Serie 2 - Institut für Physik

Übungen zur Biophysik 1 - Wintersemester 2012/2013
Serie 2
26. Oktober 2012
Vorzurechnen am 31. Oktober
Aufgabe 1: Die Unschärferelation für Ort und Impuls folgt aus der Tatsache,
dass wir mikroskopische Teilchen durch Wellenpakete beschreiben. Mathematisch können wir ein Wellenpaket als Überlagerung von Sinusfunktionen
darstellen (kontinuierliche Fouriersynthese). Die einfachste Annäherung eines solchen Wellenpakets ist eine Schwebung. Betrachten Sie zunächst die
Ortsunschärfe einer solchen Schwebung:
• Sie überlagern zwei Wellen mit Wellenlängen λ1 und λ2 und gleicher
Phasengeschwindigkeit c (zum Beispiel durch Anregung zweier Stimmgabeln mit fast gleicher Frequenz). Wie groß ist die Frequenz fs der
Schwebung in Abhängigkeit von den gegebenen Wellenlängen? (c = λν
und fs = |f1 − f2 |)
• Wenn die Schwebung sich ebenfalls mit der Phasengeschwindigkeit
c ausbreitet, wie groß ist dann die räumliche Ausdehnung ∆x einer
Schwebung? Fertigen Sie eine Skizze der Schwebung an. (Sie können
∆x als halbe Wellenlänge λs auffassen)
Aufgabe 2: Betrachten Sie jetzt die Impulsunschärfe der Schwebung aus Aufgabe 1:
• Wie groß ist die Impulsunschärfe ∆p? (Verwenden Sie für ∆p die Differenz der zu den beiden Wellen 1 und 2 gehörenden Impulse p1 und
p2 . Die de Broglie-Wellenlänge lautet: p = h/λ)
• Welche Beziehung erhalten Sie schließlich zwischen ∆x und ∆p?
Aufgabe 3: Der Messung von px , der x-Komponente des Impulses, wird der
Operator
h̄ ∂
i ∂x
zugeordnet. Wie lauten die (komplexen?) Eigenfunktionen dieses Operators? Hinweis: Für eine Eigenfunktion fa (x) mit Eigenwert a muss gelten:
px fa (x) = afa (x)
Schreiben Sie die Eigenfunktionen auf drei verschiedene Weisen, nämlich in
Abhängigkeit von der Impulskomponente px , von der de-Broglie-Wellenlänge
λ und von der Wellenzahl k = 2π/λ.
Privatdozent Dr. Hauke Paulsen · Institut für Physik · Universität zu Lübeck · [email protected]