TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT Mathematik I für Ch
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TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT Fachbereich Mathematik Prof. E. Hartmann Dr. Katja Lengnink 18.11.2004 Mathematik I für Ch, LaG Ch, LaB, Übung 5 Gruppenübung G 13 Stetige Funktionen Für welche x ∈ R sind die folgenden Funktionen definiert? Geben Sie die stetige Fortsetzung auf R an, sofern dies möglich ist. x2 − 4x + 3 a) f (x) = x−1 |x − 1| b) h(x) = 2 x − 2x + 1 c) Nimmt die Funktion f aus a) den Wert −2 an? G 14 Sehnenverfahren (Regula falsi) Seien x1 , x2 ∈ R und f eine im Intervall [x1 , x2 ] stetige Funktion mit f (x1 ) < 0 < f (x2 ). Sei xs der Schnittpunkt der x-Achse mit der Geraden durch die beiden Punkte (x1 , f (x1 )) und (x2 ), f (x2 ). a) Zeigen Sie, daß xs = x1 − x2 −x1 f (x2 )−f (x1 ) · f (x1 ) gilt. b) Die Formel aus Aufgabenteil a) kann verwendet werden, um eine Näherung einer Nullstelle von f zu finden (siehe Skizze). f(x) xs x 1 x2 Das Verfahren heißt Sehnenverfahren. Man kann das Verfahren auch mehrmals hintereinander anwenden, indem man die gefundene Näherung als neue Intervallgrenze verwendet. Bestimmen Sie näherungsweise eine Nullstelle der Funktion f (x) = log3 (4x) − 1 durch zweimalige Anwendung des Sehnenverfahrens im Intervall [0, 5; 2]. c) Berechnen Sie die Nullstelle von f und vergleichen Sie diese mit dem Näherungswert. G 15 Umkehrfunktion Welche der folgenden Funktionen haben eine Umkehrfunktion? Berechnen Sie gegebenenfalls die Umkehrfunktion und geben Sie deren Definitionsbereich an. Zeichnen Sie jeweils den Graphen der Funktion und der zugehörigen Umkehrfunktion, falls diese existiert. f (x) = x4 ½ 1 + x für x < 0 g(x) = ex für x ≥ 0 a) f : [−1, 3] → R, b) g : R → R, c) h : R → R, h(x) = e−4x+2 − 3 Hausübung H 15 Stetigkeit 2 x definiert? Ist die Funktion stetig a) Für welche Werte ist die Funktion f (x) := |x| fortsetzbar auf ganz R? Weisen Sie ihre Vermutung formal nach, indem Sie eine allgemeine Folge (xn )n∈N in den kritischen Punkt betrachten. b) Berechnen Zahlen Sie b2 · x −b · 2x − 1 g(x) = b+c b, c ∈ R, so daß die folgende Funktion stetig ist: für x ≤ 1 für 1 < x < 2 für x ≥ 2 H 16 Sehnenverfahren Sei f (x) = 9x2 − 18x + 5. a) Berechnen Sie durch zweimalige Anwendung des Sehnenverfahrens (vgl. Aufgabe G11) eine Näherung der Nullstelle von f im Intervall [0, 1]. b) Vergleichen Sie die Näherung mit dem exakten Wert, indem Sie die Nullstellen von f berechnen. H 17 Umkehrfunktion a) Geben Sie den Definitionsbereich D(f ) von f (x) := x4 so an, dass f umkehrbar ist. Begründen Sie! b) Betrachten Sie g : (−1; 2] → R mit g(x) := ln(x2 + 2x + 1). Ist g invertierbar? Geben Sie die Umkehrfunktion mit ihrem Definitionsbereich und Wertebereich an. ½ 3 x für x > 0 c) Ist die Funktion h : [−1; 1] → R mit h(x) := umkehr2 x für x ≤ 0 bar? Geben Sie gegebenenfalls die Umkehrfunktion mit ihrem Definitions- und Wertebereich an.