V7 – Lichtbeugung an Schallwellen

Physikalisches Grundpraktikum
V7 – Lichtbeugung an Schallwellen
V7 – Lichtbeugung an Schallwellen
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Schallgeschwindigkeit in Wasser und Ethanol über das mittels DebyeSears-Verfahren bei 4 verschiedenen Frequenzen. Führen Sie eine Größtfehlerrechnung durch.
Stichworte zur Vorbereitung:
Beugung am Spalt und am Gitter, Brechzahl, Ultraschall, piezoelektrischer Effekt, stehende
Wellen, Phasengitter, Debye-Sears-Effekt
Literatur:
•
F. Schenk, W. Kremer (Hrsg.), Physikalisches Praktikum, Kap. 4.2, 14. Auflage, Springer
Verlag Berlin 2014
•
H. J. Eichler, H.-D. Kronfeldt, J. Sahm, Das Neue Physikalische Grundpraktikum, Kap. 13, Kap.
38, 2. Auflage, Springer Verlag Berlin 2006
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1.
Theoretische Grundlagen
Mechanische Schwingungen und Wellen
Schwingungen und Wellen treten vor allem in zwei Erscheinungsformen auf, als elektromagnetische
und mechanische, zeitlich bzw. räumlich periodische Zustandsänderungen. Grundsätzlich
unterscheiden sich beide Formen dadurch, dass die elektromagnetische Schwingung bei der
Ausbreitung in Form von Wellen keinerlei stoffliche Teilchen benötigen, während die mechanischen
Schwingungen bei der Ausbreitung an Materie, und zwar an ein elastisches Medium gebunden sind. Als
Schall bezeichnet man mechanische Schwingungen und Wellen kleiner Amplitude. Der Schallbereich
wird wie folgt aufgeteilt:
f
<
16 Hz
Infraschall
16 Hz
bis
16000 Hz
Hörschall (Akustik)
16000 Hz
bis
1010 Hz
Ultraschall
>
1010 Hz
Hyperschall
Wird in einem deformierbaren Stoff eine Schwingung erregt, so bleibt diese nicht auf das
Erregerzentrum beschränkt. Die benachbarten Teilchen werden durch die von der Schwingung
hervorgerufenen elastischen Spannungen (Kopplung) ebenfalls angeregt. Dieser zeitlich und räumlich
periodische Vorgang wird als Welle bezeichnet. Die für Schallwellen kleiner Amplitude gültige
Wellengleichung
!" #
!$ "
= 𝑐'
!" #
!( "
(1)
enthält wie die Bewegungsgleichung einer Schwingung die zweite Ableitung der betrachteten Größe
nach der Zeit, zusätzlich jedoch die zweifache Ortsableitung. Darin bedeuten u die Elongation
(Auslenkung) und c die Ausbreitungsgeschwindigkeit (Schallgeschwindigkeit). Gase und Flüssigkeiten
besitzen eine Volumenelastizität, aber keine Formelelastizität, d. h. die Schallwelle kann sich nur als
Druckwelle fortpflanzen, wobei die Teilchen in Fortpflanzungsrichtung schwingen (Longitudinalwelle). Im
Festkörper können außerdem Transversalwellen und Torsionswellen vorkommen.
Bei der räumlichen Ausbreitung grenzt an jedes Teilchen eine große Anzahl phasengleich
schwingender Teilchen, die alle einer Fläche zugeordnet werden können, der Wellenfläche. Die
Ausbreitungsrichtung der Welle stimmt mit der Flächennormalen überein. Alle akustischen Vorgänge
sind also an ein Medium gebunden, sie sind weitgehend von der Art des Mediums und dessen
akustischen Eigenschaften abhängig. Die wichtigsten akustischen Konstanten der Stoffe sind die
Schallgeschwindigkeit, die Impedanz (Produkt aus Schallgeschwindigkeit und Dichte) und der Schallabsorptionsgrad.
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Erzeugung von Ultraschall
Für die Ultraschallerzeugung wird in diesem Versuch ein piezoelektrischer Schwinger verwendet. In
bestimmten Kristallen erfolgt infolge einer Deformation oder Dehnung eine Verschiebung der
Ladungsschwerpunkte, so dass am Kristall dadurch eine Spannungsdifferenz messbar ist. Dieser Effekt
wird als direkter piezoelektrischer Effekt bezeichnet. Andererseits werden durch das Anlegen eines
elektrischen Feldes an solch einen Kristall elastische Spannungen und Deformationen erzeugt. Das ist
der reziproke piezoelektrische Effekt. Letzterer wird hier angewandt, um Ultraschallwellen zu erzeugen.
Praktische werden die piezoelektrischen Schwinger je nach der Form in Dicken-, Längs-, Ring- oder
Rohrschwinger unterschieden. Im Versuch wird ein Dickenschwinger verwendet. Er besteht aus einer
kreisrunden Platte, deren Dicke klein gegenüber dem Durchmesser ist. Die Dickenschwinger werden so
gefertigt, dass beim Anlegen einer Wechselspannung an die beiden Elektroden nur in Richtung der
Flächennormalen longitudinale Schwingungen ausgeführt werden, dass sich also die Dicke beim
Schwingen im Rhythmus der Frequenz der angelegten Wechselspannung ändert. Stimmt die Frequenz
der angelegten Wechselspannung mit der Eigenfrequenz des Schwingers überein (Resonanz), so
werden intensive mechanische Dickenschwingungen ausgeführt. Diese Schwingungen regen die
Teilchen des umgebenden Mediums ebenfalls an und es kommt zur Ausbildung einer Welle mit der
Frequenz der angelegten Wechselspannung. Die Eigenfrequenz ist durch
𝑓=
*
,
'+
-
=
*.
'+
(2)
Dabei ist 𝑛 die Ordnungszahl der Schwingung (𝑛 = 1, 3, 5, …), 𝐸 der Elastizitätsmodul in Richtung
der Dicke, 𝜌 die Dichte und 𝑑 die Dicke des Schwingers.
Spezifische Eigenschaften und Effekte des Ultraschalls
Ultraschallwellen zeigen eine Reihe von physikalischen Eigenschaften, die schon von der Akustik
(Hörschallbereich) oder der Optik bekannt sind: Reflexion, Brechung, Absorption, Interferenzbildung,
stehende Wellen. Die auftretenden Effekte lassen sich in Primär- und Sekundäreffekte unterteilen.
Primäreffekte sind u. a. der Schallstrahlungsdruck, die Wellenaufteilung und die Absorption. Die
Sekundäreffekte unterteilt man grob in mechanische, thermische, elektrische, optische, in chemische
und biologische Effekte. Hier wird nur auf einen optischen Effekt, der Bildung eines Phasengitters,
näher eingegangen.
Die in einer Flüssigkeit laufende Ultraschallwelle ist eine elastische Welle, bei der in regelmäßigen
Abständen Verdichtungen und Verdünnungen hintereinander herlaufen. Der Abstand zweier
aufeinanderfolgender Verdichtungen ist durch die Schallwellenlänge in der Flüssigkeit gegeben.
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Wird eine Schallwelle am Ende einer Flüssigkeit mit der Länge 𝑙 reflektiert, so entstehen, wenn die
Bedingung
𝑙=
9:
'
, 𝑚 = 1, 2, 3, …
(3)
erfüllt ist, stehende Wellen, d. h. es existieren in der Flüssigkeit ortsfeste Druckknoten und –bäuche.
Zonen mit sehr großen Druckgradienten wechseln sich mit solchen Zonen ab, in denen keine oder nur
sehr geringe Druckgradienten auftreten. Die Druckgradienten können zeitlich verstanden werden, d. h.
man betrachtet die Druckschwankungen
!=> (?.onst.,$
!$
während einer Schwingungsperiode an einen festen Ort, oder räumlich d. h. man betrachtet zu einem
bestimmten Zeitpunkt die räumliche Änderung des Wechseldruckes 𝑝F
!=> (,$?const.
!$
.
pw
pw, n
n
x
pw, n
t=0
x
t= 1 T
4
x
t= 1 T
2
x
t= 3 T
4
pw, n
pw, n
Abb 1 : Örtliche Verteilung der Druck- bzw. der Brechzahl für 4 Zeitpunkte einer stehenden
Schallwelle mit der Periodendauer T .
Abb. 1: Örtliche Verteilung der Druckbzw. der Brechzahl für vier Zeitpunkte einer stehenden Schallwelle mit der
Durchquert Licht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Ultraschalls die Flüssigkeit
(Abb. 2), so ist für seine Brechung nicht der absolute Brechungsindex von
Periodendauer 𝑇 und der Wellenlänge 𝜆.
Bedeutung, sondern dessen räumliche Änderung dn / dx . Der Strahl wird zum
optisch dichteren Medium hin gebrochen, d. h. zum Bereich des höheren
Brechungsindex, d. h. zum Bereich des höheren Drucks. Obwohl in den DruckIn Abb. 1 ist die Abhängigkeit
des Schallwechseldrucks 𝑝F vom Ort
𝑥 für vier Zeitpunkte 𝑡 einer
bäuchen zeitlich gesehen die größten Druckschwankungen
auftreten, ist die
räumliche Änderung dort sehr gering. Dagegen ist dn / dx am Ort der Druckknoten
stehenden Welle dargestellt.
Infolge der Druckschwankungen ändert sich auch die Brechungzahl 𝑛 der
maximal. Daraus folgt, dass Teilstrahlen eines Strahlenbündels die Flüssigkeit im
Zentrum der Druckbäuche ohne Brechung passieren können, während die
Flüssigkeit, wobei die Änderung
des Brechungsindex 𝛥𝑛 bei kleinen Amplituden als proportional zur
Strahlteile, die die Flüssigkeit in der Nähe der Druckknoten durchdringen, abgelenkt
werden (Abb. 2).
Druckänderung 𝑝F betrachtet werden kann. In einer Flüssigkeit, in der sich eine stehende Schallwelle
ausbilden konnte, wechseln sich also zu den Zeitpunkten 𝑡 = 0 und 𝑡 =
N
'
(𝑇: Periodendauer der
Schwingung) in der Ausbreitungsrichtung der Schallwelle Zonen mit relativ großer (𝑛 + 𝛥𝑛) und relativ
N
RN
Q
Q
5 𝑡 =
kleiner (𝑛 − 𝛥𝑛) Brechungzahl ab. Zu den Zeitpunkten
und 𝑡 =
hat die gesamte Flüssigkeit
die gleiche Brechzahl. Durchquert Licht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Ultraschalls die
Flüssigkeit (Abb. 2), so ist für seine Brechung nicht die absolute Brechungzahl von Bedeutung, sondern
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dessen räumliche Änderung
+*
+(
. Der Strahl wird zum optisch dichteren Medium hin gebrochen, d. h.
zum Bereich des höheren Brechungsindex, also zum Bereich des höheren Drucks. Obwohl in den
Druckbäuchen zeitlich gesehen die größten Druckschwankungen auftreten, ist die räumliche Änderung
dort sehr gering. Dagegen ist
+*
+(
am Ort der Druckknoten maximal. Daraus folgt, dass Teilstrahlen eines
Strahlenbündels die Flüssigkeit im Zentrum der Druckbäuche ohne Brechung passieren können,
während die Strahlteile, die die Flüssigkeit in der Nähe der Druckknoten durchdringen, abgelenkt
werden (Abb. 2).
pw, n
Abb.2: Brechung von Licht an einer stehenden Ultraschallwelle
Abb.2: Brechung von Licht an einer stehenden Ultraschallwelle
Zur Abbildung der periodischen Änderung des Brechungsindexes, die durch
stehende Schallwellen in einer Flüssigkeit hervorgerufen wird, können 2 Verfahren
genutzt werden:
Zur Abbildung der periodischen
Änderung des Brechungsindexes, die durch stehende Schallwellen in
- Durchstrahlung der Versuchsflüssigkeit senkrecht zur Schallausbreitungsrichtung
parallelen
monochromatischen
einer Flüssigkeit hervorgerufen wird,
könnenmit2einem
Verfahren
genutzt
werden: Lichtbündel
(Debye-Sears-Effekt)
• Durchstrahlung der Versuchsflüssigkeit
zur Schallausbreitungsrichtung
- Durchstrahlung der senkrecht
Versuchsflüssigkeit
mit einem divergenten mit einem
monochromatischen Lichtbündel (Zentralprojektion).
parallelen monochromatischen Lichtbündel (Debye-Sears-Effekt),
•
Das erste Verfahren (Debye-Sears-Verfahren) soll in diesem Experiment genutzt
Durchstrahlung der
Versuchsflüssigkeit mit einem divergenten monochromatischen Lichtbündel
werden.
(Zentralprojektion).
3.
Hinweise zur Versuchsdurchführung:
Das erste Verfahren (Debye-Sears-Verfahren)
soll Welle
in diesem
genutztProbegefäß,
werden.
Die Erzeugung der stehenden
erfolgtExperiment
in einem speziellen
mit
dessen Sondenhalterung (3) die Ultraschallsonde (4) auf exakt senkrechten Einfall
Debye-Sears-Effekt
justiert werden kann. Auf dem Probegefäß (9) aus Glas befindet sich ein Deckel (2)
mit Sondenhalterung (3) und Justiermöglichkeit über drei Stellschrauben (1) zur
Zusätzlich wie
ist eine
senkrecht zur weil die
Bei Verwendung von Einstellung
parallelem einer
Lichtstehenden
wirkt dieSchallwelle.
Ultraschallwelle
ein Phasengitter,
Schallachse angeordnete Laserhalterung (7) mit Linsenaufnahme (6) angebracht.
periodischen Druckschwankungen
mit entsprechenden Änderungen der Brechzahl einhergehen, und
Hiermit ist die Darstellung des Debye-Sears-Effekts und der Ultraschall-WellenProjektion
damit auch die Laufzeiten
des möglich.
Lichtes durch die Ultraschallwelle variieren. Letzteres führt zu einer
Phasenverschiebung zwischen den Lichtstrahlen, je nachdem, ob diese einen Knoten oder einen Bauch
6
der Ultraschallwelle durchqueren. Tritt das Licht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Schallwelle
durch das Medium, so kann auf einem Schirm in einem gewissen Abstand ein typisches
Beugungsmuster mit mehreren Maxima beobachtet werden. In einem jeden Maximum überlagern sich
dabei von den benachbarten Druckknoten der Ultraschallwelle ausgehenden Teilstrahlen konstruktiv,
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Debye-Sears-Effekt
d.h. die Phasenverschiebung
beträgt an
unter diesem
Ablenkwinkel
ein ganzzahliges Vielfaches
Bei Verwendung
von parallelem
Licht wirkt die
Ultraschallwelle wie gerade
ein Phasengitter,
weil die periodischen Druckschwankungen mit entsprechenden Änderungen des
Brechungsindexes
einhergehen,
und damit
die Laufzeiten
des Lichtes der
durch abgelenkten Lichtwellen
von 2𝜋. Anschaulich ausgedrückt
bedeutet
das,
dassauchsich
Wellenberge
die Ultraschallwelle variieren. Letzteres führt zu einer Phasenverschiebung zwischen
den Lichtstrahlen, je nachdem, ob diese einen Knoten oder einen Bauch der
überlagern, was zu hohen Intensitäten
führt. Schematisch ist dies in Abbildung 3 gezeigt.
Ultraschallwelle durchqueren.
Abb.4: Schematische Darstellung des Versuchsaufbaus beim Debye-Sears Effekt
Abb. 3: Schematische Darstellung des Versuchsaufbaus nach Debye-Sears.
Aus den Beugungsbildern des Debye-Sears-Versuchs kann die Wellenlänge der
Schallwelle bestimmt und damit die Schallgeschwindigkeit der Flüssigkeit berechnet
werden. Dazu wird die Entfernung s zwischen Ultraschallwandler und Beugungsbild
(bei Verwendung von Spiegeln muss der vom Licht zurückgelegte Weg
Bei Kenntnis der Entfernungbestimmt
𝑠 zwischen
Ultraschallsonde und Beobachtungsschirm, kann nun aus dem
gemessen werden). Weiterhin wird die Anzahl der Beugungsordnungen N und der
Abstand zwischen der -N-ten und +N-ten Beugungsordnung x ermittelt (Abb. 4). Aus
Abstand 𝑥zwischen +𝑁 -tem
und Wellenlänge
– 𝑁 -temdes Beugungsmaximum
der bekannten
Laserlichtes
lässt sich dann die Wellenlänge 𝜆X der stehenden
L
2N
s
Ultraschallwelle aus der Wellenlänge 𝜆Y des verwendeten
Lichtes berechnet(7)werden:
x
L
S
die Wellenlänge des Ultraschalls
S
berechnen.
𝜆 =
'Z:[ \
.
Mit der am Generator eingestellten
X Frequenz des Ultraschalls f ergibt sich die
(
(4)
Schallgeschwindigkeit c in der Flüssigkeit zu:
f sich die Schallgeschwindigkeit
(8)
Mit der bekannten Frequenz des Ultraschalls 𝑓 cergibt
𝑐 in der Flüssigkeit
S
entsprechend
8
𝑐 = 𝜆X 𝑓 =
2.
']Z:[ \
(
.
(5)
Versuchsdurchführung
1
Justierschrauben zur Wandlerausrichtung
2
Deckel
3
Sondenhalterung
4
5
Ultraschallsonde
Feststellschraube für Laserdiode
6
Einstellschlitz für Linsenhalterung
7
Halterung für Laserdiode
8
Feststellschraube für Ultraschallsonde
9
Glasgefäß
Abb. 4: Aufbau des Probengefäßes
Die Erzeugung der stehenden Welle erfolgt in einem speziellen Probegefäß (siehe Abb. 3) aus Glas (9),
in dessen Deckel (2) eine Sondenhalterung (3) integriert ist, die es ermöglicht, die Ultraschallsonde (4)
mittels Stellschrauben (1) auf exakt senkrechten Einfall zu justieren. Zusätzlich ist eine senkrecht zur
Schallachse angeordnete Laserhalterung (7) angebracht. Eine Linse (bei Bedarf einzubringen in die
Linsenhalterung (6)) ist für den Debye-Sears-Versuch nicht erforderlich.
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Allgemeine Hinweise
Folgende Hinweise sollten zum Gelingen des Versuchs beachtet werden:
•
Beim Umgang mit Lasern ist besondere Vorsicht geboten. Reflektierende Gegenstände, wie
z. B. Uhren und Ringe, sollten abgelegt werden, um unkontrollierte Reflexionen zu vermeiden.
•
An der Ultraschallsonde befindliche Luftblasen sind zu entfernen.
•
Es sollten möglichst große Entfernungen zwischen Probengefäß und Projektionswand
verwendet werden, um so die Abstände der Beugungsordnungen zu vergrößern und den
Messfehler zu minimieren. Dazu wird der Lichtweg mit Spiegeln verlängert. Für die
Berechnungen nach Gleichung (4) ist der tatsächlich zurückgelegte Lichtweg erforderlich!
Beachten Sie bei der Abschätzung der Messunsicherheit, dass dafür mehrere Teilmessungen
erforderlich sind.
•
Wenn nicht gemessen wird, ist die Ultraschallsonde auszuschalten, um eine Erwärmung der
Probenflüssigkeit zu vermeiden.
•
Bei allen Frequenzen sollten bei höheren Spannungen mit guter Ausrichtung der Sonde
mindestens zwei bis drei Beugungsordnungen sichtbar. Ggf. ist an den Justierschrauben ((1) in
Abb. 4) systematisch nachzustellen.
Die (teure) Ultraschallsonde kann bei unsachgemäßer Anwendung schnell zerstört werden. Es ist
darauf zu achten, dass diese nur in Flüssigkeiten betrieben wird. Vor dem Herausnehmen muss sie
unbedingt abgeschaltet werden. Am Ende des Versuches muss der Schallkopf außerdem getrocknet
werden, da die Flüssigkeit sonst die Membran zerstören kann.
Vermessen Sie für Wasser und Ethanol die Beugungsbilder für vier Frequenzen: 1 MHz, 2 MHz, 4 MHz
sowie 8 MHz. Nutzen Sie die jeweils größtmögliche Beugungsordnung.
3.
Hinweise zur Auswertung
Berechnen Sie für jede Flüssigkeit und für jede Frequenz die Schallgeschwindigkeit aus dem Abstand
der beobachteten Beugungsmaxima entsprechend Gleichung (5). Bilden Sie den Mittelwert der
Schallgeschwindigkeit für jede Flüssigkeit.
Führen Sie eine Größtfehlerrechnung für Wasser bei 4 MHz durch. Der relative Fehler
^.
.
kann für den
Mittelwert und für beide Flüssigkeiten übernommen werden.
Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse im Rahmen der Messunsicherheiten mit Tabellenwerten!
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