Kleine Aufgabensammlung zum Aufwärmen

Kleine Aufgabensammlung zum Aufwärmen
Felix Hummel, Gerhard Mitterlechner
13. August 2008
Studiengang MultiMediaTechnology
Fachhochschule Salzburg
University of Applied Sciences
Die meisten der folgenden Aufgaben sind Mittelschulstoff und sollten ohne Mühe schaffbar
sein. Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben sind etwas schwerer.
i. Entscheiden Sie, welche der folgenden Gleichungen für alle (reelle) Zahlen a, b, c gelten
bzw. nicht gelten:
a(b + c) = ab + ac
(a)
a(−b − c) = ab − ac
(b)
a(−b − c)
a
b+c
a+b
c
a
:c
b
3a + b
3
3(a − b)
3
c(a − b)
ca
ca + b
c
(c)
= (−a)b + a(−c)
a a
=
+
b
c
a b
=
+
c c
a
=
bc
(d)
(e)
(f)
= a+b
(g)
= a−b
(h)
b
a
a 1
+
b
c
= 1−
(i)
=
(j)
1
Aufgaben zum Aufwärmen – Gerhard Mitterlechner, Felix Hummel
2
ii. Entscheiden Sie, welche der folgenden Gleichungen für alle (reelle) Zahlen a, b, c gelten
bzw. nicht gelten:
(a + b)2 = a2 + b2
2
(a − b)
2
= a + 2ab + b
2
(a − b)(a + b) = a − b
(a)
2
2
2
(c − a)(c − b) = c − (a + b)c + ab
√
√
√
a+b =
a+ b
(d)
(e)
= c +c
(f)
a+b
a
(g)
c
b
(c)
a+b
c
a
(b)
b
= c ·c
ab
= c +c
(h)
ab
a
(i)
c
c
a
b
b
= c ·c
iii. Berechnen Sie folgende Ausdrücke, wenn möglich ohne Taschenrechner:
√
3
8
(a)
3
(b)
−3
(c)
5
(d)
3
2
(−2)
√
9
512
04
√4
1+ 2
0
(e)
(f)
(g)
iv. Lösen Sie folgende Gleichungen, wenn möglich ohne Taschenrechner:
x2 − 4 = 0
(a)
2
(b)
2
x +1 = 0
(c)
2x − 8x + 8 = 0
x3
−1 = 0
27
2x − 1024 = 0
(d)
x −1 = 0
2
v. (a) Zeichnen Sie die Gerade, die durch folgende Gleichung gegeben ist:
1
x − y − 4 = 0.
2
(b) Zeichnen Sie die Gerade mit folgender Parameterdarstellung:
2
3
+t
.
−1
6
(e)
(f)
Aufgaben zum Aufwärmen – Gerhard Mitterlechner, Felix Hummel
vi. (a) Welche Länge hat der Vektor
3
4
3
?
(b) Geben Sie einen Vektor an der normal auf
1
−3
steht.
(c) Was ist die Länge der Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge 1?
(d) Was ist die Länge der Seite eines Quadrats mit Diagonallänge 1?
vii. (a) Was sind 90◦ , 135◦ , 180◦ im Bogenmaß (Radianten)?
(b) Was sind
π 3π 5π
4, 2 , 4
in Grad?
viii. Bestimmen Sie bei folgendem Dreieck sin(α), cos(α), tan(α).
5
3
α
4
~ ist links unten. Sie befinden
ix. Sie spielen Fußball auf einem 10x10 Spielfeld; die Position O
~
sich aktuell auf Position P und laufen gerade mit dem Ball Richtung Tor.
Jetzt wollen Sie das Spielfeld auf Ihren Monitor bringen, mit der Auflösung (dem Koordinatensystem) 1024x768. Wie lauten die Koordinaten Ihrer Position am Monitor in
~ im Ursprung links unten ist?
Pixel, wenn O
0
7
~
~
O=
, P =
0
4
∗x. Fortsetzung des vorigen Beispiels: Sie zoomen den rechteckigen Monitorbereich mit der
~ und der rechten oberen Ecke V
~ heraus, sodass der gezoomte Belinken unteren Ecke U
reich wieder den gesamten Monitor ausfüllt. Wie lauten jetzt die Monitor-Koordinaten
Ihrer Position?
600
800
~ =
~ =
U
, V
300
350
~ also am unteren Eck des Feldes (alle
xi. Bei einem Basketball-Spiel stehen Sie im Punkt O,
Koordinaten in Meter).
Würden Sie den Ball zu Mitspieler A mit einer (Durchschnitts-) Geschwindigkeit von 10
m/s in Richtung ~a passen, so würde der Ball den Mitspieler nach 1 Sekunde erreichen.
Würden Sie hingegen den Ball zu Mitspieler B mit 7 m/s in Richtung ~b passen, so würde
der Ball den Mitspieler nach 0.5 Sekunden erreichen.
Aufgaben zum Aufwärmen – Gerhard Mitterlechner, Felix Hummel
4
Berechnen Sie, wie weit Mitspieler A und B voneinander entfernt stehen. (Wir nehmen
dabei an, dass sich die Mitspieler nicht bewegen.)
0
3
2
~ =
O
, ~a =
, ~b =
0
1
3
xii. 15 Orangen sind in einem Dreieck, wie beim Billard Spiel, angeordnet. Auf diese Orangen
sollen nun weitere Schichten zu einer geraden dreiseitigen Pyramide aufgelegt werden.
Die Skizze zeigt die Orangen der untersten Schicht.
Zeichnen Sie in die Skizze die Zentren der Orangen der 2. und 3. Schicht in zwei Farben
ein. Wieviele Schichten müssen für die Pyramide aufgelegt werden und aus wievielen
Orangen besteht sie insgesamt?
xiii. Kann man aus mehreren gleichartigen Würfeln einen größeren Würfel zusammenbauen
ohne darin Zwischenräume zu haben?
xiv. Ein Torus (Doughnut) liegt in der xy-Ebene mit dem Zentrum im Ursprung. Wie sehen
die Schnittflächen mit folgenden Ebenen aus?
• xy-Ebene (z = 0)
• yz-Ebene (x = 0)
• zx-Ebene (y = 0)
Eine grobe Skizze genügt.
∗xv. Wandeln Sie die Gerade in der Ebene in Parameterdarstellung um, die durch folgende
Gleichung bestimmt wird:
3x + 2y − 1 = 0
∗xvi. Schneiden sich folgende Geraden im Raum?
 

0
 0  + s
g:
0
 

0
 0  + t
h:
1

1
0 
0

0
1 
0
Wenn ja, wo, wenn nein, an welchen Punkten ist der Abstand zur jeweils anderen Gerade
am geringsten?