Kegel und Kegelstumpf

Kegel und Kegelstumpf
Der Begriff des Kegels
Def:
Bem:
Abwicklung des Mantels eines geraden Kreiskegels
1
Satz:
Aufgaben
Nr. 1
Wie gross sind Volumen, Mantelfläche, Oberflächeninhalt und
Mantellinienlänge des geraden Kegels mit r  3cm und h  4 cm ?
Nr. 2
Ein gerader Kegel mit Mantellinien der Länge m  5.8cm hat den
Mantelinhalt M  52.8cm2 . Wie lang ist sein Grundkreisradius und wie
gross sein Volumen?
Nr. 3
Der Mantel eines geraden Kegels ist ein Kreissektor mit Zentriwinkel 
und Radius m  4 cm . Berechne seinen Grundkreisradius, seine Höhe,
sein Volumen und den Oberflächeninhalt für
a)   90
b)   240
Nr. 4
Dreht man ein gleichschenkliges Dreieck ABC
 AC  BC  um die
Trägergerade der Höhe hc , dann entsteht ein gerader Kegel.
a) Wie gross ist sein Volumen, wenn ABC ein gleichschenkliges,
rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 6 cm ist?
b) Wie gross ist sein Mantel, wenn das Dreieck ABC die Seitenlängen
AB  14.4cm und AC  BC  12cm hat?
Nr. 5
Eine 2 m tiefe Grube von 25 m Länge und 9 m Breite wird durch einen
Bagger ausgehoben. Das Aushubmaterial wird zu einem Kegel mit
Böschungswinkel (Winkel zwischen Mantellinie und Grundfläche) 45°
aufgeschüttet. Beim Aushub wird das Material jeweils so aufgelockert,
dass sein Volumen um etwa 25%
zunimmt. Wie hoch ist der Kegel?
r
Nr. 6
Nr. 7
Ein kegelförmiges Champagnerglas hat die Innenmasse
r  3.7 cm und h  11.2 cm .
a) Wie viele cm3 Getränk haben darin Platz?
b) Wie viele cm3 enthält das Glas, wenn es bis zur halben
Höhe gefüllt ist?
c) Bis auf welche Höhe muss man füllen, wenn zwei Drittel
des möglichen Inhalts eingeschenkt sein sollen?
h
Berechne das Volumen des Zeltes mit
r  10 m und h  20 m .
h
r
30m
2
Nr. 8
Aus einem Halbkreis mit Radius 15cm werden
vier kongruente Tüten hergestellt. Wie gross ist
das gesamte Volumen, wenn man die
Verleimungsstellen bei der Berechnung
vernachlässigt?
Nr. 9
Ein Messingkegel mit Höhe h  12 cm und
Grundkreisradius r  5cm wird auf halber Höhe
parallel zur Grundfläche abgesägt.
Anschliessend wird in den Restkörper eine
kegelförmige Öffnung der
Höhe h 3 eingebohrt. Wie schwer ist der so
h
h
erhaltene Körper? (Dichte   78.4 g/cm )
3
r
3
3
h
2
Lösungen
Nr. 1
1
V   r 2 h  37.70 cm3
3
m  r 2  h 2  5cm
M   rm  47.12 cm 2
S   r  r  m   75.40 cm 2
Nr. 2
M   rm  r 
M
 2.90 cm
m
h  m 2  r 2  5.02 cm
1
V   r 2 h  44.18cm3
3
Nr. 3
a)
2 r
90
b)
2 m 360  r 
m
 1cm
4
240
2 m 360  r 
2m
 2.67 cm
3
h  m 2  r 2  3.87 cm
h  m 2  r 2  2.98cm
1
V   r 2 h  4.06 cm3
3
1
V   r 2 h  22.20 cm3
3
S   r  r  m   15.71cm 2
S   r  r  m   55.85cm 2
Nr. 4
a)
2 r
2a 2  c 2
 a
c
2

c
2
2
h  hc  a 2   2c  
2
c2 c2 c


2 4 2
1
1 c2 c 1
V   r 2 h       c 3  28.27 cm3
3
3
4 2 24
4
b)
r
AB
 7.2 cm
2
m  AC  12 cm
M   rm  271.43cm 2
Nr. 5
VAushub  abc  450 m3
125
VKegel  450  100
 562.5 m3
Böschungswinkel 45°  r  h
3V
1
1
VKegel   r 2 h   h3  h  3 Kegel  8.13m
3
3

Nr. 6
a)
1
V   r 2 h  160.56cm3
3
b)
1 r h
V '       20.07 cm3
3 2 2
2
c)
1
2 1
2
2
V ''    k  r    k  h     r 2 h  k 3 
3
3 3
3
2
k3
3
 h ''  k  h 
Nr. 7
1
2rh
V   r 2h 
 l  8094.40 m3
3
2
5
3
2
 h  9.78cm
3
Nr. 8

2 r
180
 45,
4
m  15cm
45
2 m 360  r 
m
 1.875cm
8
h  m 2  r 2  14.88cm
1
V  4   r 2 h  219.16 cm3
3
Nr. 9
2
2
1
1 r h 1 r h
V   r 2h          
3
3 2 2 3 2 3
1
1
1
19
  r 2 h   r 2 h   r 2 h   r 2 h  248.71cm3
3
24
36
72
M Gewicht  V    19 '498.8 g
6
Der Kegelstumpf
Def:
Satz: Volumen Kegelstumpf
Satz: Mantel Kegelstumpf
7
Satz: Oberfläche Kegelstumpf
Aufgaben
Nr. 1
Ein Kegelstumpf hat die Radien r1  6 cm und r2  4cm und die Höhe
h  3cm .
a) Berechne sein Volumen.
b) Weise nach, dass die Höhe des zugrundeliegenden Kegels 9cm lang
ist.
c) Berechne den Mantel des Kegelstumpfes.
Nr. 2
Ein gleichschenkliges Trapez mit parallelen Seiten von 15cm und 5cm
Länge und der Höhe 15cm rotiert um seine Symmetrieachse. Wie gross
sind Volumen, die gesamte Oberfläche und Mantellinie des so gebildeten
Kegelstumpfes?
Nr. 3
Ein Wasserkessel hat die Form eines Kegelstumpfes und enthält ganz
gefüllt 50 Liter. Die Durchmesser von Grund- und Deckkreis sind 30cm
und 40cm lang. Wie tief ist der Kessel?
23
Nr. 4
Längsschnitt durch eine Milchkanne:
Wie viele Liter haben darin Platz?
(Alle Angaben in cm.)
9
7
38
33
8
Herleitung der Formel der Mantelfläche eines Kegelstumpfes:
m2 :  m  m2   r2 : r1
m2  r1   m  m2   r2

m2 
r2
m
r1  r2
M   r1  m  m2    r2 m2
  r1m   m2  r1  r2 
  r1m   
r2
 m   r1  r2 
r1  r2
  r1m   r2 m
  m  r1  r2 
Lösungen
Nr. 1
a)
1
V   h  r12  r1  r2  r22   238.76cm3
3
b)
h2 :  h  h2   r2 : r1
h2  r1   h  h2   r2
h2 
c)
m
 r1  r2 
r2
 h  6 cm  H  h2  h  9 cm
r1  r2
2
 h 2  3.61cm
M   m  r1  r2   113.27 cm 2
Nr. 2
r1  152  7.5cm, r2  52  2.5cm, h  15cm
1
V   h  r12  r1  r2  r22   1276.27 cm3
3
m
 r1  r2 
2
 h 2  15.81cm
S   m  r1  r2    r12   r22  693.08cm 2
9
Nr. 3
V  50 dm3  50 '000 cm3 , r1 
30
2
 15cm, r2 
40
2
 20 cm
1
V   h  r12  r1  r2  r22 
3
h
3V
 51.62 cm
  r  r1r2  r22 
2
1
Nr. 4
r1  16.5cm, r2  11.5cm, h1  38cm, h2  7 cm, h3  9 cm
1
V   r12 h1   h2  r12  r1r2  r22    r22 h3
3
 40 '596.71cm3  40.60 Liter
10