Universität des Saarlandes Lehrstuhl für Statistik und ¨Okonometrie

Universität des Saarlandes
Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie
Prof. Dr. Volker Steinmetz
Dipl. Kfm. Stefan Klößner
Fuzzy-Methoden: 6. Hausaufgabe
Aufgabe 43
Geben Sie zu den folgenden Fuzzy-Zahlen bzw. -Intervallen je 2 L-R-Darstellungen an.
(a) Die F-Mengen A, B aus Aufgabe 17, aufgefaßt als F-Mengen in R.
(b) Die F-Menge der reellen Zahlen, die Quadrate reeller Zahlen der Größe von ungefähr
2 sind (vgl. Aufgabe 32).
(c) Die F-Menge A = {(ω, 1) | ω ∈ [ 41 , 12 ]} in R.
(d) Die F-Menge A aus Aufgabe 34(b).
Aufgabe 44
Berechnen Sie A + (−A), falls
(a) A := [0, ∞[,
(b) A die Fuzzy-Menge aus Aufgabe 32
(c) A eine Dreiecks-Fuzzy-Zahl mit Gipfelpunkt M und Dehnungskoeffizienten l und r
ist.
Aufgabe 45
Berechnen Sie den Kehrwert A−1
(a) aller geeigneten konvexen C-Mengen A
(b) der Fuzzy-Menge A mit Zugehörigkeitsfunktion
−ω
e , ω>0
µA : R → [0, 1], R 3 ω 7→
0
sonst
Aufgabe 46
Addieren Sie die folgenden Fuzzy-Zahlen bzw. -Intervalle:
(a) A = (0, 4, 2, 1)L̃R̃ mit L̃(x) = max{0, 1 − 2x}, R̃(x) = max{0, 1 − x},
B = (13, 17, 14 , π)L̂R̂ mit L̂(x) = max{0, 1 − 3x}, R̂(x) = max{0, 1 − 2x}.
(b) A Dreicks-Fuzzy-Zahl mit supp A =] − 2, 1[, core A = {0},
B aus Aufgabe 34(b), aufgefaßt als Fuzzy-Menge in R.
(c) A aus Aufgabe 34(b), aufgefaßt als Fuzzy-Menge in R,
B Fuzzy-Intervall von Trapezgestalt mit supp A =]7, 11[, core A = [8, 9].
Aufgabe 47
Überlegen Sie sich Fuzzy-Intervalle A, B, C so, daß
A · (B + C) 6= (A · B) + (A · C)
gilt.
Aufgabe 48
(a) Beweisen Sie 1.7.10.6 der Vorlesung: Ist B F-Intervall mit der Eigenschaft, daß A +
B = A für alle F-Intervalle A gilt, so ist B = 0.
(b) Formulieren Sie die zu (a) analoge Aussage für die Multiplikation und beweisen Sie
sie oder widerlegen Sie sie durch ein Gegenbeispiel.
Aufgabe 49
Gegeben seien die Referenzfunktionen L = R : [0, ∞[→ [0, 1] mit [0, ∞[3 x 7→ max{0, 1−x}
sowie A = (3, 2, 2)LR und B = (2, 3, 1, 3)LR .
(a) Berechnen Sie mit Hilfe von Satz 1.7.16 der Vorlesung eine Näherung für A · B.
(b) Berechnen Sie mit Hilfe von Satz 1.7.18 der Vorlesung eine Näherung für A · B.
(c) Berechnen Sie die Zugehörigkeitsfunktion von A · B exakt. Gehen Sie dazu analog
zur Vorlesung vor:
(i) Benutzen Sie den Darstellungssatz:
µA·B (z) = sup α · µ(A·B)>α (z) ∀z ∈ R .
0<α<1
(ii) Benutzen Sie Satz 1.5.10 der Vorlesung, um mit Hilfe von (i)
µA·B (z) = sup α · µA>α ·B >α (z) ∀z ∈ R
0<α<1
zu schließen.
(iii) Geben Sie mit Hilfe von (ii) supp(A · B) an und zerlegen Sie diesen analog zum
Vorgehen in der Vorlesung in drei Intervalle.
(iv) Überlegen Sie sich, daß für z aus dem linken Intervall gem. (iii) gilt:
z ∈ A>α · B >α ⇔ (3 − 2(1 − α))(2 − (1 − α)) < z
und benutzen Sie dies, um µA·B (z) für z aus dem linken Intervall gem. (iii) zu
berechnen.
(v) Gehen Sie für z aus dem rechten Teil analog zu (iv) vor. (z aus dem mittleren
Intervall sollte kein Problem darstellen.)
(d) Zeichnen Sie die Zugehörigkeitsfunktionen der beiden Näherungen sowie des exakten
Ergebnisses in ein Diagramm. Welche Näherung würden Sie vorziehen ?