1 Partielle Ableitung und totales Differential - me

1 Partielle Ableitung und totales Differential
Bekannt ist die Ableitung einer Funktion mit einer Variablen. Die Ableitung wird hier ent(x)
weder durch f 0 oder durch den Differentialquotienten dfdx
dargestellt, wobei bei Funktionen
dy
mit y = f (x) dieser die Gestalt dx besitzt.
Partielle Ableitung Bei einer Funktion mit mehr als einer Variablen kann eine partielle
Ableitung nach einer Variablen gebildet werden. Hierbei werden alle anderen Variablen als
konstant angenommen. Das Zeichen für eine partielle Ableitung ist ∂
Die partielle Ableitung hat mehrere Schreibweisen, an einem Beispiel gezeigt:
f (x, y) = 3xy − y 2 x
Man schreibt nun
∂f
∂x
= 3y − y 2
y
für die partielle Ableitung der Funktion f nach der Variablen x. Das y im Index steht dafür,
dass y ebenfalls eine Variable der Funktion f ist, bei dieser partiellen Ableitung aber als
konstant angesehen wird. Hier gibt es jedoch mehrere Möglichkeiten. Man kann auch schreiben
∂f (x, y)
= fx = 3y − y 2
∂x
y
Im Differenzenquotienten ist dies die ausführliche Schreibweise. fx ist eine Ersatzschreibweise
für diesen Quotienten. Am einfachsten ist es jedoch, wenn man die Schreibweise
∂f
= 3y − y 2
∂x y
verwendet, da sie kurz ist und dennoch alle wichtigen Informationen enthält. Die oberen
Alternativen sind nur aufgeführt damit man sie kennt, falls man sie in Lehrbüchern findet.
Die zweite partielle Ableitung hat nun folgende Symbole
∂f 2
∂x∂y
für die zweite Ableitung von f , wobei die erste Ableitung nach x und die zweite nach y gebildet
wurde bzw.
∂f 2
∂y∂x
für die zweite Ableitung von f , wobei die erste Ableitung nach y und die zweite nach x gebildet
wurde bzw.
Natürlich kann man auch zweimal nach der gleichen Variable ableiten, die Symbole hierfür
sind
∂f 2
∂f 2
bzw.
∂2x
∂2y
1
Totales Differential Das totale Differential ist die Summe aller partiellen Ableitungen.
Sei f eine Funktion mit Definitionsbereich der reellen Zahlen, abhängig von n Variablen
f (x1 , x2 , x3 , ..., xn )
Dann ist das totale Differential von f
n
X
∂f
df =
dxi
∂dxi
i=1
also die Summe aller partiellen Ableitungen.
Beispiel
f (x, y, t) = xet − 2xy + xt3
Man schreibt nun
∂f
= fy,t = et − 2y + t3
∂x y,t
∂f
= fx,t = −2x
∂y x,t
∂f
= fx,y = xet + 3xt2
∂t x,y
Somit ist das totale Differential:
df = (et − 2y + t3 )dx − 2xdy + (xet + 3xt2 )dt
Ist f eine Funktion mehrerer Variabler in den Bereich der reellen Zahlen R, das heißt ein
Vektor wird auf eine reelle Zahl durch f abgebildet, also z.B. f (x, y, z) = x + y + z , so kann
man folgenden Operator bilden, der Nabla-Operator genannt wird:
f : Rn → R ; (x1 , x2 , x3 , ..., xn ) 7→ x ∈ R
 
 
∂f
∂f


dx1
 ∂x1 
 ∂x1 
 ∂f 
 ∂f  
 ∂x2 
 ∂x2   dx2 






...
∇f =  ... 
df =  ...  • 




 

... 
 ... 
 ... 




dxn
∂f
∂f
∂xn
∂xn
Man kann dann das totale Differential als inneres Produkt (Skalarprodukt) von ∇f mit dem
Vektor, welcher die dxi enthält auffassen.
Die Frage, wie die sozusagen gesamte Ableitung f 0 dieser Funktion aussieht, wird im PDF
über Differenzierbarkeit aus mathematischer Sicht beantwortet. Für Funktionen, welche als
Wertebereich die reellen Zahlen haben, stimmt f 0 mit ∇f überein. In höhreren Dimensionen
stellt die Funktionalmatrix (auch Jacobimatrix) so etwas, wie die Ableitung der Funktion dar.
Satz von Schwarz Die Aussage des Satzes von Schwarz ist: Ist eine Funktion zwei Mal
stetig partiell differenzierbar und existieren die jeweils ersten partiellen Ableitung, so ist die
Reihenfolge der Differenzierung nicht von Belangen. So ist für eine Funktion f (x, y), deren
erste Ableitungen existieren stets
∂2f
∂2f
=
∂x∂y
∂y∂x
2