Integrale in der Physik

Integrale in der Physik
1. Wird ein Körper unter dem Einfluss der konstanten Kraft F parallel zur Kraftrichtung um die Strecke ∆x verschoben, dann wird die Arbeit ∆W = F · ∆x verrichtet.
Für eine konstante Kraft gilt also
∆W
=F.
∆x
Ist F nicht konstant sondern eine Funktion von x, dann gilt diese Beziehung nur
noch im Grenzfall ∆x → 0:
∆W
dW
=
= W ′ (x) = F
∆x→0 ∆x
dx
lim
Bei bekannter Kraftfunktion F (x) ist also die Arbeit, um den Körper von x1 nach
x2 zu bringen:
Zx2
∆W = F (x) dx
x1
(a) x bezeichne die Dehnung einer Feder mit der Federkonstanten D. Berechne die
Arbeit ∆W , um die Dehnung der Feder von x1 auf x2 zu erhöhen.
(b) Für ein Gummiseil gilt im x-Intervall [0; 1,2 m] der Kraft-Weg-Zusammenhang
F (x) = Dx + Cx20
mit D = 50
N
m
und C = 105
N
.
m20
Zeichne den Grafen von F im Intervall [0; 1,0 m]. Berechne die Arbeit W (x),
um das Gummiband von null bis x zu dehnen. Berechne speziell W (1,0 m) und
W (1,2 m).
(c) Die Gravitationskraft auf einen Körper der Masse m in der Entfernung r zum
Erdmittelpunkt ist für r ≧ R (R = 6380 km ist der Erdradius)
F (r) =
GMm
r2
3
mit G = 6,67 · 10−11 kgms2 (Gravitationskonstante) und M = 5,97 · 1024 kg (Erdmasse). Berechne die Arbeit W (r), um die Masse m von der Erdoberfläche bis
in die Entfernung r vom Erdmittelpunkt zu befördern. Wie groß ist W (r) für
r → ∞? Mit welcher Mindestgeschwindigkeit v0 müsste man einen Körper an
der Erdoberfläche senkrecht nach oben abschießen (keine Luftreibung), damit
er die Erde endgültig verlassen kann?
Lösung: (a) F (x) = Dx
=⇒
∆W = D
Zx2
x dx =
x1
1
D 2
x2 − x21
2
(b)
F
W (x) =
Zx
F (x̃) dx̃ =
0
Zx
(Dx̃ + C x̃20 ) dx̃ =
100
0
x
D
C
D 2 C 21
x̃ + x̃
= x2 + x21 =
2
21
2
21
0
N 2
N
= 25 · x + 5 20 · x21
m
m
=
W (1 m) = 30 J,
W (1,2 m) = 260 J
0
Zr
Zr
1 x
Zr
GM m
dx
dx = GM m
=
2
x
x2
R
R
R
1
1 r
1
= GM m
−
= GM m −
x R
R r
(c)
W (r) =
F (x) dx =
GM m
R
r
km
2GM
v0 =
= 11,2
R
s
lim W (r) =
r→∞
m 2 GM m
v =
2 0
R
=⇒
2. x(t) ist der Ort eines Körpers zur Zeit t. Seine Geschwindigkeit ist definiert durch
v(t) = ẋ(t) = dx
und seine Beschleunigung durch a(t) = v̇(t) = dv
.
dt
dt
(a) Die Beschleunigung a ist eine bekannte Funktion von t. Drücke v(t) und x(t)
durch Integralfunktionen mit der unteren Grenze t0 aus.
(b) a ist jetzt konstant. Drücke v(t) und x(t) durch die Anfangswerte v0 = v(t0 )
und x0 = x(t0 ) aus.
(c) Die Masse eines Lastwagens, der stetig Sand verliert, ist m(t) = m0 − αt für
0 ≦ t ≦ t1 mit m(t1 ) = m20 . Für 0 ≦ t ≦ t1 wirkt die konstante Antriebskraft
F auf den LKW. Berechne v(t) und x(t).
Zeichne für F = 104 N, α = 100 kgs , v(0) = 0, x(0) = 0 und m0 = 104 kg die
Grafen von v und x im Intervall 0 ≦ t ≦ t1 . Zeichne zum Vergleich die Grafen
der Geschwindigkeit und des Ortes eines gleichartigen LKWs, der keinen Sand
verliert.
Lösung: (a) v(t) = v(t0 ) +
Zt
a(τ ) dτ,
Zt
a dτ = v0 + a(t − t0 )
x(t) = x(t0 ) +
t0
(b) v(t) = v(t0 ) +
Zt
v(τ ) dτ
t0
t0
x(t) = x(t0 ) +
Zt
t0
it
h
a
=
[v0 + a(t − t0 )] dτ = x0 + v0 τ + (τ − t0 )2
2
t0
a
= x0 + v0 (t − t0 ) + (t − t0 )2
2
2
(c) Aus m0 − αt1 =
m0
m0
folgt t1 =
.
2
2α
v̇(t) = a(t) =
v(t) = v0 +
Zt
a(τ ) dτ = v0 + F
0
F
F
=
m(t)
m0 − αt
Zt
0
dτ
=
m0 − ατ
t
F
1
= v0 + F
(ln |m0 − ατ |) = v0 − (ln(m0 − αt) − ln m0 ) =
−α
α
0
F
m0 − αt
m0
F
= v0 − ln
= v0 + ln
α
m0
α m0 − αt
x(t) = x0 +
Zt
v(τ ) dτ = x0 +
0
Zt 0
Zt
m0
F
v0 + ln
α m0 − ατ
dτ =
α
τ dτ =
ln 1 −
m0
0
t
m0 F
α
α
−
=
= x 0 + v0 t −
1−
τ · ln 1 −
τ −1
α
α
m0
m0
0
F m0
α
α
= x 0 + v0 t + 2
t · ln 1 −
t −1 +1 =
1−
α
m0
m0
αt
αt
αt
F m0
1−
· ln 1 −
+
= x 0 + v0 t + 2
α
m0
m0
m0
F
= x 0 + v0 t −
α
Für die speziellen Zahlenwerte gilt:
m
t
v(t) = −100 ln 1 −
s
100 s
und
t
t
t
ln 1 −
+
x(t) = 10 m 1 −
100 s
100 s
100 s
m
und x(t1 ) = 1,53 km.
Mit t1 = 50 s folgt v(t1 ) = 69,3
s
m
m
F
F 2
t = 1 2 · t und x(t) =
t = 0,5 2 · t2 .
Ohne Sandverlust: v(t) =
m0
s
2m0
s
m
v(t1 ) = 50 , x(t1 ) = 1,25 km.
s
4
v·
s
m
x
m
60
1200
1000
800
600
400
200
0
0
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50 t
s
10
20
30
40
50 t
s
3