¨UBUNGSAUFGABEN ZUR NUMERIK 1 Teil 6. Newton

ÜBUNGSAUFGABEN ZUR
NUMERIK 1
MARTIN EHLER, WS 2015/16
Teil 6. Newton-Verfahren
Aufgabe 51.
Gegeben sei das Polynom
f (x) = x3 − 5x2 − 4x + 2.
Sie sollen die Nullstellen von f durch folgendes Vorgehen berechnen:
(1) Werten Sie f zunächst auf den ganzen Zahlen zwischen −3 und
6 aus.
(2) Wählen Sie geeignete Startwerte.
(3) Wenden Sie das Newton-Verfahren für jeden Startwert an.
(mittels Matlab oder auch per Hand).
Aufgabe 52.
Geben Sie die Nullstellen von f aus Aufgabe 51 exakt an. (Hinweis:
Polynomdivision)
Aufgabe 53.
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion
f (x) = x − e−x
durch das Newton-Verfahren mit Hilfe von Matlab.
Aufgabe 54.
Berechnen Sie eine Nullstelle der Funktion f aus Aufgabe 53 durch
das Sekantenverfahren mit Hilfe von Matlab.
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MARTIN EHLER, WS 2015/16
Aufgabe 55.
Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem
0 = x1 x 2
0 = x1 x22 + x1 − x2 .
Ist das 2-dimensionalen Newton-Verfahren bzgl. dieses Systems lokal
konvergent? Warum? Berechnen Sie eine Lösung mit Hilfe des 2-dimensionalen
Newton-Verfahrens für einen Startwert Ihrer Wahl in (0, 1)2 . (Sie können
die Lösung beispielsweise mit Matlab berechnen.)