Kapitel 3: Vektoren, Matrizen, Determinanten

Übungsaufgaben zum Vorkurs im SS 2010
Mathematik für Studienanfänger“
”
Prof. Dr. Peter van Dongen
Institut für Physik, KOMET 337, Johannes Gutenberg-Universität
Kapitel 3: Vektoren, Matrizen, Determinanten
Aufgabe 24. Komplexe Zahlen als (2 × 2)-Matrizen
µ
¶
u −v
Betrachten Sie (2 × 2)-Matrizen der Form A =
mit u, v ∈ R.
v u
¶
¶
µ
µ
u2 −v2
u1 −v1
miteinander
und A2 =
(a) Zeigen Sie, dass zwei solche Matrizen A1 =
v2 u2
v1 u1
kommutieren (A1 A2 = A2 A1 ). Kommutieren alle reellen (2 × 2)-Matrizen miteinander?
(Falls nicht: Konstruieren Sie ein Gegenbeispiel.)
µ
¶
u −v
(b) Zeigen Sie, dass reelle (2 × 2)-Matrizen der Form
und komplexe Zahlen der Form
v u
u + vi bezüglich der Addition und Multiplikation die gleichen Rechenregeln erfüllen und
insofern 1 − 1 aufeinander abbildbar sind.
Aufgabe 25. Geometrie (*)
Bestimmen Sie den Schnittpunkt
an der Kugel x21 + x22 + x23 = 2 in den
√ 1 der Tangentialebenen
√ 1
1
1
Punkten (1, 0, −1), (1, − 2 3, 2 ) und (1, 2 3, 2 ).
Hinweis: Untersuchen Sie zuerst, wie diese drei Punkte in der Ebene x1 = 1 relativ zueinander
angeordnet sind.
Aufgabe 26. Vektorraum und Skalarprodukt (*)
Betrachten Sie allgemein
einen reellen Vektorraum V mit dem reellen Skalarprodukt (x, y) und
p
der Länge |x| ≡ (x, x) sowie zwei nicht-kollineare Elemente a und b von V .
(a)
Bestimmen Sie den Wert λ0 der Variablen λ ∈ R, der die Größe |b − λa|2 minimiert.
(b) Leiten Sie aus der Bedingung |b − λ0 a|2 ≥ 0 die Schwarz’sche Ungleichung |(a, b)| ≤ |a||b|
ab.
(c) Erläutern Sie die Beziehung der Vektoren b − λ0 a und λ0 a zu den in der Vorlesung definierten Größen bk und b⊥ .
Aufgabe 27. Die Hilfsgrößen δ ij und εijk (**)
Der Levi-Civita-Tensor εijk wurde in der Vorlesung definiert. Das Kronecker-Delta δij ist für
i, j ∈ {1, 2, 3} definiert durch δij = 1 (falls i = j) bzw. δij = 0 (falls i 6= j).
(a)
Berechnen Sie die Ausdrücke
(i)
3
X
δii
(ii)
i=1
3
X
δij εijk
i,j=1
(iii)
3
X
εijk εijk .
i,j,k=1
(b) Zeigen Sie:
(i)
3
X
j,k=1
εijk εljk = 2δil
(ii)
3
X
k=1
εijk εklm = δil δjm − δim δjl .
(c)
Zeigen Sie analytisch [evtl. mit Hilfe von (b)] für alle a, b ∈ R3 :
(i) (a × b)i =
3
X
(ii) |a × b|2 = |a|2 |b|2 sin2 (ϕ) ,
εijk aj bk
ϕ ≡ ∠(a, b) .
j,k=1
(d) Zeigen Sie analytisch mit Hilfe von (b) für alle a, b, c ∈ R3 :
(e)
a×(b×c) = (a·c)b−(a·b)c .
R3
Zeigen Sie analytisch mit Hilfe von (b) für alle x ∈
und alle α̂ ∈ R3 mit |α̂| = 1 :
(α̂ · x)α̂ − α̂ × (α̂ × x). Wie interpretieren Sie diese Identität geometrisch?
x=
Zusatzinformation: Häufig verwendet man die Einstein’sche Summationskonvention“, die be”
inhaltet, dass implizit über die doppelten Indizes in einem Ausdruck summiert wird. Man würde
die Summen in (a) somit als δii , δij εijk bzw. εijk εijk schreiben (also ohne Summenzeichen), die
Summen in (b) als εijk εljk bzw. εijk εklm und die Summe in (c) als εijk aj bk . Sie dürfen die
Einstein’sche Summationskonvention in dieser Aufgabe verwenden, wenn Sie dies wünschen.
Aufgabe 28. Mehrfachprodukte (**)
Beweisen Sie [evtl. mit Hilfe von Aufgabe 5(b) bzw. 5(d)] die Jacobi-Identität:
a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0
und zeigen Sie:
(a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c) .
Aufgabe 29.
Seien a und b zwei Vektoren mit |a + b| = |a − b|. Zeigen Sie allgemein, dass dann a ⊥ b gilt
und begründen Sie dies mit einer Skizze.
Aufgabe 30.
Für φ ∈ [0, 2π) sei die Matrix


cos φ − sin φ 0
D3 (φ) =  sin φ cos φ 0 
0
0
1
gegeben.
(a)
Berechnen Sie die Matrixprodukte D3 (φ)D3 (φ)T und D3 (φ)D3 (θ).
(b) Bestimmen Sie die Wirkung der Matrix auf einen Vektor a ∈
man das Ergebnis geometrisch interpretieren?
(c)
R3 ,
θ ∈ [0, 2π).
also D3 (θ)a. Wie kann
Warum gilt anschaulich D3−1 (φ) = D3 (−φ)? Rechnen Sie dies nach.
(d) Raten Sie, welche Wirkung die Matrix


cos φ 0 − sin φ

1
0
D2 (φ) =  0
sin φ 0 cos φ
(e)
auf einen Vektor a hat.
Kommutieren die Matrizen D3 und D2 , d.h. gilt D3 (φ)D2 (φ) = D2 (φ)D3 (φ) ∀φ ∈ [0, 2π)?
Interpretieren Sie diesen Sachverhalt geometrisch.
Aufgabe 31. Determinanten
Berechnen Sie die folgenden Determinanten:




a b c
0 0 1
(a) det  b c a 
(b) det  1 0 0 
c a b
0 1 0

a b c
(c) det  0 d e 
0 0 g


0 0 1
(d) det  0 1 1  .
0 0 1

Aufgabe 32. Determinante und Inverse
Bestimmen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen und die Inversen, falls diese existieren.






0 1 0
1 3 3
2 1 −3
(a)  1 0 0 
(b)  4 8 1 
(c)  4 −4 1  .
0 0 1
2 3 2
6 −3 −2
Aufgabe 33. Quaternionen (**)
Das Konzept einer komplexen Zahl“ (s. hierzu auch Aufgabe 24) kann weiter verallgemeinert
”
werden, z. B. mit Hilfe der 1843 erstmals von William Rowan Hamilton konstruierten Quaternionen. Ein Quaternion z = u1 + vi + wj + xk ist als reelle Linearkombination (u, v, w, x ∈ R)
der reellen Einheit 1 und dreier imaginärer“ Einheiten i, j und k mit den Rechenregeln i2 =
”
j 2 = k 2 = −1 = ijk definiert. Quaternionen spielen (in der Form von Pauli-Matrizen“) eine
”
sehr wichtige Rolle in der Quantenmechanik.
(a)
Zeigen Sie durch Anwendung der Rechenregeln, dass i, j und k nicht miteinander kommutieren: ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j .
(b) Zeigen Sie für das Produkt zweier Quaternionen zm = um 1+vm i+wm j +xm k mit m = 1, 2:
z1 z2 = (u1 u2 − v1 v2 − w1 w2 − x1 x2 )1 + (u1 v2 + v1 u2 + w1 x2 − x1 w2 )i
+ (u1 w2 + w1 u2 − v1 x2 + x1 v2 )j + (u1 x2 + x1 u2 + v1 w2 − w1 v2 )k.
(c)
Zeigen Sie, dass Quaternionen und reelle (4 × 4)-Matrizen der Form


u
v
w
x
 −v
u −x w 

Z=
(u, v, w, x ∈ R)
−w x
u −v 
−x −w v
u
bezüglich der Addition und Multiplikation die gleichen Rechenregeln erfüllen und insofern
1 − 1 aufeinander abbildbar sind.
Aufgabe 34. Rechnen mit Vektoren
(a)
Berechnen Sie:
  
5
1
 0 + 6 
7
4
(i)





2
1
1
 2  −α β  + β α 
1
0
3


(ii)
(b) Berechnen Sie:

   
1
1
(i)  1  +  1  − 
0
1
   
3
1
(ii)  7  +  1 
6
0
    
2
2
(iii)  0  ·  4  × 
3
5
(c)
 

0
α
0  ×  α 
1
0

1
0 
3
Berechnen Sie den Winkel zwischen folgenden Vektoren:
 


 √ 
6
4
3
(i)  8  ,  −3 
(ii)  1 
1
0
0

,

0
√
 3 327 
0