Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Schwerpunkt

Titel der Einheit
Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Schwerpunkt
Stoffgebiet
Name und Email des
Einsenders
Ziel der Einheit
Geometrie
Andreas Ulovec
[email protected]
Verwenden von CAS zum Vereinfachen der Berechnungen
der merkwürdigen Punkte im Dreieck
Inhalt
Analytische Geometrie
Voraussetzungen
Computer mit wxMaxima
Bemerkungen
Dieses Projekt wurde mit Unterstützung der Europäischen Kommission im Rahmen des Programms für
Lebenslanges Lernen (539234-LLP-1-2013-1-AT-COMENIUS-CAM) finanziert. Die Verantwortung für
den Inhalt dieser Veröffentlichung tragen allein die Verfasser; die Kommission haftet nicht für die weitere
Verwendung der darin enthaltenen Angaben.
Gegenseitige Lage und Schnitt zweier Geraden in R2
Das Schneiden zweier Geraden bzw. die Bestimmung des Schnittpunktes ist mit einem
ziemlich hohen Rechenaufwand verbunden, der aber bei allen Angaben aus ziemlich genau
den gleichen Rechenschritten besteht. Wir wollen hier einen anderen Weg zeigen. Wir
ermitteln allgemein eine Formel für den Schnittpunkt zweier Geraden. Diese Formel ist etwas
komplizierter und daher zum Eintippen in den Taschenrechner wohl nicht geeignet. Wir
können sie aber zB in wxMaxima eintippen und als neue Funktion definieren, mit welcher
man dann die Schnittpunkte zweier beliebiger Geraden bestimmen kann. Diese Funktion
werden wir auch später immer wieder verwenden können (etwa um den Höhenschnittpunkt
eines Dreiecks auszurechnen).
Zunächst stellen wir zwei allgemeine Geradengleichungen auf:

g: X  P  t  a , h:

X  Qsb
Um den Schnittpunkt zu erhalten, setzen wir gleich:


P  t a  Qsb
Es handelt sich hier um eine Vektorgleichung. Um sie lösen zu können, schreiben wir die
Gleichungen für die einzelnen Koordinaten getrennt auf:
P1  t  a1  Q1  s  b1
P2  t  a 2  Q2  s  b2
Da wir gerade in wxMaxima arbeiten, ist es am einfachsten, das System von wxMaxima lösen
zu lassen:
Setzt man jetzt s in die Geradengleichung ein, so erhält man die Formel für den Schnittpunkt
zweier Geraden:

a (P  Q1 )  a1 (P2  Q2 ) 
X  Qsb  Q 2 1
b
b1a 2  b 2a1
Wir definieren also eine Funktion in folgender Weise.
Schnittpunkt(P,g,Q,h):=Q+(g[2]*(P[1]-Q[1])-g[1]*(P[2]-Q[2]))/
(h[1]*g[2]-h[2]*g[1])*h


Dies liefert uns den Schnittpunkt der Geraden g: X  P  t  a und h: X  Q  s  b .
Aufgabe: Bestimme auf folgende Arten den Schnittpunkt der beiden Geraden g: (0 | 0) + t · (2 |
1)
und
h: (0 | -1) + s · (1 | 1)
a) rechnerisch,
b) grafisch,
c) mit der soeben erstellten wxMaxima-Funktion.
Aufgabe: Bestimme mit der soeben erstellten wxMaxima-Funktion den Schnittpunkt der
Geraden
g: (2 | 1) + t · (-3 | -1) und h: (1 | -2) + s · (2 | -1).
Anwendungen der Parameterdarstellung einer Geraden in
der Geometrie
Die soeben erstellte Funktion für den Schnittpunkt zweier Geraden in Parameterdarstellung
kann man für die Berechnung verschiedener Punkte verwenden. Unsere Aufgabe beschränkt
sich nur auf das Aufstellen der Geradengleichungen; der Schnittpunkt wird mit wxMaxima
berechnet.
Um etwa den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks ABC zu bestimmen, stellen wir die
Gleichungen zweier Höhen auf. Dies ist in Parameterdarstellung sehr einfach, da man sofort
einen Punkt (Eckpunkt des Dreiecks) und einen Richtungsvektor (Normalvektor auf die
entsprechende Seite) angeben kann und die Gleichung nur noch hinzuschreiben braucht:

X  C  t  n AB

hB : X  B  t  n AC
hC:
Für die Bestimmung des Normalvektors kann man ebenfalls eine einfache Funktion


definieren. Ein Normalvektor auf den Vektor a  (a1 | a 2 ) wäre ja der Vektor n a  (-a2 | a1 ) . Man
kann in wxMaxima daher eine Funktion dafür definieren: NV(a):=[-a[2],a[1]]. Um
jetzt eine neue Funktion Hoehenschnittpunkt(A,B,C) zu definieren, verwenden wir
die vorher definierten Funktionen für den Schnittpunkt zweier Geraden und den
Normalvektor und setzen ein:
Hoehenschnittpunkt(A,B,C):=Schnittpunkt(C,NV(B-A),B,NV(C-A))
Ähnlich geht man für den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ABC vor, der ja durch den
Schnittpunkt der Seitensymmetralen gegeben ist. Wieder lassen sich die Geradengleichungen
schnell aufstellen, da ein Punkt (Mittelpunkt der Seite) und ein Richtungsvektor
(Normalvektor auf die Seite) gegeben ist:
X
AB

 t  n AB
2
sb : X 
AC

 t  n AC
2
sc:
Wenn man dies wieder in die Schnittpunktfunktion einsetzt, kann man die Funktion
Umkreismittelpunkt definieren:
Umkreismittelpunkt(A,B,C):=
Schnittpunkt((A+B)/2,NV(B-A),(A+C)/2,NV(C-A))
Um
den
Inkreismittelpunkt
Winkelsymmetralen)
zu
eines
berechnen,
Dreiecks
ist
auch
ABC
(also
kaum
den
Mehrarbeit
Schnittpunkt
zu
leisten.
der
Die


Winkelsymmetrale zweier Vektoren a und b erhält man bekanntlich, indem man zwei gleich


lange Vektoren, welche in die Richtung von a bzw. b zeigen (und ebenso orientiert sind),
addiert (also den Diagonalvektor des von ihnen aufgespannten Parallelogramms berechnet).
Eine einfache Methode, um solche Vektoren zu erhalten besteht darin, Vektoren der Länge 1
zu verwenden, welche in die gleiche Richtung wie


a bzw. b zeigen (so genannte
Einheitsvektoren).
Parameterdarstellung
Die
Geradengleichungen
in
Winkelsymmetralen eines Dreiecks sehen damit so aus:
für
die
wC:


1
 1

X  C  t 
 CA 
 CB 
 CA

CB




1
 1

wB: X  B  t 
 BA 
 BC 


BA
BC


Um den Betrag eines Vektors zu bestimmen, definieren wir einfach eine weitere Funktion in
wxMaxima: Betrag(v):=sqrt(v[1]^2+v[2]^2). Für die Funktion in wxMaxima erhält
man dann folgenden Ausdruck:
Inkreismittelpunkt(A,B,C):=
Schnittpunkt(C,(A-C)/Betrag(A-C)+(B-C)/Betrag(B-C),B,
(A-B)/Betrag(A-B)+(C-B)/Betrag(C-B))
Das scheint zwar auf den ersten Blick recht kompliziert zu sein, wenn man aber mehrere
Inkreismittelpunkte berechnen will, lohnt es sich auf jeden Fall, diese Funktion zu definieren,
da man sich dadurch die mühsame Handarbeit bei der Berechnung erspart.
Aufgabe: Berechne Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt des
Dreiecks mit folgenden Eckpunkten:
a) A = (-2 | -1), B = (3 | 1), C = (1 | 7)
b) A = (-1 | 5), B = (4 | -6), C = (2 | 4)
c) A = (1 | -1), B = (8 | 1), C = (5 | 5)
Aufgabe: Zeichne die Dreiecke aus obiger Aufgabe in GeoGebra und konstruiere dort
ebenfalls Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt. Vergleiche die
Ergebnisse.