Blatt 6 - TUM Mathematik

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. D. Castrigiano Mathematik für Physiker 4
Wintersemester 2010/11
Blatt 6
(17.11.2010)
http://www.ma.tum.de/HM/MA9204 2010W/
(Analysis 3)
Dr. M. Prähofer
Zentralübung
32. Berechnung gewisser Reihen
Sei f = pq eine gebrochen rationale Funktion mit Grad(q) ≥ Grad(p)+2 und die Nullstellen
von q, z1 , . . . , zm , seien alle einfach und keine ganzen Zahlen. Dann gilt
X
f (n) = −
m
X
π cot(πzj )Res (f, zj ).
(∗)
j=1
n∈Z
Dazu betrachte man g(z) = π cot(πz) und zeige:
(a) Die ganzen Zahlen sind genau die Pole von g jeweils mit Residuum 1.
S
(b) Es gibt ein M > 0, so dass |g(z)| ≤ M für alle z ∈
∂Qk mit den Quadraten
k∈N
Qk = (k + 12 )([−1, 1] + i[−1, 1]).
R
(c) lim ∂Qk f (z)g(z)dz = 0.
Hinweis: | cot(x + iy)| → 1 für |y| → ∞.
k→∞
(d) (∗) folgt aus (c) mit Hilfe des Residuensatzes.
33. Limes des Integralsinus I
Der Integralsinus ist definiert als Si(x) :=
Rx sin t
t
0
dt.
(a) Skizzieren Sie den Graphen von Si(x) für x ≥ 0. Wie lautet die Potenzreihe von Si?
R∞ sin x
(b) Berechnen Sie
x+iε dx für 6= 0.
−∞
(c) Wieso folgt daraus noch nicht
R∞
−∞
sin x
x dx
= π?
34. Limes des Integralsinus II
(a) Man zeige lim
Rπ
R→∞ 0
e−R sin t dt = 0.

(b) Man berechne lim CR mit CR = 
R→∞
1
−R
R
−R
eix
x dx
+
RR
1
R

eix

x dx .
Hinweis: Man integriere entlang des Rands von AR := {reit : r ∈ [ R1 , R], t ∈ [0, π]}.
Rx
(c) Man beweise lim Si(x) = π2 mit Si(x) = sint t dt.
x→∞
0
Hausaufgaben
35. (Bonus) Partialbruchzerlegung des Cotangens
Man zeige für z ∈ C \ Z:
π cot πz =
X
n∈Z
N
X
1
1
:= lim
.
N →∞
z−n
z−n
n=−N
Hinweis: Man wende die Formel (∗) aus Aufgabe 32 auf
P
n∈Z
1
z−n
+
1
z+n
an.
36. (Bonus) Die Besselfunktionen
z
1
Für jedes z ∈ C besitzt die Funktion fz (w) = e 2 (w− w ) auf C× eine Laurententwicklung
X
1
z
Jn (z)wn
e 2 (w− w ) =
n∈Z
Jn : C → C heißt die n-te Besselfunktion. Man zeige
(a) J−n (z) = (−1)n Jn (z) und Jn (−z) = (−1)n Jn (z)
∞
P
(−1)k
z 2k+n
(b) Für n ≥ 0 ist Jn (z) =
.
k!(n+k)! 2
k=0
(c) Jn (z) =
1
2π
R2π
cos(z sin t − nt)dt.
0
Hinweis: Man benutze die Integraldarstellung der Laurentkoeffizienten; in (b) durch geeignetes Einsetzen von Exponentialreihen; in (c) durch Auswerten entlang der Einheitskreislinie.
37. (Bonus) Die Substitution z = eit
Man berechne
R2π
0
dt
b+sin t
für b > 1.
Abgabe der Hausaufgaben:
29.11.2010, bis 12:30 im Briefkasten im Keller des FMI-Gebäudes