Leistungsnachweis 1 zur Vorlesung: Höhere Mathematik

Hochschule Anhalt
Köthen, den 04.02.2004
Leistungsnachweis 1 zur Vorlesung: Höhere Mathematik
für Studierende der Studiengänge
Elektro- und Informationstechnik, Biomedizinische Technik und Kommunikations- und Medientechnik
Gruppe A
Name:
Punkte:
Matr.-Nr.:
Bewertung:
Hinweise: Bitte markieren Sie oben, in welchem Studiengang Sie eingeschrieben sind.
Um die volle Punktzahl zu erreichen, müssen im Teil 1 die richtigen Antworten angekreuzt werden.
Außerdem sind die Aufgaben von Teil 2 zu lösen.
Zugelassene Hilfsmittel sind Rechner, Tabellenwerk, Formelsammlung ohne durchgerechnete Beispiele (auch handgeschrieben).
Teil 1:
Kreuzen Sie die jeweils wahren Aussagen an. (Mehrfachantworten sind möglich.)
1. p ∧ (p → q) ≡ p ∧ q
p ∧ (p → q) ≡ q
Keine dieser Aussagen trifft zu.
q ∨ (p → q) ≡ p ∨ q
n
o
p
2. Mit den Mengen I1 = {x ∈ IR | tan x < 1} und I2 = x ∈ IR | 5 (π − x)2 < 1 gilt
I1 ∪ I2 = IR,
I1 ∩ I2 = I2 ,
I2 \ I1 = ∅,
I2 ∩ I1 = I1
nichts von alledem.
3. Besitzt ein homogenes lineares Gleichungssystem von m Gleichungen für n = m − 1 Unbekannte nur die triviale Lösung, dann hat
die zugehörige Koeffizientenmatrix den Rang m,
die zugehörige Koeffizientenmatrix den Rang n.
Keine dieser Aussagen muß zutreffen.
4. Ist P = (e1 e3 e2 e4 ) die aus den Spalten der vierreihigen Einheitsmatrix E = (e1 e2 e3 e4 )
gebildete Permutationsmatrix, dann sind im Unterschied zu A in der Matrix A0 = P A
die zweite und dritte Spalte vertauscht,
nur das zweite und dritte Hauptdiagonalelement vertauscht.
Es gilt det(P ) = 1.
Keine dieser Aussagen muß zutreffen.
5. Ist die quadratische Matrix X 6= O (O ist die entsprechende Nullmatrix) eine Lösung der
linearen Matrizengleichung AX = O, dann gilt für die quadratische Matrix A
det A = 0,
det A 6= 0,
muß keine dieser Aussagen zutreffen.
1 1
6. Mit B =
gilt
1 1
für jede Potenz B n = B, für jede Potenz (E − B)n = E − B, det (E − B) 6= 0,
keine dieser Aussagen trifft zu.
7. Gegeben seien vier linear unabhängige Vektoren {a1 , . . . , a4 } eines abstrakten Vektorraumes
P4
V und a5 = i=1 ai . Dann gilt:
Die Vektoren {a1 , . . . , a5 } sind linear unabhängig.
Jeder Vektor v ∈ V läßt sich als Linearkombination der ai darstellen.
Die Dimension ist dimV ≥ 4.
Keine dieser Aussagen muß zutreffen.

1
8. Die Matrix  0
1
0
1
0

1
0 
1
hat die Eigenwerte λ1 = −1, λ2 = −2, λ3 = −3,
hat den Vektor x = (0, 0, 0)T als Eigenvektor,
ist singulär.
Keine dieser Aussagen trifft zu.
9. Besitzt die (4,4)-Matrix A den vierfachen Eigenwert λ1 = . . . = λ4 = −1, so gilt
3
A−1 = 14 (A + E) A−1 = − A3 + 4A2 + 6A + 4E A−1 = −A3 − 2A2 − 2A − E
keine der drei Aussagen muß erfüllt sein.


1
0
0
10. Die durch die Matrix C =  0 cos ϕ − sin ϕ  erklärte lineare Transformation
0 sin ϕ cos ϕ
C : IR3 → IR3 mit C : x 7→ y = Cx bewirkt, daß im Koordinatensystem das Bild y aus x
durch Drehung um den Winkel ϕ um die x1 -Achse,
durch Drehung um den Winkel ϕ um die x2 -Achse und die x3 -Achse entsteht.
Es gilt CC T = E
Es gilt C 2 = E
Keine dieser Aussagen trifft zu.
11. Gilt für zwei linear unabhängige Vektoren ~a und ~b eines Euklidischen Raumes ~a · ~a = ~b · ~b,
dann gilt
~a + ~b und ~a − ~b sind linear abhängig,
~a + ~b und ~a − ~b stehen aufeinander senkrecht,
keine der Aussagen muß erfüllt sein.
12. Sind ~x1 = ~a1 + s1~b1 + t1~c1 und ~x2 = ~a2 + s2~b2 + t2~c2 mit s1 , t1 , s2 , t2 ∈ IR die Punktrichtungsgleichungen zweier paralleler Ebenen im dreidimensionalen Euklidischen Raum E 3
mit normierten Richtungsvektoren |~b1 | = |c~1 | = |~b2 | = |c~2 | = 1, dann gilt
~b1 · ~c1 = ~b2 · ~c2 = 0,
~b1 × ~c1 = ~b2 × ~c2 ,
keine dieser Aussagen muß zutreffen.
13. Die Gleichungen x = z − y + 1 und z = x − 2y + 1 beschreiben
zwei windschiefe Geraden im IR2 ,
zwei parallele Ebenen im IR3 ,
3
zwei orthogonale Ebenen im IR .
Keine der Aussagen ist erfüllt.
√
14. Ist 13 3x + n2 y + n3 z = 1 die Hessesche Normalform einer Ebenengleichung, dann
√
gilt n2 = n3 = 13 3
√
hat die Ebene den Abstand 13 3 vom Koordinatenursprung,
√
ist bei x = 3 der Schnittpunkt der Ebene mit der x-Achse.
Keine der Aussagen ist erfüllt.
2
15. Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung von f (x) = x4 + 4x2 + 4 lautet
x + 8x + 16
A2
B
C
D , f (x) = A1 +
f (x) = x A
+
+
,
+
+ 2 (x + 2)2
(x + 2)3
(x + 2)4
x2 + 4 (x2 + 4)2
C
f (x) = 2A + 2Bx +
+ Dx 2 .
Keiner dieser Ansätze ist geeignet.
x + 4 x + 4 (x + 2)2
(x + 2)
Teil 2: Aufgaben
1. Die Koeffizienten aij des linearen Gleichungssystems
aij = 1 für |i − j| ≤ 1 und aij = 0 sonst.
Pn
j=1
aij xj = bi ,
i = 1, . . . , n seien
a) Lösen Sie dieses Gleichungssystem für n = 4 und bi = 2 − i, i = 1, . . . , 4.
b) Lösen Sie dieses Gleichungssystem für beliebiges n und b1 = . . . = bn = 1.
2.
a) Zeigen Sie, daß mit gegeben regulären Blockmatrizen A und C gilt:
−1 A O
A−1
O
=
.
B C
−C −1 BA−1 C −1


1 0 0 0
 2 1 0 0 

b) Berechnen Sie damit die inverse Matrix von 
 3 2 1 0 .
4 3 2 1
3. Lösen Sie die Matrizengleichung X = XB − A nach X auf (Auflösungsbedingung angeben).
4. Durch die Punkte G1 ( 0 | 1 | 2 ), G2 ( 2 | 2 | 1 ) verläuft eine Gerade g, die die durch die
Punkte E1 ( 0 | 0 | 1 ), E2 ( 2 | 0 | 2 ), E3 ( 0 | 2 | 2 ) verlaufende Ebene e in dem Punkt S
schneidet.
Bestimmen Sie die Abstände, die S, e und g vom Ursprung O = ( 0 | 0 | 0 ) haben.
Hochschule Anhalt
Köthen, den 04.02.2004
Leistungsnachweis 1 zur Vorlesung: Höhere Mathematik
für Studierende der Studiengänge
Elektro- und Informationstechnik, Biomedizinische Technik und Kommunikations- und Medientechnik
Gruppe B
Name:
Punkte:
Matr.-Nr.:
Bewertung:
Hinweise: Bitte markieren Sie oben, in welchem Studiengang Sie eingeschrieben sind.
Um die volle Punktzahl zu erreichen, müssen im Teil 1 die richtigen Antworten angekreuzt werden.
Außerdem sind die Aufgaben von Teil 2 zu lösen.
Zugelassene Hilfsmittel sind Rechner, Tabellenwerk, Formelsammlung ohne durchgerechnete Beispiele (auch handgeschrieben).
Teil 1:
Kreuzen Sie die jeweils wahren Aussagen an. (Mehrfachantworten sind möglich.)
1. p ∧ (q → p) ≡ p ∧ q
p ∧ (q → p) ≡ q
q ∨ (q → p) ≡ p ∨ q
Keine dieser Aussagen trifft zu.
n
o
p
√ 2. Mit den Mengen I1 = x ∈ IR | | tan x| < 3 und I2 = x ∈ IR | 5 (π − x)2 < 1 gilt
I1 ∪ I2 = IR,
I1 ∩ I2 = I2 ,
I2 \ I1 = ∅,
I2 ∩ I1 = I1
nichts von alledem.
3. Besitzt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem von m = n − 1 Gleichungen für n Unbekannte eine eindeutige Lösung, dann hat
die zugehörige Koeffizientenmatrix den Rang m,
die zugehörige Koeffizientenmatrix den Rang n.
Keine dieser Aussagen muß zutreffen.
4. Ist P = (e1 e3 e2 e4 ) die aus den Spalten der vierreihigen Einheitsmatrix E = (e1 e2 e3 e4 )
gebildete Permutationsmatrix, dann sind im Unterschied zu A in der Matrix A0 = AP
die zweite und dritte Spalte vertauscht,
nur das zweite und dritte Hauptdiagonalelement vertauscht.
Es gilt det(P ) = −1.
Keine dieser Aussagen muß zutreffen.
5. Ist die quadratische Matrix X 6= O (O ist die entsprechende Nullmatrix) eine Lösung der
linearen Matrizengleichung AXA = O, dann gilt für die quadratische Matrix A
det A = 0,
det A 6= 0,
muß keine dieser Aussagen zutreffen.
1 1
gilt
6. Mit B =
1 1
für jede Potenz B n = 2n−1 B, für jede Potenz (E − B)n = E − B, det (E − B) 6= 0,
keine dieser Aussagen trifft zu.
7. Gegeben seien vier Vektoren {a1 , . . . , a4 } eines abstrakten dreidimensionalen Vektorraumes
P4
V und a5 = i=1 ai . Dann gilt:
Die Vektoren {a3 , . . . , a5 } sind linear unabhängig.
Jeder Vektor v ∈ V läßt sich als Linearkombination der ai darstellen.
Die Dimension des von den Vektoren {a1 , . . . , a4 } aufgespannten Vektorraumes ist drei.
Keine dieser Aussagen muß zutreffen.

1
8. Die Matrix  0
1
0
1
0

1
0 
1
hat die Eigenwerte λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 2,
hat den Vektor x = (0, 1, 0)T als Eigenvektor,
ist regulär.
Keine dieser Aussagen trifft zu.
9. Besitzt die (4,4)-Matrix A den vierfachen Eigenwert λ1 = . . . = λ4 = 1, so gilt
3
A−1 = 14 (A + E) A−1 = − A3 + 4A2 + 6A + 4E A−1 = −A3 − 2A2 − 2A − E
keine der drei Aussagen muß erfüllt sein.


1
0
0
10. Die durch die Matrix C =  0 cos ϕ sin ϕ  erklärte lineare Transformation
0 − sin ϕ cos ϕ
C : IR3 → IR3 mit C : x 7→ y = Cx bewirkt, daß im Koordinatensystem das Bild y aus x
durch Drehung um den Winkel ϕ um die x1 -Achse,
durch Drehung um den Winkel ϕ um die x2 -Achse und die x3 -Achse entsteht.
Es gilt CC T = E
Es gilt C 2 = E
Keine dieser Aussagen trifft zu.
11. Gilt für zwei linear unabhängige Vektoren ~a und ~b eines Euklidischen Raumes ~a · ~a = ~b · ~b,
dann gilt
~a + ~b und ~a − ~b sind linear unabhängig,
~a + ~b und ~a − ~b stehen aufeinander senkrecht,
keine der Aussagen muß erfüllt sein.
12. Sind ~x1 = ~a1 + s1~b1 + t1~c1 und ~x2 = ~a2 + s2~b2 + t2~c2 mit s1 , t1 , s2 , t2 ∈ IR die Punktrichtungsgleichungen zweier paralleler Ebenen im dreidimensionalen Euklidischen Raum E 3
mit normierten Richtungsvektoren |~b1 | = |c~1 | = |~b2 | = |c~2 | = 1, dann gilt
~b1 · ~c1 = ~b2 · ~c2 ,
~b1 × ~b2 = ~c1 × ~c2 = ~0,
keine dieser Aussagen muß zutreffen.
13. Die Gleichungen x = z − y − 1 und z = x + 2y − 1 beschreiben
zwei windschiefe Geraden im IR2 ,
zwei parallele Ebenen im IR3 ,
3
zwei orthogonale Ebenen im IR .
Keine der Aussagen ist erfüllt.
√
14. Ist 21 2x + n2 y + n3 z = 1 die Hessesche Normalform einer Ebenengleichung, dann
gilt n2 = n3 = 12
√
hat die Ebene den Abstand 12 2 vom Koordinatenursprung,
√
ist bei x = 2 der Schnittpunkt der Ebene mit der x-Achse.
Keine der Aussagen ist erfüllt.
x2
lautet
x + 8x2 + 16
B
C
D
f (x) = x A
f (x) = 2A1 + 2A2 2 ,
+ 2 + (x + 2)2 + (x + 2)3 + (x + 2)4 ,
x + 4 (x + 4)
f (x) = 2A + 2Bx + 2 C 2 + 2Dx 2 . Keiner dieser Ansätze ist geeignet.
x + 4 x + 4 (x + 4)
(x + 4)
15. Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung von f (x) =
4
Teil 2: Aufgaben
1. Die Koeffizienten aij des linearen Gleichungssystems
aij = 1 für |i − j| ≤ 1 und aij = 0 sonst.
Pn
j=1
aij xj = bi ,
i = 1, . . . , n seien
a) Lösen Sie dieses Gleichungssystem für n = 4 und bi = i, i = 1, . . . , 4.
b) Lösen Sie dieses Gleichungssystem für beliebiges n und b1 = . . . = bn = 1.
2.
a) Zeigen Sie, daß mit gegeben regulären Blockmatrizen A und C gilt:
−1 −1
A B
A
−A−1 BC −1
=
.
0 C
0
C −1


1 5 8 10
 0 2 6 9 

b) Berechnen Sie damit die inverse Matrix von 
 0 0 3 7 .
0 0 0 4
3. Lösen Sie die Matrizengleichung AX = B − X nach X auf (Auflösungsbedingung angeben).
4. Durch die Punkte G1 ( 0 | 1 | 2 ), G2 ( 2 | 0 | 1 ) verläuft eine Gerade g, die die durch die
Punkte E1 ( 0 | 0 | 1 ), E2 ( 2 | 0 | 2 ), E3 ( 2 | 2 | 2 ) verlaufende Ebene e in dem Punkt S
schneidet.
Bestimmen Sie die Abstände, die S, e und g vom Ursprung O = ( 0 | 0 | 0 ) haben.
Hochschule Anhalt
Köthen, den 04.02.2004
Leistungsnachweis 1 zur Vorlesung: Höhere Mathematik
für Studierende der Studiengänge
Elektro- und Informationstechnik, Biomedizinische Technik und Kommunikations- und Medientechnik
Gruppe C
Name:
Punkte:
Matr.-Nr.:
Bewertung:
Hinweise: Bitte markieren Sie oben, in welchem Studiengang Sie eingeschrieben sind.
Um die volle Punktzahl zu erreichen, müssen im Teil 1 die richtigen Antworten angekreuzt werden.
Außerdem sind die Aufgaben von Teil 2 zu lösen.
Zugelassene Hilfsmittel sind Rechner, Tabellenwerk, Formelsammlung ohne durchgerechnete Beispiele (auch handgeschrieben).
Teil 1:
Kreuzen Sie die jeweils wahren Aussagen an. (Mehrfachantworten sind möglich.)
1. p ∧ (p → q) ≡ p ∧ q
p ∧ (p → q) ≡ q
Keine dieser Aussagen trifft zu.
q ∨ (p → q) ≡ p ∨ q
n
o
p
2. Mit den Mengen I1 = {x ∈ IR | tan x < 1} und I2 = x ∈ IR | 5 (π − x)2 < 1 gilt
I1 ∪ I2 = IR,
I1 ∩ I2 = I2 ,
I2 \ I1 = ∅,
I2 ∩ I1 = I1
nichts von alledem.
3. Besitzt ein homogenes lineares Gleichungssystem von m Gleichungen für n = m − 1 Unbekannte nur die triviale Lösung, dann hat
die zugehörige Koeffizientenmatrix den Rang m,
die zugehörige Koeffizientenmatrix den Rang n.
Keine dieser Aussagen muß zutreffen.
4. Ist P = (e1 e3 e2 e4 ) die aus den Spalten der vierreihigen Einheitsmatrix E = (e1 e2 e3 e4 )
gebildete Permutationsmatrix, dann sind im Unterschied zu A in der Matrix A0 = P A
die zweite und dritte Spalte vertauscht,
nur das zweite und dritte Hauptdiagonalelement vertauscht.
Es gilt det(P ) = 1.
Keine dieser Aussagen muß zutreffen.
5. Ist die quadratische Matrix X 6= O (O ist die entsprechende Nullmatrix) eine Lösung der
linearen Matrizengleichung AX = O, dann gilt für die quadratische Matrix A
det A = 0,
det A 6= 0,
muß keine dieser Aussagen zutreffen.
1 1
6. Mit B =
gilt
1 1
für jede Potenz B n = B, für jede Potenz (E − B)n = E − B, det (E − B) 6= 0,
keine dieser Aussagen trifft zu.
7. Gegeben seien vier linear unabhängige Vektoren {a1 , . . . , a4 } eines abstrakten Vektorraumes
P4
V und a5 = i=1 ai . Dann gilt:
Die Vektoren {a1 , . . . , a5 } sind linear unabhängig.
Jeder Vektor v ∈ V läßt sich als Linearkombination der ai darstellen.
Die Dimension ist dimV ≥ 4.
Keine dieser Aussagen muß zutreffen.

1
8. Die Matrix  0
1
0
1
0

1
0 
1
hat die Eigenwerte λ1 = −1, λ2 = −2, λ3 = −3,
hat den Vektor x = (0, 0, 0)T als Eigenvektor,
ist singulär.
Keine dieser Aussagen trifft zu.
9. Besitzt die (4,4)-Matrix A den vierfachen Eigenwert λ1 = . . . = λ4 = −1, so gilt
3
A−1 = 14 (A + E) A−1 = − A3 + 4A2 + 6A + 4E A−1 = −A3 − 2A2 − 2A − E
keine der drei Aussagen muß erfüllt sein.


1
0
0
10. Die durch die Matrix C =  0 cos ϕ − sin ϕ  erklärte lineare Transformation
0 sin ϕ cos ϕ
C : IR3 → IR3 mit C : x 7→ y = Cx bewirkt, daß im Koordinatensystem das Bild y aus x
durch Drehung um den Winkel ϕ um die x1 -Achse,
durch Drehung um den Winkel ϕ um die x2 -Achse und die x3 -Achse entsteht.
Es gilt CC T = E
Es gilt C 2 = E
Keine dieser Aussagen trifft zu.
11. Gilt für zwei linear unabhängige Vektoren ~a und ~b eines Euklidischen Raumes ~a · ~a = ~b · ~b,
dann gilt
~a + ~b und ~a − ~b sind linear abhängig,
~a + ~b und ~a − ~b stehen aufeinander senkrecht,
keine der Aussagen muß erfüllt sein.
12. Sind ~x1 = ~a1 + s1~b1 + t1~c1 und ~x2 = ~a2 + s2~b2 + t2~c2 mit s1 , t1 , s2 , t2 ∈ IR die Punktrichtungsgleichungen zweier paralleler Ebenen im dreidimensionalen Euklidischen Raum E 3
mit normierten Richtungsvektoren |~b1 | = |c~1 | = |~b2 | = |c~2 | = 1, dann gilt
~b1 · ~c1 = ~b2 · ~c2 = 0,
~b1 × ~c1 = ~b2 × ~c2 ,
keine dieser Aussagen muß zutreffen.
13. Die Gleichungen x = z − y + 1 und z = x − 2y + 1 beschreiben
zwei windschiefe Geraden im IR2 ,
zwei parallele Ebenen im IR3 ,
3
zwei orthogonale Ebenen im IR .
Keine der Aussagen ist erfüllt.
√
14. Ist 13 3x + n2 y + n3 z = 1 die Hessesche Normalform einer Ebenengleichung, dann
√
gilt n2 = n3 = 13 3
√
hat die Ebene den Abstand 13 3 vom Koordinatenursprung,
√
ist bei x = 3 der Schnittpunkt der Ebene mit der x-Achse.
Keine der Aussagen ist erfüllt.
2
15. Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung von f (x) = x4 + 4x2 + 4 lautet
x + 8x + 16
A2
B
C
D , f (x) = A1 +
f (x) = x A
+
+
,
+
+ 2 (x + 2)2
(x + 2)3
(x + 2)4
x2 + 4 (x2 + 4)2
C
f (x) = 2A + 2Bx +
+ Dx 2 .
Keiner dieser Ansätze ist geeignet.
x + 4 x + 4 (x + 2)2
(x + 2)
Teil 2: Aufgaben
1. Die Koeffizienten aij des linearen Gleichungssystems
aij = 1 für |i − j| ≤ 1 und aij = 0 sonst.
Pn
j=1
aij xj = bi ,
i = 1, . . . , n seien
a) Lösen Sie dieses Gleichungssystem für n = 4 und bi = 2 − i, i = 1, . . . , 4.
b) Lösen Sie dieses Gleichungssystem für beliebiges n und b1 = . . . = bn = 1.
2.
a) Zeigen Sie, daß mit gegeben regulären Blockmatrizen A und C gilt:
−1 A O
A−1
O
=
.
B C
−C −1 BA−1 C −1


1 0 0 0
 2 1 0 0 

b) Berechnen Sie damit die inverse Matrix von 
 3 2 1 0 .
4 3 2 1
3. Lösen Sie die Matrizengleichung X = XB − A nach X auf (Auflösungsbedingung angeben).
4. Durch die Punkte G1 ( 0 | 1 | 2 ), G2 ( 2 | 2 | 1 ) verläuft eine Gerade g, die die durch die
Punkte E1 ( 0 | 0 | 1 ), E2 ( 2 | 0 | 2 ), E3 ( 0 | 2 | 2 ) verlaufende Ebene e in dem Punkt S
schneidet.
Bestimmen Sie die Abstände, die S, e und g vom Ursprung O = ( 0 | 0 | 0 ) haben.
Hochschule Anhalt
Köthen, den 04.02.2004
Leistungsnachweis 1 zur Vorlesung: Höhere Mathematik
für Studierende der Studiengänge
Elektro- und Informationstechnik, Biomedizinische Technik und Kommunikations- und Medientechnik
Gruppe D
Name:
Punkte:
Matr.-Nr.:
Bewertung:
Hinweise: Bitte markieren Sie oben, in welchem Studiengang Sie eingeschrieben sind.
Um die volle Punktzahl zu erreichen, müssen im Teil 1 die richtigen Antworten angekreuzt werden.
Außerdem sind die Aufgaben von Teil 2 zu lösen.
Zugelassene Hilfsmittel sind Rechner, Tabellenwerk, Formelsammlung ohne durchgerechnete Beispiele (auch handgeschrieben).
Teil 1:
Kreuzen Sie die jeweils wahren Aussagen an. (Mehrfachantworten sind möglich.)
1. p ∧ (q → p) ≡ p ∧ q
p ∧ (q → p) ≡ q
q ∨ (q → p) ≡ p ∨ q
Keine dieser Aussagen trifft zu.
n
o
p
√ 2. Mit den Mengen I1 = x ∈ IR | | tan x| < 3 und I2 = x ∈ IR | 5 (π − x)2 < 1 gilt
I1 ∪ I2 = IR,
I1 ∩ I2 = I2 ,
I2 \ I1 = ∅,
I2 ∩ I1 = I1
nichts von alledem.
3. Besitzt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem von m = n − 1 Gleichungen für n Unbekannte eine eindeutige Lösung, dann hat
die zugehörige Koeffizientenmatrix den Rang m,
die zugehörige Koeffizientenmatrix den Rang n.
Keine dieser Aussagen muß zutreffen.
4. Ist P = (e1 e3 e2 e4 ) die aus den Spalten der vierreihigen Einheitsmatrix E = (e1 e2 e3 e4 )
gebildete Permutationsmatrix, dann sind im Unterschied zu A in der Matrix A0 = AP
die zweite und dritte Spalte vertauscht,
nur das zweite und dritte Hauptdiagonalelement vertauscht.
Es gilt det(P ) = −1.
Keine dieser Aussagen muß zutreffen.
5. Ist die quadratische Matrix X 6= O (O ist die entsprechende Nullmatrix) eine Lösung der
linearen Matrizengleichung AXA = O, dann gilt für die quadratische Matrix A
det A = 0,
det A 6= 0,
muß keine dieser Aussagen zutreffen.
1 1
gilt
6. Mit B =
1 1
für jede Potenz B n = 2n−1 B, für jede Potenz (E − B)n = E − B, det (E − B) 6= 0,
keine dieser Aussagen trifft zu.
7. Gegeben seien vier Vektoren {a1 , . . . , a4 } eines abstrakten dreidimensionalen Vektorraumes
P4
V und a5 = i=1 ai . Dann gilt:
Die Vektoren {a3 , . . . , a5 } sind linear unabhängig.
Jeder Vektor v ∈ V läßt sich als Linearkombination der ai darstellen.
Die Dimension des von den Vektoren {a1 , . . . , a4 } aufgespannten Vektorraumes ist drei.
Keine dieser Aussagen muß zutreffen.

1
8. Die Matrix  0
1
0
1
0

1
0 
1
hat die Eigenwerte λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 2,
hat den Vektor x = (0, 1, 0)T als Eigenvektor,
ist regulär.
Keine dieser Aussagen trifft zu.
9. Besitzt die (4,4)-Matrix A den vierfachen Eigenwert λ1 = . . . = λ4 = 1, so gilt
3
A−1 = 14 (A + E) A−1 = − A3 + 4A2 + 6A + 4E A−1 = −A3 − 2A2 − 2A − E
keine der drei Aussagen muß erfüllt sein.


1
0
0
10. Die durch die Matrix C =  0 cos ϕ sin ϕ  erklärte lineare Transformation
0 − sin ϕ cos ϕ
C : IR3 → IR3 mit C : x 7→ y = Cx bewirkt, daß im Koordinatensystem das Bild y aus x
durch Drehung um den Winkel ϕ um die x1 -Achse,
durch Drehung um den Winkel ϕ um die x2 -Achse und die x3 -Achse entsteht.
Es gilt CC T = E
Es gilt C 2 = E
Keine dieser Aussagen trifft zu.
11. Gilt für zwei linear unabhängige Vektoren ~a und ~b eines Euklidischen Raumes ~a · ~a = ~b · ~b,
dann gilt
~a + ~b und ~a − ~b sind linear unabhängig,
~a + ~b und ~a − ~b stehen aufeinander senkrecht,
keine der Aussagen muß erfüllt sein.
12. Sind ~x1 = ~a1 + s1~b1 + t1~c1 und ~x2 = ~a2 + s2~b2 + t2~c2 mit s1 , t1 , s2 , t2 ∈ IR die Punktrichtungsgleichungen zweier paralleler Ebenen im dreidimensionalen Euklidischen Raum E 3
mit normierten Richtungsvektoren |~b1 | = |c~1 | = |~b2 | = |c~2 | = 1, dann gilt
~b1 · ~c1 = ~b2 · ~c2 ,
~b1 × ~b2 = ~c1 × ~c2 = ~0,
keine dieser Aussagen muß zutreffen.
13. Die Gleichungen x = z − y − 1 und z = x + 2y − 1 beschreiben
zwei windschiefe Geraden im IR2 ,
zwei parallele Ebenen im IR3 ,
3
zwei orthogonale Ebenen im IR .
Keine der Aussagen ist erfüllt.
√
14. Ist 21 2x + n2 y + n3 z = 1 die Hessesche Normalform einer Ebenengleichung, dann
gilt n2 = n3 = 12
√
hat die Ebene den Abstand 12 2 vom Koordinatenursprung,
√
ist bei x = 2 der Schnittpunkt der Ebene mit der x-Achse.
Keine der Aussagen ist erfüllt.
x2
lautet
x + 8x2 + 16
B
C
D
f (x) = x A
f (x) = 2A1 + 2A2 2 ,
+ 2 + (x + 2)2 + (x + 2)3 + (x + 2)4 ,
x + 4 (x + 4)
f (x) = 2A + 2Bx + 2 C 2 + 2Dx 2 . Keiner dieser Ansätze ist geeignet.
x + 4 x + 4 (x + 4)
(x + 4)
15. Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung von f (x) =
4
Teil 2: Aufgaben
1. Die Koeffizienten aij des linearen Gleichungssystems
aij = 1 für |i − j| ≤ 1 und aij = 0 sonst.
Pn
j=1
aij xj = bi ,
i = 1, . . . , n seien
a) Lösen Sie dieses Gleichungssystem für n = 4 und bi = i, i = 1, . . . , 4.
b) Lösen Sie dieses Gleichungssystem für beliebiges n und b1 = . . . = bn = 1.
2.
a) Zeigen Sie, daß mit gegeben regulären Blockmatrizen A und C gilt:
−1 −1
A B
A
−A−1 BC −1
=
.
0 C
0
C −1


1 5 8 10
 0 2 6 9 

b) Berechnen Sie damit die inverse Matrix von 
 0 0 3 7 .
0 0 0 4
3. Lösen Sie die Matrizengleichung AX = B − X nach X auf (Auflösungsbedingung angeben).
4. Durch die Punkte G1 ( 0 | 1 | 2 ), G2 ( 2 | 0 | 1 ) verläuft eine Gerade g, die die durch die
Punkte E1 ( 0 | 0 | 1 ), E2 ( 2 | 0 | 2 ), E3 ( 2 | 2 | 2 ) verlaufende Ebene e in dem Punkt S
schneidet.
Bestimmen Sie die Abstände, die S, e und g vom Ursprung O = ( 0 | 0 | 0 ) haben.