Übungsaufgaben zur Klausurvorbereitung

Übungsaufgaben zur Klausurvorbereitung
1
Übungsaufgaben zur Klausurvorbereitung
1. Ein Plattenkondensator besteht aus zwei quadratischen Metallplatten der Seitenlänge 12 cm. Der Plattenabstand beträgt 8, 0 mm. Die Anordnung befindet
sich in Luft (εr = 1, 0). Am Kondensator wird eine Spannung von 220 V angelegt.
Abb. 2
• Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Seil?
• Berechnen Sie die Kapazität und die Ladung des Kondensators.
Nun wird das Seil in der Mitte angezupft.
• Bestimmen Sie die Feldstärke und die im Feld gespeicherte Energie.
• Wie ändern sich die berechneten Werte, wenn bei angeschlossener Quelle
bzw. abgetrennter Quelle der Raum zwischen den Platten mit einem
Dielektrikum (εr = 3, 5) vollständig gefüllt wird?
2.
Abbildung 1 zeigt ein idealisiertes Experiment zur Bewegung eines geladenen
Kügelchens im elektrischen Feld eines
Plattenkondensators. Von Reibungseffekten wird ebenso abgesehen wie vom
Einfluss der Gravitation. Das dargestellte Kügelchen besitzt eine Masse
von 3, 0 mg. Durch Berühren der linken
Kondensatorplatte nimmt es eine Ladung von 5, 0 nC auf
20 cm
10 kV
Abb. 1
• Mit welcher Geschwindigkeit erreicht das Kügelchen die rechte Platte?
3. Ein Gummiseil wird zwischen zwei Wänden eingespannt, die 80 cm voneinander entfernt sind. Es wird an einer geeigneten Stelle in Wandnähe sinusförmig
quer zur Seilrichtung angeregt. Die Erregerfrequenz wird langsam von 0 Hz
an erhöht.
• Welche Beobachtungen kann man dabei machen?
• Wie lassen sich diese erklären?
Bei einer bestimmten Eigenschwingung erhält man die in Abbildung 2 dargestellte Momentaufnahme. Erhöht man die Frequenz um 20 Hz, so kommen
zwei Schwingungsbäuche dazu.
Marco Johannes Türk
• Bestimmen Sie die kleinste Eigenfrequenz, mit der das Seil schwingen
kann.
4.
In einem neuen Versuch schwingen zwei
Stifte S1 und S2 gleichphasig mit der
Frequenz f (siehe Abb. 3). Sie erzeugen
hierbei jeweils sinusförmige Wasserwellen mit der Amplitude 1, 0 mm.
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der
Wasserwellen beträgt 10 cms−1 .
• Wie groß ist die Amplitude im
Punkt B?
S1
6 cm
6 cm
S2
8 cm
Abb. 3
B
Jetzt wird der Stift S2 langsam nach rechts verschoben. Nach einer Verschiebung um 3, 0 cm registriert man in B zum ersten Mal ein Minimum der Amplitude.
• Berechnen Sie die Frequenz f .
5. Laserlicht mit der Wellenlänge 632 nm fällt senkrecht auf einen Einzelspalt mit
der Spaltbreite 5, 00 µm. Eine Fotodiode kann auf einem Halbkreis mit großem
Radius um die Spaltmitte bewegt werden und die Intensität registrieren.
• Unter welchen Winkeln treten Minima 1. und 2. Ordnung auf?
• Wie viele Minima können insgesamt auftreten?
• Wie ändert sich der Intensitätsverlauf, wenn die Spaltbreite verkleinert
wird?
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2
Statt des Einzelspalts wird ein Haar mit dem Laser beleuchtet. Wieder entsteht eine Beugungsfigur, die der eines Einzelspaltes entspricht. Das Minimum
10. Ordnung findet man unter einem Winkel von 17, 7°.
• Welche Dicke hat das Haar, wenn sie der Spaltbreite entspricht?
6. Ein Kondensator der Kapazität 1, 0 F wird auf eine Spannung von 3, 0 V aufgeladen. Mit ihm wird eine Leuchtdiode betrieben. Wenn die angelegte Spannung zwischen 1, 5 V und 3, 0 V liegt, leuchtet die Diode mit einer mittleren
Leistung von 20 mW. Bei kleineren Spannungen erlischt sie.
• Wie lange leuchtet die Diode?
Lösungen
1.
• Die Kapazität des Kondensators kann aus seiner Geometrie bestimmt
werden, es gilt:
C = ε0 · εr ·
A
0, 122
= 8, 85 · 10−12 · 1 ·
F ≈ 1, 59 · 10−11 F = 16 pF .
d
0, 008
Die Ladung lässt sich mittels Q = C · U bestimmen:
Q = C · U = 1, 59 · 10−11 · 220 C ≈ 3, 5 · 10−9 C = 3, 5 nC .
7.
• Die elektrische Feldstärke E im Plattenkondensator berechnet sich mit:
B1
B2
E=
U
s in m
Abb. 2
0
P
0,2
0,6
1,0
1,4
Q
In einer Versuchsanordnung befinden sich zwischen den Punkten P und Q
zwei begrenzte magnetische Felder mit variablen Flussdichten.
In einem ersten Versuch betragen die Flussdichten B1 = 0, 80 T und B2 =
0, 40 T. Eine quadratische Spule mit der Seitenlänge 0, 20 m und 100 Windungen wird mit konstanter Geschwindigkeit von 0, 10 ms−1 von P nach Q durch
die Anordnung bewegt. Die Anschlüsse der Spule sind mit einem Spannungsmessgerät verbunden. (siehe Abb. 2)
Nach einiger Zeit wird eine Spannung angezeigt.
• Erläutern Sie das Zustandekommen dieser Spannung
Die Spule startet bei Punkt P zum Zeitpunkt t0 = 0 s.
• Zeichnen Sie ein t-U -Diagramm für die Bewegung der Spule von P nach
Q.
In einem weiteren Versuch bleibt die Spule vollständig im Feld der Flussdichte
B1 .
• Erläutern Sie, wie man nun zwischen den Spulenanschlüssen eine Spannung von 1,6 V erzeugen kann.
Marco Johannes Türk
U
220 V
V
=
≈ 2, 8 · 104 ,
d
0, 008 m
m
und die im Feld gespeicherte Energie gilt:
W =
1
1
· C · U 2 = · 1, 59 · 10−11 · 2202 J ≈ 3, 9 · 10−7 J .
2
2
• Änderung der Werte bei angeschlossener Spannungsquelle.
– Bei angeschlossener Spannungsquelle ändert sich die Spannung nicht
– Die Kapazität steigt auf den 3, 5-fachen Wert, da für die Kapazität
gilt:
A
C = ε0 · εr · .
d
– Wegen Q = C · U steigt die Ladung ebenfalls auf den 3, 5-fachen
Wert an.
– Die Feldstärke bleibt aufgrund E =
U
d
konstant.
– Wegen W = · C · U steigt die im Feld gespeicherte Energie auf
den 3, 5-fachen Wert an.
1
2
2
• Änderung der Werte bei abgetrennter Spannungsquelle.
– Bei abgetrennter Spannungsquelle ändert sich die Ladung nicht.
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3
– Die Kapazität steigt auf den 3, 5-fachen Wert, da für die Kapazität
gilt:
A
C = ε0 · εr · .
d
– Wegen U =
1
C
· Q sinkt die Spannung auf den
– Die Feldstärke fällt wegen E =
U
d
– Wegen W =
· 3, 5 · C ·
1
2
2
· C ∗ · (U ∗ ) =
die gespeicherte Energie auf
2.
1
2
1
3,5
auf den
· W.
1
3,5 -fachen
1
3,5 -fachen
1
3,5 U
2
=
Wert.
Wert ab.
1
3,5
· W , sinkt
• Die Geschwindigkeit, mit der das Kügelchen die andere Kondensatorplatte erreicht, erhält man aus der Energieerhaltung, es gilt:
1
· m · v2
2
r
r
2·q·U
2 · 5 · 10−9 · 10 000 m
m
v=
=
≈ 5, 8 .
−6
m
3 · 10
s
s
• Wir betrachten den Aufbau im Idealisierten Fall, es wird hierbei von
der Dämpfung abgesehen. Auf dem Seil breiten sich transversalwellen
aus, welche an den Enden reflektiert werden. Die Wellen laufen also auf
dem Seil hin und her, dies ergibt durch die Überlagerung unregelmäßige Schwingungen. Bei bestimmten Anregungsfrequenzen kann sich aber
auch eine stehende Welle ausbilden
• Stehende Wellen bilden sich aus, wenn die Welle nach zweimaligem reflektieren wieder phasengleich zur ursprünglichen Welle ist. Da das Seil
an beiden Enden eingespannt ist, findet man dort Schwingungsknoten.
In der Grundschwingung findet man genau zwei Schwingungsknoten und
dazwischen einen Schwingungsbauch. Bei höheren Eigenschwingungen
kommt jeweils ein Knoten hinzu, diese sind auf dem Seil gleichmäßig
verteilt und zwischen zwei Knoten findet man jeweils ein Schwingungsbauch. Aus der Anzahl der Knoten und der Seillänge l = 80 cm kann
man die Wellenlänge zur jeweiligen Schwingung bestimmen:
Anzahl der Bäuche n
λ in cm
Marco Johannes Türk
1
160
2 · λ4 = 3 · λ6
c
c
2·
=3·
.
f4
f6
Da laut Aufgabentext gilt f6 = f4 + 20 Hz erhält man:
q·U =
3.
• Die dargestellte stehende Welle besitzt vier Bewegungsbäuche, somit entsprechen zwei Wellenlängen der Seillänge l. Laut Aufgabenstellung besitzt die stehende Welle bei Erhöhung der Anregungsfrequenz um 20 Hz
sechs Bewegungsbäuche, also entsprechen drei Wellenlängen der Seilläge
l. Zusammen mit c = λ · f folgt somit:
2
80
3
53,3
4
40
5
32
2
3
=
f4
f4 + 20 Hz
2
f4 = · (f4 + 20 Hz)
3
2
· 20 Hz
2
f4 = 3
= 3 · · 20 Hz = 40 Hz .
3
1 − 23
Somit erhalten wir für die Ausbreitungsgeschwindigkeit:
c
f4
l
0, 8
m
m
c = · f4 =
· 40
= 16
2
2
s
s
l = 2 · λ4 = 2 ·
• Für eine stehende Welle, muss die Seillänge ein ganzzahliges Vielfaches
der halben Wellenlänge entsprechen. Hieraus lässt sich eine Beziehung
für die Anregungsfrequenz, bei welcher stehende Wellen auftreten bestimmen:
λ
2
2·l
λ=
.
n
l =n·
n∈N
Zusammen mit c = λ · f ergibt dies:
f=
c
c
=n·
.
λ
2·l
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4
Für n = 1 erhält man die kleinste Eigenfrequenz:
f=
4.
c
16
=
Hz = 10 Hz
2·l
2 · 0, 8
• Die Wellen, welche von den beiden Stiften ausgehen, treffen im Punkt
B phasengleich aufeinander, weshalb die resultierende Amplitude die
Summe der einzelnen Amplituden ist, so dass die Amplitude im Punkt
B 2 mm beträgt.
• Wenn der Gangunterschied δ = S1 B − S2 B gerade λ2 beträgt, tritt das
erste Minimum auf. Der Gangunterschied lässt sich mittels dem Satz des
Pythagoras bestimmen:
p
p
δ = 82 + 92 cm − 82 + 62 cm
= 12, 04 cm − 10 cm
= 2, 04 cm .
λ
= 2, 04 cm
2
c
= 4, 08 cm
f
c
f=
4, 08 cm
0, 1 ms
=
≈ 2, 5 Hz .
0, 0408 m
• Die Minima beim Einzelspalt treten auf, wenn der Gangunterschied der
Randstrahlen ein vielfaches der Wellenlänge beträgt, wenn also gilt:
sin α =
k·λ
,
b
Wobei der Wert b die Spaltbreite darstellt. Somit gilt für den Winkel α
unter welchem das Minimum erster Ordnung auftritt:
sin α =
Marco Johannes Türk
sin α =
2·λ
2 · 632 · 10−9
=
= 0, 253 ⇒ α = 14, 64° .
b
5 · 10−6
• Da die Funktion sin α = k·λ
b maximal den Wert 1 annehmen kann, muss
man das k bestimmen, für das der Quotient k·λ
b gerade noch kleiner 1
ist. Umstellen der Ungleichung ergibt:
k·λ
<1
b
b
5 · 10−6
k< =
= 7, 91 .
λ
632 · 10−9
Somit kann man Minima bis zur 7. Ordnung beobachten, dies bedeutet
dass man 14 Minima auf dem Schirm beobachten kann.
• Wird die Spaltbreite verkleinert, so verbreitert sich die Beugungsfigur
und sie wird dadurch abgeflacht.
Somit folgt für die Frequenz:
5.
Entsprechend gilt für das Minimum zweiter Ordnung:
1·λ
632 · 10−9
=
= 0, 126 ⇒ α = 7, 26° .
b
5 · 10−6
• Laut Aufgabenstellung erzeugt ein Haar das selbe Interferenzmuster wie
ein Einfachspalt (allgemein gilt, dass zwei komplementäre Blenden das
selbe Interferenzmuster erzeugen), somit gilt für die Beziehung der Minima:
sin α =
10 · λ
b
⇒ b=
10 · λ
10 · 632 · 10−9
=
≈ 2, 08 · 10−5 .
sin α
sin 17, 7°
Das Haar hat somit eine Dicke von 20, 8 µm.
6. Während die Diode leutet entläd sich der Kondensator bis zu einer Spannung von 1, 5 V, dann sperrt die Diode und es kann kein Strom mehr fließen.
Wir gehen davon aus, dass die Komplette elektrische Energie in Licht umgewandelt wird, so dass man zunächst nur bestimmen muss, wie viel Energie
umgewandelt wird:
1
1
· C · U02 = · 1 · 32 J = 4, 5 J
2
2
1
1
2
W1 = · C · U1 = · 1 · 1, 52 J = 1, 125 J
2
2
W0 =
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Somit werden ∆W = 3, 375 J umgewandelt. Die Leuchtdauer erhält man dann
aus ∆W = P · ∆t:
∆W
3, 375
∆t =
=
s ≈ 169 s .
P
0, 02
Die Diode Leuchtet somit ungefähr 169 s.
7.
• Es wird eine Spannung induziert, wenn sich der magnetische Fluss ändert, dies kann sein, wenn sich die vom Magnetfeld durchsetzte fläche
ändert, oder wenn sich das Magnetfeld in der Spule ändert (oder beides
gleichzeitig). Für die induzierte Spannung gilt dann:
Uind = −n · Φ̇
5
– 14 s bis 16 s: Die Spule befindet sich außerhalb des Magnetfelds es
wird keine Spannung induziert.
2 U in V
1
t in s
O
2
4
6
8
10
12
14
-1
-2
• t-U -Diagramm für die Bewegung:
– 0 s bis 2 s: Es wird keine Spannung induziert, da sich die Spule vollständig außerhalb des Magnetfeldes befindet.
– 2 s bis 4 s: Die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche nimmt (gleichmäßig, also linear) zu:
Uind = −n · Φ̇ = n · B1 ·
∆A
0, 04
= −100 · 0, 8 ·
V = −1, 6 V .
∆t
2
– 4 s bis 6 s: Die Spule befindet sich vollständig im Magnetfeld und
der magnetische Fluss bleibt konstant, es wird also keine Spannung
induziert.
– 8 s bis 10 s: Die Spule tritt in das zweite schwächere Magnetfeld ein,
es ändert sich also die magnetische Flussdichte:
Uind = −n · Φ̇ = n · A ·
∆B
−0, 4
= −100 · 0, 04 ·
V = 0, 8 V .
∆t
2
– 10 s bis 12 s: Die Spule befindet sich vollständig im zweiten Magnetfeld, der magnetische Fluss ist somit konstant und es wird keine
Spannung induziert.
– 12 s bis 14 s: Die Spule tritt aus dem zweiten Magnetfeld aus, es
ändert sich somit die von diesem Magnetfeld durchsetzte Fläche:
Uind = −n · Φ̇ = n · B2 ·
Marco Johannes Türk
∆A
−0, 04
= −100 · 0, 4 ·
V = 0, 8 V .
∆t
2
Bemerkung: Ein an der t-Achse gespiegeltes Diagramm ist ebenfalls
korrekt.
• Indem man die Spule im Magnetfeld der Flussdichte B1 rotiert, erzeugt
man die gewünschte Änderung des magnetischen Flusses, so dass eine
Spannung induziert wird. Es gilt:
Uind = −n · Φ̇ = −n · B ·
∆A
.
∆t
Formt man dies nach der Änderung um erhält man:
∆A
Uind
1, 6
m2
m2
=−
=−
= −0, 02
.
∆t
n·B
100 · 0, 80 s
s
Dies Bedeutet, wenn man die Spule mit der Fläche A = 0, 04 m2 senkrecht zu den Feldlinien innerhalb von 2 Sekunden um 90° dreht, wird
eine mittlere Spannung von 1, 6 V induziert.