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Vorlesung Diff. und Integralrechnung I
Wintersemester 2016/17
Übungsaufgaben vom 31.1.2017
Aufgabe 1: Die reelle Funktion f = f (x) werde für alle x ∈ R definiert durch
p
f (x) = [x] + x − [x]
(dabei bezeichnet [x] den größten ganzen Anteil von x).
a) Zeigen Sie, daß die Funktion f auf R streng monoton wachsend ist.
b) An welchen Punkten x ∈ R ist f stetig?
c) Bestimmen Sie den Wertebereich W(f ).
d) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion f −1 .
Aufgabe 2: Sei f = f (x) eine reelle Funktion einer reellen Variablen x. Eine Gerade
x = a ist vertikale Asymptote des Graphen von f , falls
lim f (x) = ±∞ oder
x→x0 +0
lim f (x) = ±∞.
x→x0 −0
Eine Gerade y = b ist horizontale Asymptote des Graphen von f , falls
lim f (x) = b oder
x→+∞
lim f (x) = b.
x→−∞
Eine Gerade y = ax + b ist schräge Asymptote des Graphen von f , falls
lim f (x) − (ax + b) = 0 oder
x→+∞
lim f (x) − (ax + b) = 0.
x→−∞
a) Bestimmen Sie, welche Asymptoten die folgenden Funktionen besitzen:
f (x) =
x5 − 3
,
|x|5 + 1
f (x) =
x3 − 1
,
x3 + 8
f (x) = 2 +
sin x
,
x
f (x) =
2x3/2 + 2x − 3
√
.
x+1
b) Zeigen Sie, daß eine rationale Funktion, bei der der Grad des Zählerpolynoms um Eins
größer ist als der Grad des Nennerpolynoms, stets eine schräge Asymptote besitzt.
Aufgabe 3: a) Die Funktionen sinus hyperbolicus und cosinus hyperbolicus sind auf C
definiert durch
1
1
sinh x = (ex − e−x ), cosh x = (ex + e−x ).
2
2
Zeigen Sie:
a1) sinh ist eine ungerade und cosh eine gerade Funktion.
a2) sinh ist streng monoton wachsend auf R.
a3) cosh ist streng monoton fallend auf (−∞, 0] und streng monoton wachsend auf [0, +∞).
a4) Für alle x, y ∈ C gelten die Additionstheoreme:
sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y,
cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y.
b) Für welche reellen oder komplexen x können die Funktionen tangens hyperbolicus und
cotangens hyperbolicus erklärt werden durch
sinh x
cosh x
tanh x =
,
coth x =
?
cosh x
sinh x
c) Schreiben Sie die ähnliche Additionstheoreme wie in a4) für die Funktionen tanh, coth
auf!
Aufgabe 4: Bestimmen Sie zu folgenden hyperbolischen Funktionen f jeweils den Definitionsbereich der Umkehrfunktion f −1 sowie eine explizite Darstellung von f −1 :
a) f (x) = sinh x (x ∈ R),
b) f (x) = cosh x (x ∈ [0, +∞)),
c) f (x) = tanh x (x ∈ R),
d) f (x) = coth x (x ∈ [0, +∞)).
Die Umkehrfunktionen heißen Areafunktionen und werden mit arsinh, arcosh, artanh, arcoth
bezeichnet.