11. Pr¨asenz¨ubung zur Linearen Algebra 2
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Julia Sauter
SS 09
11. Präsenzübung zur Linearen Algebra 2
Es sei immer K ∈ {R, C} und (V, h−|−i) ein K-Vektorraum mit einem Skalarprodukt.
Wir nennen f ∈ End(V ) Isometrie (für K = R: orthogonal / für K = C: unitär), falls hf (v)|f (w)i =
hv|wi für alle v, w ∈ V . Die Menge der Isometrien ist eine Untergruppe der invertierbaren Endomorphismen von V , die vom Skalarprodukt abhängt ( für K = R schreibe O(V ) = O(V, h−|−i), für
K = C heißt sie U (V ) = U (V, h−|−i)).
Speziell: O(n) := O(Rn , (−|−)), U (n) := U (Cn , (−|−)).
Aufgabe 1:
(V, h−|−i) = (K n , (−|−)). Wir identifizieren M (n; K) = End(K n ), A 7→ A·. Besprechen Sie in
der Übung:
f = A · Isometrie ⇐⇒ tAA = En
Insbesondere gilt O(n) = {A ∈ M (n; R) | tAA = En }, U (n) = {A ∈ M (n; C) | tAA = En }.
Folgern Sie aus 10. Präsenzübung, A5):
Für allgemeines (V, h−|−i) mit dim V = n < ∞ und ONB B definiert f 7→ MB (f ) eine bijektive Abbildung für K = R : O(V ) → O(n), für K = C : U (V ) → U (n). (Wegen MB (f ◦g) = MB (f )MB (g)
sehen wir die Abbildung als eine Identifikation von Gruppen.)
Aufgabe 2:
Es sei P ∈ Gl(n; K) und h−|−i : K n × K n , hx|yi = txtP P y. Zeigen Sie:
A · Isometrie bzgl. (K n , h−|−i) ⇐⇒ P AP −1 · Isometrie bzgl. (K n , (−|−))
Insbesondere für K = R gilt O(Rn , h−|−i) = P −1 O(n)P , für K = C gilt U (Cn , h−|−i) =
P −1 U (n)P .
Wir nennen f ∈ End(V ) isometrisch (bzw. für K = R: othogonal, für K = C: unitär) diagonalisierbar, wenn es eine ONB aus Eigenvektoren für f von V gibt. Das ist dasselbe wie: f ist
diagonalisierbar und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zueinander.
In diesem Fall findet man so eine ONB wie folgt:
* Finde Basis aus Eigenvektoren von f .
* Orthonormalisiere Sie.
(Da die Eigenräume orthogonal zueinander sind, kann man die Basis jedes Eigenraums orthonormalisieren und dann die Basen zusammenfügen zu einer ONB des ganzen Raumes.)
Satz in der VL (Normalform für unitäre Endomorphismen): Jeder unitäre Endomorphismus ist unitär
diagonalisierbar mit Eigenwerten vom Betrag 1.
Aufgabe 3:
Ç
å
cos(α) − sin(α)
Für α ∈ [0, 2π) gilt D(α) :=
∈ U (2). Finden Sie S ∈ U (2), so dass S −1 D(α)S
sin(α) cos(α)
diagonal ist.
Hinweis: Zeigen Sie χD(α) = (T − z)(T − z) für z = cos(α) + i sin(α), indem Sie Spur und
Determinante ausrechnen. 1
Aufgabe 4:
Was ist O(1)? Schreiben Sie O(2) als Menge der Spiegelungen und Drehungen hin. Bemerken Sie:
S ∈ O(n) Spiegelung (d.h. es gibt einen S-invarianten Unterraum H ⊂ Rn mit dim H = n − 1,
S|H = idH , S|H ⊥ = −idH ⊥ ), so ist S orthogonal diagonalisierbar.
Aufgabe 5:
Wiederholen Sie den Satz über die Normalform orthogonaler Endomorphismen, VL (27.16). Erklären
Sie, dass für f ∈ End(R3 ) gilt: f ∈ O(3) ⇐⇒ es gibt f -invariante Unterräume E, L mit R3 = E ⊥
L, dim E = 2, so dass f |E eine Drehung oder Spiegelung ist und f |L ∈ {idL , −idL }.
Aufgabe 6:
Es sei E = span{e1 + e2 , e2 + e3 } ⊂ R3 und f ∈ End(R3 ) die Spiegelung, die auf E die Identität ist.
Es sei A die darstellende Matrix von f in der Standardbasis2 . Finden Sie S ∈ O(3), so dass S −1 AS
in Normalform ist (wegen A4 heißt das: orthogonal diagonalisieren sie f ).
Hinweis: Sie können S und S −1 AS bestimmen, ohne A zu kennen.
Wie findet man eine ONB, so dass ein orthogonaler Endomorphismus in Normalform ist?
Siehe VL (27.22)3
Aufgabe 7:
á
Es sei A =
0
√1
√3
−√ 2
3
−1
√
3
−2
3
√
− 2
3
√ ë
√2
√3
− 2
3
−1
3
∈ O(3), es gilt χA = (T + 1)(T 2 + 1). Schließen Sie vom cha-
rakteristischen Polynom auf die Normalform. Finden Sie S ∈ O(3), so dass S −1 AS in Normalform
ist.
Å
ã
a −b
allgemein gilt: U (1) = {z ∈ C | |z| = 1}, SU (2) = {
| |a|2 + |b|2 = 1} und
b a
Å
ã
S
z 0
U (2) = z∈U (1) SU (2)
0 1
2
da die Standardbasis ONB bzgl. des Standardskalarproduktes ist, gilt A ∈ O(3) (vgl. A1)
3
Beachten Sie bei dem Verfahren, dass die Inklusion O(n) ⊂ U (n) klar ist. Aber für einen allgemeinen ndimensionalen euklidischen Vektorraum V muss man erst eine ONB wählen und O(V ) mit O(n) identifizieren, um
das Verfahren anzuwenden.
1
