkeit U02 = 2(x0 − lcav )2 kxa /εA ersetzt
worden ist, so dass der Arbeitspunkt nur noch von x0 bestimmt wird. An
dieser Gleichung lässt sich auch sehr gut der Pull-In erkennen, der erreicht
ist, wenn die Rückstellkraft am Arbeitspunkt den Wert 0 erreicht (1. Term
von Gl. 4.4). Die durch plastische Verformung der Membran und Einfluss des
umgebenden Mediums (Luft) verursachte Dämpfung d ist in der Regel nicht
so stark, dass die Resonanz der Filtermembran unterbunden wird. Die mit
steigender Auslenkung der Filtermembran kleiner werdende effektive Federkonstante ke = kax0a−1 (lcav − (2/a + 1)x0 )/(lcav − x0 ) führt dazu, dass auch
die Resonanzfrequenz leicht abnimmt. Die normierte Übertragungsfunktion
für harmonische Anregung wird damit
g(ω) =
1
1 + jωd/ke − ω 2 M/ke
.
(4.5)
Es lässt sich allerdings auch messtechnisch feststellen (siehe Kap. 5.3.2),
dass diese Übertragungsfunktion nur für eine isolierte Membran gilt. Bei
einem Filter, das ein System von mehreren Membranen darstellt, kommt es
durch die zwischen den Membranen eingeschlossene Luft zu einer Kopplung
4.1. MECHANISCHE EIGENSCHAFTEN
83
der aktuierten inneren Membranen mit den außen liegenden Membranen, so
dass diese ebenfalls zu Resonanzen angeregt werden. Das Resultat ist eine
Aufspaltung der Filterresonanz in mehrere Linien [80, Kap. 4.4]. Unter der
Annahme, dass bei entsprechend hohen Frequenzen die Dämpfung durch die
Luft einer elastischen Kopplung durch deren Kompression weicht, erhält man
ein System von mehreren gekoppelten, linearen Differentialgleichungen. Das
Kraftdiagramm, auf dem die Differentialgleichungen basieren, ist dabei in
Abb. 4.4 dargestellt. Für die innenliegenden Membranen folgt daraus die
Kraftgleichung
∂ 2 xn
∂xn
+ M 2 − κ(n−1)n (xn−1−xn ) − κn(n+1) (xn+1−xn ) = fe , (4.6)
∂t
∂t
wobei die kn die Federkonstante der entsprechenden Membran und die κn(n+1)
den Kopplungskoeffizienten der Luftspalte entsprechen. Diese unterschiedlichen Werte der Federkonstanten ergeben sich zum einen aus einer unterschiedlich tiefen Unterätzung der Membranen [35]; zum anderen hat die Verspannung und die daraus resultierende Verbiegung der Membranen einen Einfluss auf die Federkonstante. Nicht zuletzt muss auch bei den beiden innenliegenden Membranen die effektive Federkonstante berücksichtigt werden. Die
unterschiedlichen Kopplungskoeffizienten ergeben sich aus den unterschiedlichen Breiten der Luftspalte. Bei der Bestimmung der elektrostatischen Kraft
kn x n + d
s
fe =
2k3 k4 εAxa0
1
u(t)
k3 + k4 x0 − lcav
(4.7)
an einer Membran geht anstelle einer einzelnen Federkonstante k die Kombination der Federkonstanten der beiden inneren Membranen ein. Da sich die
elektrostatische Kraft an den beiden die Kavität begrenzenden Membranen
gegenseitig aufheben muss, gilt außerdem, dass an der gegenüberliegenden
Membrane −fe angreift. Streng genommen sind auch die Dämpfungskonstanten der einzelnen Membranen unterschiedlich, wobei auch die Kopplung der
Membranen einer gewissen Dämpfung unterliegt, da bei der Kompression der
Luft Energie in Wärme umgewandelt wird. Die Kraftgleichungen der anderen Membranen ergeben sich analog, so dass die Matrixdarstellung des resultierenden Gleichungssystems im Frequenzbereich (0, 0, fe , −fe , 0, 0)T = G−1 x
mit
κ12 +γ1 −κ12
0
0
0
0

0
0
0 
 −κ12 κ12 +κ23 +γ2 −κ23





0
−κ
κ
+κ
+γ
−κ
0
0
23
23
34
3
34
−1 

G =
0
−κ34 κ34 +κ45 +γ4 −κ45
0 
 0



 0
0
0
−κ45 κ45 +κ56 +γ5 −κ56 
0
0
0
0
−κ56 κ56 +γ6


(4.8)
84
KAPITEL 4. FILTERENTWURF
7
6
5
g(f)
4
3
2
1
0
1e+05
1e+06
f/Hz
1e+07
Abbildung 4.5: Simulation der mechanischen Übertragungsfunktion mit 6
gekoppelten Membranen. Die Masse M und die Dämpfungskonstante d betragen 0.2 ng bzw. 0.15 mg/s. Für die Federkonstanten gilt k1 = k2 = 18
N/m, k3 = k5 = k6 = 12 N/m und k4 = 8 N/m. Die Kopplungskoeffizienten
sind κ12 = κ23 = κ45 = κ56 = 6 N/m und κ34 = 3 N/m.
und γn = kn + jωd − ω 2 M
(4.9)
ist. Die Auflösung des Gleichungssystems erfolgt dann numerisch über eine
Matrixinversion, wobei als Parameter die Frequenz eingeht. Die messtechnisch erfassbare Größe, d.h die Änderung der Kavitätslänge, entspricht der
Differenz ∆L = x4 − x3 .
Abb. 4.5 zeigt eine Simulation, bei der 5 Linien auftreten. Bei genauerer
Untersuchung stellt man fest, dass bei der Charakterisierung oft mehr als 3
Linien auftreten, wohingegen bei identischen Federkonstanten der Membranen nur eine dreifache Linienaufspaltung durch die Kopplung möglich ist, da
das System in diesem Fall symmetrisch bezüglich der Mitte der Kavität ist,
und damit die Resonanzen zweifach entartet sind. Daraus folgt, dass die Federkonstanten der einzelnen Membranen oft nicht exakt identisch sind, wobei
die Aufspaltung umso stärker ist, je größer die Unterschiede sind.
Für die Kopplungskoeffizienten lässt sich analog dazu feststellen, dass
eine Aufspaltung in mehr als zwei Linien nur möglich ist, wenn eine Kopplung
zwischen den Membranen vorliegt. In einigen Fällen sind weniger als 6 Linien
zu sehen, was auf den geringen Frequenzabstand zurückzuführen ist, so dass
diese bei der gegebenen Dämpfung nicht mehr aufgelöst werden.
Die vielfachen, schwach gedämpften Resonanzen wirken sich eher ungünstig auf die elektromechanischen Eigenschaften aus, da sie einen negativen
Einfluss auf die Einschwingzeit haben.
4.1. MECHANISCHE EIGENSCHAFTEN
85
Wie in Kap. 5.3.2 dargestellt wird, wirkt die Luft zwischen den Membranen nicht dämpfend, sondern es treten mehr die kompressiven Eigenschaften
zu Tage. Daher ist es zur Verbesserung der Dynamik notwendig, die Dämpfung und die Resonanzfrequenz durch eine Änderungen der Geometrie zu
beeinflussen. Durch eine Vergrößerung des Querschnitts der Aufhängungen
kann die Resonanzfrequenz und auch die Dämpfung erhöht werden. Um die
Kopplung zwischen den Membranen zu verringern können zum einen die
Luftspalte vergrößert werden, zum anderen wäre es möglich das Filter hermetisch gekapselt unter Vakuum zu betreiben. Zu beachten ist allerdings,
dass insbesondere den Änderungen der vertikale Struktur eines Filters durch
die optischen Eigenschaften enge Grenzen gesetzt sind.
Abschießend ist noch zu bemerken, dass unter dem ungünstigen Umstand eines zu hohen Kontaktwiderstands auch die elektrische Transferfunktion einen wesentlichen Einfluss auf die Filter hat. Dieser Zusammenhang
wird in Kap. 2.3 näher beschrieben, da er vor allen Dingen als technologischer Artefakt im Zusammenhang mit der dynamischen Charakterisierung
auftritt.
4.1.2
Thermische Aktuation
Die thermische Aktuation ist insbesondere für solche Materialsysteme interessant, die von sich aus nicht elektrisch leitfähig sind und somit die elektromechanische Aktuation nur schwer zu realisieren ist. Dazu werden auf
den Aufhängungen der Spiegel, die in diesem Fall nicht aus einzelnen Membranen, sondern aus einer Abfolge dielektrischer SiO2 - bzw. SiNx -Schichten
bestehen, Heizelemente angebracht. Die thermische Längenausdehnung der
Aufhängungen wird dann aufgrund der Fixierung an den Halteblöcken in
eine vertikale Auslenkung des Spielgels umgesetzt. Dabei spielt die Vorverbiegung des Spiegels und der Aufhängung insofern eine Rolle, dass bei einer
stabilen Kavität (siehe Abb. 4.6) die Kavitätslänge vergrößert wird und bei
einer instabilen Kavität verkleinert wird. Da stabile Kavitäten insbesondere
bei großen Kavitätslängen eine deutlich bessere Güte aufweisen [56], ist in
der Regel nur eine Vergrößerung der Kavitätslänge bei der Einprägung eines
Heizstroms in der Praxis relevant.
Ein einfaches Modell der thermischen Aktuation ist in Abb. 4.6 dargestellt, wobei die dynamischen Effekte vernachlässigt worden sind. Da zu erwarten ist, dass die thermischen Zeitkonstanten um den Faktor 100 bis 1000
größer als die mechanischen Zeitkonstanten sind, spielen letztere ohnehin keine große Rolle. Die geometrische Analyse ergibt L20 (1 + α∆T )2 = ∆x2 + L20 ,
wobei L0 die Länge der Aufhängungen, ∆x die Auslenkung des Spiegels,
α der thermische Ausdehnungskoeffizient und ∆T die Temperaturerhöhung
86
KAPITEL 4. FILTERENTWURF
L0(1+α∆T)
∆x
L0
Abbildung 4.6: Einfaches Modell für die thermische Aktuation. Die Temperaturerhöhung in der Aufhängung wird als konstant angenommen.
sind. Für die Temperaturerhöhung ∆T , die durch die ohmschen Verluste
in den Heizelementen bestimmt wird, gilt ∆T = Rth Q = Rth Rel I 2 , wobei
Rth und Rel der thermische bzw. der elektrische Widerstand sind, und I der
Strom durch das Heizelement ist. Damit erhält man als Näherung für die
Auslenkung
q
√
∆x = L0 2α∆T = L0 2αRth Rel I,
(4.10)
wobei der Term (α∆T )2 vernachlässigt wurde, da α∆T 1 ist.
Ein Problem bei der thermischen Aktuation ist die plastische Verformung
der Aufhängungen, die unter der Einwirkung statischer Kräfte schon weit unterhalb des Schmelzpunktes auftritt und zu einer langsamen Degeneration des
Filters führt. Diese Probleme sind für MEMS aus Polysilizium beschrieben
worden [81] und treten ab einer Temperatur von ca. 1000K deutlich auf, wobei
Si einen deutlich höheren Schmelzpunkt als SiO2 hat. Daraus folgt, dass die
maximal zulässige Temperatur von der projektierten Lebensdauer der Filter
abhängt. Die maximale Auslenkung ist nach Gl. 4.10 zwar nur proportional
zu der Wurzel aus der maximalen Temperaturerhöhung ∆Tmax , aber direkt
proportional zu der Länge der Aufhängungen L0 , was einen weiten Bereich
ermöglicht.
Die bei thermischer Aktuation realisierbaren Einstellzeiten liegen im Bereich von 1/1000s bis zu 1s [23] was ca. 1000 mal mehr als die realisierbaren
Zeitkonstanten bei elektromechanischer Aktuation ist. Thermisch aktuierte
Filter sind daher nur eingeschränkt für flexible DWDM-Netze und Spektrometer nutzbar, eher als universeller Ersatz für Filter bei einer festen Wellenlänge. Ein Vorteil der thermisch aktuierten Filter ist, dass die maximale
Auslenkung nicht an die Kavitätslänge gekoppelt ist, sondern wesentlich von
der Geometrie der Filter, d.h. der Länge der Aufhängungen beeinflusst wird.
4.2. OPTISCHE ÜBERTRAGUNGSSYSTEME
87
Circulator
1
2
...
m-1
m
ADM
Mux
Rx
Tx
Filter
Abbildung 4.7: Modell eines rekonfigurierbaren optischen Netzwerks zur
Abschätzung des Einflusses der Filtereigenschaften.
4.2
Anforderungen optischer
Übertragungssysteme
Basis für die Untersuchung ist das Modell eines optischen Netzwerks mit
rekonfigurierbarem optischen Routing in einem Glasfaserring, wie es z.B. in
Metropolitan Area Netzen (MAN) eingesetzt werden könnte. Das Netzwerk
basiert auf einem WDM-Verfahren, d.h. zur Verbindung zweier Knoten wird
ein bestimmter Wellenlängenkanal ausgewählt. Als WDM-Verfahren kommen
dabei im Wesentlichen das nach ITU spezifizierte DWDM (Dense WDM)
mit 100 GHz Kanalabstand im Bereich von 1492nm bis 1612nm, und das
CWDM (Coarse WDM) mit 20nm Kanalabstand von 1310nm bis 1610nm
in Frage [8, Kap. 2.5]. Jeder Knoten des Netzwerks besteht, wie in Abb. 4.7
dargestellt aus einem Add-Drop-Multipexer (ADM) der zwar eine feste Wellenlänge bei dem Sendebauelement, aber eine einstellbare Wellenlänge bei
dem Empfangsbauelement, einem durchstimmbaren Filter mit nachgeschaltetem Detektor, aufweist.
Der Aufbau des Demultiplexers für dem Empfang mit einem Zirkulator
ermöglicht, dass eine an Tor 1 eingekoppelte Welle einer bestimmten Wellenlänge entweder das Filter an Tor 2 passiert oder am Filter reflektiert
wird und über Tor 3 wieder in das System eingespeist wird. Bezogen auf
das Eingangssignal an Tor 1 ergeben sich so für jeden Knoten verschiedene
Dämpfungen und Verluste:
ˆ die ”Drop”-Verluste für die eingestellte Filterwellenlänge Tm , die der
Transmission des Filters entsprechen,
ˆ die ”Pass”-Verluste für alle anderen Wellenlängen R, die sich aus der
Reflexion des Filters und den Verlusten des Zirkulators und der Faserstrecke zusammensetzen, und
ˆ die Seitenmodendämpfung Tsm , die der Sperrtransmission des Filters
88
KAPITEL 4. FILTERENTWURF
entspricht.
Ist nun m die Anzahl der Knoten im System, dann durchläuft ein Signal die maximale Anzahl von m − 2 Knoten bevor es detektiert wird. Die
Signalstärke am Detektor ist
Psig = Rm−2 Tm P0 ,
(4.11)
wobei P0 die Leistung des Sendebauelements ist. Dieser Wert bestimmt zusammen mit dem Signal-Rausch-Verhältnis am Empfänger die maximale Anzahl der Knoten im System.
Von größerer Bedeutung ist hier allerdings noch die Seitenmodenunterdrückung der Filter. Zwar hat jeder Seitenmode in Abhängigkeit von der
Filterwellenlänge eine andere Seitenmodenunterückung, allerdings wird hier
der Einfachheit halber ein mittlerer Wert angenommen. Die Leistung des
Störsignals am Detektor ergibt sich damit dann zu
Psm =
m−1
X
!
k
R −R
m−2
Tsm P0 .
(4.12)
k=0
Das Verhältnis der Signalleistung zur Störleistung am Detektor Sdet =
Psig /Psm bestimmt somit die Signalqualität. Der tolerierbare Wert hängt
von verschiedenen Faktoren wie der Fehlerkorrektur und der Signalbandbreite ab. Für die Praxis interessant ist die maximale Anzahl der Knoten im
System, die sich aus den obigen Abschätzungen für eine vorgegebene Signalqualität ergibt. Wird R = 1 gesetzt, ergibt sich der einfache Zusammenhang mmax,R=1 = 1 + Tm /Tsm /Sdet , der wesentlich von der Seitenmodenunterdrückung SSM SR = Tsm /Tm bestimmt wird. Für einen realistischeren Wert
von R < 1 erhält man nach einigen Rechenschritten:
ln (mmax,R=1 (1 − R)/R2 + 1)
.
= −
ln (R)
$
mmax
%
(4.13)
Die in Tab. 4.1 dargestellte Abschätzung der maximalen Anzahl von
Knoten in einem System zeigt, dass eine gute Seitenmodenunterdrückung
der Filter, d.h. eine möglichst hohe Transmission der Filterwellenlänge bei
gleichzeitig möglichst geringer Transmission der anderen Wellenlängen eine
deutliche Verbesserung der Leistungsfähigkeit des Systems durch die Anzahl
der maximal möglichen Knoten bewirkt. Die Dämpfung im Pass-Betrieb eines Knotens hat zwar auch einen großen Einfluss auf das System, wird aber
wesentlich von den Eigenschaften des Zirkulators und der Faserstrecke bestimmt, so dass das Filter nur eine untergeordnete Rolle spielt.
4.2. OPTISCHE ÜBERTRAGUNGSSYSTEME
SSM SR =-30dB
SSM SR =-40dB
R=1
100
1000
R = 0.95
18
63
89
R = 0.8
11
21
Tabelle 4.1: Abschätzung der Anzahl der möglichen Knoten m im System bei
einer vorgegebenen Signalqualität Sdet = 10. Die Seitenmodenunterdrückung
ist in dB angegeben.
Ein weiterer wichtiger Faktor, ist die Linienbreite der Filter. Wie schon
erläutert beträgt der Kanalabstand in einem DWDM-System 100GHz, was
in dem gewählten Wellenlängenbereich ca. 0.8nm entspricht. Bei einer idealen Linienform des Filters, d.h. einer Rechteckcharakteristik, ließe sich auch
eine Datenrate von 100GBit/s über den Kanal übertragen. In der Praxis
lässt sich die Rechteckform nur annähern, indem mehrere optische Kavitäten
miteinander gekoppelt werden [82]. Dies erfordert aber einen hohen technologischen Aufwand und ist für mikromechanisch durchstimmbare Filter wegen
der nicht zu vermeidenden Fertigungstoleranzen und dem Abstimmfehler der
einzelnen Kavitäten nicht praktikabel.
Die praktisch realisierbare Filtercharakteristik bei abstimmbaren Filtern
kommt einer Lorentz-Funktion nahe (s.a. Kap 3.4.4). Das bedeutet allerdings, dass aufgrund der nicht rechteckförmigen Charakteristik die Signalbandbreite nur einen Bruchteil des vorgegebenen Kanalabstands betragen
kann. Zum einen wird die Seitenmodenunterdrückung durch die Linienbreite
der Lorentz-Charakteristik entscheidend mit bestimmt, zum anderen verursacht die Krümmung der Lorentzfunktion im Durchlassbereich des Filters
eine nicht zu vernachlässigende Gruppenlaufzeitdispersion und eine starke
Dämpfung hochfrequenter Signalanteile bei einer zu kleinen Linienbreite.
Die für DWDM empfohlene maximale Bitrate beträgt 10GBit/s. Dieser
Wert lässt zwar eine gewisse Toleranz der Linienbreite zu, bedeutet aber
trotzdem, dass die Linienbreite des Filters sehr gut angepasst werden muss,
zumal eine gewisse Änderung der Linienbreite bei der Abstimmung des Filters nicht zu vermeiden ist (s.a. nachfolgende Abschnitte). Die für CWDM
spezifizierte Bitrate beträgt 2.5GBit/s, was zusammen mit dem relativ weiten
Kanalabstand von 20nm sehr große Toleranzen der Linienbreite erlaubt.
Ein weiterer wichtiger Punkt ist der Abstimmbereich eines Filters, der im
wesentlichen durch folgende Faktoren begrenzt wird:
ˆ die mechanische Begrenzung des Verstellwegs der Membranen oder
Spiegel,
ˆ die (kleinste) Stopbandbreite der Spiegel und
90
KAPITEL 4. FILTERENTWURF
ˆ den freien Spektralbereich (FSR).
Wenn der Abstimmbereich einen Sicherheitsabstand zum jeweiligen Ende des
Stopbands einhält und gleichzeitig kleiner als der freie Spektralbereich ist,
dann ist das Verhältnis der Änderung der Filterwellenlänge ∆λ zu dem mechanischen Weg ∆x der Membranen bzw. Spiegel nahezu konstant und lässt
sich durch die optische Abstimmeffizienz ηopt = ∆λ/∆x beschreiben. Generell wird ein Abstimmbereich angestrebt, der möglichst gut auf die Anwendung angepasst ist. In diesem Zusammenhang ist insbesondere die Konstanz
der Eigenschaften wie Linienbreite und Seitenmodenunterdrückung über den
Abstimmbereich wichtig. Während der Abstimmbereich bei DWDM-Filtern
von ca. 120nm eine eher große Entwurfsfreiheit zulässt stellt der Abstimmberich von 300nm bei CWDM-Filtern und die dazu erforderliche optische
Abstimmeffizienz große Anforderungen an das Design.
4.3
Anforderungen an Mikrospektrometer
Ein Mikrospektrometer besteht aus der Kombination eines durchstimmbaren Filters mit einem Detektor. Physikalisch lässt der Vorgang der Spektralanalyse durch eine Filterung des Signals beschreiben, das anschließend vom
Detektor integral erfasst wird [39]. Die Filterung der Signalquelle bedeutet
im Frequenzbereich eine Multiplikation, und damit lässt sich der gesamte
Vorgang wie folgt darstellen:
P (f0 ) =
Z
∞
−∞
G(f − f0 )Θ(f )df
(4.14)
Dabei ist Θ(f ) das Leistungsdichtespektrum des zu messenden Signals, G(f −
f0 ) die Filterfunktion und P (f0 ) die detektierte Leistung. Der gesamte Vorgang nach Gl. 4.14 stellt eine Faltung im Frequenzbereich dar, also im Zeitbereich eine Multiplikation, und ist somit zu den in der Mikrowellentechnik
verwendeten Mischern zur Spektralanalyse äquivalent. Damit ist es offensichtlich, dass eine ideale Rekonstruktion des Signals nur gelingt, wenn die
Filterfunktion der Deltafunktion entspricht, d.h. G(f − f0 ) = δ(f − f0 ). In
realen Filtern entspricht diese Filterfunktion wie schon in Kap. 4.2 erläutert
eher einer Lorentzfunktion mit endlicher Linienbreite.
Diese Linienbreite bestimmt sowohl die Auflösung des Spektrums als
auch die Leistung P (f0 ) des detektierten Signals, was anhand der folgenden
Abschätzung erläutert wird. Ist das Leistungsdichtespektrum Θ(f ) konstant
über die Linienbreite des Filters, dann ergibt Gl. 4.14 für eine Lorentzfunktion mit der Linienbreite fF W HM : P (f0 ) = π/2fF W HM Θ(f0 ). Somit ist die
detektierte Leistung proportional zur Linienbreite. Es ist daher nicht sinnvoll
4.3. ANFORDERUNGEN AN MIKROSPEKTROMETER
91
0
SMSR = 0
SMSR = -40dB
SMSR = -30dB
SMSR = -20dB
original spectrum
Amplitude [dB]
-10
-20
-30
-40
-100
-50
0
∆f/GHz
50
100
Abbildung 4.8: Rekonstruktion des Spektums eines DFB-Laser mit einem
Filter mit ca. 0.04nm Linienbreite. Die unterste Kurve zeigt das Originalspektrum.
eine möglichst kleine Linienbreite des Filters anzustreben, da davon auch das
Signal-Rauschverhältnis am Detektor abhängt. Vielmehr muss die Linienbreite auf die spektrale Charakteristik der Signalquelle angepasst werden. Daher
gilt, wie bei Filtern für optische Kommunikationssysteme, dass es möglich
sein muss die Linienbreite maßzuschneidern, auch wenn die Toleranzgrenzen
hier weiter als bei DWDM-Systemen sind.
Für eine möglichst genaue Rekonstruktion ist auch eine gute Seitenmodenunterdrückung des Filters von großer Bedeutung, was an folgendem Beispiel verdeutlicht werden soll. Abb. 4.8 zeigt die Rekonstruktion des Spektrums eines DFB-Lasers nach Gl. 4.14 mit ca. 5MHz Linienbreite, -30dB
Seitenmodenunterdrückung und ca. 0.8nm Seitenmodenabstand. Das Filter
zur Rekonstruktion hat eine Linienbreite von ca. 5GHz, was in etwa 0.04nm
bei 1600nm Wellenlänge entspricht. Die Lorentz-Charakteristik des Filters
verursacht schon für unendliche Seitenmodenunterdrückung des Filters einen
Fehler von ca. 3dB bei der Messung der Seitenmodenunterdrückung des Lasers. Eine Seitenmodenunterdrückung des Filters von -40dB erlaubt eine gute
Rekonstruktion, während bei einer kleineren Seitenmodenunterdrückung die
Qualität immer schlechter wird, so dass bei -20dB schließlich die Seitenmoden
des Laser nicht mehr aufgelöst werden können.
Der Abstimmbereich von Mikrospektrometern sollte idealerweise so groß
wie möglich sein. Allerdings gelten auch hier die Einschränkungen, die für
optische Übertragungssysteme gelten: die Eigenschaften des Filters, Seitenmodenunterdrückung und Linienbreite, müssen über den Abstimmbereich
92
KAPITEL 4. FILTERENTWURF
Kav.
T
R
11 Perioden
11 Perioden
Abbildung 4.9: Aufbau des Modellfilters.
innerhalb bestimmter Toleranzgrenzen bleiben.
4.4
Entwurf
Die in den vorhergehenden Abschnitten dargestellten Anforderungen an die
Eigenschaften abstimmbarer Filter können durch die Änderung des Schichtsystems gezielt beeinflusst werden. Daher wird in diesem Abschnitt dargestellt, wie der Aufbau des Filters beim Entwurf durch die geforderten Eigenschaften beeinflusst wird. Basis für diese Untersuchungen ist im wesentlichen
das auf dem 1D Transfermatrixmodell basierende optische Modell.
Im Vergleich zu dem in Kap. 3.4 präsentierten Modell, mit Hilfe dessen sich die Eigenschaften der Filterbauelemente aufgrund der Berücksichtigung der lateralen Strukturierung viel genauer analysieren lassen, gibt es
dennoch einige Eigenschaften, die von dem Transfermatrixmodell sehr genau
vorhergesagt werden. Zu diesen zählen der Abstimmbereich und die optische
Abstimmeffizienz. Für die Linienbreite (FWHM) und die Einfügedämpfung
lassen sich zumindest Richtwerte für die Dimensionierung ermitteln, wobei
bei letzterer Eigenschaft die Modenankopplung nicht erfasst werden kann.
Die Seitenmodenunterdrückung lässt sich hingegen nur mit 2D- oder 3DModellen analysieren.
Die Vorteile des Transfermatrixmodells für den Entwurf von Filtern liegen dennoch auf der Hand: die Handhabung ist deutlich einfacher, und die
Ausführung ist ebenfalls deutlich schneller. Wo es angebracht ist, wird in
den folgenden Abschnitten auf Unterschiede zum BOR-Modell in Fußnoten
hingewiesen.
Da sich nicht für alle Eigenschaften einfache analytische Beziehungen herleiten lassen, werden einige Eigenschaften anhand eines Filters mit dielektrischen Spiegeln (Brechungsindexkontrast 1.44:1.96, 11 Perioden, nominellen
Filterwellenlänge von 1550nm) erläutert. Der Aufbau des Filters ist in Abb.
4.9 dargestellt.
Abschließend wird auf den Entwurf eines InP/Luft-Filters eingegangen,
4.4. ENTWURF
93
das technologisch implementiert wurde und Basis für einige Untersuchungen
ist.
4.4.1
Abstimmbereich
Der maximale Abstimmbereich wird durch mehrere Faktoren beeinflusst: neben dem maximalen mechanischen Abstimmbereich sind auf optischer Seite
insbesondere die Stopbandbreite und der freie Spektralbereich (Free Spectral
Range, FSR), der von der Kavitätslänge abhängt, wichtig. Die Stopbandbreite ist eine feste Grenze für den Abstimmbereich, was durch den Vergleich mit
einem 1D photonischen Kristall, den ein Braggspiegel darstellt, deutlich wird.
Das Stopband ist äquivalent zur Bandlücke des photonischen Kristalls [83],
während die Kavität eine lokalisierte Störstelle, die Filterfunktion, in der
Bandlücke erzeugt. Jenseits der Bandlücke beginnt das Kontinuum, das generell ausbreitungsfähige Wellen ermöglicht. Es ist daher weder sinnvoll noch
möglich, den Abstimmbereich über das Stopband hinaus auszudehnen.
Der Vergleich mit einem photonischen Kristall führt ebenfalls zu einer einfachen Beziehung für die Stopbandbreite eines Braggspiegels. Die Elementarzelle, d.h. eine Periode eines Braggspiegels, besteht aus zwei Schichten unterschiedlichen Materials und wird durch die Transfermatrix TP dargestellt,
so dass sich die Transfermatrix des gesamten Braggspiegels mit n Perioden
zu T = TnP ergibt. Durch eine Orthogonaltransformation lässt sich TP in
eine diagonale Form T0P = C−1 TP C überführen, wobei die diagonalen Werte von T0P den Eigenwerten µ1 und µ2 von TP entsprechen [66]. Somit lässt
−1
darsich dann die Transfermatrix des Braggspiegels durch T = CT0n
PC
stellen. Da die hier behandelten optischen Systeme reziprok sind gilt zudem:
det TP = 1 [55] und daraus folgend µ1 = 1/µ und µ2 = µ [66]. T0P nimmt
somit wie in Kap. 3.3 erläutert die Form einer Propagationsmatrix an und
es lässt sich eine effektive Ausbreitungskonstante βe für die Welle im Spiegel
bestimmen. Für eine reziproke Transfermatrix ergibt sich:
TP =
tP 11 tP 12
tP 21 tP 22
!
=C
e−jβe 2Lopt
0
= C
0
ejβe 2Lopt
!
C−1
!
C−1
(4.15)
tP 11 + tP 22 2
−1
2
tP 11 + tP 22
= arccos
2
tP 11 + tP 22
+
mit µ =
2
und 2βe Lopt
s
1/µ 0
0 µ
(4.16)
(4.17)
94
KAPITEL 4. FILTERENTWURF
Der Realteil der effektiven Ausbreitungskonstante βe beschreibt die Ausbreitung der Welle in Richtung der optischen Achse durch den Braggspiegel,
während der Imaginärteil ein Maß für die Dämpfung der Welle ist. Lopt ist
die optische Länge einer einzelnen Schicht2 . Folglich beschreibt eine Ausbreitungskonstante, bei der der Realteil Re{βe } = 0 ist, eine evaneszente
Welle, d.h. eine Welle, die in dem Braggspiegel nicht ausbreitungsfähig ist.
Die Menge dieser Wellen bildet das Stopband des Braggspiegels.
Im einfachsten Fall sind die beiden Schichten, die die Periode eines Braggspiegels ausmachen, verlustlos und haben dieselbe optische Länge. Damit
ergibt sich die Transfermatrix einer Periode zu
1/t r/t
r/t 1/t
TP =
!
1/t −r/t
−r/t 1/t

= 
0
e−jβLopt
0
ejβLopt
!
!
·
e−jβLopt
0
0
ejβLopt
!
(4.18)
r/t2 e2jβLopt − 1
1/t2 e2jβLopt − r2
1/t2 e−2jβLopt − r2
r/t2 e−2jβLopt − 1


wobei r und t der Reflexions- bzw. Transmissionsfaktor der Schichtgrenzen
sind und Lopt die optische Länge einer einzelnen Schicht. Mit Gl. 4.17 ergibt
sich damit für die effektive Ausbreitungskonstante
2βe Lopt
2 sin2 (βLopt )
= arccos 1 −
t2
!
(4.19)
Da sowohl β als auch t reell sind lassen sich zwei Fälle unterscheiden:
1. für sin2 (βLopt ) > t2 wird βe imaginär, β liegt im Stopband des Spiegels,
2. für sin2 (βLopt ) ≤ t2 wird βe reell, die Welle kann sich im Braggspiegel
ausbreiten.
Für die Grenzen des Stopbands gilt damit
sin2 (βLopt ) = t2 = 4n1 n2 /(n1 + n2 )2
(4.20)
was mit der Lösung in [84, 6.2.3.1] übereinstimmt. Für einen Braggspiegel aus
SiO2 (n=1.44) und SiNx (n=1.96) ist die normierte effektive Ausbreitungskonstante βe Lopt /(2π) als Funktion der normierten Ausbreitungskonstante
2
Die optische Länge ist das Produkt aus physikalischer Länge und Realteil des Brechungsindex Lopt = Lnr .
4.4. ENTWURF
95
der Welle in Abb. 4.10 dargestellt. Deutlich zu erkennen ist das Stopband
des Spiegels, das um βLopt /(2π) = 0.25 zentriert ist. Mit anderen Worten,
die Dämpfung des Braggspiegels ist am größten, wenn die optische Länge
der Schichten gerade einem Viertel der Wellenlänge entspricht. Die relative
Stopbandbreite lässt sich, wie aus Gl. 4.19 ersichtlich wird, nur durch eine
Änderung des Brechungsindexkontrasts n1 /n2 beeinflussen und ist damit von
dem gewählten Materialsystem abhängig. Insofern sind der Beeinflussung der
Stopbandbreite durch technologische Maßnahmen enge Grenzen gesetzt.
Durch eine Änderung der Tastverhältnisses3 τ = lopt1 /(lopt1 + lopt2 ) der
Schichten lässt sich zumindest eine Verringerung der Stopbandbreite erreichen, was aber in den seltensten Fällen erwünscht ist. Nach 4.17 ergibt
sich für die effektive Ausbreitungskonstante unter Berücksichtigung des Tastverhältnisses
cos (2βLopt ) − r2 cos (2βLopt (1 − 2τ ))
.
= arccos
1 − r2
!
2βe (τ )Lopt
(4.21)
Damit wird die charakteristische Gleichung für die Grenzen des Stopbands
cos (2βL ) − r 2 cos (2βL (1 − 2τ )) opt
opt
> 1.
2
1−r
(4.22)
Während die Gleichung für τ = 0.5 äquivalent zu Gl. 4.19 ist, ist es offensichtlich, dass die Bedingung für τ = 0 oder τ = 1 nie erfüllt wird und es
demzufolge kein Stopband gibt.
Für die Funktion des Filters sind insbesondere die Spiegelverluste von
Bedeutung, die als 1 − R definiert sind4 . Für einen Braggspiegel ist charakteristisch, dass die Spiegelverluste wie in Abb. 4.11 dargestellt über das
Stopband variieren. Diese Eigenschaft lässt sich weder durch die Erhöhung
der Anzahl der Perioden noch durch die Wahl eines anderen Materialsystems
eliminieren.
Ein weiteres Kriterium, das den Abstimmbereich stark beeinflusst, ist die
Kavitätslänge, und zwar in zweierlei Hinsicht:
1. die optische Abstimmeffizienz hängt von der Kavitätslänge ab und
2. der Abstimmbereich wird durch den freien Spektralbereich (FSR), d.h.
den Abstand der Kavitätsmoden, begrenzt.
3
Definiert als das Verhältnis der optischen Länge einer Schicht zu der gesamten optische
Länge der Periode. Bei zwei λ/4-Schichten ergibt sich demzufolge τ = 0.5.
4
Im Allgemeinen unterscheiden sich Spiegelverluste und Transmission sich wegen der
Absorption: T = 1 − R − A.
96
KAPITEL 4. FILTERENTWURF
0.25
real
imaginary
βeffLopt/2π
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.1
0.2
βLopt/2π
0.3
0.4
0.5
Abbildung 4.10: Normierte effektive Ausbreitungskonstante als Funktion der
Ausbreitungskonstante eines Braggspiegels mit einem Indexkontrast von 1.44
zu 1.96.
Mirror Loss (1-R)
1e+00
1e-01
1e-02
1e-03
1000
1200
1400
1600
Wavelength/nm
1800
2000
Abbildung 4.11: Spiegelverluste des Modellfilters dargestellt als Funktion der
Wellenlänge. Die rechnerischen Grenzen des Stopbands sind durch die grau
gestrichelten Linien markiert.
4.4. ENTWURF
97
Filter Wl./nm
1800
m=1, lnom=775nm
m=2, lnom=1550nm
m=3, lnom=2325nm
m=4, lnom=3100nm
m=5, lnom=3875nm
1700
1600
1500
1400
1300
1
ηopt = 0.635
ηopt
0.8
ηopt = 0.444
0.6
ηopt = 0.339
0.4
ηopt = 0.273
0.2
ηopt = 0.229
0
-800
-400
0
(l-lnom)/nm
400
800
Abbildung 4.12: Oberer Graph: Wellenlängenabstimmung als Funktion der
Änderung der Kavitätslänge bezogen auf die nominelle Kavitätslänge lnom =
mλc /2 für unterschiedliche longitudinale Moden. Die Längenänderung ist auf
1/3 der maximalen Länge begrenzt, was die Randbedingung für die elektrostatische Abstimmung ist. Unterer Graph: optische Abstimmeffizienz ηopt .
Der Mittelwert kann der Legende entnommen werden.
Für die optische Abstimmeffizienz ηopt lässt sich keine allgemein gültige analytische Beziehung angeben, da diese neben der Kavitätslänge auch von dem
Materialsystem der Spiegel und von der Art der Abstimmung abhängt. Die
Art der Abstimmung macht insofern einen Unterschied aus, dass bei einem
elektrostatisch aktuierten InP/Luft Filter nur die an die Kavität angrenzenden InP-Membranen aktuiert werden und nicht der gesamte Braggspiegel.
Für ideale Spiegel lassen sich die Moden einer Fabry-Pérot Kavität mit
mλ = 2nl beschreiben, wobei m ein ganzzahliger Wert ist, n der Brechungsindex in der Kavität und l die Kavitätslänge. Damit erhält man für die optische
Abstimmeffizienz ηopt = ∆λ/∆l = 2n/m. Demnach hat eine λ/2 Kavität eine
optische Abstimmeffizienz von ηopt = 2n. Die tatsächlich erreichbare optische
Abstimmeffizienz ist bei der Verwendung von Braggspiegeln allerdings geringer, was sich durch das Eindringen des Felds in die Spiegel erklären lässt.
Dadurch befinden sich signifikante Anteile der in der Kavität gespeicherten
Energie in den Braggspiegeln, was die Kavitätslänge effektiv vergrößert. Je
98
KAPITEL 4. FILTERENTWURF
länger die physikalische Kavitätslänge ist desto mehr nähert sich die optische Abstimmeffizienz dem theoretischen Maximum an. Diese Eigenschaft
ist in Abb. 4.12 anhand des dielektrischen Modellfilters dargestellt. Da für
elektrostatische Aktuation wie in Kap. 4.1 beschrieben die Längenänderung
immer auf etwa 1/3 der Kavitätslänge begrenzt ist, erreicht man bei einer
Vergrößerung der Kavitätslänge zunächst auch eine Vergrößerung des Abstimmbereichs wie in Abb. 4.12 dargestellt.
Der freie Spektralbereich eines Filters ist gemäß der theoretischen Definition F SR = λ/m [85, Kap. 4, S. 113]. Allerdings gilt auch hier, dass der
theoretische Wert für Filter mit Braggspiegeln eine Abschätzung nach oben
darstellt. Dies wird bei Betrachtung der Transferfunktion des Spiegels 4.11
sofort offensichtlich: der Abstand von zwei ausbreitungsfähigen Wellen ist
maximal so groß wie die Stopbandbreite. Bei einer kontinuierlichen Vergrößerung der Kavitätslänge werden so nach und nach die longitudinalen Moden
der Kavität angeregt, wie es in Abb. 4.13 dargestellt ist. Entscheidend ist,
dass sich diese Moden umso mehr überlappen, je größer die Kavitätslänge ist,
was sich dann in einer Verringerung des freien Spektralbereichs manifestiert.
Die Markierungen sind die Grenzen der mechanischen Kavitätslängenänderung. Von diesen Grenzen ausgehend wurde für jeden Modenindex m die
Filterwellenlänge für die angrenzenden Modenindizes ermittelt. Die Differenz ist damit ein Maß für den freien Spektralbereich. Die Ergebnisse sind
zusammen mit den Ergebnissen für den größtmöglichen Abstimmbereich in
Abb. 4.14 dargestellt.
Deutlich zu erkennen ist, dass zwar mit zunehmender Kavitätslänge die
Abstimmbereich größer wird, aber auch gleichzeitig der freie Spektralbereich
kleiner wird.
Dabei wird vor dem Schnittpunkt der roten und der schwarzen Linie
der größtmögliche Abstimmbereich durch die Abstimmeffizienz begrenzt und
danach durch den freien Spektralbereich. Der Schnittpunkt stellt somit den
maximal möglichen Abstimmbereich dar.
Diese beiden gegenläufigen Effekte sorgen dafür, dass der größte Abstimmbereich von 275.4nm bei einer nominellen Kavitätslänge von 1550nm
erreicht wird, die einem longitudinalen Modenindex m = 2 entspricht.
4.4.2
Linienbreite
Während der Abstimmbereich für die meisten Anwendungen so groß wie
möglich sein sollte, ist die Linenbreite eine Eigenschaft, die für die einzelnen
Anwendungen angepasst werden muss. Die Photonenlebensdauer in einem
Fabry-Pérot-Interferometer erhält man aus Gl. 3.56, 3.57 unter der Annahme, dass die Beugungs- und Materialverluste gleich 0 sind. Mit der Relation
4.4. ENTWURF
99
1800
Wavelength/nm
1700
1600
1500
1400
1300
0
m=1
m=2
1000
m=3
m=4
m=5
2000
3000
Cavity length/nm
m=6
4000
5000
Abbildung 4.13: Kennlinien der longitudinalen Moden, die bei einer kontinuierlichen Variation der Kavitätslänge im Stopband auftreten. Unten angegeben ist der Modenindex. Die Markierungen in den Kennlinien bezeichnen
die Grenzen der Kavitätslängenänderung. Die grauen gestrichelten Linien
bezeichnen die Grenzen des Stopbands nach der oben angegbenen Relation.
400
350
Tuning
FSR
Stop Band
Limits/nm
300
250
200
150
100
775
1550
2325
lnom/nm
3100
3875
Abbildung 4.14: Grenzwerte für die Abstimmung, den freien Spektralbereich
und die Stopbandbreite in Abhängigkeit von der nominellen Kavitätslänge
100
KAPITEL 4. FILTERENTWURF
von Photonenlebensdauer und Linienbreite λF W HM = λ20 /(2πcτph ), die aus
Gl. 3.60 hergeleitet wurde, ergibt sich eine einfache analytische Darstellung
2
und der Filder Linienbreite, die von den Spiegelreflektivitäten R1,2 = r1,2
terwellenlänge λ0 abhängt:
λF W HM = −
λ0 ln(R1 R2 )
λc (2 − R1 − R2 )
≈
.
2πm
2πm
(4.23)
wobei m der longitudinale Modenindex ist. Die Näherung gilt nach [66, S.
32]für R1,2 ≈ 1. Bei gegebener Entwurfswellenlänge λc ist daher die Linienbreite nahezu proportional zu den Spiegelverlusten 1 − R1,2 und umgekehrt
proportional zu dem longitudinalen Modenindex m.
Um die Linienbreite des Filters an die technischen Anforderungen anzupassen kann daher einerseits über die Länge der Kavität der Modenindex m
eingestellt werden, was allerdings mit den Anforderungen für den Abstimmbereich kollidieren könnte, da dieser über den freien Spektralbereich und die
optische Abstimmeffizienz stark von m abhängt. Andererseits ist es möglich
die Reflektivität der Braggspiegel relativ genau über die Anzahl der Perioden
und das Tastverhältnis zu steuern. Abb. 4.15 zeigt die Spiegelverluste 1 − R
bei der Entwurfswellenlänge des Spiegels als Funktion des Tastverhältnisses
in Abhängigkeit von der Anzahl der Perioden des Spiegels.
Während die Periodenanzahl naturgemäß eine diskrete Variation der Spiegelverluste ermöglicht, können durch eine leichte Variation des Tastverhältnisses von ca. 0.3 bis 0.5 auch Zwischenwerte realisiert werden. Dabei ist aber
zu beachten, dass sich nach Gl. 4.22 auch die Stopbandbreite verkleinert.
Bei verlustlosen Materialien kann durch eine geeignete Anzahl von Spiegelperioden auch ein beliebig geringer Spiegelverlust eingestellt werden. In
der Praxis sorgt jedoch schon eine geringe Absorption der verwendeten Materialien dafür, dass es einen minimalen Wert größer als 0 für die Spiegelverluste gibt, der nicht unterschritten werden kann. In Abbildung 4.16 sind
die Spiegelverluste für das dielektrische System SiO2 /SiNx bei verschiedenen Absorptionswerten in SiNx dargestellt. Es lässt sich erkennen, dass je
nach Höhe der Absorption sich die Kurven immer asymptotisch an einen bestimmten Wert annähern. Dieses Verhalten lässt sich dadurch erklären, dass
die Welle beim Durchgang durch eine Periode immer einem gewissen anteiligen Verlust durch die Absorption unterworfen ist, der unwiderruflich verloren
ist und nicht in den nachfolgen Perioden aufgefangen werden kann. Dieser
Verlust trägt auch zu den Spiegelverlusten insgesamt bei.
Wenn die Absorption der verwendeten Spiegelmaterialien stark unterschiedlich ist, was für InP/Luft-Spiegel bei einer p-Dotierung des InP [86,
Kap. 8.4] möglich ist, lassen sich die Spiegelverluste durch eine Änderung
4.4. ENTWURF
101
1e+00
8 periods
10 periods
12 periods
14 periods
16 periods
Mirror loss (1 - R)
1e-01
1e-02
1e-03
1e-04
0
0.2
0.4
0.6
Duty cycle τ
0.8
1
Abbildung 4.15: Spiegelverluste eines Braggspiegels dargestellt als Funktion des Tastverhältnisses und der Anzahl der Perioden. Der Indexkontrast
beträgt 1.96:1.44. Die Materialien sind als verlustlos angenommen.
1e+00
Mirror Loss (1-R)
1e-01
1e-02
1e-03
1e-04
0
αSiN=0.1/cm
αSiN=1/cm
αSiN=10/cm
αSiN=100/cm
αSiN=1000/cm
4
8
Num. Periods
12
16
Abbildung 4.16: Spiegelverluste eines Braggspiegels aus SiO2 /SiNx dargestellt
als Funktion der Anzahl der Perioden und des Absorptionskoeffizienten α in
SiNx .
102
KAPITEL 4. FILTERENTWURF
1e+00
Mirror loss (1-R)
τ(min(1-R)) = 0.37
1e-01
1e-02
1e-03
0
αSiN = 0.1/cm
αSiN = 1/cm
αSiN = 10/cm
αSiN = 100/cm
αSiN = 1000/cm
0.1
0.2
0.3
Duty cycle τ
0.4
0.5
Abbildung 4.17: Bei stark inhomogener Absorption liegt das Minimum der
Spiegelverluste nicht bei einem Tastverhältnis von 50:50 für die Spiegelschichten, sondern bei einen anderen Wert zugunsten der Schicht mit der geringeren
Absorption. Dargestellt ist diese Eigenschaft für die Spiegel des Modellfilters,
wobei die Absorption in SiNx variiert.
des Tastverhältnisses τ zugunsten der Schicht mit der geringeren Absorption
verbessern.
Dieses Verhalten ist in Abbildung 4.17 dargestellt. Bei einer Absorption
von 1000/cm erhält man die kleinsten Spiegelverluste für ein Tastverhältnis
von 0.63:0.37 für SiO2 /SiNx . Eine extreme Anwendung findet dieses Verfahren bei Braggspiegeln aus alternierenden metallischen und dielektrischen
Schichten, bei denen die (stark absorbierenden) Metallschichten nur wenige
nm dick ist, während die die dielektrischen Schichten eine Dicke von etwa
λ/2 haben [84, Kap. 7.6].
Beim Entwurf eines abstimmbaren Filters für eine bestimmte Linienbreite
ergibt sich das Problem, dass diese nicht über den gesamten Abstimmbereich
konstant ist. Bei verlustlosen Spiegeln ergibt sich ein Minimum der Linienbreite, wenn die Entwurfswellenlänge der Spiegel mit der Kavitätswellenlänge
übereinstimmt. Die Ursache dieses Verhaltens lässt sich im Wesentlichen auf
die Braggspiegel zurückführen. Da die Spiegelverluste im Stopband nicht konstant sind (siehe auch Abb. 4.11), ändert sich nach Gl. 4.23 auch die Linienbreite. Abb. 4.18 zeigt die Variation der Linienbreite für das dielektrische
Modellfilter über den Abstimmbereich bei verschiedenen Modenindizes5 m.
Die starke Änderung der Linienbreite, die für die grüne Kurve in etwa ei5
Durch den Einfluss lateraler Moden im BOR-Modell wird die Änderung der Linienbreite beim Abstimmen noch komplexer. Siehe Kap. 5.2.3
4.4. ENTWURF
103
6
5
FWHM/nm
4
3
2
m=1
m=2
m=3
1
0
1300
1400
1500
1600
Filter Wavelength/nm
1700
1800
Abbildung 4.18: Linienbreite dargestellt als Funktion der Filterwellenlänge
über den Abstimmbereich für unterschiedliche longitudinale Modenindizes.
ne Größenordnung beträgt, schränkt die technische Anwendbarkeit ein. Als
Lösung des Problems bietet sich hier nur eine Einschränkung des Abstimmbereichs auf die technisch vertretbare Toleranz der Linienbreite an oder alternativ die Verwendung von Materialen mit einem höheren Indexkontrast,
wodurch sich dann die Stopbandbreite erhöht und damit auch der Bereich,
in dem die Linienbreite innerhalb der Toleranzgrenzen liegt.
4.4.3
Einfügedämpfung
Die Einfügedämpfung hängt wie in Kap. 3.4.4 dargestellt sowohl von der Modenkopplung, d.h. dem anregenden Feld, als auch von der Transferfunktionen
des Filters ab. Während die erste Eigenschaft sich prinzipiell nicht mit Hilfe
der Transfermatrixmethode erfassen lässt, können dennoch einige Aussagen
über die Transferfunktion gemacht werden. Für die Transmissionsfunktion
eines Fabry-Pérot Interferometers existiert zudem die analytische Beziehung
(siehe auch Kap. 3.4.4)
T = |t|2 =
2
4τph
1
.
2
2
τ1 τ2 1 + (8π c τph (1/λ − 1/λc ))2
(4.24)
In dieser Gleichung ist τph die Photonenlebensdauer, die in direkter Beziehung zur Linienbreite λF W HM = λ2c /(2πcτph ) steht. Der Einfluss der Spiegel
wird durch die Spiegelzeitkonstanten τ1,2 erfasst, die sich nach Gl. 3.56 direkt aus der Reflektivität der Spiegel ableiten lassen. Für eine verlustlose
104
KAPITEL 4. FILTERENTWURF
Kavität gilt 1/τph = 1/τ1 + 1/τ2 , für eine verlustbehaftete Kavität ist die
Photonenlebensdauer τph kleiner als dieser Wert.
2
Nach Gleichung 4.24 ist der Vorfaktor 4τph
/(τ1 τ2 ) entscheidend für die
Einfügedämfung, da der zweite Term nur die Lorentzfunktion beschreibt und
bei der Kavitätswellenlänge λc immer den Wert 1 annimmt.
Demnach ergibt sich nur dann eine Einfügedämpfung von 0dB für das
Filter, wenn die beiden Spiegelzeitkonstanten τ1,2 und damit auch die Spiegelverluste 1 − R1,2 identisch sind.
Dies gilt auch nur unter der Voraussetzung, dass das Filter verlustlos
ist. Verluste, gleich welcher Art, führen dazu, dass die Einfügedämpfung
kleiner als 0dB ist. Um also die Voraussetzung für eine möglichst geringe
Einfügedämpfung zu erfüllen, wie sie für alle Anwendungen anzustreben ist,
muss also darauf geachtet werden, dass die Reflektivitäten möglichst identisch und die Spiegel selbst möglichst verlustlos sind. Auch wenn sich diese
Forderung nahezu trivial anhört muss im Einzelfall doch ein gewisser Entwurfsaufwand getrieben werden, da einer der beiden Spiegel von der Ankopplung (z.B. Glasfaser) und der andere vom Substrat beeinflusst wird. Die
Spiegel können also nicht isoliert betrachtet werden.
4.4.4
Entwurf eines InP/Luft-Filters
Das im Folgenden vorgestellte InP/Luft-Filters ist in enger Anlehnung an
die technischen Anwendung als abstimmbares DWDM-Kanalfilter entworfen
worden. Der Entwurf basiert nicht nur auf den systemtechnischen Anforderungen des ITU-Standards [8], sondern auch auf den Restriktionen durch die
technologischen Herstellungsverfahren [35]. So besteht die Forderung, dass
die InP-Membranen eine gewisse Mindestdicke aufweisen müssen, da ansonsten die Bauelementeausbeute zu gering ausfällt. Zudem ist generell eher
eine kleinere Anzahl von Membranen anzustreben, da zusätzliche Membranen ebenfalls den Ausschuss erhöhen. Die Opferschichten müssen ebenfalls
eine bestimmte Mindestdicke haben, damit der nasschemische Unterätzprozess noch funktioniert. Zudem muss das Design einigermaßen tolerant gegen
technologisch bedingte Abweichungen der tatsächlichen Breite der Luftspalte
sein.
Aufgrund der technologischen Gegebenheiten ist die Basis für die weiteren Untersuchungen ein Design mit je 3 InP Membranen für den oberen
und den unteren Spiegel, die eine Dicke von jeweils 367nm haben, was bei
einer Designwellenlänge von 1550nm 3/4λ entspricht. Die Realisierung von
dünneren Schichten ist technologisch zu schwierig und führt zu erhöhtem
Ausschuss. Die Breite der Luftspalte beträgt jeweils 388nm bzw. λ/4 bei der
Designwellenlänge der Spiegel. Rechnerisch ergibt sich damit nach Gl. 4.19
4.4. ENTWURF
105
3
2.5
max. transmission (untuned)
FWHM/nm (untuned)
max. transmission (tuned)
FWHM/nm (tuned)
lc=1612nm (untuned)
lc=1488nm (tuned)
2
1.5
1
0.5
0
0
500
1000
1500
Last airgap thickness/nm
2000
Abbildung 4.19: Einfluss der Breite des letzten Luftspalts auf die Linienbreite
und die Einfügedämpfung.
eine Stopbandbreite von 534.8nm, was für den vorgegebenen Abstimmbereich
von ca. 122nm noch genügend Spielraum ermöglicht.
Der in Abb. 5.1 dargestellte asymmetrische Aufbau des Filters erfordert
eine Optimierung um neben einer möglichst geringen Einfügedämpfung auch
eine möglichst konstante Linienbreite über den Abstimmbereich zu erhalten. Daher wird zunächst mit einer nominellen λ/2-Kavität die Breite des
Luftspalts zwischen dem Substrat und der ersten InP-Membran angepasst.
Abbildung 4.19 zeigt den Einfluss dieses Luftspalts auf die Linienbreite und
die Einfügedämpfung für Start und Ende des Abstimmbereichs. Durch eine
ungeschickte Wahl der Breite kann sich demnach die Linienbreite zwischen
1nm und ca. 2.5nm ändern, was die erlaubten Toleranzen bei weitem übersteigt. Gleichzeitig ist zu erkennen, dass die erwünschte geringe Linienbreite
mit einer leicht erhöhten Einfügedämpfung einhergeht, was darauf hindeutet,
dass die Spiegel dort nicht ganz symmetrisch sind. Dasselbe Verhalten lässt
sich allerdings auch bei dem Maximum der Linienbreite beobachten.
Damit eine starke Variation der Linienbreite sowohl durch die Abstimmung als auch durch technologische Toleranzen ausgeschlossen ist muss die
Breite des untersten Luftspalts zwischen ca. 300nm und 600nm gewählt werden. In dem vorliegenden Fall sind es 465nm.
Die grundlegenden Eigenschaften des Filters sind für eine λ/2-Kavität
sind in Abbildung 4.20 dargestellt. Die Einfügedämpfung variiert von ca. 0.4
bis 0.6 was für die meisten Anwendungen noch tolerierbar ist. Die Linienbreite liegt mit 0.9nm bis ca. 1.2nm hier nicht mehr im Spezifikationsbe-
106
KAPITEL 4. FILTERENTWURF
1620
1
1600
0.9
1580
λ0 /nm
ηI
λFWHM /nm
0.7
1540
1520
0.6
ηopt (1491-1611nm) = 0.785
1500
0.5
0.4
0
1560
λ0 /nm
0.8
1480
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
∆lcav /µm
1460
0.2
Abbildung 4.20: Grundlegende Eigenschaften eines InP/Luft-Filters mit einer λ/2-Kavität (m = 1) (effektiv 850nm) dargestellt als Funktion der Kavitätslänge.
1
1620
0.9
1600
1580
0.7
ηopt = 0.544
λ0 /nm
ηI
λFWHM /nm
0.6
1540
1520
0.5
0.4
0
1560
λ0 /nm
0.8
1500
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
∆lcav /µm
1480
0.2
Abbildung 4.21: Grundlegende Eigenschaften eines InP/Luft-Filters mit einer λ-Kavität (m = 2) (effektiv 1658nm) dargestellt als Funktion der Kavitätslänge.
4.4. ENTWURF
107
reich. Um die Linienbreite zu verkleinern gibt es wie in Kap. 4.4.2 dargestellt
die Möglichkeit die Periodenanzahl und das Tastverhältnis der Spiegel oder
die Kavitätslänge zu verändern. Die erste Möglichkeit ist nicht besonders
attraktiv, da aus technologischen Gründen eine geringe Anzahl von Membranen angestrebt wird. Eine Vergrößerung der Kavitätslänge bringt hier
die Lösung. Abbildung 4.21 zeigt, dass mit einer λ-Kavität die Linienbreite
im erforderlichen Bereich nur noch von ca. 0.55nm bis 0.7nm variiert. Die
Einfügedämpfung ist zwar insgesamt nicht besser geworden, aber konstanter. Auch wenn die optische Abstimmeffizienz etwas geringer ausfällt, lässt
sich doch insgesamt ein etwas größerer Abstimmbereich erzielen (siehe Kap.
4.4.1). Die geometrischen Daten sind in Tab. 5.1 für den Typ DIn006 zusammengefasst.
Kapitel 5
Simulations- und
Messergebnisse
109
110
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
In diesem Kapitel werden die Ergebnisse der Filtercharakterisierung und
der Simulation dargestellt. Es wird allerdings keine exakte Trennung vorgenommen, da die Ergebnisse teilweise aufeinander aufbauen. Daher wird in
Kap. 5.1 zunächst auf die Struktur der technologisch realisierten Filter eingegangen, die die Basis für die Modellrechnungen darstellen, und es werden
deren Eigenschaften erläutert. In Kap. 5.2 stehen die Analyse der Filtereigenschaften auf der Basis von Modellrechnungen im Vordergrund, wobei auch
hier an geeigneter Stelle einige Ergebnisse der Charakterisierung, insbesondere zu den Transmissions- und Reflexionseigenschaften und der Modenanregung, gezeigt werden. In Kap. 5.3 werden die Messungen zu der Abstimmcharakteristik und -dynamik dargestellt und analysiert.
5.1
Strukturbeschreibung
Grundsätzlich kann zwischen 3 verschiedenen Strukturen unterschieden werden, die sowohl charakterisiert wurden, als auch Gegenstand von Modellrechnungen waren. Zwei dieser Filterimplementierungen basieren auf dem InPLuft-System und eine auf dem SiNx -Luft-System. Die geometrischen Daten
sind bei allen Filtern unterschiedlich, ebenso wie die Anzahl der Membranen, wobei die wichtigsten Parameter in Abb. 5.1 dargestellt sind. Neben
dem Durchmesser D und der Stärke lm der Membranen ist auch die Breite
der Luftspalte lg , die Kavitätslänge lcav und die Breite des letzten Luftspalts
ls von Bedeutung.
Der Trockenätzschritt für die laterale Strukturierung erzeugt in der Regel
keine exakt senkrechten Seitenwände sondern eine sich leicht nach oben hin
verjüngende Struktur, weswegen die Mesainklination α mit in die Betrachtungen eingeht. Aus praktischen Gründen wird dieser Wert dazu verwendet die
Änderung des Membrandurchmessers in Bezug auf die unterste Membran zu
beschreiben, wobei aber die Membranen selbst in der Simulation senkrechte
Seitenwände haben. Die typischen kleinen Mesawinkel von ca. α = 3◦ haben
ohnehin nur einen unwesentlichen Einfluss auf das Simulationsergebnis. Eine eventuelle Verbiegung der Membranen wird durch den vertikalen Versatz
des Rands der Membrane relativ zur Mitte d dargestellt, was zwar nicht der
üblichen Darstellung mit einem Krümmungsradius (ROC) entspricht, aber
bei der Beschreibung der Geometrie vorteilhafter ist und ebenso leicht durch
eine weisslichtinterferometrische Messung bestimmt werden kann. Der Abstand der in Abb. 5.1 angedeuteten Faser ist keine geometrische Eigenschaft
des Filters. Eine Zusammenfassung dieser geometrischen Daten für die verschiedenen Filtertypen kann Tab. 5.1 entnommen werden.
5.1. STRUKTURBESCHREIBUNG
111
Faser
d
α
lm
lcav
lg
k
ls
D
Substrat
Abbildung 5.1: Geometrische Parameter der Luftspaltfilter. Die vertikalen
Distanzen werden generell in der Mitte gemessen.
5.1.1
InP-Luftspalt-Filter
Die InP-Luftspalt-Filter sind wie in Abb. 1.1 dargestellt aus kreisförmigen
Membranen aufgebaut, die durch 3 oder 4 Aufhängungen an Haltepfosten
befestigt sind. In der Mitte ist die etwas breitere Kavität zu erkennen. Der
untere Spiegel hat 3 Perioden, der obere hingegen nur 2.5, da effektiv ein
Luftspalt verloren geht. Die resultierende ungleiche Reflektivität der Spiegel wirkt sich ungünstig auf die Einfügedämpfung aus (siehe Kap. 4.4.3),
weswegen der an das Substrat angrenzende Luftspalt in der Breite angepasst
wird um die Eigenschaften zu verbessern. Die technologische Realisierung der
Filter umfasst sehr viele Schritte, von denen die wichtigsten die epitaktische
Herstellung des Schichtsystems [87,88], die Ausformung des Mesa durch einen
Trockenätzprozess und das nasschemische Unterätzen der Membranen sind,
wobei die Breite der Luftspalte durch die des Opfermaterials1 definiert wird.
Die technologischen Herstellungsprozesse sind in [30] detailliert erläutert. Insbesondere die Epitaxie hat großen Einfluss auf die Funktion des Filters, da
sie nicht nur die vertikale Struktur definiert, sondern über den epitaktischen
Prozess selbst auch die Absorption in den Schichten.
Die Absorption von reinem InP hat in dem Wellenlängenbereich von 12701650nm einen sehr geringen Wert von α < 1/cm, da die Photonenenergie
sehr weit unterhalb der Bandlücke liegt. Allerdings ist das Material für die
1
Im Fall von InP-Membranen ist dies GaInAs.
112
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
Typ
KIn005
KIn005
Mat.
InP
InP
DIn006
InP
Dielfi03
SiN
lcav
≈820
≈905
850
1650
2468
≈730
D/µm
40
20
lm
357
357
lg
375
375
ls
465
465
k
3
3
α
3
3
20
367
388
465
3
3
15-30
570
370
0
5
1
Tabelle 5.1: Zusammenfassung der geometrischen Eigenschaften der Filter.
Die Struktur Dielfi03 hat keinen an das Substrat angrenzenden Luftspalt,
dafür ist die letzte SiN-Schicht etwas stärker. Sofern nicht anders angegeben
ist die Längeneinheit nm.
Filter dotiert um die elektrostatische Abstimmung zu ermöglichen. Dazu wird
der eine Spiegel p- und der andere n-dotiert, und an die so entstandene
pin-Diode2 eine Sperrspannung angelegt. Die p- und die n-Dotierung haben
aber auch einen großen Einfluss auf die Absorption der Membranen, wobei
insbesondere durch die p-Dotierung Werte von mehr als 100/cm zustande
kommen können [86, Kap. 8.4]. Ein zweiter Effekt, der sich ungünstig auf
die Absorption auswirkt, ist die Arsendiffusion in die InP-Schichten während
des epitaktischen Prozesses [87], da durch die ungewollte Verunreinigung des
Materials auch vermehrt Störstellenabsorption möglich ist. Die resultierende
Absorption ist schwer zu quantifizieren, allerdings haben Modellrechnungen
über den Vergleich der Linienbreiten der Filter ergeben, dass in etwa mit
einer Absorption von ca. 60-100/cm in den Schichten gerechnet werden muss,
wobei natürlich auch noch andere Verunreinigungen als die oben erwähnten
dazu kommen können.
Durch den epitaktischen Prozess kann es zudem zu gezielten oder ungewollten Verspannungen in den Schichten kommen, so dass diese nach der
Unterätzung nicht mehr eben, sondern in bestimmter Art und Weise gekrümmt sind. Man unterscheidet zwei Arten von Verspannungen: homogene
Verspannung und Gradientenverspannung. Die Ursache der homogenen Verspannung ist eine Gitterfehlanpassung der epitaktischen Schichten gegenüber
dem Substratmaterial oder untereinander. Auch wenn eine homogene Spannung teilweise gezielt zur Veränderung der Bandstruktur und der elektronischen Eigenschaften verwendet wird, ist es für die Filter doch sinnvoll diese möglichst zu vermeiden, da sich sonst beim Unterätzen die Membranen
verkrümmen oder sogar reißen. Durch die Epitaxie ist es möglich die Verspannung gezielt zu verstellen, wobei für die Membranen eine leicht tensile
2
Das Material, das die Kavität definiert, wird nicht dotiert.
5.1. STRUKTURBESCHREIBUNG
113
Abbildung 5.2: Oberflächenprofile von zwei unterschiedlichen InP-LuftFiltern (mit einem Weisslichtinterferometer gemessen). Bei dem linken Filter
ist die oberste Membran nach oben gekrümmt, während bei dem rechts dargestellten Filter die Membran nach unten gekrümmt ist.
Verspannung gewählt wird.
Ein problematischer Effekt ist die Gradientenverspannung, die sich zum
Teil auf den oben erwähnten Prozess der Arsendiffusion zurückführen lässt,
der graduell die Gitterkonstante in den Membranen aus InP ändert [87].
Die Diffusion erfolgt unsymmetrisch bevorzugt in Wachstumsrichtung, da es
wahrscheinlicher ist, dass sich ein As-Atom in einer unvollständig gewachsenen InP-Schicht anlagert, als dass es in der fertig gewachsenen InP-Schicht ein
P-Atom ersetzt. Bisher ist es noch nicht gelungen, diesen Effekt vollständig
zu unterdrücken. Das Resultat ist, dass die Filtermembranen praktisch immer mehr oder weniger stark gekrümmt sind, wobei die Stärke und die Richtung der Krümmung auch auf einer Probe variieren können, wie es in den
Weisslichtinterferometermessungen in Abb. 5.2 dargestellt ist. Generell muss
davon ausgegangen werden, dass sich der obere und der untere Spiegel schon
aufgrund ihrer unterschiedlichen Dotierung und einer leichten Anisotropie des
nasschemischen Unterätzens [35] anders verhalten. Dieser Effekt ist schwer zu
erfassen, da es mit einem Weisslichtinterferometer nur möglich ist die oberste Membran zu analysieren, und auch ein Abtragen der oberen Membranen
ohne Beeinflussung der darunter liegenden praktisch nicht möglich ist. Allerdings zeigen auch die dynamischen Untersuchungen (siehe Kap. 5.3.2 und
Kap. 4.1), dass die oberen und die unteren Membranen unterschiedliche Eigenschaften haben. In einigen Fällen lässt sich dies sogar im Mikroskopbild
in einer Seitenansicht wie in Abb. 5.3 beobachten. Daraus folgt, dass es bei
der Analyse sinnvoll ist, sowohl der Filter mit geraden Membranen also auch
solche mit individuell gekrümmten Membranen zu vergleichen.
114
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
Abbildung 5.3: REM-Bild eines InP-Luft Filters. Bei diesem Exemplar ist
deutlich zu erkennen, dass die Abstände der Membranen des oberen Spiegels kleiner als die des unteren sind, und somit die Spiegel unterschiedliche
Eigenschaften haben.
5.1.2
SiNx -Luftspalt-Filter
Die SiNx -Luftspalt-Filter bestehen ebenso wie die InP-Luftspalt-Filter aus
kreisförmigen Membranen, die aber wie in Abb. 5.4 dargestellt nur mit einem einzigen Biegebalken (Cantilever) an einem Haltepfosten befestigt sind.
Wegen des geringeren Brechungsindex von SiNx sind je 5 Membranen für
den oberen bzw. unteren Spiegel notwendig um eine ausreichend hohe Reflektivität zu erzielen. Zwischen der untersten Membran und dem Substrat
befindet sich kein Luftspalt, was bei dieser Implementierung möglich ist, da
SiNx einen höheren Brechungsindex als das Glassubstrat hat. Damit haben
beide Spiegel 4.5 Perioden und in etwa dieselbe Reflektivität. Im Prinzip basiert die technologische Realisierung auf denselben Schritten, die schon für
das InP-Luft-Filter beschrieben wurden. Da SiNx ein amorphes Material ist,
wird aber keine Epitaxie zur Deposition angewandt sondern eine PECVD
(Plasma Enhanced Chemical Vapor Deposition), die einfacher zu handhaben und kostengünstiger ist. Grundsätzlich existieren hier dieselben Verspannungsprobleme wie bei der Epitaxie, so dass sich ebenfalls eine unbeabsichtigte Verkrümmung der Membranen ergeben kann. Durch viele Versuche ist
es allerdings gelungen sowohl die homogene als auch die Gradientenverspannung zu minimieren, so dass sich nahezu ebene Membranen ergeben [36]. Das
mittels PECVD abgeschiedene SiNx hat im nahen Infrarot eine Absorption
α < 40cm−1 [89], wobei dieser Wert je nach Prozessbedingungen variieren
kann.
5.2. OPTISCHE FILTEREIGENSCHAFTEN
115
Abbildung 5.4: Schematische Darstellung eines dielektrischen Filters mit SiNMembranen.
5.2
Analyse der optischen
Filtereigenschaften
Die in diesem Kapitel präsentierten Simulationsergebnisse basieren alle auf
der Auswertung der Eigenmoden wie in Kap. 3.4.4 dargestellt, wobei diese
mit dem BOR-Modell ermittelt worden sind. Die Darstellung der Intensitätsverteilungen erfolgt daher in einem vertikalen Schnitt durch das Filter, wobei
bei dem Winkel ϕ = 0 horizontal die r-Achse (Radius) und vertikal die zAchse dargestellt sind. Wegen der Symmetrie ist jeweils nur eine Hälfte des
Schnitts beginnend von r = 0 dargestellt, so dass der linke Rand des Intensitätsgraphen die z-Achse darstellt. Den Schnitt durch das gesamte Filter
erhält man, wenn man die Intensitätsverteilung an der z-Achse spiegelt. Die
Farbskala gibt die Intensitätsverteilung des elektrischen Felds in einer logarithmischen Skala wieder (rot = hohe Intensität, blau = niedrige Intensität,
Werte siehe Abb. 3.12).
Die Kopplungseffizienz wurde für die direkte Kopplung mit einer SMF
ermittelt, so dass sich eine Verteilung des anregenden Felds in der Kopplungsebene ergibt, wie sie in Abb. 3.11 dargestellt ist. Die Daten der SMF
wurden dafür aus [5] entnommen.
5.2.1
Membrankrümmung
Da sich wie in Kap. 5.1 erläutert Membrankrümmungen nicht grundsätzlich
vermeiden lassen, zielt ein Punkt der Untersuchungen darauf ab, wie sich die
Krümmung der Membranen auf die Eigenschaften der Filter auswirkt. Die
116
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
d
d
stabil
instabil
Abbildung 5.5: Stabile und instabile Modellkavität. Bei beiden Kavitäten ist
der untere Spiegel immer eben, wobei alle Membranen des oberen Spiegel
gleichmäßig in die jeweilige Richtung gekrümmt sind.
Vielzahl von Möglichkeiten3 , die sich bei der Betrachtung der individuellen
Biegung jeder einzelnen Membran ergibt, lässt dabei aber nur eine ganz gezielte Auswahl zu. Voruntersuchungen haben gezeigt, dass die wesentlichen
Eigenschaften anhand einer stabilen oder instabilen Kavität nach Abb. 5.5
untersucht werden können. Das wichtigste Merkmal ist dabei, wie die Membranen, die an die Luftkavität angrenzen, relativ zueinander gebogen sind.
Die Ursache hierfür ist, dass die Feldenergie sich zum größten Teil in der
Luftkavität konzentriert. Die Verbiegung der anderen Membranen wirkt sich
eher geringfügig aus. Daher werden nur die Kavitäten gemäß Abb. 5.5 untersucht, bei denen der untere Spiegel immer eben und der obere Spiegel
eben oder individuell, aber gleichmäßig gekrümmt ist, so dass sich eine stabile oder eine instabile Kavität bildet. Negative Werte des Parameters d, der
die Verbiegung der Membranen beschreibt, stehen für eine instabile Kavität,
während positive eine stabile Kavität darstellen.
Filter mit D = 40µm
Ausgangspunkt der Untersuchung sind die Filter des Typs KIn005 aus Tab.
5.1, deren wesentlicher Unterschied der Membrandurchmesser ist. Die Simulation wurde mit einer homogenen Absorption im InP von 100/cm durchgeführt. Die Klassifizierung der Eigenmoden erfolgt anhand der radialen Maxima der Intensitätsverteilung des elektrischen Felds, und man erhält die in
Abb. 5.6 dargestellten Moden für das Filter mit 40µm Membrandurchmesser bei ebenen Membranen, wobei der Grundmode und die 5 nächst höheren
Moden dargestellt sind. Anhand der Modenbilder ist deutlich zu erkennen,
dass es sich um eine λ/2-Kavität handelt, da in vertikaler Richtung die Fel3
Schon 729 bei 6 Membranen, wenn jede Membran nur entweder gerade, nach oben
oder nach unten gekrümmt ist.
5.2. OPTISCHE FILTEREIGENSCHAFTEN
117
Abbildung 5.6: Grundmode (HE11) und die 5 nächst höheren Moden des
Filters mit D = 40µm bei ebenen Membranen. Die Abmessungen sind ∆r ≈
20µm und ∆z ≈ 10µm.
dintensität nur ein Maximum in der Kavität hat. In Abb. 5.8 sind die Resonanzwellenlänge λ und die Resonatorverluste α der einzelnen Moden bei
verschiedenen Membrankrümmungen d dargestellt, wobei für die Photonenlebensdauer τph = 1/(αc) gilt.
Das Ergebnis ist insofern bemerkenswert, dass die Variation der Resonatorverluste eher klein ist, was darauf hindeutet, dass die laterale Wellenführung durch den starken Brechungsindexkontrast auch für höhere Moden noch gut funktioniert.
Zwar sind die Verluste der Moden einer instabilen Kavität (grün) eher
größer als diejenigen der ebenen Kavität, aber der Unterschied ist im Allgemeinen nicht groß, was ebenfalls auf eine gute laterale Wellenführung hindeutet.
Eine deutliche Änderung ist bei der stabilen Kavität (blau) zu erkennen; hier ist der Wellenlängenabstand zwischen den Moden größer als bei
den andern beiden Kavitäten, was sich dadurch erklären lässt, dass die Wellenführung durch die stabile Kavität eingeengt wird, und damit effektiv ein
schmalerer Wellenleiter zur Verfügung steht. Im Vergleich mit der Theorie
von Hohlraumresonatoren [54] bedeutet dies, dass der laterale Wellenzahlvektor größer ist, und somit die Abstände der einzelnen Moden ebenfalls. Weiterhin ist zu erkennen, dass die Verluste der Moden in der stabilen Kavität
118
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
Abbildung 5.7: Veränderung des Grundmode (HE11) des Filters mit D =
40µm bei unterschiedlichen Membrankrümmungen.
4400
EH13
HE14
EH13
4200
d=16nm
d=0
d=-4nm
α*m
4000
HE14
HE13
HE14
EH11
EH12
3800
EH12
HE13
EH13
3600
HE13
HE12
EH11
EH12
3400
1550
1555
λ/nm
1560
HE11
HE12 HE12
EH11
HE11
HE11
1565
Abbildung 5.8: Modenkarte des Filters mit D = 40µm für eine stabile, instabile und ebene Kavität. Auf der x-Achse ist die Resonanzwellenlänge und
auf der y-Achse der Verlust der Moden aufgetragen.
5.2. OPTISCHE FILTEREIGENSCHAFTEN
119
3800
0.5
3750
0.4
3700
α*m
κHE11
0.3
3650
0.2
3600
0.1
3550
3500
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0
0.04
d/µm
Abbildung 5.9: Kopplungseffizenz und Verluste für den Grundmode HE11
des Filters mit D = 40µm; dargestellt als Funktion der Membranbiegung d.
nahezu egalisiert werden, wobei einige höhere Moden aufgrund der besseren
lateralen Führung sogar geringere Verluste als der Grundmode aufweisen.
Dieser Effekt wirkt sich eher ungünstig auf die Seitenmodenunterdrückung
des Filters aus, da auch hohe Resonatorverluste die Einfügedämpfung der
Moden vergrößern (siehe Kap. 3.4.4), weswegen die unerwünschten höheren
Moden im Vergleich zum Grundmode hohe Verluste aufweisen sollten.
Die Krümmung der Membran hat einen nicht unwesentlichen Einfluss auf
die Intensität des elektrischen Felds der Moden. Wie in Abb. 5.7 dargestellt,
wird der Grundmode bei einer stabilen Kavität stark eingeengt. Dabei ist
zu beachten, dass die Biegung d nur 16nm, also ca. 1/50 der Kavitätslänge,
beträgt. Bei der instabilen Kavität tendiert der Grundmode dazu eine Intensitätsverteilung auszubilden, die dem nächst höheren Mode (EH11 in Abb.
5.8) ähnelt. Bei einer stärkeren Verbiegung stellt man dann eine Verschmelzung des Grundmode und des nächst höheren Mode fest. Diese Änderung der
Intensitätsverteilung mit der Verbiegung hat natürlich auch einen nicht unwesentlichen Einfluss auf die Kopplungseffizienz, die in Abb. 5.9 zusammen
mit dem Verlust des Grundmode dargestellt ist.
Die starke Variation der Kopplungseffizienz von ca. 0.05 bis 0.5 bei dem
Filter mit D = 40µm erfordert eine sehr geringe Toleranz in Bezug auf die
Membrankrümmung um reproduzierbare Resultate zu erzielen, was auch anhand der Transferfunktionen, die in Abb, 5.10 dargestellt sind, zu erkennen
ist.
Es ist hier deutlich zu sehen, dass in dem Filter eine starke Modenkonkurrenz herrscht; je nach Membrankrümmung sind der Grundmode oder der
nächst höhere Mode besser an das Feld der SMF angepasst, wobei aber die
120
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
1
0.8
EH13/
HE14 EH12/
HE13
EH11/
HE12
0.6
R/T
HE11
d=0
d=-4nm
d=16nm
0.4
0.2
0
1540
1550
1560
λ/nm
1570
1580
Abbildung 5.10: Transferfunktionen des Filters mit D = 40µm bei verschiedenen Membranbiegungen d.
Anpassung immer suboptimal bleibt, so dass die Seitenmodenunterdrückung
eher schlecht ist. In der Transferfunktion ist ebenfalls zu erkennen, dass der
Grundmode die Tendenz hat bei einer instabilen Kavität zu verschwinden.
Abb. 5.11 zeigt den Vergleich der Simulation mit einer Reflexions- bzw.
Transmissionsmessung des Filters mit 40µm Durchmesser. Die Simulation
erfolgte dabei für eine stabile Kavität mit einer Biegung von d = 56nm,
was nach den Untersuchungen mit dem Weisslichtinterferometer einen üblichen Wert darstellt. Der Grundmode wird sehr gut wiedergegeben, wobei
der Unterschied in der Transmission auf die Absorption und Streuung des
Substrats zurückzuführen ist4 . Die Seitenmoden werden durch die Simulation zu stark wiedergegeben. Die Ursache hierfür ist, dass die technologische
Implementierung des Filter durch die Aufhängungen von der exakt rotationssymmetrischen Geometrie abweicht, was wie in Kap. 5.2.5 dargestellt das
elektrische Feld nicht unwesentlich beeinflusst.
Filter mit D = 20µm
Abb. 5.13 zeigt die Verteilung des elektrischen Felds bei dem Filter mit 20µm
Durchmesser und ebenen Membranen. Bedingt durch den kleineren Durchmesser sind auch die lateralen Verluste höher (siehe Abb. 5.12), was dazu
führt, dass insbesondere bei den höheren Moden die lateralen Verluste deutlich anhand der seitlich erhöhten Feldstärke zu erkennen sind. Die Modenkarte in Abb. 5.12 zeigt eine wesentlich größere Variation der Verluste von
4
Der Wert beträgt im Vergleich etwa 9.5/cm
5.2. OPTISCHE FILTEREIGENSCHAFTEN
121
1
R gemessen
T gemessen
R simuliert
T simuliert
0.8
R/T
0.6
0.4
0.2
0
1540
1550
1560
λ/nm
1570
1580
Abbildung 5.11: Vergleich von Simulation und Charakterisierung des Filters
mit D = 40µm.
ca. 5000/m beim Grundmode HE11 bis hin zu ca. 11000/m bei den höheren
Moden. Auffällig ist, dass dieser annähernd lineare Zusammenhang von Resonanzwellenlänge und Verlusten von den zwei Moden EH13 und HE13 nicht
eingehalten wird, was möglicherweise auf eine besonders gut angepasste laterale Resonanz zurückzuführen ist.
Ebenso wie bei dem Filter mit 40µm Durchmesser sind zwar auch bei einer stabilen Kavität die Modenverluste geringer, wobei gleichzeitig der Wellenlängenabstand zwischen den einzelnen Moden gestreckt wird. Dieser Effekt ist aber bei Weitem nicht so ausgeprägt, was darauf hindeutet, dass die
laterale Wellenführung hier dominiert, zumal eine Biegung von 16nm hier
einem kleineren Krümmungsradius entspricht. Dem entsprechend zeigt auch
die Verteilung der elektrischen Feldstärke in Abb. 5.14 keine extreme Änderung bei einer stabilen oder einer instabilen Kavität. Im Wesentlichen lässt
sich nur eine leichte Einengung bzw. Aufweitung des Felds erkennen, so dass
auch die in Abb. 5.15 dargestellte Kopplungseffizienz des Grundmode HE11
für stabile und instabile Kavitäten keine allzu große Änderung erfährt. Allerdings ist es hier so, dass die Kopplungseffizienz bei einer stabilen Kavität
wieder abnimmt, wenn die Membranen zu stark gebogen sind. Es existiert
also hier einen Punkt, bei dem das elektrische Feld des Grundmode im Durchmesser besonders gut an das einer Glasfaser angepasst ist.
Die in Abb. 5.16 dargestellten Transferfunktionen weisen eine wesentlich
weniger ausgeprägte Änderung als die des Filters mit 40µm Durchmesser auf,
wobei insbesondere auffällt, dass eine instabile Kavität eher wenig Einfluss
auf die Filtereigenschaften hat. Eine stabile Kavität ist insofern ungünstig,
122
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
12000
d=0
d=16nm
d=-8nm
10000
α*m
HE14
EH12
8000
HE12
EH13
6000
EH11
HE13
HE11
4000
1580
1590
1600
1610
λ/nm
1620
1630
1640
Abbildung 5.12: Modenkarte des Filters mit D = 20µm für eine stabile,
instabile und ebene Kavität. Auf der x-Achse ist die Resonanzwellenlänge
und auf der y-Achse der Verlust der Moden aufgetragen.
Abbildung 5.13: Grundmode (HE11) und die 5 nächst höheren Moden des
Filters mit D = 20µm bei ebenen Membranen. In horizontaler Richtung
beträgt die Ausdehnung der Graphen ca. 13µm und in vertikaler Richtung
ca. 10µm.
Abbildung 5.14: Veränderung des Grundmode (HE11) des Filters mit D =
20µm bei unterschiedlichen Membrankrümmungen.
5.2. OPTISCHE FILTEREIGENSCHAFTEN
123
5600
0.5
5500
0.4
5400
α*m
κHE11
0.3
5300
0.2
5200
0.1
5100
5000
-0.01
-0.005
0
0.005
d/µm
0.01
0.015
0
0.02
Abbildung 5.15: Kopplungseffizenz und Verluste für den Grundmode HE11
des Filters mit D = 20µm; dargestellt als Funktion der Membranbiegung d.
da auch die Seitenmoden eine verbesserte Kopplung aufweisen. Im Transmissionsspektrum treten die höheren Seitenmoden deutlich weniger hervor,
als es bei dem Filter mit großen Membranen der Fall ist, was sich auf die
wesentlich erhöhten Modenverluste zurückführen lässt.
Insgesamt ist das Filter mit 20µm Membrandurchmesser wesentlich toleranter gegenüber Membrankrümmungen als die Variante mit D = 40µm. Ein
Nachteil ist natürlich, dass die Verluste allgemein höher sind, und dadurch
die Linienbreite vergrößert wird.
Der Vergleich mit der Messung in Abb. 5.17 zeigt eine eher weniger gute
Übereinstimmung, wobei insbesondere die Seitenmoden nicht wiedergegeben
werden. Die Ursache ist wahrscheinlich der starke Einfluss der Aufhängungen
auf die lateralen Moden des Filters. Bemerkenswert bei der Messung ist, dass
der Grundmode offenbar viel besser angeregt wird, als die Simulation zeigt,
was vermutlich darauf zurückzuführen ist, dass der Einfluss der Aufhängungen ein viel besser linear polarisiertes Feld erzeugt.
5.2.2
Kavitätslänge
Grundsätzlich ist es wie in Kap. 4.4.1 gezeigt auch möglich Filter mit einer
λ- oder 3/2λ-Kavität zu konstruieren, wobei der effektive Abstimmbereich
sogar noch größer wird. Eine Frage, die dabei nicht geklärt wurde, ist das
Verhalten der Seitenmoden bei größeren Kavitäten, das sich prinzipbedingt
nicht mit der Transfermatrixmethode erfassen lässt. Dieses Verhalten wurde
anhand des Filters DIn006 in Tab. 5.1 untersucht, wobei als physikalische
Länge für die λ/2-Kavität 850nm und 1658nm bzw. 2468nm für die λ- bzw.
124
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
1
EH13/
HE14
EH12/
HE13
0.8
EH11/
HE12
R/T
0.6
HE11
0.4
d=0
d=16nm
d=-8nm
0.2
0
1580
1590
1600
1610
λ/nm
1620
1630
1640
Abbildung 5.16: Transferfunktionen des Filters mit D = 20µm bei verschiedenen Membranbiegungen d.
1
0.8
R gemessen
T simuliert
R simuliert
R/T
0.6
0.4
0.2
0
1580
1590
1600
1610
λ/nm
1620
1630
1640
Abbildung 5.17: Vergleich von Simulation und Charakterisierung des Filters
mit D = 20µm.
5.2. OPTISCHE FILTEREIGENSCHAFTEN
125
12000
λ/2-Kav.
λ-Kav.
3λ/2-Kav.
10000
α*m
8000
EH12
6000
4000
HE13
EH11
HE12
2000
0
1580
1590
1600
λ/nm
HE11
1610
1620
Abbildung 5.18: Vergleich der Eigenmoden einer λ/2- (schwarz), λ- (rot) und
3/2λ-Kavität (grün). Auf der x-Achse ist die Resonanzwellenlänge und auf
der y-Achse der Verlust der Moden aufgetragen.
3/2λ-Kavität gewählt wurden um wie in Kap. 4.4.4 dargestellt eine Filterwellenlänge von ca. 1612nm ohne Aktuation zu erhalten. Dabei wurde für
den oberen, n-dotierten Spiegel eine homogene Absorption von 10/cm und
für den unteren p-dotierten Spiegel eine Absorption von 60/cm angenommen.
Die Modenkarte ist für alle drei Kavitätslängen in Abb. 5.18 dargestellt,
wobei sofort auffällt, dass die Verluste umso höher werden, je größer die Kavitätslänge ist. Dies gilt für alle Moden außer dem Grundmode HE11, der das
umgekehrte Verhalten zeigt, was sich mit dem Ergebnis des Entwurfs in Kap.
4.4.4 deckt. Offenbar wirkt beim Grundmode die starke Indexführung noch
so gut, dass selbst bei längeren Kavitäten die Tendenz noch zu einer kleineren Linienbreite geht. Bei den höheren Moden dominieren dann die lateralen
Verluste, so dass sich insbesondere bei der 3/2λ-Kavität eine Variation von
1000/m bis annähernd 12000/m ergibt. Dieser Effekt wirkt sich wie schon
in Kap. 5.2.1 dargestellt günstig auf die Seitenmodenunterdrückung aus, was
auch die in Abb. 5.19 dargestellte Simulation der Transferfunktionen zeigt.
Insbesondere bei der 3/2λ-Kavität werden die höheren Seitenmoden des
Filters effektiv unterdrückt, was sich vor allen Dingen in der Transmission
des Filters bemerkbar macht. Allerdings lässt sich auch eine leichte Abnahme
der Kopplungseffizienz des Grundmode HE11 erkennen, die aber durch eine
Anpassung des Durchmessers ausgeglichen werden kann.
Da neben den systemtechnischen und optischen Eigenschaften auch die
Größe der Abstimmspannung sowie einige technologische Randbedingungen
zu beachten sind, wurde für eine erneute Implementierung ein Filter mit einer
λ-Kavität gewählt, mit dem sich leichter die Zielvorgabe für die Linienbreite
126
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
1
0.8
λ-Kav.
λ/2-Kav.
3λ/2-Kav.
Reflection
R/T
0.6
0.4
0.2
Transmission
0
1580
1590
1600
λ/nm
1610
1620
Abbildung 5.19: Vergleich der Transferfunktionen der Filter mit λ/2(schwarz), λ- (rot) und 3/2λ-Kavität (grün).
und die Seitenmodenunterdrückung einhalten lässt. Nach den errechneten
Transferfunktionen in Abb. 5.19 beträgt die Einfügedämfung des Filters ca.
7dB.
5.2.3
Abstimmverhalten
Neben dem Einfluss der Seitenmoden auf die Transferfunktion besteht natürlich die Frage, wie sich die laterale Begrenzung des Filters auf das Abstimmverhalten auswirkt. Der Entwurf für das Filter DIn006 wurde mit der
Transfermatrixmethode ausgeführt (siehe Kap. 4.4), die keine Möglichkeit
bietet eine laterale Strukturierung mit einfließen zu lassen. Die Ergebnisse der Simulation des Abstimmverhaltens mit der Transfermatrixmethode
und dem BOR-Modell mit derselben vertikalen Geometrie sind in Abb. 5.20
gegenübergestellt. Die Filterwellenlänge ist durch den Einfluss der lateralen Begrenzung etwas kleiner, was sich im Vergleich mit einem rechteckigen
Hohlraumresonator plausibel machen lässt. Die Resonanzwellenzahl setzt sich
hier aus den Beiträgen der einzelnen Raumrichtungen zusammen [54], und
je größer die Ausdehnung in einer Raumrichtung ist, desto kleiner wird die
Wellenzahl der Resonanz in dieser Raumrichtung. Im Grenzübergang zu dem
1D-Modell wird die laterale Resonanzwellenzahl dann 0. Ansonsten ist in der
optischen Abstimmeffizenz ηopt kein Unterschied erkennbar, was bestätigt,
dass das Transfermatrixmodell hier sehr realitätsnahe Ergebnisse liefert.
Das Verhalten der Linienbreite, die durch die gesamten Verluste des Filters bestimmt wird, zeigt in der Simulation mit dem BOR-Modell einige
5.2. OPTISCHE FILTEREIGENSCHAFTEN
127
1620
1
ηopt = 0.544
1600
0.9
0.8
1D: λ0 /nm
BOR: λ0 /nm
1580
1D: λFWHM /nm
BOR: λFWHM /nm
0.6
1540
1520
0.5
0.4
0
λ0 /nm
1560
0.7
1500
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
∆lcav /µm
1480
0.1
Abbildung 5.20: Vergleich von Verlusten und Filterwellenlänge des Grundmode HE11 des Filters DIn006 bei der Abstimmung. Die Simulation wurde
zum einen mit der Transfermatrixmethode (1D) und zum andern mit dem
BOR-Modell durchgeführt.
Sprünge, die in ihrer Form Polstellen ähneln. Es ist zwar möglich, aber eher
unwahrscheinlich, dass diese Sprünge Artefakte sind, die durch das Gitter
hervorgerufen werden, da der Verlauf der Kurve sich ansonsten gut an die
Transfermatrixsimulation anpasst. Die allgemein etwas größere Linienbreite lässt sich durch die lateralen Verluste erklären, die in dem BOR-Modell
mit eingehen. Eine mögliche Ursache hierfür könnte die Überlagerung mehrerer lateraler und vertikaler Resonanzen sein. Da Real- und Imaginärteil
des Eigenmode miteinander korreliert sind, treten ähnliche Effekte wahrscheinlich auch in der Abstimmkurve auf, die aber wegen der Skalierung
(λ0 > 1000λF W HM ) nicht sichtbar sind.
5.2.4
Dielektrische Filter
Die dielektrischen Filter des Typs Dielfi03 zeichnen sich durch eine besonders
gute Optimierung der Gradientenverspannung aus, was zu nahezu ebenen
Membranen führt, die über eine Länge von ca. 100µm nur wenige nm gebogen sind [35]. Zudem wird die rotationssymmetrische Geometrie durch die
Fixierung der Membranen mit einer einzelnen Aufhängung nur wenig gestört
(siehe auch Abb. 5.24), auch wenn dadurch eine Asymmetrie entsteht. Die
Darstellung der Eigenmoden in Abb. 5.21 zeigt, dass aufgrund des geringeren Indexkontrasts das elektrische Feld im Vergleich zu den InP-Luft-Filtern
auch stärker in die Spiegel eindringt. Die Modenkarte in Abb. 5.22 zeigt
einen Vergleich der Moden eines Filters mit D = 20µm und eines Filters mit
128
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
Abbildung 5.21: Grundmode (HE11) und die beiden nächsten Moden des
Filtertyps Dielfi03 (D = 20µm). Die Grenzen der Membranen sind durch
schwarze Linien angedeutet. In horizontaler Richtung beträgt die Ausdehnung der Graphen ca. 13µm und in vertikaler Richtung ebenfalls ca. 13µm.
3800
D=30µm
D=20µm
EH12
3600
α*m
3400
EH13
HE12
3200
EH11
HE13
EH12
3000
HE12
EH11
2800
1455
1460
1465
λ/nm
1470
HE11
HE11
1475
Abbildung 5.22: Modenkarte des Filters Dielfi03 für D = 30µm (blau) und
D = 20µm (rot). Auf der x-Achse ist die Resonanzwellenlänge und auf der
y-Achse der Verlust der Moden aufgetragen.
D = 30µm. Im Vergleich zu den InP-Luft-Filtern ist hier die Variation der
Verluste schon größer, wobei aber nach wie vor die Indexführung dominiert.
Auch hier lässt sich erkennen, dass durch die laterale Einengung des Felds
die Abstände zwischen den Moden erheblich vergrößert werden, wobei hier
aber nur der Membrandurchmesser und nicht die Verbiegung eingeht.
Abb. 5.23 zeigt den Vergleich der gemessenen Transferfunktionen eines
Filters mit den simulierten für D = 20µm und D = 30µm. Die Simulation für
D = 20µm entspricht der Messung schon relativ gut, wobei aber offensichtlich
der effektive Membrandurchmesser bei der Messung etwas größer ist, da die
Moden enger zusammen liegen. Obwohl die Anregung des fundamentalen
Mode in der Simulation zu schwach im Vergleich zu der Messung ist, ist die
5.2. OPTISCHE FILTEREIGENSCHAFTEN
129
1
0.8
0.6
R/T
Messung
Sim. D=20µm
Sim. D=30µm
0.4
0.2
0
1440
1450
1460
λ/nm
1470
1480
Abbildung 5.23: Vergleich von Simulation und Charakterisierung des Filters
Dielfi03.
Übereinstimmung von Simulation und Messung doch besser als bei dem Filter
KIn005 mit D = 20µm, was offensichtlich darauf zurückzuführen ist, dass die
Rotationssymmetrie durch die Kantileveraufhängung weniger gestört wird.
5.2.5
Einfluss der lateralen Struktur auf die Modenanregung
Der Vergleich der Simulation mit den Messungen hat gezeigt, dass offenbar
die Aufhängungen wie in Abb. 5.24 schematisch dargestellt einen wesentlichen Einfluss auf die Filtereigenschaften haben, so dass natürlich die Frage
besteht, wie sich die lateralen Moden in den einzelnen Filtertypen ausbilden.
Bei der Abtastung der Filteroberfläche werden dabei aber nicht nur die linear
polarisierten Moden HE1x und EH1x erfasst, sondern aufgrund des lateralen
Versatz der Faser auch andere Moden. Zum Vergleich wurden daher einige
Simulationen mit Wellenleitern durchgeführt, die einen der Membranform
angepassten Querschnitt haben5 . Dabei ist allerdings zu beachten, dass diese
Ergebnisse insbesondere in Bezug auf die Eigenwerte nicht auf die Filtersimulation übertragbar sind, da hier in der optischen Ausbreitungsrichtung
völlig andere Verhältnisse vorliegen. Deswegen sind in den Bildern auch nicht
die entsprechenden Eigenwerte angegeben. Die Farbskala ist dabei im Gegensatz zu den Darstellungen der Eigenmoden in der r-z-Ebene sowohl für die
Simulation als auch für die Messung linear, wobei ein Querschnitt senkrecht
zur z-Achse dargestellt ist. Durch den relativ großen Strahldurchmesser der
5
3D Simulationen waren aufgrund von Speicherproblemen nicht möglich.
130
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
D
10µm
D
Abbildung 5.24: Laterale Form der Membranen der InP-Luft-Filter (links)
und der SiN-Luft-Filter (rechts). Für einen Membrandurchmesser von D =
20µm ist die Darstellung maßstabsgetreu.
Abbildung 5.25: Wellenleitersimulation für einen stark führenden, zylindrischen Wellenleiter. Dargestellt sind die ersten drei Moden.
Glasfaser können nur die niedrigen Moden einschließlich des Grundmodes
angeregt werden, die keine starke laterale Variation aufweisen. Die räumliche
Auflösung der Abtastung beträgt in allen Fällen etwa 500nm.
Wellenleitersimulationen
Die Moden, die höchstwahrscheinlich in den Filtern angeregt werden, sind in
Abb. 5.25 für einen zylindrischen Querschnitt und in Abb. 5.26 für einen Wellenleiterquerschnitt mit Aufhängungen dargestellt. Die Begrenzung ist dabei
jeweils durch eine weiße Linie markiert. Während die Form des Grundmode bei beiden Strukturen sehr ähnlich ist, ist bei den höheren Moden doch
ein deutlicher Unterschied zu erkennen. Die in dem zylindrischen Wellenleiter vorhandenen, torusförmigen Moden sind in der anderen Struktur nicht
vorhanden. Da insbesondere der dem Grundmode HE11 benachbarte, linear polarisierte Mode (EH11, siehe Abb. 5.13), der auch eine torusförmige
Intensitätsverteilung aufweist, meist recht deutlich in den simulierten Transferfunktionen auftritt, ist zu vermuten, dass dieser Beitrag durch den Einfluss
der Aufhängungen deutlich verringert wird. Der für den zylindrischen Wellenleiter dargestellte Mode HE21 hat im Vergleich mit den Moden E01 und
H01 dieselbe Intensitätsverteilung und einen fast identischen Eigenwert, wo-
5.2. OPTISCHE FILTEREIGENSCHAFTEN
131
Abbildung 5.26: Wellenleitersimulation für einen stark führenden Wellenleiter
mit einem Querschnitt, der den Membranen des Filters DIn006 entspricht.
Dargestellt sind die Moden, die wahrscheinlich angeregt werden.
bei sich aber das vektorielle Feld jeweils unterscheidet. Die gängige Praxis
diese drei Moden (E01, HE21 und H01) für schwach führende Wellenleiter zu
dem linear polarisierten LP02-Mode zusammenzufassen lässt sich allerdings
nicht auf die Filter übertragen. Tatsächlich ist aber die Intensitätsverteilung
und die Resonanzfrequenz dieser drei Moden so weit identisch, dass messtechnisch keine Trennung möglich ist.
Messung der Modenanregung
Abb. 5.27 zeigt die messtechnisch ermittelten Moden eines Filters von Typ
DIn006. Es ist deutlich zu erkennen, dass nur der Grundmode in etwa dem
eines zylindrischen Filters entspricht, wobei hier auch eine leichte Verzerrung
erkennbar ist. Die beiden höheren Moden ähneln in ihrer Form am ehesten
den in Abb. 5.26 dargestellten höheren Moden, wobei die teilweise starke Verzerrung wahrscheinlich auf eine Verbiegung der Membranen zurückzuführen
ist. Die räumliche Darstellung der Reflektivität in Abb. 5.27 zeigt, dass die
Annahme eines zylindrischen Querschnitts für diese Filter eher ungerechtfertigt ist. Ein rechteckiger Querschnitt wäre hier eher angebracht.
Ein Filter desselben Typs zeigt ein ungewöhnliches Verhalten, das in Abb.
5.28 dargestellt ist. Hier sind die beiden höheren Moden jeweils aufgespalten,
so dass sich in der Überlagerung der Moden bei 1600.0nm bzw. 1594.9nm
mit den Moden bei 1598.8nm bzw. 1593.3nm die in Abb. 5.26 dargestellten
Feldverteilungen ergeben. Die Ursache hierfür könnte eine axiale Biegung
der Membranen sein, so dass das Filter keine vierzählige Symmetrie mehr
aufweist. Eine Biegung der Membranen, die sich bevorzugt in bestimmten
Achsen ausbildet, wurde schon bei der Untersuchung von Membranen mit
einem Weisslichtinterferometer festgestellt [35]. Zudem sieht die räumliche
Verteilung der Reflektivität in einer Achse auch leicht gestreckt aus.
Die Messung der Modenanregung bei den Filtern des Typs Dielfi03 in
132
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
Abbildung 5.27: Messung der Modenanregung bei einem Filters des Typs
DIn006.
Abbildung 5.28: Messung der Modenanregung bei einem Filters des Typs
DIn006, dessen Membranen vermutlich eine axiale Verbiegung aufweisen. Die
abgetastete Fläche beträgt etwa 20 × 20µm2 .
5.2. OPTISCHE FILTEREIGENSCHAFTEN
133
Abbildung 5.29: Messung der Modenanregung bei einem Filters des Typs
Dielfi03 mit D = 20µm. Die Aufhängung der Membranen ist rechts angeordnet.
Abbildung 5.30: Messung der Modenanregung bei einem Filters des Typs
Dielfi03 mit D = 30µm. Die Aufhängung der Membranen ist rechts angeordnet.
134
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
Abb. 5.29 und 5.30 zeigt nicht nur in der Reflexion, dass hier offenbar die
Voraussetzungen für eine rotationssymmetrische Geometrie gut erfüllt werden. Schon bei dem Filter mit D = 20µm sind die beiden höheren angeregten
Moden annähernd torusförmig, wobei sich diese Tendenz bei dem Filter mit
D = 30µm noch verstärkt. Es lässt sich dennoch eine gewisse Asymmetrie
erkennen, die sich vor allen Dingen in dem asymmetrischen Anregungsmaximum der Moden bei 1430.8nm bzw. 1439.8nm zeigt. Die Ursache hierfür
kann zum einen die Aufhängung selbst sein, zum anderen hat sich in den Untersuchungen mit dem Weisslichtinterferometer gezeigt, dass die Membranen
zumindest teilweise leicht nach oben gebogen sind [35], was auch dadurch
unterstützt wird, dass der Grundmode leicht nach links verschoben ist.
5.3
Elektromechanische
Charakterisierung
Die Elektromechanische Charakterisierung umfasst zum einen die Messung
der Abstimmfunktionen, die in Kap. 5.3.1 für einige Filter dargestellt sind,
und die dynamischen Eigenschaften bei harmonischer Anregung, die in Kap.
5.3.2 analysiert werden.
5.3.1
Abstimmung
Die Abstimmfunktionen werden wesentlich von den elektromechanischen Eigenschaften der Filter beeinflusst, aber auch die optische Abstimmeffizienz
hat Einfluss auf die gemessenen Abstimmkurven. Die Kurven werden mit
Gl. 4.3 angepasst, wobei aber insbesondere die optische Abstimmeffizienz
ηopt und die Federkostante k eine starke Korrelation haben. Es ist daher
nicht einfach eine präzise Unterscheidung zu treffen, wie groß der Einfluss
der einzelnen Effekte wie Federkonstante und optische Abstimmeffizienz auf
die gemessene Kurve ist. Im Folgenden wird versucht durch eine Anpassung
der Modellkurven eine Abschätzung zu erhalten. Gl. 4.3 ist für die Anpassung
unterbestimmt. Eine genaue Analyse ergibt, dass sich nur 3 unabhängige Variablen für die Anpassung ergeben, wohingegen es mindestens 4 unbekannte
Größen (Kavitätslänge lcav , Federkonstante k, optische Abstimmeffizienz ηopt
und Kennlinienexponent a) gibt. Daher muss einer der ersten 3 Werte vorgegeben werden, wobei sich dazu die Kavitätslänge am besten eignet, da sie sich
über die Filterwellenlänge relativ zuverlässig bestimmen lässt. Die maximale
Abstimmung ∆λmax und die Pull-In-Spannung Up lassen sich direkt aus den
drei Anpassparametern bestimmen, so dass hier kein Parameter vorgegeben
werden muss.
5.3. ELEKTROMECHANISCHE
CHARAKTERISIERUNG
135
1
0.8
0.6
R
1680
1640
λ/nm
0.4
1600
0.2
1560
0
5
10
15
20
25
U/V
0
1540
1560
1580
1600
λ/nm
1620
1640
1660
Abbildung 5.31: Reflexionsspektren und die daraus ermittelte Abstimmkurve
eines Filters des Typs DIn006.
1
0.8
R
0.6
1600
λ/nm
0.4
1550
0.2
1500
0
1500
0
1
1520
2
3 4
U/V
5
1540
6
7
1560
λ/nm
1580
1600
1620
Abbildung 5.32: Reflexionsspektren und die daraus ermittelte Abstimmkurve
eines Filters des Typs KIn005.
136
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
100
1Av20sx3y1
1Bv30sx4y3
1Iv30sx1y1
2Hv10sx2y2
∆ λ0/nm
80
60
40
20
0
0
10
20
Utun/V
30
40
Abbildung 5.33: Experimentell ermittelte Abstimmkurven von Filtern des
Typs DIn006. Die Messdaten sind durch Kreuze markiert, während die Modellanpassung mit der durchgezogenen Linie dargestellt ist. Die Daten der
Filter sind in Tab. 5.2 zusammengefasst.
Die Abbildungen 5.31 und 5.32 zeigen die Reflexionsspektren, die sich
bei der Abstimmung der Filter ergeben. Häufig lässt sich feststellen, dass
die Linienbreite zum Ende des Abstimmbereichs hin zunimmt, was zwar aufgrund der vertikalen Veränderung der Spiegel und der Kavität zu erwarten
ist, aber in der beobachteten Größenordnung wahrscheinlich auf eine asymmetrische Auslenkung der Membranen zurückzuführen ist. Im Allgemeinen
zeigen Filter dieses Verhalten umso weniger je kürzer die Aufhängungen sind.
Einige der so entstandenen Abstimmkurven sind in Abb. 5.33 für die Filter
des Typs DIn006 und in Abb. 5.34 für den Typ KIn005 dargestellt, wobei
die Messpunkte jeweils durch Kreuze und die Modellanpassung durchgezogen
dargestellt sind. Die entsprechenden Parameter sind in Tab. 5.2 zusammengefasst. Generell existiert natürlich die Tendenz, dass mit der Länge der
Aufhängungen auch der Abstimmbereich größer wird. Allerdings ist dieser
Effekt lediglich darauf zurückzuführen, dass die Durchbruchspannung der
pin-Diode bei ca. 30V liegt. Demzufolge haben die extrapolierten Abstimmbereiche der einzelnen Filter auch immer in etwa dieselbe Größe, wobei nur
die Spannung, die nötig ist um diese Abstimmung zu erreichen, je nach Filter
stark variiert.
In der Tendenz ist die Federkonstante k umso größer je kürzer die Aufhängungen sind, allerdings sind hier auch einige Ausnahmen möglich. Das
Filter 1Iv30sx1y1 zeichnet sich durch eine stark vergrößerte Kavitätslänge
aus, wobei gleichzeitig die optische Abstimmeffizienz ungewöhnlich niedrig
5.3. ELEKTROMECHANISCHE
Filter
1Av20sx3y1
1Bv30sx4y1
1Iv30sx1y1
2Hv10sx1y1
3Gd20x5y4
3Gd30x5y3
la
µm
20
30
30
10
20
30
lcav
nm
1635
1670
1730
1490
860
875
CHARAKTERISIERUNG
ηopt
0.55
0.55
0.32
0.58
0.69
0.65
k
N/ma
19.9
19.8
3.8
24.4
18.9
11.1
a
0.95
1.0
1.0
0.93
1.03
1.03
∆λm
µm
0.29
0.31
0.18
0.28
0.20
0.19
137
Up
V
86
64
28
95
9.9
7.8
Tabelle 5.2: Mechanische Daten der Filter von Typ DIn006 und KiN005, die
durch Anpassen der Modellfunktion ermittelt wurden. Die Kavitätslänge lcav
ist vorgegeben, a ist der Kennlinienexponent.
ist, was darauf hindeutet, dass die Kavitätswellenlänge und die Mittenwellenlänge der Spiegel stark gegeneinander verschoben sind. Offenbar wirkt sich
diese Verschiebung, die nur durch die Verbiegung der Membranen verursacht
werden kann, auch stark auf die Federkonstante k aus, die bei diesem Filter
im Vergleich zu dem anderen Filter dieser Reihe mit 30 µm langen Aufhängungen sehr gering ausfällt. Das Resultat ist ein außerordentlich weiter
Abstimmbereich, da die Pull-In-Spannung in diesem Fall unter der Durchbruchspannung der Diode liegt. Generell wird die theoretisch ermittelte optische Abstimmeffizienz (siehe Abb. 4.21) aber bei den Filtern dieser Gruppe
gut wiedergegeben. Die beiden letzten Filter in Tab. 5.2 weisen deutlich geringere Pull-In-Spannungen als die übrigen Filter auf, was auf die kleinere
Kavitätslänge zurückzuführen ist. Die Kennlinienexponenten weichen in allen
Fällen nicht stark von a = 1 ab, was bedeutet, dass das Federmodell nahezu
linear ist.
5.3.2
Dynamik
Die dynamischen Eigenschaften wurden sowohl für Filter des Typs DIn006 als
auch für einzelne Membranen ermittelt. Bei der Anwendung in Systemen ist
in Bezug auf die dynamischen Eigenschaften insbesondere die Einschwingzeit
der Sprung- oder Impulsantwort im Zeitbereich von Bedeutung, wohingegen
das Messverfahren eine Charakterisierung im Frequenzbereich vorsieht (siehe Kap. 2.3). Der Grund hierfür ist, dass die zu messenden Signale oft eine
sehr kleine Amplitude haben und verrauscht sind, und daher die Messung
im Frequenzbereich genauere Ergebnisse liefert. Um eine Vorstellung von
der Zeitbereichsantwort zu erhalten wurde daher die Impulsantwort aus der
Übertragungsfunktion (d.h aus der AM response) mit einer inversen Fourier-
138
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
120
100
3Gd20x5y4
3Gd30x5y3
∆ λ0/nm
80
60
40
20
0
0
2
4
Utun/V
6
8
Abbildung 5.34: Experimentell ermittelte Abstimmkurven von Filtern des
Typs KIn006. Die Messdaten sind durch Kreuze markiert, während die Modellanpassung mit der durchgezogenen Linie dargestellt ist. Die Daten der
Filter sind in Tab. 5.2 zusammengefasst.
transformation ermittelt.
Die Übertragungsfunktionen einzelner Membranen wurden mit einer speziell präparierten Probe gemessen und sind in Abb. 5.35 dargestellt. Die
Membranen entsprechen in ihrer Form denen des Filtertyps DIn006, aber
es wurde bei der Prozessierung keine Schutzmaske gegen das Unterätzen
(grüner Überzug der Haltepfosten in Abb. 1.2) verwendet [35], weswegen die
Aufhängungen effektiv länger sind. In den Übertragungsfunktionen ist implizit die Korrektur der elektrischen Übertragungsfunktion enthalten, deren
Grenzfrequenz wegen der schlechten Kontakte ca. 65kHz für alle Strukturen
beträgt. Die Grenzfrequenz beträgt je nach Länge der Aufhängungen ca. 200400kHz, wobei wie zu erwarten die Grenzfrequenz umso kleiner ist, je länger
die Aufhängungen sind. Die Membran mit 10µm langen Aufhängungen zeigt
ein fast aperiodisches Verhalten, was bedeutet, dass die Dämpfung der Membran höher als bei den anderen Proben ist. Die Ursache hierfür könnten die
extrem kurzen Aufhängungen sein, die die Membranbewegung effektiver auf
die unterätzte Fläche der Haltepfosten übertragen, wodurch die Bewegung
stark gedämpft wird.
Die Übertragungsfunktionen eines Filters des Typs DIn006 mit 10µm langen Aufhängungen sind in Abb. 5.36 für verschiedene Vorspannungen dargestellt. Bei dieser Messung ist keine Korrektur der elektrischen Übertragungsfunktion vorgenommen worden, weswegen die Übertragungsfunktionen
aufgrund der elektrischen Grenzfrequenz (siehe auch Abb. 2.18) einen leich-
5.3. ELEKTROMECHANISCHE
CHARAKTERISIERUNG
139
1.2
1
lsusp=10µm
Amplitude
0.8
lsusp=20µm
lsusp=30µm
0.6
0.4
0.2
0
1000
10000
1e+05
1e+06
f/Hz
Abbildung 5.35: Vergleich der experimentell ermittelten mechanischen Übertragungsfunktionen von einzelnen Membranen mit unterschiedlichen Längen
der Aufhängungen lsusp .
0.012
0.01
1
0.5
Impulsantwort (FFT)
Bias: 15V
Bias: 20V
Bias: 25V
0
u/Vrms
0.008
-0.5
-1
0
2.5
0.006
5
7.5
10
12.5
t/µs
0.004
0.002
0
100
1000
10000
1e+05
1e+06
1e+07
f/Hz
Abbildung 5.36: Mechanische Übertragungsfunktion eines Filters vom Typ
DIn006 mit 10µm langen Aufhängungen bei verschiedenen Vorspannungen.
Die Impulsantwort wurde für 25V ermittelt.
140
KAPITEL 5. SIMULATIONS- UND MESSERGEBNISSE
0.003
1
0.5
Bias: 15V
Bias: 20V
Bias: 25V
Impulsantwort (FFT)
0
u/Vrms
0.002
-0.5
-1
0
2.5
5
7.5
10
12.5
t/µs
0.001
0
100
1000
10000
1e+05
1e+06
1e+07
f/Hz
Abbildung 5.37: Mechanische Übertragungsfunktion eines Filters vom Typ
DIn006 mit 20µm langen Aufhängungen bei verschiedenen Vorspannungen.
Die Impulsantwort wurde für 25V ermittelt.
ten Abfall vor den eigentlichen Resonanzen aufweisen. Generell fällt auf, dass
sich eine ganze Serie mechanischer Resonanzen bilden (5 bei diesem Filter),
die keineswegs messtechnische Artefakte darstellen, sondern durch die Kopplung der einzelnen Membranen untereinander zustande kommen, was in Kap.
4.1 erläutert wird.
Die Vielzahl der Resonanzen deutet darauf hin, dass neben einer nicht
unerheblichen Kopplung auch die einzelnen Membranen unterschiedliche Federkonstanten haben, so dass sich bezüglich der Kavität eine Asymmetrie
ergibt.
Die Form der Übertragungsfunktion ändert sich kaum mit der Variation
der Bias-Spannung, was darauf hindeutet, dass hier die Nichtlinearität der
elektrostatischen Anziehungskraft in Gl. 4.1 noch keine große Rolle spielt
und die Vorspannung somit noch weit von der Pull-In-Spannung entfernt ist.
Die Impulsantwort des Filters ist in dem eingesetzten Bild dargestellt, wobei
hier deutlich die Schwebung zu erkennen ist, die aufgrund der vielfachen
Resonanzen entsteht.
Trotz der hohen mechanischen Resonanzfrequenz von ca. 3MHz beträgt
die Einschwingzeit hier ca. 10µs, was auf die schwache Dämpfung der Resonanzen zurückzuführen ist.
Abb. 5.37 zeigt die Übertragungsfunktionen eines Filters mit 20µm langen
Aufhängungen. Hier ist ebenso wie bei dem anderen Filter der leichte Abfall der Übertragungsfunktion vor der Resonanz aufgrund der elektrischen
Grenzfrequenz zu erkennen, aber es lassen sich nur 2-3 mechanische Resonanzen erkennen. Die Ursachen hierfür können einerseits relativ identische
5.3. ELEKTROMECHANISCHE
CHARAKTERISIERUNG
141
Federkonstanten und andererseits aber auch eine schwache Kopplung bzw.
eine starke Dämpfung der äußeren Membranen sein.
Hier lässt sich auch eine leichte Verkleinerung der Resonanzfrequenz von
ca. 2.8MHz auf ca. 2.2MHz mit steigender Vorspannung erkennen, die auf die
Verkleinerung der effektiven Federkonstante kef f durch die elektrostatische
Anziehungskraft zurückzuführen ist.
Da die Übertragungsfunktion keine starken Nebenresonanzen aufweist,
zeigt auch die Impulsantwort nur ein einfaches Resonanzverhalten und keine
Schwebungen. Auch hier beträgt die Einschwingzeit wegen der schwachen
Dämpfung ca. 10µs.
Kapitel 6
Zusammenfassung
143
144
6.1
KAPITEL 6. ZUSAMMENFASSUNG
Ergebnisse
Die in dieser Arbeit durchgeführten Messungen und Simulationen von abstimmbaren Filtern haben das Ziel die Ergebnisse der technologischen Prozesse zu verifizieren und durch die theoretischen Modellrechnungen den Einfluss
von technologisch bedingten Abweichungen der Geometrie auf die optischen
Eigenschaften zu untersuchen um damit den Entwurf der Filter zu verbessern.
Dafür wurden zur Charakterisierung der Filter Messaufbauten entwickelt, die
sowohl eine Messung der Transmission und der Reflexion der Filter als auch
eine Analyse der Moden bei direkter Faserankopplung ermöglichen. Um die
elektromechanischen Eigenschaften der Filter zu analysieren wurden messtechnisch die Abstimmcharakteristik und -dynamik erfasst und mit Hilfe
eines eindimensionalen, mechanischen Modells die Parameter extrahiert.
Für die Simulation der optischen Eigenschaften wurde ein Modell entwickelt, das auf der Grundlage der Eigenmoden der Filter die Transferfunktion ermittelt, wobei die Eigenmoden mit einer FEM bestimmt wurden. Auf
die rotationssymmetrische Geometrie wurde eine azimuthale Expansion angewandt, so dass sich mit Hilfe des BOR-Modells die Lösung der Wellengleichung auf die zweidimensionale r-z-Ebene beschränkt, was einen erheblichen
Ressourcenvorteil bringt. Durch die numerische Auswertung der Eigenmoden wird dann für ein beliebiges Quellenfeld die Transferfunktion der Filter
bestimmt, wobei jeder einzelnen Mode durch die Transferfunktion einer einfachen Fabry-Pérot-Kavität dagestellt wird, deren Parameter aus dem Eigenmode extrahiert werden. Das Modell zeigt im Vergleich zu einer stationären
harmonischen Analyse, die auf der inhomogenen Lösung der Wellengleichung
für die vorgegebene Geometrie unter Einbeziehung der Quelle basiert, eine
sehr gute Übereinstimmung und benötigt im Vergleich viel weniger Rechenzeit, da die Anzahl der Lösungen, die mit der FEM ermittelt werden, der
Anzahl der Eigenmoden und nicht der der Wellenlängenschritte entspricht.
Im Vergleich mit den Messungen zeigt sich bei insgesamt guter Übereinstimmung, dass die Abweichungen umso stärker sind je mehr die tatsächliche
Membrangeometrie, die sich unter Berücksichtigung der Aufhängungen ergibt, von der Rotationssymmetrie abweicht. Dieser Effekt lässt sich sowohl
in dem Vergleich der simulierten und gemessenen Transferfunktionen als auch
bei der Bestimmung der Modenanregung erkennen, die nur für annähernd rotationssymmetrische Membranen die typischen torusförmigen Moden zeigt.
Gleichwohl lassen sich die Erkenntnisse, die durch die Simulation rotationssymmetrischer Membranen gewonnen wurden, auch auf eine andere Geometrie übertragen.
Ein wichtiger Punkt ist der Einfluss der Membrankrümmung, die eine
stabile oder instabile Kavität erzeugen kann, auf die optischen Eigenschaften
6.1. ERGEBNISSE
145
der Filter. Hier konnte gezeigt werden, dass im Vergleich von Membranen
mit 40µm und 20µm Durchmesser die Filter mit 20µm Membranen toleranter gegenüber Deformationen sind und auch eine bessere Seitenmodenunterdrückung bei der direkten Kopplung mit einer Glasfaser zeigen. Der
beliebigen Verkleinerung der Membranen sind aber Grenzen gesetzt, da die
Verluste und damit die Linienbreite der Filter mit kleiner werdendem Membrandurchmesser stark ansteigen und auch die Nahfeldanregung durch das
Feld einer SMF ineffizienter wird. Dabei kann bei der Abstimmung auch eine
periodische Schwankung der Linienbreite beobachtet werden.
Der Vergleich von verschiedenen Kavitätslängen zeigt, dass selbst für
einen relativ kleinen Membrandurchmesser von 20µm die Linienbreite des
Grundmode umso kleiner wird, je länger die Kavität ist, was auch von dem
einfachen Fabry-Pérot-Modell vorausgesagt wird. Im Gegensatz dazu zeigen
die höheren Moden das umgekehrte Verhalten: die Verluste steigen stark mit
der Kavitätslänge an. Dieses Verhalten ist günstig für die Seitenmodenunterdrückung, da mit steigenden lateralen Verlusten auch die Einfügeverluste
der Moden größer werden. Eine beliebige Vergrößerung der Kavitätslänge ist
dennoch nicht möglich, da so auch der freie Spektralbereich eingeschränkt
wird, was sich insbesondere störend auswirkt, wenn ein weiter Abstimmbereich das Ziel ist. Für den Entwurf eines InP-Luft-Filters wurde daher eine
Kavitätslänge von 1658nm gewählt, was einer λ-Kavität entspricht. Durch
diese Wahl konnte einerseits im Entwurf die Anforderung an eine Linienbreite
λF W HM < 0.8nm bei nur 3 Membranen pro Spiegel erfüllt werden, andererseits ergibt sich ein größerer maximaler Abstimmbereich im Vergleich zu einer
λ/2-Kavität, welche aus technologischer Sicht wegen der weniger aufwändigen Epitaxie bevorzugt wird. Während mit einer Filter mit λ/2-Kavität schon
ein Rekordwert von 142nm in der Abstimmung erzielt wurde [30] haben die
Filter mit λ-Kavität das Potential für einen noch größeren Abstimmbereich.
Die Ergebnisse der elektromechanischen Untersuchungen zeigen, dass die
Filtermembranen insbesondere bei kurzen Aufhängungen vergleichsweise steif
sind, so dass ziemlich hohe Spannungen zur Abstimmung notwendig sind.
Die Anpassung einer auf einem eindimensionalen elektromechanischen Modell basierenden Funktion an die Abstimmcharakteristik zeigt eine sehr gute
Übereinstimmung, wobei sich in allen Fällen ein nahezu lineares Federmodell
ergibt. Die Abschätzung des maximal möglichen Abstimmbereichs mit Hilfe
dieses Modells ergibt Werte von ca. 200nm für die Filter mit λ/2-Kavität und
Werte von ca. 300nm für die Filter mit λ-Kavität, was mit den theoretischen
Werten gut übereinstimmt.
Die messtechnische Bestimmung der elektromechanischen Modulationsantwort zeigt, dass die Membranen eines Filters ausgeprägte Resonanzen mit
einer Frequenz von ca. 3MHz aufweisen, die sich in einem Filter in mehre-
146
KAPITEL 6. ZUSAMMENFASSUNG
re Resonanzlinien aufspalten, da alle Filtermembranen durch die Luftspalte
mechanisch gekoppelt sind. Die eingeschlossene Luft wird bei diesen hohen
Frequenzen offenbar nicht mehr verdrängt sondern komprimiert, so dass die
dämpfende Wirkung verloren geht. Isolierte Membranen zeigen dagegen keine Aufspaltung der Linien. Diese ausgeprägten Resonanzen wirken sich in
der technischen Anwendung der Filter eher ungünstig aus, da sich dadurch
eine relativ lange Einschwingzeit von ca. 10µs ergibt, wie die Auswertung der
Messdaten zeigt.
6.2
Ausblick
Die Bestimmung der Transferfunktionen auf der Basis von Eigenmoden hat
sich als nützliches Werkzeug erwiesen um die optischen Eigenschaften von
vertikalen Filtern zu analysieren, wobei aber der Anwendbarkeit durch das
BOR-Modell Grenzen gesetzt sind. Die Analyse der Transferfunktionen auf
der Basis von Eigenmoden lässt sich leicht auf ein vollständiges dreidimensionales Modell übertragen, mit dessen Hilfe auch der Einfluss der Aufhängungen und nicht symmetrischer Membrandeformationen analysiert werden
kann, was dieses Modell insbesondere im Hinblick auf den deutlich größere
Rechenzeit, die eine vollständige dreidimensionale FEM benötigt, attraktiv
macht.
Schon mit dem BOR-Modell lassen sich auf Basis der Eigenmoden Eigenschaften wie ein radialer Versatz der Quelle oder nicht rotationssymmetrische Quellenfelder simulieren, ohne dass das FEM-Modell geändert werden
muss, was mit der stationären harmonischen Analyse nicht möglich ist. Dabei
müssen dann aber auch Moden mit azimuthalen Modenindizes ν 6= 1 berücksichtigt werden, die dann ebenfalls einen Beitrag liefern. Die mit der Eigenmodenmethode generierten analytischen Transferfunktionen sind in Hinblick
auf eine Systemsimulation ebenfalls vorteilhaft.
In Bezug auf die Messungen lässt sich die Modenanalyse noch durch die
Verwendung einer Faserlinse mit einer hohen numerischen Apertur verbessern, wodurch dann eine laterale Auflösungen im Bereich von 1-2 µm erreicht
werden kann. Eine noch höhere Auflösung lässt sich gegebenenfalls noch mit
einem SNOM (Scanning Nearfield Optical Microscope) erreichen, wobei aber
dann keine Messung in Reflexion mehr möglich ist, sondern die Anregung
in Transmission mit einer TLS durchgeführt werden muss, was eine grundlegende Überarbeitung der Messmethode erfordert. Auch im Hinblick auf die
Transmission und Reflexions ist es sinnvoll die Messung mit einer polarisierten Quelle durchzuführen um so die Polarisationsabhängigkeit der Moden zu
bestimmen. Hierzu muss der optische Aufbau zum einen mit polarisationser-
6.2. AUSBLICK
147
haltenden Fasern und zum anderen mit einem Polarisationssteller ausgestattet werden, was prinizipiell möglich ist.
Die Auswertung der dynamischen Eigenschaften der Filter durch eine parametrische Anpassung ist grundsätzlich schwierig, da aufgrund der Kopplung der Membranen untereinander eine Vielzahl von Parametern eingeht,
und die Funktion bezüglich der Parameter nichtlinear ist. Allerdings könnten durch eine gute Anpassung die Federkonstanten der Membranen unter
der Voraussetzung, dass die Haltepfosten nicht stark unterätzt sind, relativ
genau ermittelt werden. Diese können dann wieder in die Verbesserung des
elektromechanischen Entwurfs der Filter einfließen. Um isolierte Resonanzen
zu erhalten, die sich besser auswerten lassen, wäre eine dynamische Charakterisierung unter Vakuum denkbar, so dass die Kopplung der Membranen
verringert wird oder ganz verschwindet.
Anhang A
Implementierung des
BOR-Modells in FEMLAB
FEMLAB bietet verschiedene allgemeine PDE-Modelle (Partial Differential
Equation) an [71], von denen sich die PDE in Koeffizientenform am Besten
für die Implementierung des BOR-Modells eignet. Ausgangspunkt ist die
Wellengleichung 3.35 mit der Darstellung des Operators ∇× in Zylinderkoordinaten nach Gl. 3.37. Die allgemeine Form der PDE in der Eigenwertform
ist
∇ · (−c∇u − αu + γ) + au + β · ∇u = da λu,
(A.1)
wobei der elektrische Feldvektor in der Darstellung u = (Er , Eϕ , Ez )T ist, λ
der Eigenwert und der Operator ∇ = (∂/∂r , ∂/∂z ) ist. Die Tensoren −c, α , a
und β werden über die Expansion des Differentialterms der Wellengleichung
ermittelt. Es ergeben sich die Tensoren
 "
c
0 0
0 Λ−1
ϕϕ




0
= 


 "
#

0 −Λ−1

ϕϕ
0
0
"
#
0
"
Λ−1
0
zz
0 Λ−1
rr
0
#
0
0
−1
−Λϕϕ 0
# 





0
,

"
# 

−1
Λϕϕ 0

0
0
~0
~0
~0
# "
# "
# 
 " −1
−1


Λ
jν/r
Λ
1/r
0
zz
zz
,
α = 
−1

0
0
Λrr jν/r 


~0
~0
~0

(A.2)

149
(A.3)
150
ANHANG A. BOR-MODELL IN FEMLAB
2 2
2
Λ−1
Λ−1
0
zz ν /r
zz − jν/r


0
0
0
a = 
,
−1 2 2
0
0
Λrr ν /r



β
"
~0




~0


=  
"

0
 


−1
  Λϕϕ 1/r 
0
−Λ−1
zz jν/r
0
~0
#
0
−Λ−1
rr jν/r
#
(A.4)

~0




~0

 und
# 
"
−1
−Λϕϕ 1/r 


(A.5)
0
γ = 0.
(A.6)
Für den Eigenwertterm der PDE gilt
Λrr n2
0
0

2
Λϕϕ n
0 
da =  0
.
2
0
0
Λzz n


(A.7)
Anhang B
spectrafit
Wie der Name schon andeutet, war der ursprüngliche Sinn des Programms die
numerische Anpassung einer Modellfunktion an gemessene Reflexions- oder
Transmissionsspektren um mittels einer Parameterextraktion Schichtdicken
und gegebenenfalls Brechungsindizes von optischen Schichten bestimmen zu
können. Das Programm selbst basiert auf der in Kap. 3.3 dargestellten Transfermatrixmethode.
B.1
Dialog
Abb. B.1 zeigt den Dialog für die Berechnung von Systemfunktionen. Die
Bedeutung der Dialogfelder ist im einzelnen
Design Auswahl der Datei mit der Strukturbeschreibung (siehe Kap. B.2).
Select öffnet eine Dateiauswahlbox.
Output Auswahl der Ausgabedatei. Select öffnet eine Dateiauswahlbox.
Ref. Wavelength Referenzwellenlänge zur Bestimmung der physikalischen
Schichtdicke aus der optischen.
Type Zu berechnende Systemfunktion. Zur Auswahl stehen
ˆ reflection
ˆ transmission
ˆ absorption
ˆ confinement (Feldenergie)
ˆ reflection group delay (Gruppenlaufzeit in Reflexion)
ˆ transmission group delay (Gruppenlaufzeit in Transmission)
151
152
ANHANG B. SPECTRAFIT
Abbildung B.1: Dialog von spectrafit für die Berechnung von Systemfunktionen.
ˆ dispersion (Gruppenindex eines Materials berechnen. Im Feld Design wird dann die Materialdatei ausgewählt))
ˆ ASE noise (Verstärkte spontane Emissionen. Ist nur für aktive
Materialien sinnvoll)
Start Startwellenlänge
Stop Stopwellenlänge
Points Anzahl der Punkte.
complex output In der Ausgabedatei wird bei komplexen Größen nicht das
Betragsquadrat, sondern Real- und Imaginärteil ausgegeben.
Incident angle Einfallswinkel, nur für Transmission und Reflexion. Der
Wert 0 bedeutet einen senkrechten Einfall.
Polarisation TE oder TM, ist nur für einen Einfallswinkel > 0 wichtig.
Das Feld Parameter Variation ermöglicht eine Simulationsreihe mit der
Variation eines Parameters durchzuführen, wobei der zu variierende Wert in
der Strukturbeschreibung angegeben werden muss. Dieser Wert wird mit dem
jeweiligen Variationsparameter e multipliziert. Die Parameter können zum
einen manuell in der Tabelle eingegeben und geändert werden, zum andern
besteht die Möglichkeit sich eine lineare oder eine geometrische Variation
B.1. DIALOG
153
Abbildung B.2: Dialog von spectrafit für die Berechnung der Eigenmoden.
vorgeben zu lassen. Für die lineare Variation gilt:
e(n = 0..Points − 1) = Start +
Stop − Start
n.
Points − 1
(B.1)
Für die geometrische Variation gilt:
Stop
e(n = 0..Points − 1) = Start ·
Start
!n/(Points−1)
.
(B.2)
Die Eingabe der Parameter muss durch Set quittiert werden. Alternativ
besteht die Möglichkeit eine Parametertabelle mit Load zu laden. Die Tabelle
kann mit einem Texteditor erstellt werden, wobei in jeder Zeile ein Wert
stehen muss. Die Ausgabedatei enthält 2 oder 3 Spalten, wobei die erste die
Wellenlänge ist und die zweite und dritte der Funktionswert in reeller oder
komplexer Darstellung.
In Abb. B.2 ist der Dialog zur Bestimmung der Eigenmoden dargestellt.
Folgende Felder unterscheiden sich von denen der Systemfunktionen:
Spatial Steps Auflösung, d.h. Anzahl der Schritte pro Schicht, für die Ausgabe der Eigenfunktion (Feldverteilung).
Target Startwert der Wellenlänge für die Ermittlung des Eigenmode.
Field Energy Die Eigenfunktion wird in der Einheit der Energiedichte anstelle der Amplitude des elektrischen Felds dargestellt.
Save Field Bestimmt, ob der Eigenmode oder nur die Eigenwerte ausgegeben werden.
154
ANHANG B. SPECTRAFIT
Results Eigenwert und Photonenlebensdauer. Bei Parametervariation wird
nur der 1. Wert ausgegeben.
Der Startwert sollte dem gesuchten Eigenwert so nahe wie möglich sein. Es
wird eine Datei mit den Eigenwerten ausgegeben, die die Endung “-tgt.dat”
hat und, falls mit Save Field gewählt, eine den Parametern entsprechende
Anzahl von Dateien mit der Endung “-pn.dat”. Die Datei mit den Eigenwerten enthält 6 Spalten:
1. Parameter,
2. Realteil des Eigenwerts als Wellenlänge, Einheit m,
3. Imaginärteil des Eigenwerts als Wellenlänge, Einheit m,
4. Photonenlebensdauer in s,
5. Zeitkonstante des oberen Spiegels in s und
6. Zeitkonstante des unteren Spiegels in s.
Die Dateien mit den Eigenmoden enthalten 2 Spalten, wobei die erste die
Ortskoordinate auf der optischen Achse und die zweite die Feldamplitude
bzw. Energiedichte sind.
B.2
Strukturbeschreibung
Die Strukturbeschreibung gliedert sich in 2 Teile: im ersten Teil werden die
Schichten und ihre Eigenschaften definiert und im zweiten Teil wird die
Schichtfolge festgelegt. Eine Schichtdefiniton besteht aus den folgenden Feldern, die immer durch Leerzeichen oder Tabs getrennt sind:
#< Bst > Schichtkennung mit dem Buchstaben <Bst>. Es muss die alphabetische Reihenfolge eingehalten werden. Buchstaben dürfen weder
vertauscht noch weggelassen werden.
MAT=< Name > Name des Materials. An den Namen hängt spectrafit
“.mdf” und lädt die Datei aus dem angegeben Materialverzeichnis. Bei
UNIX muss unbedingt auf die Groß- bzw. Kleinschreibung geachtet
werden.
WP=< Wert > Physikalische Schichtdicke in nm.
WO=< Wert > Optische Schichtdicke (alternativ).
B.2. STRUKTURBESCHREIBUNG
155
WVAR Variation der Schichtdicke. Diese wird mit dem Parameter en multipliziert.
WVAN Umgekehrte Variation der Schichtdicke. Multiplikation mit dem Parameter 2 − en .
EVAR Variation der Extinktion (Imaginärteil des Brechungsindex)
CAR=< Wert > Trägerdichte in einer aktiven Schicht (nur für die ASEBerechnung).
ACTV Aktive Schicht (nur für Lasersimulation).
DIFF Diffusionsschicht (nur für Lasersimulation).
FIT=W0 Parametrische Anpassung der Schichtdicke.
FIT=W1 Parametrische Anpassung der Schichtdicke mit linearer Änderung.
FIT=NR Parametrische Anpassung des Realteil des Brechungsindex.
FIT=NI Parametrische Anpassung des Imaginärteil des Brechungsindex.
FIT=NC Parametrische Anpassung des komplexen Brechungsindex.
Die Felder FIT= haben für alle Funktionen außer der Anpassung keine Wirkung. Bei den Feldern CAR= und ACTV sucht spectrafit zusätzlich nach
den Gaindaten in der Datei “<material> gain.dat”.
Die Schichtfolge besteht aus einer Abfolge der Buchstaben entsprechend
der Materialkennung. Zur Gruppierung dürfen Leerzeichen eingefügt werden.
Auch Zeilenumbrüche sind erlaubt. Zur Wiederholung einer Schichtfolge kann
diese in Klammern mit der Anzahl der Wiederholungen davor eingeschlossen
werden. Die Konstruktion n(<Folge>) ist nicht schachtelbar. Die Definition
eines dielektrischen Filters mit Luftkavität sieht demnach wie folgt aus
#A MAT=air
WO=0
#B MAT=sina0 WO=0.25
#C MAT=sio2a0 WO=0.25
#D MAT=air
WO=2.0 WVAR
A 11(CB) D 11(BC)
156
B.3
ANHANG B. SPECTRAFIT
Batchbetrieb
Unter UNIX ist es möglich spectrafit im Batchmodus zu betreiben, d.h.
es wird eine Kommandodatei übergeben. Der Aufruf erfolgt mit “xspectrafit <datei>”. Die Initialisierungsdatei für spectrafit hat dieselbe Form,
und befindet sich bei UNIX in “$HOME/.spectrafit” und bei Windows im
Programmverzeichnis in “spectrafit.ini”. Folgende Parameter werden unterstützt:
ˆ Allgemein:
job= Durchzuführende Simulation (z.B reflection, transmission,
mode solver).
file(output)= Ausgabedatei.
file(design)= Strukturbeschreibung.
var(start)= Startparameter für Variation.
var(stop)= Stopparameter für Variation.
var(points)= Anzahl der Variationsparameter.
var(type)= Art der Variation (linear | geom).
file(parameter)= Datei mit Variationsparametern (alternativ).
set(spline)= Splineinteroplation ein- oder generell ausschalten (on |
off ).
set(heading)= Kopfzeile ausgeben (on | off ).
path(matl)= Pfad zu den Materialdaten.
wl(center)= Referenzwellenlänge.
ˆ Systemfunktionen:
wl(start)= Startwellenlänge.
wl(stop)= Stopwellenlänge.
wl(points)= Anzahl der Punkte.
complexout= Daten komplex ausgeben (yes | no)
beam(angle)= Einfallswinkel.
beam(polarise)= Polarisation (TE | TM).
ˆ Eigenmoden:
field(points)= Räumliche Auflösung pro Schicht.
B.3. BATCHBETRIEB
157
field(ref )= Referenz für el. Feld (ohne Bedeutung).
wl(rtarget)= Realteil Startwert.
wl(itarget)= Imaginärteil Startwert.
save(field)= Eigenmoden abspeichern (on | off )
ˆ Anpassen:
file(input)= Datei mit dem anzupassenden Spektrum.
path(fitmatl)= Pfad zu den angepassten Materialien.
ˆ Laser:
set(activ)= Nur zum Test.
set(activtrans)= Nur zum Test.
set(activsplit)= Nur zum Test.
set(kkr)= Nur zum Test.
area= Querschnittsfläche des aktiven Bauelements
temperature= Temperatur
wl(stim)= Wellenlänge, mit der optisch gepumpt wird.
nrrecomb(0)= Koeffizient der nichtstrahlenden Rekombination
(Offset).
nrrecomb(1)= Koeffizient der nichtstrahlenden Rekombination
(Proportional zu Trägerdichte).
nrrecomb(2)= Koeffizient der nichtstrahlenden Rekombination
(zweiter Ordnung).
nrrecomb(3)= Koeffizient der nichtstrahlenden Rekombination
(dritter Ordnung).
pwr(max)= Pumpleistung, bei der die Simulation gestoppt wird.
confinement= Confinement der spont. Emissionen.
rtherm= thermischer Widerstand.
Anhang C
zero
Der Postprozessor zero ermöglicht die Bestimmung der Transferfunktionen
aus den Eigenmoden. Die Pol- und Nullstellenfunktion hat dem Programm
seinen Namen verliehen. Das anregende Feld wird ebenfalls entweder für eine
Glasfaser oder für einen Gaussschen Strahl berechnet. Der Aufruf ist “zero
<datei> mit einer Kommandodatei, die wie folgt aufgebaut ist:
job= Funktion: Kopplungseffizenz (coupling), Pole und Nullstellen
(polzero), Transferfunktionen (xfer), Modenorthogonalität (ortho)
field(type)= Anregendes Feld: Gaussscher Strahl (gauss), Glasfaser (smf )
fiber(ncore)= Brechungsindex der Glasfaser im Kern.
fiber(nclad)= Brechungsindex der Glasfaser im Mantel.
fiber(radius)= Kernradius der Glasfaser oder Strahltaille des Gaussschen
Strahls.
file(modes)= Ausgabedatei für die Daten der Moden.
file(xfer)= Ausgabedatei für die Transferfunktionen.
file(slice)= Ausgabedatei für das Feld im horizontalen Schnitt und dessen
Ableitungen (optional, für Test).
file(root)= Ausgabedatei für den Pol/Nullstellenplans.
mode(tpml)= z-Koordinate der oberen PML.
mode(bpml)= z-Koordinate der unteren PML.
mode(sample)= Schrittweite (in µm) für die horizontale Interpolation.
159
160
ANHANG C. ZERO
xfer(start)= Startwellenlänge oder -wellenzahl für die Transferfunktionen.
xfer(stop)= Stopwellenlänge oder -wellenzahl für die Transferfunktionen.
xfer(points)= Anzahl der Punkte
mode(real)= Vorlage für den Dateinamen des Realteils des Eigenmode,
wobei “%d” der Platzhalter für die Knotennummer ist.
mode(imag)= Vorlage für den Dateinamen des Imaginärteils des Eigenmode, wobei “%d” der Platzhalter für die Knotennummer ist.
mode(grid)= Vorlage für den Dateinamen des Gitters, wobei “%d” der
Platzhalter für die Knotennummer ist.
mode(eigen)= Vorlage für den Dateinamen des Eigenwerts, wobei “%d”
der Platzhalter für die Knotennummer ist.
nodes(field)= Knotennummern der Eigenmoden.
nodes(grid)= Knotennummern des Gitters (bei nur einer Nummer wird
das eine Gitter allen Eigenmoden zugeordnet).
set(bpml)= untere PML bearbeiten (on) oder ignorieren (off ). Gilt nur
für Kopplungseffizienz und Modenorthogonaliät.
set(header)= Kopfzeile ausgeben (on) oder nicht ausgeben (off ).
set(unit)= Wellenlänge (wavelen) oder Wellenzahl (wavenum).
template(root)= Grace-Template für Pol/Nullstellen, optional.
template(xfer)= Grace-Template für Transferfunktionen, optional.
Zero kann bis zu acht Moden gleichzeitig bearbeiten, um daraus die Transferfunktionen zu bestimmen. Als Eingabe werden die Ausgabedateien von
LUMI, wobei eine vektorielle Darstellung des Felds erforderlich ist, und das
von mdraw generierte Gitter benötigt. Die Dateinamen werden dabei nach
der in GENESIS üblichen Konvention mit einer Vorlage und der entsprechenden Knotennummer gehandhabt. Die Möglichkeit, die untere PML bei der
Berechnung zu ignorieren dient dazu Rechenzeit zu sparen, falls nur die Kopplungskoeffizienten erforderlich sind. Für die Ausgabe des Pol/Nullstellenplans
und der Transferfunktionen können Vorlagen spezifiziert werden, die eine direkte Darstellung der Graphen in Grace [90] ermöglichen. Die Ausgabedatei
der Transferfunktionen hat 3 Spalten:
161
1. Wellenlänge oder Wellenzahl
2. Reflexion
3. Transmission
Die Ausgabedatei der Modendaten hat 7 Spalten:
1. laufende Nummer des Mode (nicht identisch mit Knotennummer, aber
dieselbe Reihenfolge)
2. Kopplungseffizienz
3. Resonanzkreisfrequenz
4. Resonanzwellenlänge
5. Photonenlebensdauer
6. Zeitkonstante des oberen Spiegels
7. Zeitkonstante des unteren Spiegels
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[90] http://plasma-gate.weizmann.ac.il/Grace/
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich recht herzlich bei all denjenigen bedanken,
die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.
Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. Hartmut Hillmer, der durch seine
tatkräftige Unterstützung in allen Bereichen, sein wissenschaftliches Interesse und seine stetige Diskussionsbereitschaft wesentlich zur erfolgreichen
Durchführung dieser Arbeit beigetragen hat.
Herrn Sören Irmer, Frau Ina Kommallein und Herrn Amer Tarraf danke ich
für ihre Unterstützung durch die Bereitstellung von Filterproben, REM- und
Weisslichtbildern, sowie für die Erläuterung der technologischer Aspekte.
Herrn Prof. Dr. Wolfgang Fichtner, Herrn Dr. Andreas Witzig und Herrn Dr.
Matthias Streiff von Institut für Integrierte Systeme der ETH Zürich danke
ich für ihre wertvolle Unterstützung bei der Nutzung der am IIS entwickelten
Simulationssoftware und für ihre stete Diskussionsbereitschaft.
Herrn Prof. Dr. Bernd Witzigmann von Institut für Integrierte Systeme der
ETH Zürich danke ich für die Übernahme des Zweitgutachtens sowie seine
Unterstützung bei der Simulation der Filter.
Frau Dr. Cornelia Prott danke ich für die hilfreichen Diskussion zu den theoretischen Modellen und Messergebnissen und ihre Unterstützung in der Charakterisierung.
Herrn Prof. Dr.-Ing. Bernd Weidemann und Herrn Prof. Dr.-Ing. Wolf-Jürgen
Becker danke ich für die freundliche Übernahme des Beisitzes in der Prüfungskomission.
Herrn Dietmar Gutermuth und Herrn Albert Malkomes danke ich für ihre
Unterstützung in allen technischen Aspekten, insbesondere der prompten
Abwicklung von Werkstattaufträgen.
Den Mitgliedern der am IMA vertretenen Arbeitsgruppen der Technischen
Elektronik und der Technischen Physik danke ich für ihre freundschaftliche
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und produktive Zusammenarbeit.
Nicht zuletzt danke ich meinen Eltern dafür, dass sie mich immer in meinen
Zielen und Entscheidungen unterstützt haben.
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