Schwingungen und Wellen
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Schwingungen Wellen Physik: Schwingungen und Wellen Daniel Kraft 2. März 2013 CC BY-SA 3.0, Grafiken teilweise CC BY-SA Wikimedia Weitere Stichworte Schwingungen Wellen Schwingungen Weitere Stichworte Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Das Federpendel Die rücktreibende Kraft für eine Auslenkung x aus der Ruhelage der Feder ergibt sich nach dem Hooke’schen Gesetz: F (x) = −kx Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Das Federpendel Die rücktreibende Kraft für eine Auslenkung x aus der Ruhelage der Feder ergibt sich nach dem Hooke’schen Gesetz: F (x) = −kx Damit ist die Newton’sche Bewegungsgleichung: mẍ(t) = F (x) = −kx(t) ⇔ ẍ(t) = − wobei wir ω = q k m gesetzt haben. k x(t) = −ω 2 x(t), m Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Das Federpendel Die rücktreibende Kraft für eine Auslenkung x aus der Ruhelage der Feder ergibt sich nach dem Hooke’schen Gesetz: F (x) = −kx Damit ist die Newton’sche Bewegungsgleichung: mẍ(t) = F (x) = −kx(t) ⇔ ẍ(t) = − wobei wir ω = q k m k x(t) = −ω 2 x(t), m gesetzt haben. Definition Bei einem harmonischen Oszillator ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung. Schwingungen Wellen Lösung der Gleichung Wir suchen also eine Funktion x(t), so dass für ihre zweite Ableitung gilt: ẍ(t) = −ω 2 x(t) Weitere Stichworte Schwingungen Wellen Lösung der Gleichung Wir suchen also eine Funktion x(t), so dass für ihre zweite Ableitung gilt: ẍ(t) = −ω 2 x(t) Diese Eigenschaft haben gerade sin und cos, also: x(t) = A sin (ωx) + B cos (ωx) = A0 sin (ωx + δ) Weitere Stichworte Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Lösung der Gleichung Wir suchen also eine Funktion x(t), so dass für ihre zweite Ableitung gilt: ẍ(t) = −ω 2 x(t) Diese Eigenschaft haben gerade sin und cos, also: x(t) = A sin (ωx) + B cos (ωx) = A0 sin (ωx + δ) Satz Für eine harmonische Schwingung hat die Bewegung gerade Sinus/Cosinus-Form. Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Kenngrößen der Schwingung x(t) = A0 sin(ωt + δ) A0 t δ T = 2π ω Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Kenngrößen der Schwingung x(t) = A0 sin(ωt + δ) A0 t δ T = Elongation Momentane Auslenkung x(t) Amplitude Maximale Auslenkung A0 Frequenz f , Perioden pro Zeiteinheit Periode Dauer T = 1 f einer Periode 2π ω Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Kenngrößen der Schwingung x(t) = A0 sin(ωt + δ) A0 t δ T = 2π ω Elongation Momentane Auslenkung x(t) Amplitude Maximale Auslenkung A0 Frequenz f , Perioden pro Zeiteinheit Periode Dauer T = 1 f einer Periode Kreisfrequenz ω = 2πf Phase δ gibt “zeitliche Verschiebung” an Schwingungen Fadenpendel Wellen Weitere Stichworte Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Fadenpendel Bewegungsgleichung: l φ̈(t) = −g sin(φ(t)) Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Fadenpendel Bewegungsgleichung: l φ̈(t) = −g sin(φ(t)) Daher in Näherung harmonisch: g φ̈(t) ≈ − φ(t) l Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Fadenpendel Bewegungsgleichung: l φ̈(t) = −g sin(φ(t)) Daher in Näherung harmonisch: g φ̈(t) ≈ − φ(t) l Achtung! Im Gegensatz zum Federpendel hängt die Frequenz hier nicht von der Masse ab! Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Gedämpfte Schwingung Wenn die Schwingung z. B. durch Reibung gedämpft wird, klingt die Amplitude langsam exponentiell ab: x(t) = sin(ωt + δ) Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Gedämpfte Schwingung Wenn die Schwingung z. B. durch Reibung gedämpft wird, klingt die Amplitude langsam exponentiell ab: x(t) = e −λt sin(ωt + δ) Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Gedämpfte Schwingung x(t) = e −λt sin(ωt + δ) 1 Schwingung Amplitude x(t) 0.5 0 -0.5 -1 0 1 2 3 t 4 5 Schwingungen Wellen Wellen Weitere Stichworte Schwingungen Wellen Harmonische Welle Welle: Schwingung in Raum und Zeit: * − ωt + δ u( x , t) = A0 sin Weitere Stichworte Schwingungen Wellen Harmonische Welle Welle: Schwingung in Raum und Zeit: * * * u( x , t) = A0 sin k · x − ωt + δ Weitere Stichworte Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Harmonische Welle Welle: Schwingung in Raum und Zeit: * * * u( x , t) = A0 sin k · x − ωt + δ 2 1.5 1 0.5 0 10 -0.5 8 -1 6 t -1.5 -210 4 2 5 0 x -5 -100 Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Harmonische Welle Welle: Schwingung in Raum und Zeit: * * * u( x , t) = A0 sin k · x − ωt + δ 2 1.5 1 0.5 0 10 -0.5 8 -1 6 t -1.5 -210 4 2 5 0 x -5 -100 Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Harmonische Welle Welle: Schwingung in Raum und Zeit: * * * u( x , t) = A0 sin k · x − ωt + δ 2 1.5 1 0.5 0 10 -0.5 8 -1 6 t -1.5 -210 4 2 5 0 x -5 -100 Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Harmonische Welle Welle: Schwingung in Raum und Zeit: * * * u( x , t) = A0 sin k · x − ωt + δ 2 1.5 1 0.5 0 10 -0.5 8 -1 6 t -1.5 -210 4 2 5 0 x -5 -100 Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Harmonische Welle Welle: Schwingung in Raum und Zeit: * * * u( x , t) = A0 sin k · x − ωt + δ 2 1.5 1 0.5 0 10 -0.5 8 -1 6 t -1.5 -210 4 2 5 0 x -5 -100 Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Harmonische Welle Welle: Schwingung in Raum und Zeit: * * * u( x , t) = A0 sin k · x − ωt + δ 2 1.5 1 0.5 0 10 -0.5 8 -1 6 t -1.5 -210 4 2 5 0 x -5 -100 Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Neue Größen * Wellenvektor k zeigt in Bewegungsrichtung, Wellenzahl k entspricht “räumlicher Kreisfrequenz”. Wellenlänge Entspricht der Periode einer Schwingung, Länge im Raum von Wellenberg zu Wellenberg, λ = 2π k . Geschwindigkeit c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Neue Größen * Wellenvektor k zeigt in Bewegungsrichtung, Wellenzahl k entspricht “räumlicher Kreisfrequenz”. Wellenlänge Entspricht der Periode einer Schwingung, Länge im Raum von Wellenberg zu Wellenberg, λ = 2π k . Geschwindigkeit c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. Es gilt der fundamentale Zusammenhang: c= λ T Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Neue Größen * Wellenvektor k zeigt in Bewegungsrichtung, Wellenzahl k entspricht “räumlicher Kreisfrequenz”. Wellenlänge Entspricht der Periode einer Schwingung, Länge im Raum von Wellenberg zu Wellenberg, λ = 2π k . Geschwindigkeit c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. Es gilt der fundamentale Zusammenhang: c= λ ω = λf = T k Schwingungen Wellen Huygens’sches Prinzip Jeder Punkt auf einer Wellenfront sendet kugelförmige Elementarwellen aus. Weitere Stichworte Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Huygens’sches Prinzip Jeder Punkt auf einer Wellenfront sendet kugelförmige Elementarwellen aus. Die neue Wellenfront ergibt sich dann als Einhüllende dieser Kugelwellen. Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Huygens’sches Prinzip Jeder Punkt auf einer Wellenfront sendet kugelförmige Elementarwellen aus. Die neue Wellenfront ergibt sich dann als Einhüllende dieser Kugelwellen. Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Huygens’sches Prinzip Jeder Punkt auf einer Wellenfront sendet kugelförmige Elementarwellen aus. Die neue Wellenfront ergibt sich dann als Einhüllende dieser Kugelwellen. Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Weitere Stichworte Schwingungen Interferenz Wellen Weitere Stichworte Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Interferenz Positiv (Annähernd) gleiche Phase A B A + B 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -6 -4 -2 0 2 4 6 Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Interferenz Positiv (Annähernd) gleiche Phase Negativ Phasenverschiebung ≈ π A B A + B 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -6 -4 -2 0 2 4 6 Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Interferenz Positiv (Annähernd) gleiche Phase Negativ Phasenverschiebung ≈ π A B A + B 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -6 -4 -2 0 2 4 6 Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Interferenz Positiv (Annähernd) gleiche Phase Negativ Phasenverschiebung ≈ π Schwebung Leicht unterschiedliche Frequenz A B A + B 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -6 -4 -2 0 2 4 6 Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Stehende Welle Überlagerung einer vorwärts- und einer rückwärtslaufenden Welle → Knoten und “stehende” Wellenbäuche Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Stehende Welle Überlagerung einer vorwärts- und einer rückwärtslaufenden Welle → Knoten und “stehende” Wellenbäuche 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 10 -1 8 -1.5 6 4 -2 4 3 2 1 0 x 2 -1 -2 -3 -4 0 t Schwingungen Interferenzfarben Wellen Weitere Stichworte Schwingungen Interferenzfarben Wellen Weitere Stichworte Schwingungen Interferenzfarben Wellen Weitere Stichworte Schwingungen Wellen Transversal- und Longitudinalwellen Longitudinal Schwingung in Ausbreitungsrichtung: Schall Weitere Stichworte Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Transversal- und Longitudinalwellen Longitudinal Schwingung in Ausbreitungsrichtung: Schall Transversal Schwingung normal zur Ausbreitungsrichtung: Schwerewellen, Licht Schwingungen Wellen Polarisation Bei Transversalwellen: Richtung der Schwingung als neuer Freiheitsgrad (bei mindestens drei Raumdimensionen). Weitere Stichworte Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Polarisation Bei Transversalwellen: Richtung der Schwingung als neuer Freiheitsgrad (bei mindestens drei Raumdimensionen). Linear Schwingung in einer bestimmten Ebene. 1 0.5 0 -0.5 -1 1 0.5 10 8 0 6 4 -0.5 2 -1 0 Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Polarisation Bei Transversalwellen: Richtung der Schwingung als neuer Freiheitsgrad (bei mindestens drei Raumdimensionen). Linear Schwingung in einer bestimmten Ebene. 1 0.5 0 -0.5 -1 1 0.5 10 8 0 6 4 -0.5 2 -1 0 Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Polarisation Bei Transversalwellen: Richtung der Schwingung als neuer Freiheitsgrad (bei mindestens drei Raumdimensionen). Linear Schwingung in einer bestimmten Ebene. 1 0.5 0 -0.5 -1 1 0.5 10 8 0 6 4 -0.5 2 -1 0 Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Polarisation Bei Transversalwellen: Richtung der Schwingung als neuer Freiheitsgrad (bei mindestens drei Raumdimensionen). Linear Schwingung in einer bestimmten Ebene. Zirkular Schwingung “kreisförmig” — Überlagerung zweier linearer Wellen. 1 0.5 0 -0.5 -1 1 0.5 10 8 0 6 4 -0.5 2 -1 0 Schwingungen Wellen Weitere Stichworte Polarisation Bei Transversalwellen: Richtung der Schwingung als neuer Freiheitsgrad (bei mindestens drei Raumdimensionen). Linear Schwingung in einer bestimmten Ebene. Zirkular Schwingung “kreisförmig” — Überlagerung zweier linearer Wellen. Elliptisch Mischform aus beiden (Überlagerung unterschiedlich starker linearer Wellen). Schwingungen Polarisation Wellen Weitere Stichworte
