Strahlungsdruck

Strahlungsdruck
Eugene Hecht, Optik, 5. Auflage, Oldenbourg Verlag München, S 100 – 103
Geschichte
Die Idee, dass Licht einen Druck ausübt geht bereits auf Kepler zurück, der annahm, die
Strahlkraft des Sonnenlichts wäre verantwortlich für die Ausrichtung der Kometenschweife
weg von der Sonne. Besonders im Rahmen der Debatte ob Licht als Wellenphänomen oder
Korpuskel zu verstehen wäre, hofften die Anhänger der Korpuskelhypothese durch von Licht
verursachtem Druck die Teilchennatur des Lichts nachweisen zu können. Alle derartigen
Versuche scheiterten und der Idee wurde kaum mehr Interesse entgegengebracht, bis Maxwell
sie 1783 wieder aufgriff. Er wies allerdings nach, dass tatsächlich Wellen Impuls tragen:
„ In einem Medium, indem sich Wellen fortpflanzen, gibt es senkrecht zu den Wellenfronten
einen Druck, dessen Zahlenwert gleich demjenigen der Energie pro Volumeneinheit ist.“
Herleitung
Eine elektromagnetische Welle, die auf ein Medium trifft, tritt mit den Ladungen im Inneren
des Mediums in WW. Egal ob sie teilweise oder vollständig absorbiert oder reflektiert wird
übt die Welle eine Kraft auf die Ladungen und somit die Oberfläche des Materials aus.
Maxwell konnte nun zeigen, dass dem zweiten Newton’schen Axiom zufolge die Welle selbst
Träger des Impulses ist und der Strahlungsdruck P gleich der Energiedichte ist:
P = uE + uB
Für das Vakuum sind diese Energiedichten
1
uE = ε 0 E 2
2
1 B2
uB =
2 µ0
und
Die E und B Felder sich aber zeitlich variabel. Anstatt als Summe der Energiedichten kann P
auch zeitabhängig über den Betrag des Poynting Vektors dargestellt werden.

S (t )
P(t ) =
c
Dies entspricht dem Momentandruck, der auf eine vollständig absorbierende Fläche ausgeübt
wird, von einem Strahl, der senkrecht zur Fläche einfällt. Aufgrund schnell veränderlicher
Felder, ist es praktisch den Druck über eine Periode T zu mitteln:

〈 S (t )〉 T I
〈 P(t )〉 T =
=
c
c
[N/m2]
Außerdem ist dies der selbe Druck, der auf eine Quelle wirkt, die Energie abstrahlt.
Impulsvolumendichte
Ein Strahl mit Impuls p verübt auf eine Fläche A die Kraft:
 Δp
F=
Δt
Bezeichnen wir mit pv die Volumsdichte des elektromagnetischen Impulses

S
pv = 2
c
So erhalten wir

 pv (c ⋅ Δt ⋅ A)
S
F=
= A⋅
Δt
c
Experimente
Experimentell bestätigt wurde dies durch den Compton Effekt. Dabei wurden Energie und
Impuls bestimmt der von einem einzelnen Röntgenphoton auf ein Elektron übertragen wird.
Dass Licht einen Druck ausübt wurde bereits 1901 gemessen sowohl von dem russischen
Experimentator Pjotr Nikolajewitsch Lebedev und unabhängig davon von den Amerikanern
Ernest Fox Nichols und Gordon Ferrie Hull. Heute sind derartige Experimente weitaus
einfacher. Wenn man einen Laser so weit fokussiert, dass sein Radius die theoretische Grenze
einer Wellenlänge annähert, ist der ausgeübte Druck selbst bei wenigen Watt beträchtlich. So
kann ein Laser Atome kühlen und einfangen, Teilchen beschleunigen und selbst kleine
Objekte schweben lassen.
Beispiel Sonne
Die von unserer Sonne ausgehende mittlere Flussdichte elektromagnetischer Energie, die
senkrecht auf eine Fläche unmittelbar vor der Erdatmosphäre fällt beträgt etwa 1400 W/m2.
Vollständige Absorption vorausgesetzt, beträgt der Strahlungsdruck 4.7 x 10-6 N/m2. Im
Vergleich zum Atmosphärendruck von 105 N/m2 eine winzige Zahl, auf die gesamte Erde
aufsummiert, entspricht der Druck der Sonne aber bereits der Kraft eines Gewichts von 10
Tonnen.
Auch auf kleine Objekte macht sich der Strahlungsdruck der Sonne über längere Zeit
bemerkbar. Beispielsweise hätte die Viking-Sonde den Mars um 15 000 km verfehlt, wäre der
Effekt des Sonnenlichts nicht bei der Flugbahnberechnung berücksichtigt worden. Innerhalb
der Orbits der inneren Planeten sind sogar Flugkörper möglich die mit Sonnensegeln nur
durch den Druck des Sonnenlichts angetrieben werden.
Doppelspaltexperiment
Eugene Hecht, Optik, 5. Auflage, Oldenbourg Verlag München, S 639 – 650
Paul A. Tipler und Ralph A. Llewellyn, Moderne Physik, 2. Auflage, Oldenbourg Verlag
München, S 260 – 264
Geschichte
Bei der Erzeugung von Interferenz stellt sich die Aufgabe getrennte, unabhängige,
hinreichend kohärente Lichtquellen zu finden. Vor der Erfindung des Lasers war keine solche
Quelle bekannt. Grimaldi wollte bereits 1665 Lichtinterferenz untersuchen indem er
Sonnenlicht durch zwei benachbarte Löcher fallen lies. Der Aufbau scheiterte, denn die
verwendete Lichtquelle für diesen Aufbau hätte nur wenige Bogensekunden betragen dürfen,
die Sonne erstreckt sich aber über 32 Bogenminuten.
1802 griff Thomas Young diese Idee wieder auf. Er hoffte die Wellennatur des Lichts nach zu
weisen, und nahm eine Überlagerung ähnlich den Schallwellen beim Knall an. Anders als
Grimaldi lies er das Licht zuerst durch ein einzelnes Loch fallen. So entstand ein räumlich
kohärentes Strahlenbündel, das beide Löcher gleichmäßig beleuchtete. Tatsächlich
beobachtete Young Interferenzstreifen.
Da wir heute die zugrunde liegenden Prinzipien kennen, benutzen wir Spalte statt Löcher, und
erhalten so weit mehr Lichteinfall.
Aufbau
Eine monochromatische, ebene Welle fällt auf einen langen, dünnen Spalt. Das Licht wird am
Primärspalt unter allen Winkeln in Vorwärtsrichtung gebeugt, und erzeugt eine Zylinderwelle,
die auf die parallelen, benachbarten Sekundärspalte S1 und S2 fällt. Liegt Symmetrie vor,
sodass die auftreffenden Wellensegmente phasengleich sind, werden die Sekundärspalte zu
kohärenten Sekundärquellen. Zur Interferenz kommt es, wenn sich die Wellen von S1 und S2
überlagern. Heute benutzt man Laser als kohärente Lichtquellen, was den Primärspalt
verunnötigt. Der Abstand zwischen den Spalten ist in der realen Versuchsanordnung sehr
klein gegen den Abstand zum Projektionsschirm und sämtliche Streifen des
Interferenzmusters entstehen in der Umgebung des Schirmmittelpunkts.
Geometrische Berechnungen
Die optische Weglängendifferenz der Strahlen zwischen S 1 P und S 2 P kann näherungsweise
bestimmt werden, indem man das Lot von S2 auf S 1 P fällt. Die Differenz ist gegeben durch:
(S B ) = (S P )− (S P ) oder (S B ) = r − r
1
1
2
1
1
2
Weiter setzen wir (r1 − r2 ) = a ⋅ sin(θ ) und benutzen die Kleinwinkelnäherung (r1 − r2 ) ≈ a ⋅ θ .
Dabei ist θ ≈
a
y
, also r1 − r2 ≈ y .
s
s
Konstruktive Interferenz tritt ein wenn r1 − r2 = mλ .
Für die Position des m-ten hellen Streifens auf dem Schirm gilt dann y m ≈
s
mλ .
a
Das Maximum in Null zählt dabei als nullter Streifen. Durch einsetzen in die Formeln für ym
mλ
und θ erhält man die Winkelposition θ m =
.
a
s
λ . Die Wellenlänge als Faktor macht
a
offensichtlich, dass rote Streifen breiter sind als blaue.
Zwei benachbarte Maxima sind entfernt um Δy ≈
Da das entstehende Muster jenem entspricht, dass durch Überlagerung zweier Kugelwellen
entsteht – zumindest im Bereich r1 − r2 – gilt für die Intensität
I = 4 I 0 ⋅ cos 2
δ
2
Mit der Phasendifferenz δ = k (r1 − r2 ). Vorrausgesetzt die Wellen sind kohärent und die
ya
Bestrahlunsstärken I 0 stimmen überein. Über r1 − r2 ≈
erhalten wir die resultierende
s
Bestrahlungsstärke mit
I = 4 I 0 cos 2
yaπ
sλ
Der Abstand der Maxima aus der Gleichung für Δy geht von unendlich schmalen Spalten aus.
Die Kosinusquadrat-Streifen sind daher eine unerreichbare Idealisierung. In der Praxis
schwächt sich das Muster auf beiden Seiten des nullten Maximums infolge von
Beugungseffekten ab.
Erklärung durch Fourier-Analyse
Treffen ebene Wellen auf einen schmalen Spalt, treten sie auf der Rückseite des Schirms
durch Beugung als Zylinderwellen aus. Dabei nähert sich die Wellenform immer mehr einem
Zylinder an, je schmaler der Spalt ist. Das Licht hinter dem Schirm breitet sich unter sehr
vielen Winkeln aus. Anders gesagt, mit vielen Raumfrequenzen. Aus Fourier´scher Sicht ist
die Erklärung, dass eine unendlich schmale Quelle ein bezüglich der Raumfrequenz unendlich
breites Lichtfeld erzeugt. Die Fourier-Transformierte eine ideal eindimensionalen Signals ist
ein konstantes Kontinuum, das alle Raumfrequenzen enthält. Einfacher gesagt: die Fourier-
Transformierte einer Punktquelle ist eine Kugelwelle. Ebenso ist die Transformierte einer
idealen Linienform eine Zylinderwelle.
In der Praxis baut man beim Young’schen Doppelspalt die schlitzförmigen, phasengleichen
Quellen so, dass der Abstand der Schlitze a voneinander sehr klein ist gegen den Abstand s
vom Projektionsschirm. Dabei ist s so groß gewählt, dass das Interferenzmuster einem
fraunhofer’schen Beugungsmuster entspricht. Die Schlitze ähneln zwei idealen schmalen
Signalen - also dirac’schen Deltafunktionen.
Die Deltafunktion nach Dirac erlaubt bequem die Darstellung räumlich scharf begrenzter,
zweidimensionaler Lichtpulse. Sie ist überall Null außer im Ursprung, wo sie gegen unendlich
geht, wobei sie eine Fächeneinheit überdeckt:
⎧ 0 x ≠ 0
⎩∞ x = 0
δ (x ) = ⎨
+∞
mit
∫ δ (x )dx = 1
−∞
Die Transformierte einer Deltafunktion ist eine Kosinusfunktion. Betrachtet man die Schlitze
als unendlich schmal, approximiert die Form der Amplitude des elektrischen Feldes im
Beugungsmuster die Kosinusfunktion. Die Verteilung der Bestrahlungsstärke ist dann eine
Funktion von cos2.
Moderne Entwicklungen
Solange wir die Photonen als Wellenphänomen betrachten, ist das Ergebnis nicht
überraschend. Das Elektrische Feld auf dem Schirm ist null, wo die Wellen um 180° außer
Phase sind. Verringern wir die Lichtintensität für lange Zeit auf einzelne Photonen, oder
beleuchten das Detektorfeld für kurze Zeit mit schwacher Intensität tritt die Quantennatur der
Lichtteilchen hervor. Dabei muss der Schirm gegen einen Szintillationszähler oder ein Gitter
aus Photonendetektoren getauscht werden.
Was wir dann sehen ist nicht einfach eine schwache Version des Interferenzmusters, sondern
einzelne Punkte, die von den einzelnen Photonen verursacht werden. In Regionen mit
destruktiver Interferenz entstehen keine Punkte, bei konstruktiver hingegen viele. Das
Aussehen des Mustern hängt davon ab wie viele Teilchen auf den Detektor treffen, nicht von
der Rate des Auftreffens. Selbst wenn die Intensität so gering ist, dass je nur ein einzelnes
Photon den Detektor erreicht, sagt die Wellentheorie das mittlere Muster richtig voraus. Das
Photon hat mit sich selbst interferiert.
Die gequantelte Energie einer Lichtwelle pro Volumeneinheit ist proportional zu E2. Für
geringe Intensitäten interpretieren wir E2 als Größe, proportional zur Wahrscheinlichkeit ein
Photon in einer Volumseinheit zu finden. An Punkten des Detektors mit E 2 = 0 beobachtet
man nie Photonen.
Dieses Experiment ist nicht auf Licht beschränkt, da auch Materie einen Wellencharakter
aufweist. In der Wellentheorie des Elektrons beschreibt man die de Broglie Welle eines
einzelnen Elektrons mit der Funktion Ψ , dabei ist Ψ 2 analog zu E2 proportional zur
Wahrscheinlichkeit, das Elektron an einem bestimmten Punkt im Raum zu finden. Den
Amplituden dieser Wellen lässt sich keine einfache Interpretation zuordnen.
Anwendungen des Lasers
Strahlteiler:
In der einfachsten Form ein Glas mit dünnen aufgedampften Metallschichten. Vorhersage der
Aufteilung der Photonen nur statistisch möglich. Das Michelson Interferometer ist eine
mögliche Anwendung.
Laserkühlung
1975 wurde von Hänsch und Schawlow die theoretische Grundlage entwickelt – Chu, CohenTannoudji und Phillips haben die erste funktionierende Anwendung entwickelt
(àPhysiknobelpreis – 1997)
Durch Laserkühlung ist es möglich, Materie auf bis zu 50µK zu kühlen.
Für die Laserkühlung wird eine Laserfrequenz im unteren Bereich des Absorptionsspektrums
benötigt – dadurch wird das Licht für Teilchen die auf den Laser zufliegen (aufgrund der
Molekularbewegung) blau verschoben und die Teilchen können die Energie absorbieren.
Dadurch werden sie im Mittel gebremst und im Anschluss bei der Freigabe des Photons
wieder beschleunigt. Da die Richtung der Beschleunigung zufällig, die Richtung der
Verzögerung jedoch immer der ursprünglichen Bewegungsrichtung entgegen geht werden die
Moleküle in Summe langsamer.
Laserpinzette
Bei der Laserpinzette wird das Laserlicht beim Durchtreten der eingeschlossenen Moleküle
vom Strahl weg gebrochen – dabei gibt das Licht einen Impuls an das Teilchen ab
(àImpulserhaltung). Dadurch wird das Teilchen zur Mitte des Strahls gelenkt. Die auf das
Teilchen wirkende Kraft ist proportional zum Gradienten der Strahlungsintensität, was beim
Wendepunkt des Intensitätsverlaufs der Fall ist. Mit optischen Pinzetten lassen sich Teilchen
mit einer Größe von 0.1nm bis 10µm manipulieren.